光學變換矩陣

光學諧振腔理論研究的基本問題是：光頻電磁場在腔內(nèi)的傳輸規(guī)律：從數(shù)學上講是求解電磁場方程的本征函數(shù)和本征值。曲于開放式光腔側(cè)面不具有確定的邊界,一般情況下，不能在給定邊界條件下對經(jīng)典電磁場理論中的波動方程嚴格求解。因此，常采用一些近似方法來處理光腔問題。1?光學諧振腔采用的分析理論.幾何光學理論忽略反射鏡邊緣衍射效應，將光看成光線，將兒何光線和激光束在光腔內(nèi)的往返傳播行為用一個變換矩陣來描寫，從而推導出諧振腔的穩(wěn)定性條件。此方法中，不同模式的光波按照傳輸方向來區(qū)分。特點：簡便、直觀、規(guī)范、易于計算。缺點：粗略、不能得到腔的衍射損耗、不能對腔模特性進行深入分析。.衍射光學理論衍射效應明顯，從波動光學的菲涅耳-基爾霍夫衍射積分理論出發(fā)，建立一個描述光學諧振腔模式特性的本征積分方程。不同模式的光波按照光場縱向和橫向分布、損耗、諧振頻率來區(qū)分。特點：比較精確、原則上可以求得任意光腔的模式。缺點：對于腔鏡兒何尺寸有限的情況，迄今只對對稱共焦腔求出了解析解。本節(jié)課主要討論利用兒何光學的光線矩陣分析方法，根據(jù)開腔中光的兒何偏折損耗的高低，對開腔加以科學的分類。2?光學變換矩陣的定義光學變換矩陣是指傍軸光線通過光學元件后，描述其傳播特性的參數(shù)發(fā)生變化的矩陣表達方法。rJ7z傍軸光域通過光學系統(tǒng)傳播的示意圖傍軸條件：光線與光軸夾角&T0，則有。光線傳播特性的參數(shù)：任何一條傍軸光線在某一給定橫截面內(nèi)都可以用兩個坐標參數(shù)來表征：一個是光線離軸線的距離r,稱為位置坐標，另一個是光線與軸線之間的夾角0,稱為方向坐標。規(guī)定如下的符號規(guī)則：（1） 光線位置在軸線上方時距離r取正值，在軸線下方時取負值。（2） 光線出射方向向上時0取正值，出射方向向下時取負值。（3） 將兩個坐標值組成的列向量稱為光線在某一截面處的坐標向量。re通過光學元件后，坐標向量的變化可用下邊的矩陣形式表示:為光學元件的入射是個為光學元件的入射是個2X2階矩陣。M為該光學元件的光學變換矩陣，M=［3?典型光學系統(tǒng)的光學變換矩陣D自由空間的光學變換矩陣設光線出發(fā)時坐標為（打，傳播L距離后變?yōu)锧，2）。容易得到卩2=，i+llanq傍軸光線eq寫成矩陣表達形式為：=傳AH?距離的光學變換矩內(nèi)圖因此，自山空間傳播L傳AH?距離的光學變換矩內(nèi)圖ri厶］M=01

2）球面反射鏡的光學變換矩陣凹面反射鏡，設入射光線在鏡面上的坐標為（人0）,出射光線在鏡面上的坐標為仇,2）O如圖所示，O為反射鏡面曲率中心，A為光線入（反）射點，0A為曲率半徑R,B為鏡面中心，OB為鏡面軸線，a為入射或反射線與A點處鏡面法線間夾角，B為所對圓心角。由圖可寫出：=a+ —2=q+2a傍軸近似條件下，0為：a斤_2=q+2&=q+2（0_q）=20_q=2萬_&】0.=-2丄+G°R*J斤=曠2j&2=-2十+4得到球面反射鏡的光學變換矩陣為:0得到球面反射鏡的光學變換矩陣為:0_1_2_

「示眾所周知，球面鏡的焦距，即焦點到鏡面頂點的距離等于鏡面曲率半徑的一半，/e=2F,球面反射鏡的光學變換矩陣也可以用焦距F表示為：10M= 1--1LF此式還可以作為透鏡的光學變換矩陣用，這是因為透鏡和面鏡對光線的變換規(guī)律是一樣的，只不過面鏡是反光鏡、而透鏡是折射光而已。其中，凸透鏡與凹面鏡都是對光起會聚作用的，因此，它們的焦距都為正；凹透鏡與凸面鏡都是對光起發(fā)散作用的，因此，它們的焦距都為負。3）共軸球面諧振腔M1 M2如圖所示，a.設光線從Mi反射鏡出發(fā)，坐標為b?到達反射鏡⑷,其坐標為變換矩陣為*M1 M2"[:I

10'

丄1R、C.經(jīng)過M2反射鏡的反射，坐標變?yōu)椋?；］，變換矩陣為M廠d.乂直線傳播L距離，回到Mi反射鏡，坐標變?yōu)椋?；?變換矩陣為10'

丄1R、因此，光線在腔內(nèi)往返一周的總的變換矩陣應是：10A!R、10-11L10-11L呂.L12Lr2B=2L(1-料I K.Cd_2(丄+丄)R\R°R］R*&心&如果光線在球面諧振腔內(nèi)往返n次，則它的光學變換矩陣就應該是往返矩陣M的n次方，按照矩陣理論：Mn一人1Asin^-sin(n-l)^—Bsinn(pLflsin。Csinn(pDsin〃0_sin(〃-1)0式中，(p=arccos-(A+D)M"稱為n次往返矩陣。若用闇表示初始出發(fā)時的光線坐標，即表示經(jīng)過n次往返后的光線坐標，則有 * ”&2=C/+D角.例：入射光線坐標”=4胡=0?1〃幾求通過曲率半徑為R=0?2m的凹面反射鏡后的光線坐標。解：反射前坐標向量