隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征課件

關(guān)于隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征第1頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三為什么要引入隨機(jī)變量的概念1.很多隨機(jī)試驗(yàn)，其結(jié)果可以直接用數(shù)值表示。例如：產(chǎn)品抽檢中出現(xiàn)的次品數(shù)，測(cè)量物體長度產(chǎn)生的誤差等。2.有些試驗(yàn)其結(jié)果看起來與數(shù)值沒有直接的關(guān)系，但是我們可以人為的賦予他們“關(guān)系”。例如：拋硬幣的試驗(yàn)第2頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三這個(gè)試驗(yàn)有2個(gè)可能的結(jié)果:正面,反面。為了討論的方便，引入變量X，當(dāng)正面出現(xiàn)時(shí)，取X=1，當(dāng)反面出現(xiàn)時(shí)，取X=0，這樣，X隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，即X可以看成是定義在樣本空間上的函數(shù)第3頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三一、隨機(jī)變量（random

variable）的概念

§2.1隨機(jī)變量1、含義：用來表示隨機(jī)現(xiàn)象結(jié)果的變量。①樣本點(diǎn)本身是用數(shù)量表示的；②樣本點(diǎn)本身不是用數(shù)量表示的?？傊?，不管隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果是否具有數(shù)量的性質(zhì)，都可以建立一個(gè)樣本空間和實(shí)數(shù)空間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使之與數(shù)值建立聯(lián)系，用隨機(jī)變量的取值來表示事件。

2、定義：定義在樣本空間Ω＝｛ω｝上的實(shí)值函數(shù)X＝X(ω)稱為隨機(jī)變量，常用大寫英文字母或小寫希臘字母來表示，相應(yīng)地，用小寫英文字母表示其取值。HT第4頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三隨機(jī)變量的特點(diǎn):

（1）X的全部可能取值是互斥且完備的。（2）X的部分可能取值描述隨機(jī)事件。

注：①隨機(jī)變量是樣本點(diǎn)的函數(shù)，其函數(shù)值是實(shí)數(shù)，但自變量（樣本點(diǎn)）不一定是實(shí)數(shù)。②與微積分中的變量不同，還存在其取值的概率的問題。（分布）第5頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二、隨機(jī)變量的實(shí)例解：樣本點(diǎn)如圖所示共有10個(gè)不同的樣本點(diǎn)例1引入適當(dāng)?shù)碾S機(jī)變量描述下列事件：將3個(gè)球隨機(jī)地放入三個(gè)格子中，事件A={有1個(gè)空格}，B={有2個(gè)空格}，C={全有球}。第6頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三記X表示“空格個(gè)數(shù)”，則有第7頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三三、關(guān)于隨機(jī)變量的補(bǔ)充說明

隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，在試驗(yàn)之前，只能知道它可能取值的范圍，但不能預(yù)先知道它取哪個(gè)（些）值；隨機(jī)試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)有一定的概率，因此隨機(jī)變量取某個(gè)（些）值也有一定的概率。第8頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三隨機(jī)變量的分類：其他（混合型）連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量第9頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三§2.2離散型隨機(jī)變量的概率分布一、離散型隨機(jī)變量及概率分布XP第10頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例1擲兩顆骰子，觀察其點(diǎn)數(shù)，記X為點(diǎn)數(shù)之和，Y為6點(diǎn)的個(gè)數(shù)，Z為最大點(diǎn)數(shù)，求X、Y、Z的概率分布。Ω含有36個(gè)樣本點(diǎn).……分析：樣本空間是什么？隨機(jī)變量的取值范圍是什么？第11頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三……XPYPZP第12頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三求分布律的一般步驟確定樣本空間。確定隨機(jī)變量的可能取值。確定隨機(jī)變量的每個(gè)取值所對(duì)應(yīng)的事件。求出每個(gè)事件的概率。列出表格或?qū)懗鲆话愕母怕时磉_(dá)式。求分布律中的概率時(shí)，關(guān)鍵在于必須把隨機(jī)變量的取值對(duì)應(yīng)到樣本空間中的具體事件。第13頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三分布律的基本性質(zhì)①非負(fù)性：

②正則性：

這兩條性質(zhì)也是隨機(jī)變量分布律的充要條件。第14頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二、常用離散分布1、0－1分布X01P1-pp

隨機(jī)變量只有兩個(gè)取值的分布稱為兩點(diǎn)分布；特別地，若其取值為0和1，稱之為0－1分布。例2一批產(chǎn)品的廢品率為5%，從中任意取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量X描述廢品出現(xiàn)的情況，即X的分布。第15頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三用X=1表示產(chǎn)品為廢品，X=0表示產(chǎn)品為合格品，則X01P95%

5%2、二項(xiàng)分布（Binominaldistribution）定義：在

n重Bernoulli試驗(yàn)中，若以X記事件發(fā)生的次數(shù)，則X為一隨機(jī)變量，且其可能取值為X=0,1,2,……，n.其對(duì)應(yīng)的概率由二項(xiàng)概率給出：第16頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例3

某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4,求最近6天內(nèi)用水量正常的天數(shù)的分布。X0123456P0.00020.00440.03300.13180.29660.35600.1780第17頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三3、泊松分布第18頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三補(bǔ)充說明單位時(shí)間內(nèi)電話總機(jī)接到用戶的呼喚次數(shù)、電路受到的電磁波的沖擊次數(shù)；一平方米內(nèi)玻璃上的氣泡數(shù)；一鑄件上的沙眼數(shù)等隨機(jī)變量都服從泊松分布。二項(xiàng)分布和泊松分布都是非常重要常用的離散分布.在n重的貝努利試驗(yàn)中，某個(gè)事件在n次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)服從的是二項(xiàng)分布.其特點(diǎn)是只知次數(shù)，不知位置.二項(xiàng)分布在某個(gè)取值處概率達(dá)到最大.第19頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系：——泊松定理

二項(xiàng)概率可以用泊松分布的概率來近似，n越大，近似程度越高，該定理解決了二項(xiàng)概率的近似計(jì)算問題。第20頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例4已知某種疾病的發(fā)病率為0.001，某單位共有5000人，問該單位患有這種疾病的人數(shù)不超過5人的概率是多少？解：設(shè)患病人數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布B(5000,0.001).n=5000,p=0.001.概率可利用泊松分布近似計(jì)算。直接查表可得，見P294，λ＝5，k=0－5.第21頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三4、幾何分布（Geometricdistribution）特殊性質(zhì)——無記憶性定義：在Bernoulli試驗(yàn)中，記p

為事件A在一次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率，X為首次出現(xiàn)A時(shí)的試驗(yàn)次數(shù)，則X的可能取值為1，2，…，稱X的分布為幾何分布，記為X～Ge(p).其分布律為第22頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三5、超幾何分布

設(shè)N個(gè)元素分為兩類，有N1個(gè)屬于第一類，N2屬于第二類（N1+N2=N)，從中任取n個(gè)，令X表示取到的第一（二）類元素的個(gè)數(shù)，則X的分布稱為超幾何分布。

當(dāng)N很大，n相對(duì)于N較小時(shí)，超幾何分布可用二項(xiàng)分布來近似計(jì)算，不放回抽樣可近似看成有放回抽樣，這一結(jié)論在實(shí)際工作中往往可使問題變得簡單。第23頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三

為了方便地表示隨機(jī)事件的概率及其運(yùn)算，我們引入了分布函數(shù)的概念。一、分布函數(shù)（distributionfunction）的定義§2.3隨機(jī)變量的分布函數(shù)第24頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三

注：（1）分布函數(shù)表示的是隨機(jī)事件的概率。（2）分布函數(shù)與微積分中的函數(shù)沒有區(qū)別。第25頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二、分布函數(shù)的性質(zhì)注：以上三條是分布函數(shù)的基本性質(zhì)，也是分布函數(shù)的充要條件。

第26頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三三、舉例例1一袋中裝有依次標(biāo)著數(shù)字-1，2，2，2，3，3的6個(gè)球，從袋中隨機(jī)取出一個(gè)球。記X為取出的球上的數(shù)字，求X的分布函數(shù)。解：X的可能取值有-1，2，3.且有第27頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三該分布函數(shù)的圖形如下:注：分布函數(shù)是概率的累加。第28頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三四、離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)由分布律可以寫出其分布函數(shù)

10它的圖形是有限（或無窮）級(jí)數(shù)的階梯函數(shù)〔右連續(xù)〕

在X的取正概率的點(diǎn)xk處有跳躍，躍度為概率pk.第29頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三解：X的可能取值為1，2，3.且例2一個(gè)袋中有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5.從中任取3個(gè)，以X表示取出球的最小號(hào)碼，求X的分布律與分布函數(shù)。注：計(jì)算概率時(shí)，必須明確相應(yīng)的具體事件是什么。第30頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三X的分布律為

X123

P0.60.30.1X的分布函數(shù)為思考：如何由分布函數(shù)求分布律？第31頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三分析：由分布律與分布函數(shù)的關(guān)系，考慮X的可能取值有哪些？第32頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布定義：設(shè)X是隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)是它的分布函數(shù)，若存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使得對(duì)任意的x∈R

，有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，F(xiàn)(x)為X的分布密度函數(shù)。注：分布函數(shù)表示在x

處的累積概率，把其導(dǎo)數(shù)稱為概率密度是非常合理的。一、連續(xù)型隨機(jī)變量的定義及性質(zhì)稱f(x)為X的概率密度函數(shù)第33頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三概率密度的性質(zhì)（充要條件）：非負(fù)性：正則性：概率密度在概率計(jì)算中的應(yīng)用：注：（2）式中的區(qū)間可以是開（閉或半開）區(qū)間。第34頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三幾個(gè)重要結(jié)論(4)對(duì)于連續(xù)型r.v.,不必“點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較”，而對(duì)離散型r.v.,則要“點(diǎn)點(diǎn)計(jì)較”。第35頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三密度函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系：1由分布函數(shù)求密度函數(shù)比較簡單，下面考慮如何由密度函數(shù)來求分布函數(shù).第36頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例1.設(shè)隨機(jī)變量X密度函數(shù)為

求常數(shù)c和分布函數(shù).第37頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下：1-11-11第38頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三求：1.c的值；2.P(-1<X<1)；3.X的分布函數(shù).解：1.利用正則性例2設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為第39頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三注意隨機(jī)變量的可能取值，不能機(jī)械地套公式，簡單地在積分上、下限上取∞.二、常用連續(xù)分布1、均勻分布（Uniformdistribution）第40頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三均勻分布的密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形：ab1ab均勻分布的概率計(jì)算：第41頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例3設(shè)X服從(0,10)上的均勻分布，現(xiàn)對(duì)X進(jìn)行4次獨(dú)立觀察，求至少3次觀測(cè)值大于5的概率。分析：除了X之外，本題還有一個(gè)隨機(jī)變量——觀測(cè)值大于5的次數(shù)，記為Y.二項(xiàng)分布，第42頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三

某公共汽車站從早晨7：00起，每隔15min來一趟車,一乘客在7：00到7：30之間隨機(jī)到達(dá)，求（1）該乘客等候不到5min乘上車的概率；（2）該乘客等候時(shí)間超過10min才乘上車的概率。注：均勻分布與幾何概型關(guān)系“密切”。練習(xí)第43頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三2、指數(shù)分布(Exponontialdistribution)密度函數(shù)的圖形為：其分布函數(shù)為：注：與幾何分布類似，指數(shù)分布也具有無記憶性。第44頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例4設(shè)打一次電話所需要的時(shí)間(單位：分鐘)服從參數(shù)為0.2的指數(shù)分布。如果剛好有人在你前面走進(jìn)電話亭，并立即開始打電話，求你將等待：1、超過5分鐘的概率；2、5分鐘至10分鐘的概率.指數(shù)分布在實(shí)際中有著重要的應(yīng)用。如一些“東西”的壽命服從指數(shù)分布、隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時(shí)間也服從指數(shù)分布等。第45頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三3、正態(tài)分布（Normal/Gaussiandistribution）密度函數(shù)圖形如下密度函數(shù)關(guān)于x=μ對(duì)稱.分布函數(shù)為：第46頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布其密度函數(shù)為：0.51第47頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三正態(tài)分布概率的計(jì)算：第48頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第49頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化問題：對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，如何通過查表求相關(guān)概率？通過等價(jià)事件轉(zhuǎn)化為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量。第50頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第51頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例7某地區(qū)抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的外語成績X～，且96分以上的考生占總?cè)藬?shù)的2.3％。求考生成績?cè)?0分至84分之間的概率。第52頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三

定義設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能值x集合上的函數(shù),對(duì)X的每一可能取值x,有唯一的y=f(x)與之對(duì)應(yīng),Y是y的集合,則Y是一個(gè)隨機(jī)變量,稱Y為X的函數(shù),記作Y=f(X).問題:若X的分布已知,如何求Y的分布？§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布第53頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布第54頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例1已知X的分布律如下：解：第55頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三整理，得第56頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布1、公式法注意該定理的適用條件?！猤(x)嚴(yán)格單調(diào)第57頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三定理的證明:第58頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第59頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第60頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三補(bǔ)充說明:第61頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三2、分布函數(shù)法——g(x)為任意形式（1）先確定Y的可能取值范圍，（2）在Y的可能取值范圍內(nèi)，求出其分布函數(shù)。（3）在Y的可能取值范圍內(nèi)，求其密度函數(shù)。（4）在實(shí)數(shù)區(qū)間內(nèi)，表示出Y的密度函數(shù)。萬能法第62頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例4設(shè)X服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布,求Y=X2的密函數(shù).第63頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)：設(shè)X的密度函數(shù)是fX(x),Y=4X-1,求Y的密度函數(shù).第64頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三§2.6隨機(jī)變量的數(shù)字特征一、為什么要引入隨機(jī)變量的數(shù)字特征1.實(shí)際中，有些隨機(jī)變量的分布不易求。二、幾個(gè)常用的特征指標(biāo)數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、矩2.有些實(shí)際問題往往對(duì)隨機(jī)變量的分布不感興趣，只對(duì)隨機(jī)變量的幾個(gè)特征指標(biāo)感興趣。第65頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三一、數(shù)學(xué)期望例1〔分賭本問題〕甲、乙兩個(gè)賭徒賭技相同，各出賭注50元，每局無平局，且約定：先贏三局者得到全部賭本100元。當(dāng)甲贏了兩局，乙贏了一局時(shí)，因故要中止賭博，問這100元的賭本應(yīng)如何分配才合理？乙勝甲輸甲勝乙輸乙勝甲輸甲勝乙輸甲勝的概率為：?.分析：假設(shè)賭博繼續(xù)下去，其可能結(jié)果如下：1、數(shù)學(xué)期望的引入第66頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三設(shè)甲得到的賭本為X，則X的分布律為甲勝的概率為：?.說明：該問題涉及隨機(jī)變量的分布，且含有均值的意義.甲應(yīng)該獲得賭本的3/4.第67頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三算術(shù)平均與加權(quán)平均問題：如果已知離散型隨機(jī)變量X的分布律如何求X的平均值？第68頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算：隨機(jī)變量的平均值：概率替換頻率第69頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三2、數(shù)學(xué)期望的定義

為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.第70頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三補(bǔ)充說明：加權(quán)平均數(shù)：離散型隨機(jī)變量期望：連續(xù)型隨機(jī)變量期望：頻率概率概率注：期望是均值的推廣或更一般的形式.第71頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例2一批產(chǎn)品中有一、二、三等品、次品及廢品5種，相應(yīng)的概率分別為0.7,0.1,0.1,0.06，0.04，若其價(jià)格分別為6元，5.4元，5元，4元及0元。求產(chǎn)品的平均價(jià)格。XP第72頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第73頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第74頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三3、數(shù)學(xué)期望的運(yùn)算性質(zhì)4、一維隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望線性性質(zhì)第75頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第76頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例4

設(shè)隨機(jī)變量X的分布為解：第77頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為XP第78頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第79頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第80頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三數(shù)學(xué)期望在解決實(shí)際問題中有著非常重要的應(yīng)用，見下面的例子.第81頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例6

購買福利彩票,為簡化假定只有一種獎(jiǎng),即百萬大獎(jiǎng),中獎(jiǎng)率為百萬分之一.每張彩票2元,張某買了一張彩票,問他可以獲益多少元?第82頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三練習(xí):保險(xiǎn)公司設(shè)立汽車盜竊險(xiǎn),參保者交保險(xiǎn)費(fèi)a元,若汽車被盜,公司賠償b元,問b應(yīng)如何定值才能使公司期望獲益?(經(jīng)統(tǒng)計(jì),一年內(nèi)汽車的失竊率為p)第83頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三保險(xiǎn)公司按以上策略經(jīng)營,很可能破產(chǎn)！原因有二：(1)投保者是相對(duì)不安全地區(qū)的車主.——信息不對(duì)稱(2)投保者會(huì)放松對(duì)車的看管.——道德風(fēng)險(xiǎn)它們使投保者中車輛的失竊率p大大提高.第84頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三例7某公司生產(chǎn)的機(jī)器無故障工作時(shí)間X有密度函數(shù)公司每售出一臺(tái)機(jī)器可獲利1600元，若機(jī)器在售出1.2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，這時(shí)每臺(tái)虧損1200元；若在1.2到2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元；若在使用2萬小時(shí)以上出現(xiàn)故障，則用戶自己負(fù)責(zé)。求該公司售出每臺(tái)機(jī)器的平均獲利。第85頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三解決方法：求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.關(guān)鍵：第86頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三則用戶自己負(fù)責(zé)。公司每售出一臺(tái)機(jī)器可獲利1600元，若機(jī)器在售出1.2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以更換，每臺(tái)虧損1200元；若在1.2到2萬小時(shí)之內(nèi)出現(xiàn)故障，則予以維修，由公司負(fù)擔(dān)維修費(fèi)400元；若在使用2萬小時(shí)以上出現(xiàn)故障，第87頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三第88頁，講稿共103頁，2023年5月2日，星期三二、方差與標(biāo)準(zhǔn)差引例1比較甲、乙兩班學(xué)生成績的差異百分比若把兩班成績看作隨機(jī)變量的取值，其分布有什么區(qū)別？隨機(jī)變量