2023年春季高一數(shù)學(xué)（答案）修正版

高一數(shù)學(xué)試題第頁（共8頁）保密★啟用前2022-2023學(xué)年度下學(xué)期泉州市保密★啟用前2023．07高一數(shù)學(xué)本試卷共22題，滿分150分，共6頁?？荚囉脮r(shí)120分鐘。注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上。請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效。在草稿紙、試題卷上答題無效。3．選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號；非選擇題答案使用毫米的黑色中性（簽字）筆或碳素筆書寫，字體工整、筆跡清楚。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)，則A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算、模長等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】解法1因?yàn)?，所?解法2因?yàn)?，所?故選B．2．為貫徹國家體育總局提出的“陽光體育”運(yùn)動要求，某校舉行了全校大課間跑操比賽.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取個(gè)班級的比賽成績,得到以下統(tǒng)計(jì)表,由統(tǒng)計(jì)表可得這個(gè)比賽成績的第百分位數(shù)是成績678910班級數(shù)A． B． C． D．【命題意圖】本小題考查百分位數(shù)等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解的基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】由，得出第百分位數(shù)是第和第個(gè)成績的平均數(shù)，所以第百分位數(shù)為，故選．3．已知向量，，則在上的投影向量為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查三角函數(shù)的定義、向量夾角、投影向量等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1，則在上的投影向量為．解法2由圖可得，在軸上的投影數(shù)量為，則在上的投影向量．故選B．4．從,,,,這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同數(shù)字，則這兩個(gè)數(shù)字乘積為偶數(shù)且它們的和大于的概率為A． B． C． D．【命題意圖】本題主要考查古典概型、概率等基礎(chǔ)知識；考查運(yùn)算求解的基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性.【試題簡析】從,,,,這五個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取兩個(gè)不同數(shù)字的樣本空間是，，，，，，，，，，共個(gè)樣本點(diǎn)，記事件“這兩個(gè)數(shù)字乘積為偶數(shù)且和大于”，則，，，，共個(gè)樣本點(diǎn)，所以．故選D．5．用平行于正四棱錐底面的平面去截該棱錐，把底面和截面之間的那部分多面體叫做正四棱臺，經(jīng)過正四棱臺不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做該正四棱臺的對角面．若正四棱臺的體積為，上、下底面邊長分別為，，則該棱臺的對角面面積為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查棱臺的體積、幾何體的截面等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性．【試題簡析】解法1設(shè)截去小錐體的高為，棱臺的高為，則，得．由，解得．所以對角面面積為．故選A．解法2設(shè)截去小錐體的體積為，高為，則，又，所以，所以，解得．所以棱臺的高，所以對角面面積為．故選A．解法3如圖，設(shè)，分別為正四棱臺上、下底面的中心，由題意，知等腰梯形為棱臺的對角面，且既為棱臺的高，也為對角面的高；由棱臺體積公式，有，解得；所以．故選A．6．已知向量，，若向量與的夾角等于與的夾角，則可以是A． B． C． D．QUOTE150°【命題意圖】本小題主要考查向量的夾角、向量的數(shù)量積、平面向量的分解等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1由向量與的夾角等于與的夾角即，可得，可得，對于選項(xiàng)A：可得，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選C．解法2由圖可知，向量與，的夾角均為，即向量在向量，方向上分解的長度始終相等，又,，故恒成立，故選C.7．2022年6月5日，神舟十四號載人飛船成功與天和核心艙對接形成組合體，并于12月4日成功返回地面.本次任務(wù)的完成見證了貨運(yùn)飛船與空間站交會對接最快世界紀(jì)錄等眾多歷史性時(shí)刻.如圖，神州十四號返回艙接近地面時(shí)，傘面是表面積約為的半球面(不含底面圓)，傘頂與返回艙底端的距離為半球半徑的倍，直線在水平地面上的投影為，和觀測點(diǎn)在同一水平線上.在遙控觀測點(diǎn)處測得點(diǎn)的仰角為，線段的視角（即）的正弦值為，則此時(shí)返回艙底端離地面的高度約為求解示意圖求解示意圖A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查球的表面積公式，正弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算，直觀想象，數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性．【試題簡析】解法1設(shè)半球半徑為米，則，則，所以，因?yàn)檠鼋?，則，又，所以在中，，所以，因?yàn)椋瑒t，所以在直角中，，故選B．解法2設(shè)半球半徑為米，則，則，所以，因?yàn)檠鼋?，則，又，所以在中，，所以，因?yàn)椋瑒t所以，即可得可解得，所以，則，故選B．8．已知為的外心，，，，則的面積為A． B． C． D．【命題意圖】本小題主要考查三角形外心定義、向量的投影、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的模、正弦定理等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，創(chuàng)新性，導(dǎo)向?qū)?shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】由為的外心可得，，，故，又，可得，故，則的面積為,故選D．二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分。9．已知直線，與平面，，，則的充分條件可以是A．， B．，C．， D．，，【命題意圖】本小題主要考查空間中直線和平面的位置關(guān)系、平面與平面平行的判定等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項(xiàng)A：已知，，由平行的傳遞性可得；對于選項(xiàng)B：已知，，聯(lián)想到“墻角模型”，可知無法推出；對于選項(xiàng)C：已知，則可找到內(nèi)的兩條相交直線，有，過構(gòu)造一平面交于直線，又，則，所以；同理，所以；對于選項(xiàng)D：已知，，，等價(jià)于，，由選項(xiàng)C可知結(jié)論正確．故選擇ACD．10．下圖是年和年小明家庭各項(xiàng)支出的比例分配圖，其中每年用于房貸的支出費(fèi)用相等，則A．總支出年比年增長B．用于飲食的支出費(fèi)用年與年相等C．用于交通的支出費(fèi)用年與年相等D．用于娛樂的支出費(fèi)用年比年增長【命題意圖】本小題主要考查扇形統(tǒng)計(jì)圖的基礎(chǔ)知識；考查數(shù)學(xué)問題與統(tǒng)計(jì)圖表的閱讀理解能力，數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解能力；體現(xiàn)基礎(chǔ)性，導(dǎo)向?qū)?shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的關(guān)注.【試題簡析】對于選項(xiàng)：因?yàn)槊磕暧糜诜抠J的支出費(fèi)用相等，設(shè)為，則年總支出為，年總支出為，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B：年與年飲食支出分別為，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：年與年交通支出分別為，，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：年與年總支出不一樣，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選．11．在中，，，，是邊上的一點(diǎn)，則A． B．外接圓的半徑是C．若，則 D．若是的平分線,則【命題意圖】本小題主要考查向量的數(shù)量積、爪子型三角形中向量的表示、正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項(xiàng)：，故選項(xiàng)正確；對于選項(xiàng)B：由余弦定理，得，解得，由正弦定理，得外接圓的半徑是，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，所以，所以，則，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：由等面積法，得即，解得，故選項(xiàng)D正確；故選．12．如圖，正三棱柱的上底面上放置一個(gè)圓柱，得到一個(gè)組合體，其中圓柱的底面圓內(nèi)切于，切點(diǎn)，分別在棱，上，為圓柱的母線．已知圓柱的高為，側(cè)面積為，棱柱的高為，則A．∥平面B．C．組合體的表面積為D．若三棱柱的外接球面與線段交于點(diǎn)，則與平面所成角的正弦值為【命題意圖】本小題主要考查組合體、空間位置關(guān)系、表面積、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性．【試題簡析】對于選項(xiàng)A：由題意，可知切點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，作出平面截組合體所得截面，如下圖1：由圖可知，，分別在截面的兩側(cè)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)B：由題意，可知圓柱底面半徑為，所以棱柱底面邊長為；如下圖2：分別取，的中點(diǎn)，，連接，，，，，則，所以，，，四點(diǎn)共面，又，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，故選項(xiàng)B正確；對于選項(xiàng)C：由于圓柱的下底面與棱柱的上底面有重疊部分，因此表面積，故選項(xiàng)C正確；對于選項(xiàng)D：如下圖3：取的中心，則的中點(diǎn)為棱柱的外接球球心，連接，，由勾股定理，得外接球半徑；連接，在平面內(nèi)過作，垂足為，則，由勾股定理，得，所以，所以，，由余弦定理，得，所以，所以；設(shè)到平面的距離為，與平面所成的角為，由，有，即，解得，所以，故D正確．故選BCD．圖1圖2圖3三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。將答案填在答題卡的相應(yīng)位置。13．在△中，，，，則．【命題意圖】本小題主要考查余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查推運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性．【試題簡析】因?yàn)?，所以?4．2022年8月16日，航天員的出艙主通道——問天實(shí)驗(yàn)艙氣閘艙首次亮相．某高中為了解學(xué)生對這一新聞的關(guān)注度，采用按比例分配的分層抽樣方法從高中三個(gè)年級中抽取了45人進(jìn)行問卷調(diào)查，其中高一年級抽取了18人，高二年級抽取了12人，且高三年級共有學(xué)生1200人，則該高中的學(xué)生總數(shù)為人．【命題意圖】本小題主要考查按比例分配的分層抽樣方法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與創(chuàng)新性．【試題簡析】從高中三個(gè)年級抽取45人組成樣本，分別從高一年級、高二年級和高三年級抽取了18人，12人，15人，樣本結(jié)構(gòu)比為高一：高二：高三，所以該高中的學(xué)生總數(shù)為人，所以應(yīng)該填．15．設(shè)復(fù)數(shù)，滿足，，則．【命題意圖】本小題主要考查復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算、幾何意義等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查直觀想象、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性與應(yīng)用性．【試題簡析】由復(fù)數(shù)，滿足可知，復(fù)數(shù)，對應(yīng)于復(fù)平面的點(diǎn)位于圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上，又，可知對應(yīng)于復(fù)平面的點(diǎn)也位于圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓上．根據(jù)平行四邊形法則和條件，知在中，，，，所以，則，故答案應(yīng)為.16．在三棱錐中，，平面，，，則與所成的角為．【命題意圖】本小題主要考查異面直線所成的角、直線與平面垂直等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性．【試題簡析】如圖，以，為鄰邊將補(bǔ)成矩形，連接，則（或其補(bǔ)角）為與所成的角．由平面，得，又，，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．又，所以．故與所成的角為．四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17．（10分）在△中，內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求；（2）求的最小值.【命題意圖】本小題主要考查解三角形的正、余弦定理、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性與應(yīng)用性．【試題簡析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫?1分又， 2分所以， 3分又，所以， 4分而，所以. 5分（2）解法1因?yàn)?6分， 7分所以， 8分因?yàn)?，所以的最大值?， 9分故的最小值為. 10分解法2因?yàn)椋?6分所以， 7分又因?yàn)椋裕?8分所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號， 9分故的最小值為. 10分18．（12分）在矩形中，，，是的中點(diǎn)，是邊上的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），與交于點(diǎn)．（1）設(shè)，，請用，表示和；（2）求與夾角的余弦值．【命題意圖】本小題主要考查平面向量基本定理、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角運(yùn)算等基礎(chǔ)知識；考查邏輯推理、運(yùn)算求解、數(shù)形結(jié)合等能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想；體現(xiàn)基礎(chǔ)性與綜合性，導(dǎo)向?qū)χ庇^想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題簡析】解法1（1）由圖可得： 2分 4分（2）由于與的夾角等于與的夾角 6分 7分 8分 10分與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為 12分解法2由于與的夾角等于與的夾角 6分建立如圖所示坐標(biāo)系可得，，，，，， 7分故， 8分， 9分 10分與夾角的余弦值為，即與夾角的余弦值為 12分19．（12分）泉州,作為古代海上絲綢之路的起點(diǎn)，具有深厚的歷史文化底蘊(yùn)，是全國同時(shí)擁有聯(lián)合國三大類非遺項(xiàng)目的唯一城市.為高效統(tǒng)籌整合優(yōu)質(zhì)文旅資源，文旅局在“五一”假期精心策劃文旅活動，使得來泉旅游人數(shù)突破了萬人次.某數(shù)學(xué)興趣小組為了解來泉游客的旅游體驗(yàn)滿意度，用問卷的方式隨機(jī)調(diào)查了名來泉旅游的游客，被抽到的游客根據(jù)旅游體驗(yàn)給出滿意度分值（滿分分），該興趣小組將收集到的數(shù)據(jù)分成五段：，，，，，處理后繪制了如下頻率分布直方圖：（1）求圖中的值，并估計(jì)名游客滿意度分值的中位數(shù)；（2）已知在的平均數(shù)為，方差為，在的平均數(shù)為，方差為，試求被調(diào)查的名游客的滿意度分值的平均數(shù)及方差.【命題意圖】本題考查頻率分布直方圖、平均數(shù)、中位數(shù)、方差等基礎(chǔ)知識；考查數(shù)據(jù)處理、運(yùn)算求解等基本能力；導(dǎo)向教學(xué)對數(shù)據(jù)處理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng)的關(guān)注；體現(xiàn)基礎(chǔ)性、應(yīng)用性.【試題解析】解：（1）由頻率分布直方圖可得：，解得 分由頻率分布直方圖， 分因此，中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)， 分 分可以估計(jì)名游客滿意度分值的中位數(shù)為 分（2）把在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為；在的平均數(shù)記為，方差記為 分由題得，，，，，在的頻率為，在的頻率為則 分由 分可得 分即被調(diào)查的名游客的滿意度分值的方差為 分

20．（12分）如圖，在三棱柱中，底面是等邊三角形，側(cè)面是矩形，，，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求到平面的距離．【命題意圖】本小題主要考查直線與平面垂直、棱錐的體積、點(diǎn)到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力和應(yīng)用意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性．【試題簡析】（1）由為等腰直角斜邊的中點(diǎn)，得．在三棱柱中，，所以，所以，即． 2分因?yàn)閭?cè)面是矩形，所以， 3分又，平面，平面，所以平面． 4分（2）解法1連接交于點(diǎn)，連接，則為的中點(diǎn)，所以到平面的距離等于到平面的距離，設(shè)此距離為．由（1）知平面，又，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕?6分所以．又，所以，所以，所以，又，平面，平面，所以平面． 8分因?yàn)?，所以，又，所以，所以，所以?10分由，得，所以，解得．即到平面的距離為． 12分解法2連接交于點(diǎn)，連接，在平面內(nèi)過點(diǎn)作，垂足為，則為的中點(diǎn)． 5分因?yàn)?，所以?6分由（1）知平面，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，所以，所以．又，平面，平面，所以平面?8分因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，平面，所以平面?10分又，由，得，解得．即到平面的距離為． 12分21．（12分）在平面四邊形中，點(diǎn)在直線的兩側(cè)，，，四個(gè)內(nèi)角分別用表示，.（1）求；（2）求與的面積之和的最大值．【命題意圖】本小題主要考查解三角形、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識，考查推理論證、運(yùn)算求解等能力，考查數(shù)形結(jié)合和化歸與轉(zhuǎn)化等思想，體現(xiàn)綜合性與應(yīng)用性，導(dǎo)向?qū)Πl(fā)展直觀想象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的關(guān)注．【試題解析】（1）解法1聯(lián)想到勾股定理，預(yù)感． 1分對照題設(shè)條件，確認(rèn)能滿足題意，至少為其中的一個(gè)解. 2分因?yàn)?，，均為定值，兩邊及夾角確定，則三角形唯一確定，所以． 5分解法2在中，由余弦定理，得． 2分，，，所以，即． 3分所以， 4分故． 5分（2）設(shè)，.因?yàn)?，所以，所以四點(diǎn)共圓，且BC為該圓的直徑， 6分從而，.， 7分， 8分在中，，. 9分所以. 11分因?yàn)椋?，，故當(dāng)時(shí)，.故與的面積和的最大值為． 12分22．（12分）如圖，在正三棱柱中，，為的中點(diǎn)，，在上，．（1）試在直線上確定點(diǎn)，使得對