2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題58

2021年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸題每日一題

1.綜合與探究

如圖1,拋物線丫二扇+云-3與x軸交于A(-2,0),B(4,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)N是拋物線上異于點(diǎn)C的動(dòng)點(diǎn)，若ANAB的面積與△C48的面積相等，求出點(diǎn)N

的坐標(biāo)；

(3)如圖2,當(dāng)P為OB的中點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)尸作尸軸，交拋物線于點(diǎn)￡>.連接8。，將

△尸8。沿x軸向左平移機(jī)個(gè)單位長(zhǎng)度(0VmW2),將平移過(guò)程中△尸80與AOBC重疊部分

的面積記為S,求S與機(jī)的函數(shù)關(guān)系式.

【分析】(1)把點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別代入拋物線解析式，列出關(guān)于系數(shù)人，的解析式，通

過(guò)解方程組求得它們的值；

(2)由拋物線解析式求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，即OC=3,所以由三角形的面積公式得到點(diǎn)N到x

軸的距離為3,據(jù)此列出方程并解答；

(3)如圖2,由己知得，QB=m,PQ=2,利用待定系數(shù)法確定直線BC的表達(dá)式為丫=當(dāng)

4

-3.根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)求得。(2,-3),所以直線

C￡>〃x軸.由此求得的長(zhǎng)度；過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)M,構(gòu)造相似三角形：△MH/s

△MPQ和△CMFS^BQF,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例推知姓=紅土設(shè)MF=k(2

QFm

-m),QF=km,由三角形的面積公式和圖形得到：S—S^PQM-S^EMF—3~"

(2-m)--—nr+—m+—.

822

【解答】解：(1)如圖1,把點(diǎn)A(-2,0)、B(4,0)分別代入了=癥+法-3(“W0),

得

(4a~2b-3=0

116a+4b~3=0

f3

a友

解得°，

b=N

所以該拋物線的解析式為：y=^-lx-3；

-84

(2)將x=0代入-[x-3,得y=-3,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-3),

OC=3.

設(shè)N(x,y),

,?*SNNAB=SM：AB,

：.\y\=OC=3f

.??y=±3.

當(dāng)y=3時(shí)，3/-當(dāng)-3=3,

■84

解得X=±V17+1.

當(dāng)y=-3時(shí)，旦，-斗-3=-3,

84

解得XI=2,X2=O(舍去).

綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)是(JF+1，3)或(-JTR1，3)或(2,-3)；

(3)如圖2,由已知得，QB=m,PQ=2,

設(shè)直線BC的表達(dá)式為(ZW0).

?.?直線y="+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,0),C(0,-3),

.fb=-3

l4k+b=0，

[kJ-

解得{*4,

b=-3

/.直線BC的表達(dá)式為y=}3.

當(dāng)0V%W2時(shí)，由已知得尸8=2+〃].

,/OP=2-m,

：.E(2-w,-2%-3).

42

由08=4得OP=2,

把x=2代入-泰-3中，得y=-3,

：.D(2,-3),

直線C￡>〃x軸.

?.?EP=3〃?+3,MP=3,

42

：.EM=MP-EP=3-3m-3=-置?+&.

4242

過(guò)點(diǎn)/作尸于點(diǎn)M,則/MHF=NMPQ=90°.

?:/HMF=NPMQ,

?里=迎

-，PQIQ'

NFCM=ZFBQ,NFMC=ZFQB,

:.叢CMFs叢BQF,

?MF_CM

"OFBQ"

'：CD=2,

：.CM=2-m,

.MF,2-m

QFm

設(shè)(2-/n),QF=km,

:,MQ=2k,

?MF=2-m

MQm

?HF2-m

PQm

???PQ=2,

：.HF=2-m.

：.S^EMF=—EM*HF=—(-—zn+—)(2