一元二次方程與二次函數(shù)綜合測試題及參考答案

一元二次方程與二次函數(shù)綜合測試題及參考答案

一、選擇題1、設α，β是關于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根，且α<β，則（B）A．αβ＞0B．α+β＜0C．αβ＜0D．α+β＞02、下列命題：①若α=β，則一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；②若a＞0，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根；③若a＜0，則一元二次方程無實數(shù)根；④若α，β互為相反數(shù)，則一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根．其中正確的是（B）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④3、若一次函數(shù)的圖象過第一、三、四象限，則函數(shù)（D）A．有最大值B．有最大值－2C．有最小值D．有最小值－44、已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，它與x軸的兩個交點分別為（﹣1，0），（3，0）．對于下列命題：①b﹣2a=0；②abc＞0；③a﹣2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正確的有（C）A．3個B．2個C．1個D．0個5、關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的兩個實數(shù)根分別是α，β，且α＜β，則a（D）A．1B．12C．13D．25二、填空題6、設α，β是方程x2-2x-3=0的兩根，則代數(shù)式α2+β2=（13）.7、已知關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有一根是1，則m=（-2）.三、計算題8、已知：關于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象過點（2，3），另一個根為4，且a＞0，b＜0，c＞0．（1）求證：方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若方程的一個根是3，求b的值．（1）由題意可得，方程的兩個實數(shù)根為4和α，其中α是方程ax2+bx+c=0的另一個根，且α＜4．因為a＞0，所以開口向上，且頂點坐標為（3，c-a×32-b×3）．因為圖象過點（2，3），所以3a×22+b×2+c=3，即2a+b=1．又因為另一個根為4，所以a×42+b×4+c=0，即16a+4b+c=0．解得a=1/4，b=-1/2，c=7/4．因此，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根．（2）因為一個根是3，所以3α=4×3-α，解得α=6/5．又因為另一個根是4，所以a×42+b×4+c=0，解得b=-c/4-4a=-7/2．因此，b的值為-7/2．9、解方程：2x2-7x+3=0解：2x2-4x-3x+3=0，即2x(x-2)-3(x-1)=0，解得x=1或x=3/2.四、綜合題10、已知關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的兩個整數(shù)根恰好比方程的兩個根都大1，求a的值.設方程的兩個根為α，β，則α-β=2，且α+β=-b/a．解得α=（2-b/a）/2，β=（-2-b/a）/2．因為α，β是整數(shù)，所以b/a是偶數(shù)，即b是2a的倍數(shù)．又因為α，β比方程的兩個根都大1，所以α＞1，β＞1，即（2-b/a）/2＞1，（-2-b/a）/2＞1．解得b/a＜-2，即b＜-2a．因此，a＜-b/2＜b/2＜-b/4＜-b/8＜…＜-2，即a的值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16中的一個．11、如圖：拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，點A的坐標是（1，0），與x軸交于點C．（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）過點C作CP⊥對稱軸于點P，連接BC交對稱軸于點D，連接AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式．（1）因為A（1，0）是拋物線上的點，所以a+b+c=0．因為A，B在對稱軸上，所以對稱軸過AB的中點，即對稱軸為x=1/2．又因為B在拋物線上，所以a×(3/2)2+b×(3/2)+c=0，解得b=-3a/2-c．因此，點B的坐標為（3/2，9a/4-c/2）．（2）因為對稱軸為x=1/2，所以P的坐標為（1/2，h）．因為P在對稱軸上，所以D為對稱軸上的點，即D的坐標為（x，0），其中x為常數(shù)．因為∠BPD=∠BCP，所以∠BPD=∠BAC，即∠CDB=∠BAC．因為CD⊥CP，所以∠CDP=90°，所以∠BDP=∠BDC-∠CDP=∠BAC-90°．因此，∠BPD=∠BAC-90°+∠BAC=2∠BAC-90°．因為∠BCP=∠BPD，所以2∠BAC-90°=∠BCP=arctan(-a)．因為拋物線過點（1，0），所以c=0．因此，a<0．解得∠BAC=arctan(-a)/2+45°．因為∠BAC=arctan(2ah)/2，所以2ah=tan(arctan(-a)/2+45°)．因為P在對稱軸上，所以h=3a/8．因此，拋物線的解析式為y=-2x2+3x-1/8．12、已知關于x的二次函數(shù)y=x2-（2m-1）x+m+3m+4.（1）探究m滿足什么條件時，二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的個數(shù)．因為y=x2-（2m-1）x+m+3m+4，所以二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點的個數(shù)等于方程x2-（2m-1）x+m+3m+4=0的實數(shù)根的個數(shù)．因為方程的判別式為（2m-1）2-4（m+3m+4）=-12m2+2m-15＜0，所以方程無實數(shù)根，即二次函數(shù)y與x軸無交點．（2）設二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，求直線CM的解析式．因為y=x2-（2m-1）x+m+3m+4，所以二次函數(shù)y的圖象與x軸的交點為（2m-1±√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2．因為二次函數(shù)y與x軸無交點，所以（2m-1）2-4（m+3m+4）＜0，解得m＞（1+√61）/12或m＜（1-√61）/12．因為x1＜x2，所以x1=（2m-1-√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2，x2=（2m-1+√（2m-1）2-4（m+3m+4））/2．因為M為拋物線的頂點，所以M的橫坐標為（2m-1）/2，縱坐標為m+3m+4-（2m-1）2/4=m+5/4．因為C為y軸上的點，所以C的坐標為（0，m+3m+4）．因為直線CM垂直于x軸，所以直線CM的解析式為x=（2m-1）/2．13、如圖，已知點A（-1，4），直線y=x+3交x軸于點B，交y軸于點C．（1）求對稱軸平行于y軸，且過三點的拋物線解析式；（2）若直線y=kx+1（k＞0）與拋物線交于兩點，且這兩點的橫坐標之和為2，求k的值．（1）因為點B在直線y=x+3上，所以B的坐標為（-3，0）．因為C在y軸上，所以C的坐標為（0，3）．因為A，B，C三點共線，所以點A關于直線BC的中垂線對稱于點P，點P關于直線BC的中垂線對稱于點Q，且拋物線的頂點在直線PQ上．因為BC的斜率為1，所以BC的中垂線的斜率為-1．因為BC的中點為（-3/2，3/2），所以BC的中垂線的解析式為y=-x/2+3/2．因為點A關于直線BC的中垂線為拋物線的對稱軸，所以拋物線的對稱軸的解析式為x=1/2．因為拋物線的頂點在直線PQ上，所以拋物線的解析式為y=a(x-1/2)2+3，其中a為常數(shù)．因為拋物線過點A，所以a=4/9．因此，對稱軸平行于y軸，且過三點的拋物線的解析式為y=4/9(x+1)2+3.（2）因為直線y=kx+1與拋物線y=4/9(x+1)2+3交于兩點，且這兩點的橫坐標之和為2，所以4/9(x+1)2+3=kx+1，即4/9x2+(8/9-k)x+2=0．因為兩點的橫坐標之和為2，所以x1+x2=2，解得x1x2=2/3．因為k＞0，所以直線y=kx+1與x軸交于點D，且D即=﹣1。②∵它與y軸的交點為（0，﹣2），∴c＜0，又∵對稱軸為x=1，∴b＞0，∴a＞0。綜上所述，①正確，②錯誤。5、C6、D7、B8、C9、D10、B11、C12、A13、A14、D15、(1)解析式為y=﹣x2+5x+4；(2)△ABD的底邊AB的長度為3，頂點D的橫坐標為2，根據(jù)頂點坐標公式可求出D的縱坐標為6，再根據(jù)拋物線解析式可求出A、B兩點坐標，從而求出△ABD的面積；(3)將△AOC繞點C逆時針旋轉90°得到△A'OC，其中A'為A點關于y軸的對稱點，由對稱性質可知，點G也關于y軸對稱于點A'，因此點G在拋物線上。根據(jù)給定的方程，我們可以列出以下四個結論：①b+2a=0，因此該結論是錯誤的。②由于a＞0，所以b＜0，因此abc＜0，該結論是正確的。③根據(jù)b+2a=0，我們可以得到a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a，因為a＞0，所以a﹣2b+4c=﹣4b+4c=﹣4a＜0，因此該結論是正確的。④根據(jù)圖示可知，當x=4時，y＞0，因此16a+4b+c＞0，又由于b=﹣2a，所以8a+c＞0，該結論是正確的。因此，正確的結論是：②③④三個。點評：此題主要考查二次函數(shù)圖像與系數(shù)的關系，關鍵是熟練掌握以下幾個要點：①二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向，當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口；②一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右（簡稱：左同右異）；③常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點，拋物線與y軸交于（0，c）。二、填空題6、17、4三、計算題8、解：（1）對方程進行配方可得x2-2x-3=0，由求根公式可知，x=1+√4=3或x=1-√4=-1，因此方程有兩個不相等的實數(shù)根。（2）設方程的另一個根為y，則根據(jù)韋達定理可得y+3=2，即y=-1，因此方程的兩個根為-1和3，其中-1≤3。9、解：由題意可得|x-2|=3-x，分兩種情況討論：當x-2≥0時，即x≥2時，方程化簡為x-2=3-x，解得x=5/2；當x-2＜0時，即x＜2時，方程化簡為2-x=3-x，解得x=-1，因此方程的解集為{x|-1≤x≤5/2}。四、綜合題10、設方程的兩個根為m和n，其中m為整數(shù)，且m≤n≤m+2，則根據(jù)韋達定理可得m+n=-b/a，mn=c/a，因此m和n是方程x2+bx+c=0的兩個根，根據(jù)題意可得：m+n=4/3，mn=1/3將m+n和mn的值代入上面的式子可得：m2+2/3m-1/3=0解得m=1或m=﹣1/2，因此方程的兩個根為1和﹣1/2，或者2和﹣1，因此答案為或29。11、解：（1）由于點A（1，﹣2）在對稱軸上，點B關于x=2對稱，因此點B的坐標為（3，﹣2）。（2）設點C的坐標為（x，y），則由于AB=2，因此CP⊥對稱軸于P，且CP∥AB，因此四邊形ABPC是平行四邊形，因此BC=AP=2，而AC=√((x-1)2+y2)，BP=√((x-3)2+y2)，因此根據(jù)余弦定理可得：cos∠BPC=(4-y2)/4cos∠APC=(4-(x-1)2-y2)/4因為∠BPC=∠APC，所以有：4-y2=4-(x-1)2-y2解得x=2y-3，因此點C的坐標為（2y-3，y）。又因為CP⊥對稱軸于P，所以y=﹣2/3，因此點C的坐標為（﹣5/3，﹣2/3）。因此直線CP的解析式為y=﹣2x/3-4/3，而直線AB的解析式為y=﹣2，因此直線CP和直線AB的交點為（1/3，﹣2）。由于直線CP和對稱軸的交點在x=2的右側，因此直線CP在x=2的右側，因此所求點的橫坐標大于2，因此所求點為（5/3，﹣2/3）。又因為點P在直線y=﹣2x/3-4/3上，因此有：﹣2/3=﹣2(5/3)/3-4/3+1解得a=2，因此所求直線的解析式為y=2x-8。文章存在的格式錯誤已經被刪除。以下是改寫后的文章：2212、解：(1)令y=0，得到方程x-(2m-1)x+m+3m+4=0當Δ>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，即x1=(-2m-5)/2，x2=1/(-2m+4)。此時，y的圖像與x軸有兩個交點。當Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根，即x1=x2=-3/2。此時，y的圖像與x軸只有一個交點。當Δ<0時，方程沒有實數(shù)根。此時，y的圖像與x軸沒有交點。綜上所述，當m<-5/16時，y的圖像與x軸有兩個交點；當m=-5/16時，y的圖像與x軸只有一個交點；當m>-5/16時，y的圖像與x軸沒有交點。(2)由根與系數(shù)的關系得x1+x2=2m-1，x1x2=m+3m+4所以，x1+x2=2m-1，x1x2=2m-10m-7因此，x1+x2=5，x1x2=-7解得：m1=6，m2=-1因此，y=x^2+3x+2令x=0，得y=2，因此二次函數(shù)y的圖像與y軸的交點C坐標為（0，2）又y=x^2+3x+2=(x+2)^2-2，因此頂點M的坐標為（-2，-2）設過C（0，2）與M（-2，-2）的直線解析式為y=kx+b則2=b，2=-2k+b，因此b=2，k=1因此所求的解析式為y=x+213、解：(1)直線交軸于點A（2，0），交軸于點B（0，-2）由此，得點C坐標為（-2，-4），點D坐標為（-4，0）由于拋物線過A（2，0）和D（-4，0），因此可設拋物線解析式為y=a(x-2)(x+4)∵拋物線過點B（0，-2），∴-2=a(-2)(4)，∴a=1/4∴拋物線解析式為y=1/4(x-2)(x+4)(2)過點A（2，0）作直線l，與拋物線交于點E∵l平分CD，∴CE=ED=2∴E坐標為（-1，-1/2）設l的解析式為y=kx+b∴0=2k+b，-2=-8k+b，解得k=1/2，b=-1∴直線l的解析式為y=1/2x-1(3)設兩點的橫坐標分別為a和b由題意知，ab是方程y=x^2-4x+3的兩根，則a+b=4，ab=3∵(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，∴a^2+b^2=10∴當a=1，b=3時，以EF為邊的正方形的面積為9。14、(1)令y=x^2-2mx+m^2+2m-1，得y=(x-m)^2+m^2-m-1令y=0，得(x-m)^2=m+1-m^2令Δ=m^2-4m-4，當Δ≥0時，方程有實數(shù)解∴m≤2-√5或m≥2+√5(2)如圖，ABCD是正方形，E為對角線AC上的點，F(xiàn)為對角線BD上的點∵ABCD是正方形，∴AE=EC=CD=DF=x，∠AED=45°∴ED=AE√2=x√2，EF=2x設BE=y，則DE=2x-y∵BE^2+DE^2=BD^2，∴y^2+(2x-y)^2=4x^2∴y^2-2xy+2x^2=0，∴y=x±x√2∴EF=2x=2x(1+√2)或2x(1-√2)∴EF的最小值為2x(1-√2)=7解得x=7/(2(3+2√2))，∴EF的最小值為7。(3)設∠EAB=∠CBD=x，則∠ABC=45°-x，∠ACB=45°+x∴tan∠ABC=(1-tanx)/(1+tanx)，tan∠ACB=(1+tanx)/(1-tanx)∴tan∠ABCtan∠ACB=-1，∴tan^2x=1/2∴tanx=1/√2，∴x=π/8設BC=a，則AB=a√2，∴a^2+a^2=9，∴a=√2設O為正方形ABCD的中心，∴∠AOC=45°∴tan∠AOC=1，∴OC=√2設∠EOF=θ，則∠EOC=π/4-θ∴tan∠EOF=tan(π/4-θ)=1-tanθ/(1+tanθ)∴tan∠EOFtan∠EOC=-1，∴tanθ=1/3設EF=b，則tan∠EOF=b/OC=√2b/2，∴b=2√2/9∴正方形ABCD內切圓的半徑為b/2=√2/9。(1)在矩形OCEF中，已知OF和EF的長度，我們可以先確定點C和點E的坐標，然后利用待定系數(shù)法來確定函數(shù)的解析式。(2)根據(jù)上一步得到的函數(shù)解析式，我們可以求出點A、點B和點D的坐標。通過將線段AB作為底邊，以點D的縱坐標的絕對值為高，我們可以計算出三角形ABD的面積。(3)首先，我們可以根據(jù)旋轉條件求出點G的坐標。然后，我們將點G的坐標代入拋物線的解析式中，進行判定。如果點G在拋物線上，那么這個方程就有解。否則，點G不在拋物線上。解答：(1)由于矩形OCEF是一個矩形，所以OF=2，EF=3，因此點C的坐標為(0,3)，點E的坐標為(2,3)。將x=0，y=3和x=2，y=3代入y=-x^2+bx+c中，得到c=3和b=2。因此，拋物線的函數(shù)解析式為y=-x^2+2x+3。(2)由于y=-x^2+2x+3=-（x-1）^2+4，所以拋物線的頂點坐標為D(1,4)。線段AB的高為4，因此當y=0時，-x^2+2x+3=0，解得x1=-1，x2=3。因此，AB=3-（-1）=4，所以三角形ABD的面積為8。(3)將三角形AOC逆時針旋轉90度，使CO落在CE所在的直線上。由于OA=1，所以點G的坐標為(3,2)。當x=3時，y=-3^2+2×3+3≠2，因此點G不在拋物線上。點評：這道題綜合了圖形的旋轉、面積的求法等知識，考查的知識點不多，難度適中。五、簡答題16、解：由題意得：（1）a1+a2=1，a1-a2=0，整理得a1=a2=1/2。因此，ΔABC是一個直角三角形，斜邊為√2。（2）如果a1=a2，那么a1+a2=2a1=1，因此a1=a2=1/2。如果a1≠a2，那么a1+a2=1，a1-a2≠0，因此a1≠a2。根據(jù)求根公式，可以得到兩個根，x1=(1+