第五章5 2三角函數(shù)概念課時

第五章三角函數(shù)高中快車道成套的課件成套的教案成套的試題成套的微專題盡在高中數(shù)學同步資源大全QQ群483122854聯(lián)系微信fjmath加入百度網(wǎng)盤群4000G一線老師必備資料一鍵轉(zhuǎn)存，自動更新，永不過期5.2

三角函數(shù)的概念課時5

同角三角函數(shù)的基本關系高中快車道教學目標經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關系的探索、發(fā)現(xiàn)過程,能運用任意角的三角函數(shù)的定義加以證明.理解同角三角函數(shù)的基本關系的結(jié)構(gòu)特征,體會同一個角的三個不同三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系.掌握同角三角函數(shù)的基本關系在求解三角函數(shù)式的化簡、求值和證明等方面的問題中的應用.學習目標課程目標學科核心素養(yǎng)利用單位圓和任意角的三角函數(shù)的定義推導出同角三角函數(shù)的基本關系在探索、發(fā)現(xiàn)和推導同角三角函數(shù)基本關系的過程中,培養(yǎng)直觀想象、數(shù)學抽象等素養(yǎng)理解同角三角函數(shù)的基本關系的結(jié)構(gòu)特征,體會同一個角的三個三角函數(shù)間的關系在理解同角三角函數(shù)的基本關系的結(jié)構(gòu)特征的過程中,培養(yǎng)數(shù)學抽象、邏輯推理等素養(yǎng)掌握同角三角函數(shù)的基本關系在三角函數(shù)式的化簡、求值和證明等問題中的應用在運用同角三角函數(shù)的基本關系解題的過程中,培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)情境導學如圖1是寧夏沙坡頭景區(qū)黃河索道，滑索總長800

m，滑索的高低落差54

m，滑索的起始點建在高度為72

m、傾斜角為60°的沙坡頭頂端，沙坡頭斜面長200

m．我們設滑索起始點為A，在對岸的落點為B，沙坡頭山腳點為C，山頂在地面的垂直投影點為D，可得圖2.圖1要想知道飛躍處的黃河寬度(CH)，只須求出cosβ的值，由余弦定義可求得EB(DH)，進而可求黃河寬CH.由已知AD＝72，AE＝54，AB＝800，易得sin

β＝????＝

????

，而能否由sin

β求得cos

β，是我們繼續(xù)????

??????求解本題的關鍵．為此，我們需要研究sin

β與cos

β之間的關系．圖2初探新知【活動1

】利用單位圓，結(jié)合三角函數(shù)的定義探究同三角函數(shù)基本關系【問題1】你能從點的坐標、角的三個三角函數(shù)值的代數(shù)結(jié)構(gòu)上發(fā)現(xiàn)同角的三個三角函數(shù)值之間有什么關系嗎？【問題2】同角三角函數(shù)的基本關系還有哪些變形形式？【問題3】該關系式是否對任意角α均成立？【活動2

】由終邊上任意一點坐標探究同角三角函數(shù)的基本關系【問題4】若已知角終邊上任意一點的坐標，那么同角三角函數(shù)的基本關系是否依然成立？【問題5】請你證明上述結(jié)論．【活動3

】探究同角三角函數(shù)基本關系的應用【問題6】同角三角函數(shù)的基本關系的主要作用是什么?【問題7】同角三角函數(shù)的基本關系式的特點和運用的前提條件是什么?典例精析??【例1】已知tan

α＝??，求sinα和cosα的值.??【解】由tan

α>0，所以α為第一象限或第三象限角．由tan

α＝??得cos??α＝2sin

α.由 cos

α＝2sin

α，sin2α＋cos2α＝1，得sin

2α＝??.??當α為第一象限角時，sin

α>0，sin

α＝

??；當α為第三象限角時，sin

α<0，sin

α＝－

??.cosα=-

??

?

??????????=-??

??.??

??【方法規(guī)律】已知角α的某一三角函數(shù)值求角α的其他三角函數(shù)值時，要根據(jù)已知條件靈活選擇基本關系式求解計算．當角α的終邊所在象限不明確時，要數(shù)形結(jié)合，分類討論．所得結(jié)論要根據(jù)角α的終邊所在象限的具體情形一一列出．??【變式訓練1】若θ為第二象限角，tan

θ＝－??，則sin

θ＋cos

θ＝

－

．105【解】??

??

??【例2】已知－??<x<??，sin

x＋cos

x＝??.求??????

??

??????

???????????

??的值；?????????

??求sin

x－cos

x的值．思路點撥：觀察式子的代數(shù)結(jié)構(gòu)，靈活利用同角三角函數(shù)的基本關系進行轉(zhuǎn)換?！窘狻俊痉椒ㄒ?guī)律】利用sin2α+cos2α=1可實現(xiàn)正弦、余弦的互化,開方時要根據(jù)角α所在象限確定符號;利用=tanα可以實現(xiàn)角α的弦切互化.應用公式時注意方程思想的應用:對于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα這三個式子,利用(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα,可以知一求二.注意公式逆用及變形應用:1=sin2α+cos2α,sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.【變式訓練2】(多選)已知θ∈(0，π)，sin

θ＋cos

θ＝－????，則下列結(jié)論中正確的是A(CD

)A.

θ∈（??，π） B.

cos

θ＝－????

??C.

tan

θ＝－??

D.

sin

θ－cos

θ＝????

??【解】【例3】已知tan

α＝2，求下列各式的值：(1)????????

?????

??????

??

；??

???????????

??????

??(2)??????????

?????

??????

????

；??

??????

???????

????????

??(3)4sin2α－3sinαcos

α－5cos2α.思路點撥

注意到所求式子都是關于sinα，cosα的分式齊次式(或可化為分式齊次式)，可將分子、分母同除以cos

α的整數(shù)次冪，把所求值的式子用tan

α表示，再將tan

α＝2代入求其值．【解】

(1)????????

?????

??????

??

＝??

??????

?????＝??

×?????＝－1.??

???????????

??????

??

??

??????

?????

??×?????(2)??????????

?????

??????

????

＝??

????????

?????＝??

×?????＝??.??

?????????????????????

??

??

????????

????? ??

×?????

??(3)sin2α＋cos2α＝1，則有4sin2α－3sinαcos

α－5cos2α＝??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????＝??

????????

?????

??????

?????＝??×?????×?????＝1.??????

?????????????

?? ????????

?????

?????【方法規(guī)律】已知tanα，求關于sin

α和cos

α齊次式的值的基本方法：??

??????

?????

????????(1)形如????????

?????

??????

??

的分式，可將分子、分母同時除以cos

α；形如??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????的分式，可將分子、分母同時除以cos2α，將正、??????????

?????

??????

??

??????

?????

??????

????余弦轉(zhuǎn)化為正切，從而求值．(2)形如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子，可將其看成分母為1的分式，再將分母1變形為sin2α＋cos2α，轉(zhuǎn)化為形如??????????

?????

??????

??

??????

???????????

????的分式求解．??????

?????????????

????????

?????????

【變式訓練3】已知??????

?????????

??＝2，求下列各式的值：??

??????

?????????(1)

tan

α；(2)

????????

?????????

??

；(3)

2sin2α－3sinαcos

α.【解】（備選例題）[2020·湖北省武漢市新洲區(qū)第一中學高一期末]在平??面直角坐標系xOy中,以x軸非負半軸為始邊作角α∈（0，??）,β∈??（??，??）,它們的終邊分別與單位圓相交于A,B兩點,已知點A,B的橫坐標分別為

??,-??

??.????

??(1)求3sin2α-sinαcosα+1的值;(2)化簡并求cosβ??????????????????????的值.【解】【方法規(guī)律】利用同角三角函數(shù)關系式和任意角的三角函數(shù)的定義求值或化簡時,關鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系,靈活地使用公式進行變形,解題注意角的范圍對三角函數(shù)符號的影響,防止因符號而造成解題差錯.課堂反思1.通過本節(jié)課的學習，你學到了哪些知識？2.你認為本節(jié)課的重點和難點是什么？隨堂演練1.已知α是第二象限角，sin

α＝??????，則cos

α的值為()A.

－????

B.????—

????????C.

D.????

?????????? ??????

?????????????

??2.已知tan

α＝－??，則

??

的值為()A.????B.－??????C.D.??

????????

????AB3.(多選)若α是第二象限角，則下列各式中成立的有()A. tanα＝－??????????????

??1

?

2

??????

??

??????

??＝sin

α－cosαcos

α＝－

1

?

??????