彈簧諧振子課件

為迎接香港回歸，柯受良1997年6月1日駕車飛躍黃河壺口。東岸跑道長265m，柯受良駕車從跑道東端起動，到達跑道終端時速度為150km/h，他隨即以仰角5沖出，飛躍跨度為57m，安全落到西岸木橋上。第1章質點運動學力學：研究機械運動規(guī)律的學科.運動學動力學靜力學：只描述物體的運動，不涉及引起運動和改變運動的原因；：研究物體的運動與物體間相互作用的內在聯系；:研究物體在相互作用下的平衡問題.§1.1

質點運動的描述主要內容：1.質點參考系坐標系2.位置矢量與運動方程3.位移與路程4.速度5.加速度第1章質點運動學1.1.1質點參考系坐標系在所研究的問題中，可忽略形狀和大小的物體xyzOP參照物參考系：參照物+坐標系(1)運動學——參考系可任選。(2)參考物選定后，坐標系可任選。運動形式相同，數學表述不同。(3)常用坐標系直角坐標系（x,y,z

）球坐標系（r,θ,

）柱坐標系（,,z）

自然坐標系

(s)質點：有質量而無形狀和大小。理想模型：突出了物體的質量和位置。意義：簡化問題、研究一般問題的基礎§1.1

質點運動的描述（地球、分子)質點某時刻位置P1.1.2確定質點位置的常用方法與運動方程1.直角坐標法2.位置矢量法由位置矢量表示。位矢的大小為：參考物P(x,y,z)位置矢量的直角坐標表示：位矢的方向：意義：...??3.自然坐標法已知質點的運動軌跡時，用自然坐標法。4.運動方程直角坐標形式自然坐標形式已知運動方程，可求質點運動軌跡、速度和加速度意義:自然坐標：位置矢量形式運動方程構成了對質點運動的完備描述.5.軌跡方程從運動方程中消去參數t

——

得運動軌跡方程。(描述質點位置的)坐標隨時間變化的關系.§1.1

質點運動的描述確定質點位置的常用方法直角坐標形式位置矢量形式自然坐標形式運動方程直角坐標形式自然坐標形式位置矢量形式運動方程構成了對質點運動的完備描述.一質點作勻速率圓周運動，半徑為r，角速度為。建立：直角坐標系OXY

，t=0:質點位于O

點t時刻:質點位于P（x,y）例解求用直角坐標、位矢、自然坐標表示的質點運動方程。+直角坐標表示的運動方程為用位矢表示用自然坐標表示求解hx坐標表示為例如圖所示，以恒定速率v

收繩，繩跨一定滑輪拉湖面上的船，已知繩初始長度l0，岸高

h取坐標系如圖依題意有O船的運動方程總結：確定運動學方程的步驟：（1）建立（參考系）坐標系（2）明確起始條件（3）找出質點坐標隨時間變化的函數關系。1.1.3位移與路程

1.位移在直角坐標系中：注意:1.位移與坐標的選取無關，位置矢量與坐標的選取有關。(描述質點位置變化的物理量)OO2.與的區(qū)別.的意義：所以即當Δt→0

時

即

2.路程定義:當Δt很小時近似相等，即質點沿運動軌跡所經過的實際路徑的長度。路程與位移的比較:(1)路程是標量，位移是矢量。(2)位移的大小一般不等于路程。1.1.4速度1.平均速度大小：方向：的方向。2.瞬時速度軌跡的切線方向。（描述物體運動快慢及運動方向的物理量）方向：速度等于位置矢量對時間的一階導數。（回顧）平均速率瞬時速率討論：比較瞬時速度與瞬時速率速度的大?。?瞬時速度的大小)大小：在直角坐標系中根據速度和速率的定義注意意義？O建立坐標系，則

路程速度增量

質點作半徑為R，速率為v

的勻速率圓周運動。試寫出由A點到B點下列各物理量：位移、路程s、速度變化、速度變化的大小

、速率的變化。例解位移

速度增量的大小

速率的增量

運動方程直角坐標形式自然坐標形式位置矢量形式位移速度§1.1

質點運動的描述1.1.5加速度（反映速度變化快慢的物理量）1.平均加速度2.瞬時加速度討論ABO(1)加速度反映速度（矢量）的變化情況。(2)加速度的方向總是指向軌跡曲線凹的一面。ABO討論:速度大小無變化，速度方向無變化時的情況.結論：速度大小的變化和方向的變化討論直角坐標系：大小：總結：AO§1.2

質點運動學的基本問題主要內容：1.運動學第一類問題2.運動學第二類問題1.第一類問題

已知質點的運動方程，求質點在任意時刻的位置，速度和加速度。只要知道運動方程，就可以確定質點在任意時刻的位置、

速度和加速度。——微分問題§1.2

質點運動學的基本問題求解hx例如圖所示，以恒定速率v

收繩，繩跨一定滑輪拉湖面上的船，已知繩初始長度l0，岸高h取坐標系如圖Ot時刻船的速度和加速度。速度加速度討論：.......已知一質點的運動方程為：式中a,b均為正常數。本題屬于運動學第一類問題:例證證明質點的加速度恒指向橢圓中心。求加速度矢量與位矢方向相反，加速度恒指向橢圓中心。質點所受合力？討論：什么情況小球做圓周運動？什么情況小球做橢圓運動？水平光滑桌面水平光滑桌面2.第二類問題已知質點運動的速度或加速度，及初始條件（即t=0時，質點的位置

和速度）?！e分問題求質點的運動方程。解已知求和運動方程。例,t=0時代入初始條件代入初始條件討論：拋物運動？一質點沿x軸作直線運動，已知其加速度初始條件為x0=0,v0=0。例求質點在x位置時的速度。解x關于t的微分方程，作恒等變換分離變量兩邊積分質點速度討論：彈簧諧振子？解

選向下為x軸正向（1）分離變量并兩邊積分一石子從空中由靜止下落。已知，例

石子的速度和運動方程。求式中g為重力加速度，B為大于零的常量。（2）由求運動方程(設t=0

時，x=0)討論：石子下落速度隨時間增長按指數規(guī)律變化；

t→時,v→g/B(常量)，最大速度（收尾速度）。

運動學第二類問題解法總結（以一維運動為例）

初始條件：1.加速度是時間函數若a＝常量

初始條件：2.加速度是坐標函數若a＝常量

初始條件：3.加速度是速度函數①求速度與時間關系②求位置與速度的關系§1.3

拋體運動（自學）主要內容：1.無阻力拋體運動2.阻力與速度(低速)成正比的拋體運動小球從距地面高h處以速度v0沿水平方向拋出，因阻力原因，小球除具重力加速度外，還具有一與速度方向相反的加速度

，

為小球的速度，k為常量。以小球為研究對象，建立如圖所示的坐標系。解例求小球的運動方程初始條件為：t=0時,x=0,y=0,υ0x=υ0,υ0y=0t時刻的加速度為x分離變量，并積分再積分，可得小球運動方程討論：（1）收尾速度？（2）若k=0,情況怎樣？§1.4

自然坐標及自然坐標中的速度、加速度主要內容：1.自然坐標2.勻速率圓周運動中的加速度3.變速率圓周運動中的加速度4.圓周運動的角量描述5.一般曲線運動中的加速度6.自然坐標中的運動學問題自然坐標中質點的運動方程1.4.1自然坐標(平面運動):切向單位矢量,指向自然坐標正向。:法向單位矢量,指向軌跡曲線凹側。自然坐標中的速度：不是恒矢量?！?.4

自然坐標及自然坐標中的速度、加速度注意：（1）自然坐標

s不是路程；（2）說明

v

的物理意義自然坐標中質點的加速度：1.4.2勻速率圓周運動中的加速度的大?。嘿|點作半徑為R,速率為v的勻速圓周運動由幾何關系的方向:當Δt→0時，Δ→0,所以質點作半徑為R勻速圓周運動由幾何關系當Δt→0時，Δ→0,的方向:所以討論：若情況怎樣？第1章質點運動學

確定質點位置的常用方法1.直角坐標法2.位矢法3.自然坐標法

運動方程

位移

速度加速度用直角坐標表示速度和加速度用自然坐標表示平面曲線運動中的速度和加速度xyzOP?1.4.3變速圓周運動中的加速度大小方向為加速度與et之間的夾角切向加速度引起速度大小的變化(什么情況加速？減速？)結論：自然坐標中，變速圓周運動的加速度討論OP法向加速度引起速度方向的變化大小方向1.4.4一般平面曲線運動的加速度

思考題如果質點在運動中切向加速度和法向加速度始終為下列各種情況，質點作何種運動？

1.

，；2.

，；3.

，；4.

，。一質點沿x軸作直線運動，已知其加速度初始條件為x0=0,v0=0。例求質點在x位置時的速度。解x關于t的微分方程，作恒等變換分離變量兩邊積分質點速度和討論：彈簧諧振子？大小方向1.4.4一般平面曲線運動的加速度1.4.5圓周運動的角量描述極坐標、角位置與角位移角坐標對圓周運動：（運動方程)極徑r（運動方程)角位移(逆時針

為正)角速度（描述質點轉動快慢的物理量）描述質點轉動快慢和方向的物理量角加速度（描述轉動角速度變化快慢的物理量）加速（轉動）？勻速？減速？1.4.5圓周運動的角量描述極坐標、角位置與角位移角坐標對圓周運動：（運動方程)極徑r（運動方程)角位移(逆時針

為正)角速度（描述質點轉動快慢的物理量）描述質點轉動快慢和方向的物理量角加速度（描述轉動角速度變化快慢的物理量）加速（轉動）？勻速？減速？角量與線量的關系r+s兩類問題（圓周運動的角量描述）1.第一類問題已知運動學方程，求2.第二類問題已知角加速度和初始條件求β為常量，則勻變速圓周運動勻變速直線運動勻速圓周運動勻速直線運動

法向加速度切線加速度角加速度加速度角速度速度

角位移位移

角位置位置

線量和角量的關系

角量線量

角量與線量的比較1.4.6自然坐標中的運動學問題第一類問題（微分問題）：已知質點運動方程

s=s(t)

，求質點在任意時刻的速度和加速度。第二類問題（積分問題）

：已知質點運動的速率v或切向加速度at，求曲線運動的運動方程s=s(t)

。自然坐標中運動學的兩類問題（已知質點的運動軌跡）：求汽車在t=1s時的加速度。汽車在半徑為200m的水平圓弧形彎道上行駛，發(fā)現路障后司機剎車。若將開始剎車的時刻作為記時起點，則剎車階段汽車的運動方程為。例本題為自然坐標中第一類問題。解切向加速度法向加速度總加速度當t＝1s時t＝1s時，加速度的大小加速度與速度的夾角為一質點作半徑為R的圓周運動，其速度隨時間變化的規(guī)律為，式中v0、b均為正的常量。t=0時，質點位于自然坐標的原點。例求(1)自然坐標中質點的運動方程；(2)當加速度的大小為b時，質點沿圓周運動了幾圈？(1)本題為自然坐標中的第二類問題，根據速度的定義解分離變量

兩邊積分

由解得這時質點運行的圈數為(2)當加速度的大小為b時，質點沿圓周運動了幾圈？說明：運動方向？如圖所示，炮彈的出口速率為v0，發(fā)射角為θ，不計阻力。例(1)任一時刻t的切向加速度at及法向加速度an

；

(2)軌跡最高點的曲率半徑

。

炮彈作拋體運動，建立Oxy坐標解(1)為恒矢量t時刻炮彈速度的分量

求gqv0ryxo任一時刻t的切向加速度法向加速度gqv0ryxo(2)軌跡最高點的曲率任意時刻質點所在處的曲率半徑？

討論：gqv0ryxo§1.5

相對運動不同參考系中的速度和加速度變換主要內容：1.基本參考系與運動參考系2.伽利略坐標變換3.伽利略速度變換1.5.1基本參考系與運動參考系

基本概念·基本參考系s，運動參考系s'

(研究對象)三種運動

s'

系相對于s

系的位移：

P點相對于s'

系的位移：

P點相對于s系的位移：絕對、相對和牽連運動二個考照系（兩參考系做相對平動）一個動點—牽連位移—相對位移—絕對位移不同參考系中的位移關系：§1.5

相對運動1.5.2經典力學中的平動坐標系變換·t

時刻，質點P在兩個不同參考系中位置矢之間的關系不同參考系中的位移關系：不同參考系中的速度關系對速度變換作時間的一階求導，可得加速度變換關系(伽利略變換公式)一個帶篷子的卡車，篷高為h=2m

，當它停在馬路邊時，雨滴可落入車內達

d=1m

，而當它以15km/h

的速率運動時，雨滴恰好不能落入車中。根據速度變換定理畫出矢量圖例解雨滴的速度矢量。求升降機以加速度1.22m/s2

上升，有一螺母自升降機的天花板松落，天花板與升降機的底板相距2.74m

。haO'x'Ox取螺母剛松落為計時零點.

三種加速度為:動點為螺母,取二個坐標系如圖例解螺母自天花板落到底板所需的時間.求船逆流而上，遇一橋時，箱子掉落水中順水漂流，1小時后發(fā)覺，返回追趕，在橋下有5公里處趕上箱子。水流速度（設船相對水的速度恒定）。例解求地面參考系5km流水參考系:箱子靜止，船速恒定。船離開箱子，回追箱子經過路程相同。——回追箱子所用的時間也是1小時。箱子掉入水中后相對于地面運動了5公里，所以水流速度飛機水平飛行，速率為v機。當飛機在導彈正上方且距離為a時，導彈發(fā)射，速率為v彈。導彈追上飛機的時間例求a解以飛機為參考系a連線投影相對于地面，飛機、導彈在水平方向走過距離相同相對于飛機，導彈在連線方向走過距離為a以飛機為參考系a若導彈不具有跟蹤功能，在v恒定的情況下，如何...第1章質點運動學

確定質點位置的常用方法1.直角坐標法2.位矢法3.自然坐標法

運動方程

位移

速度加速度用直角坐標表示速度和加速度用自然坐標表示平面曲線運動