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二次根式的有關(guān)概念及性質(zhì)
二次根式的概念及性質(zhì)一、二次根式的概念:1.二次根式:形如$\sqrt{a}$($a\geq0$)的式子。2.最簡二次根式:滿足以下兩個條件的二次根式稱為最簡二次根式:(1)被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù),因式是整式;(2)被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。例如,$\sqrt{4}$含有可開得盡方的因數(shù)4,不是最簡二次根式;而$\sqrt{5}$、$\sqrt{x}$都是最簡二次根式。3.同類二次根式:幾個二次根式化成最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,這幾個二次根式就是同類二次根式。例如,$\sqrt{2}$、$2\sqrt{2}$、$\sqrt{18}$就是同類二次根式。4.有理化因式:兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘,如果它們的積不含有二次根式,則稱這兩個代數(shù)式互為有理化因式。例如,$(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)=2-1=1$是有理化因式。二、二次根式的性質(zhì):1.非負數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個數(shù),即:$(\sqrt{a})^2=a$($a\geq0$)。2.非負數(shù)的算術(shù)平方根是非負數(shù),即$\sqrt{a}\geq0$($a\geq0$)。3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于該數(shù)的絕對值,即$\sqrt{a^2}=|a|$。4.非負數(shù)的積的算術(shù)平方根等于各因式的算術(shù)平方根的積,即$\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt$($a\geq0,b\geq0$)。5.非負數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根,即$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$($a\geq0,b>0$)。三、例題:例1.求$x$的取值范圍,使得以下各式有意義:(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$;(2)$\sqrt{x^2+3}$;(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$;(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$;(5)$\sqrt{4-x^2}$;(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$。解:這是一組考察二次根式基本概念的問題,要弄清每一個數(shù)學(xué)表達式的含義,根據(jù)分式和根式成立的條件去解,即要考慮到分式的分母不能為零,偶次根號下被開方數(shù)要大于或等于零。(1)$\frac{1}{\sqrt{6-x}}$有意義當且僅當$6-x>0$,即$x\leq6$。(2)$\sqrt{x^2+3}$對于任意實數(shù)$x$都有意義。(3)$\frac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{3-x}}$有意義當且僅當$x<3$且$x\neq-3$。(4)$\sqrt{2x-1}+\sqrt{x-1}$有意義當且僅當$2x-1\geq0$且$x-1\geq0$,即$x\geq\frac{1}{2}$。(5)$\sqrt{4-x^2}$有意義當且僅當$-2\leqx\leq2$。(6)$\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-x}$有意義當且僅當$2\leqx\leq5$。例2.寫出下列各等式成立的條件:(1)$\sqrt{3x}=-3x$;(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$;(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$;(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$;(5)$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$。解:本題考察算術(shù)平方根的概念及二次根式的性質(zhì)。(1)$\sqrt{3x}=-3x$有意義當且僅當$3x\geq0$且$-3x\geq0$,即$x=0$。(2)$\sqrt{m^2n^2}=mn$對于任意實數(shù)$m,n$都成立。(3)$\sqrt{2a+1}=1+2a$有意義當且僅當$2a+1\geq0$且$1+2a\geq0$,即$a\geq-\frac{1}{2}$。(4)$\sqrt{a^2b^2}=ab$對于任意實數(shù)$a,b$都成立。(5)$\sqrt{\frac{a}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt}$有意義當且僅當$a\geq0$且$b>0$。成立,隱含m≥0,因此有1+2a≥0,即a≥-1/2。(4)根據(jù)題意可得x=±1。(5)由等式兩邊同時乘以-1可得|2-x|-|x+5|=7-x。因此只有當|x+5|=x+5,|2-x|=x-2時才成立,即x≥2。例3.化簡下列各式:(1)π-3(2)a2(m<0)=-a2(3)2-x(x>2)(4)|3x-1|(6)當x≥0時,原式為-2xy,當x<0時,原式為2xy。(7)根據(jù)|x+1|+|4-x|=|x-(-1)|+|x-4|的性質(zhì),將x的取值分成三段來討論,當x≤-1時,原式為3-2x;當-1<x<4時,原式為5;當x≥4時,原式為2x-3。例4.把根號外的因式移至根號內(nèi):(1)2=√2×√1;(2)-5=-√5×√1;(3)m(m≥0)=√m×√m;(4)x(x
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