2012年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)40橢圓

考點(diǎn)40橢圓一、選擇題1.（2012?浙江高考文科?T8）如圖，中心均為原點(diǎn)。的雙曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，M,N是雙曲線的兩頂點(diǎn)。若M,O,N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是（）（第8期圖）A.3 B.2 C.如 D.W【解題指南】分別設(shè)出橢圓與雙曲線的方程,根據(jù)其焦點(diǎn)相同和M,0,N將橢圓長軸四等分得出離心率之間的關(guān)系.X2 X2 X2 X2—————=1 ——+——=1a2b2 a2b2選B.設(shè)雙曲線的方程為aι bI ，橢圓的方程為a2 2，由于M,O,N將橢圓長軸四ccea

e=一,e=—— —=—2=2等分，所以a2=2al,又1al2a2所以e2al .三+二=1（a〉b〉0）（2012?江西高考文科?T8）橢圓a2 b2 的左、右頂點(diǎn)分別是A,B,左、右焦點(diǎn)分別是F1,F2。若∣AF1∣,∣F1F2∣,∣F1B∣成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為（）√5 1A.4 B,5 C.2 D.J5-2【解題指南】由∣AF1∣,∣F1F21,∣F1B∣成等比數(shù)列建立a、C的方程”轉(zhuǎn)化為離心率e,解方程得e., , ,FFF,、一IAFI=a一CFF=2c【解析】選B.因?yàn)锳、B為左右頂點(diǎn)，F(xiàn)ι,F2為左右焦點(diǎn)，所以I ιl, 12 ,叼=a+C，又因?yàn)楫a(chǎn)1MF1f2∣,∣BFIl成等比數(shù)列，所以（a+C兒一C”4c2,即a2=5C2，所以離心率通e=——5.（2012?新課標(biāo)全國高考文科-T4）與（2012?新課標(biāo)全國高考文科?T4）相同X2y2 3aFF ——+—=（a>b>0） X=一設(shè)F1、F2是橢圓E：a2b2 的左、右焦點(diǎn)，P為直線 2上一點(diǎn)，AFPF是底角為3002 1的等腰三角形，則E的離心率為（ ）1 2 3 4A.2iB.3 C,4 D,5【解題指南】根據(jù)題意畫出圖形，尋求C所滿足的數(shù)量關(guān)系，求得離心率。3ax=—【解析】選C.設(shè)直線2與X軸交于點(diǎn)M,NPFM=60o+2 ，在RtAPFM.PF=FF=2C2中，2 12 ,FM=3a-C cos60o2 2 ，故.3

a—CFM2

=——=- PF 2C2，解得a4，故離心率二、填空題4.（2012?福建高考理科?T13）已知△ABC得三邊長成公比為％2的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為.【解題指南】運(yùn)用等比數(shù)列的基本知識(shí)和基本定義和公式設(shè)邊，運(yùn)用余弦定理求解三角形.【解析】依次設(shè)三邊為Ca八'2a,2a,則最大邊為2a，最大角的余弦值為CoSθ=a2+(J2a)2-(2a)22aX、'l"2a=-走4-√2【答案】4..（2012?江西高考理科?T12）設(shè)數(shù)列"J'"）都是等差數(shù)列.若aι+bi=7,a3+b3=21,則a+b=5 5 【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，整體得到ai+b1,a3+b3,a5+b5三者所滿足的關(guān)系，求得a5+b5的值.「{a},… a+a=2ab+b=2b a=2a-a【解析】nn均是等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，1 5 3,1 5 3，即5 3 1,b=2b-6/.a+b=2（a+b）-（a+b）=2x21-75 3 , 55 3 3 11 =35.【答案】35..（2012?江西高考理科?T13）橢圓1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別是A、B,左右焦點(diǎn)分x2+y2a2b2則12C3一二一3e=一4FF A^F、FFI、FB別是F1'2，若I1 12∣ 2I成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率為【解題指南】由∣afi∣,∣FiF2∣,∣FiB∣成等比數(shù)列建立a、C的方程，轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，解方程得e.【解析】〈A、B為左右頂點(diǎn)，勺'勺為左右焦點(diǎn)，所以為λfiI,FF,BF亙【答案】5三、解答題AF1(a-c)(α+c)=4c2成等比數(shù)列，所以7.(2012?廣東高考理科?T20)(本小題滿分14分)=α-cFF12=Ic■,BF1=a+c一，又因Ce=—即a2=5C2，所以離心率 a上+四=1(a>b>0)在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知橢圓C：a2 b2的離心率e=A，且橢圓C上的點(diǎn)到Q(0,2)的距離的最大值為3.(1)求橢圓C的方程;(2)在橢圓C上，是否存在點(diǎn)M(m,n)使得直線l：mx+ny=1與圓O：χ2+y2=l相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且AOAB的面積最大？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及相對(duì)應(yīng)的AOAB的面積；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解題指南】(1)根據(jù)題意可知〃’2, ,,b+2=3,a2=b2+C23 從而可解出a,b的值。問題得解.（2）先求出原點(diǎn)到直線l的距離.再利用圓的弦長公式求出|AB|的長，進(jìn)而求出S JABId=Vm2+n2一1NOAB2 m2+n2,再根據(jù)M(m,n)在橢圓上m2 m2——+n2=1即n2=1一——3因而,從而確定出m的值，n的值。問題得解.122,C,,,3—=∣l—,b+2=3,又a2=b2+C2,，b=1,a=√'3,C=√2【解析】（1）由題意得a、'3X2 1一+y2=1橢圓C的方程為3(2)假設(shè)存在，設(shè)原點(diǎn)到直線l:mx+ny=1的距離為d,d=-=L則2+n2IABl=2口=2心2+〃2-1Vm2+m2,S=1|ABS=Om-n2TAOAB2 m2+n2???M(m,n)在橢圓上，m2 m2+n2=1即n2=1——33,SAOAB1+—m2312m2當(dāng)且僅當(dāng)33 1m2=—,n2=一即2 2,M（士等空或M（土受亭此時(shí)(S)AAOBmax126√2 6 J2 6√2 6M(―,二)或M(——,——)M(——,二)或M(―

顯然存在這點(diǎn)的點(diǎn) 22 2 2或22 2-女.…2,使AAOB的最大，1最大值為2.X28.（2012?廣東高考文科?T20）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓「一+??ɑ.a2b21：=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為勺（T,0）,且點(diǎn)PQI）在C1.C求橢圓C1的方程；設(shè)直線l同時(shí)與橢圓C1和拋物線C2:y2=4X相切，求直線l的方程.【解題指南】（1）根據(jù)題意可知C=1,b=1從而可解出a的值，問題得解.（2）由題意得直線的斜率一定存在且不為0,設(shè)出直線方程分別與橢圓方程和拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓和拋物線相切時(shí)滿足判別式等于0,可求得直線l的方程.【解析】（1）由題意得'"I/"IM'X2, .CV+y2=1橢圓CI的方程為2（2）由題意得：直線的斜率一定存在且不為0,設(shè)直線l方程）=kx+mX2. 1—+y2=1因?yàn)闄E圓C的方程為2y=kx+mx2—+y2=1 ”…、八、'A、2 消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0直線l與橢圓C1相切，'A=16"m4(2"+1)(2ZTt2)°.即2"τn+1°(I)直線l與拋物線C2:y2=4X相切，則y=kx+m〔y2=4x消去,得k2X2+(2km-4)X+m2=0 ,A=(2km一4)-4k2m2=0 km=1…(2)即k=?--,m=√2;k=由(1)(2)解得2在m=-\/2.2y=mx+①,y=—在x—立所以直線l的方程 2 29.（2012?陜西高考文科?丁20）與（2012?陜西高考理科?T19）相同X2+2=1已知橢圓C1:T+^=，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率.（I）求橢圓C2的方程;（II）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A,8分別在橢圓C1和C2上，0B=2On，求直線AB的方程.【解題指南】（1）根據(jù)已知橢圓方程求出長軸、短軸、焦距等值即可求C2的方程；（2）設(shè)而不求的方法表示A、B的坐標(biāo)，分析向量的關(guān)系，確定直線AB的特殊性，然后求直線AB的斜率是關(guān)鍵.y2x2H =1【解析】（1）由已知可設(shè)橢圓C2的方程為a24√3（α>2）,其離心率為2,Sa2-4 √3故a2，則a=4,故橢圓C2的方程為16（II）（解法一）A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為（XA，yA）,（>y/，由0B=20A及（I）知，O,A,B三點(diǎn)共￡x2 Y+—=14線且點(diǎn)a,B不在丁軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為》二依，X21 4—+W=1 χ2 將y=近代入橢圓方程4 得(1+44k)χ2=4，所以A 1+4k2,y2+x2=1 X2=16將y=kx代入164 中，得(4+k2)x2=16，所以B4+k2,_, _, 16 16又由O=2OA得xJ=4XA2，即4+k2-1+4k2，解得k=±1,故直線AB的方程為y=X或y=T.(解法二)A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別記為(xA?A)，(XB?B)，由oB=2oa及(I)知，O,A,8三點(diǎn)共線且點(diǎn)A,B不在y軸上，因此可設(shè)直線AB的方程為y=kx,X2+將y