行列式按行列展開(kāi)

關(guān)于行列式按行列展開(kāi)第1頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三三階行列式：（一）按某一行（列）展開(kāi)余子式三階降成了二階！則代數(shù)余子式第2頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三余子式討論n階行列式：n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數(shù)余子式第3頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三定理1.4

(P.22)按行展開(kāi)按列展開(kāi)即：D

等于第

i

行（列）元素與對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和。第4頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）“1”不與其余數(shù)構(gòu)成逆序第5頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三第6頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三(3)四階行列式按第三行展開(kāi)的結(jié)果＃n階行列式按第i行展開(kāi)：第7頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三P.25例2計(jì)算行列式解按第三列展開(kāi)其中：展開(kāi)原則：選0元素最多的行（列）展開(kāi)。第8頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三所以注：?對(duì)于三階行列式，也可展成二階，零元素多時(shí)可直接計(jì)算；?用展開(kāi)定理之前，可先用性質(zhì)將某行（列)化成只含一個(gè)非零元。第9頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三解2按第二行展開(kāi)按第一列展開(kāi)第10頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三P.26(28)例3當(dāng)k為何值時(shí)解第11頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三P.27例4求證第12頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三證按第1列展開(kāi)第13頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三n-1階第14頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例5(P28)證明范德蒙(Vandermonde)行列式第15頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三證明(數(shù)學(xué)歸納法)，結(jié)論成立。按第1列展開(kāi)第16頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三根據(jù)歸納假設(shè)有：綜上所述，結(jié)論成立。第17頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例6(P29)計(jì)算行列式12張解

V是的范德蒙行列式，故第18頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三即：第i行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零。定理1.5

（P.23)證0=i

行s

行2和10對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式相同：第19頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三綜合定理1.4，定理1.5對(duì)于行：對(duì)于列：第20頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例解法一：解法二：第21頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三稱(chēng)S為D的一個(gè)2階子式*（二）按某k

行（列）展開(kāi)(Laplace展開(kāi)）P.29

子式及其余子式

取第1、2行與第1、4列交點(diǎn)位置的元素構(gòu)成一個(gè)二階行列式：稱(chēng)M為S在D中的余子式為S在D中的代數(shù)余子式S的行標(biāo)之和S的列標(biāo)之和第22頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三

定義

(P.29)在n階行列式D中，任取k行、k列的交點(diǎn)上的k2個(gè)設(shè)S的各行位于D中第行S的各列位于D中第列，那么稱(chēng)為S的代數(shù)余子式。

元素按原來(lái)的相對(duì)位置組成的k階行列式

S，稱(chēng)為D的一個(gè)k階子式。在D中劃去S所在的k行與k列，余下的元素按原來(lái)的相對(duì)

位置組成的n-k階行列式M，稱(chēng)為S的一個(gè)余子式。第23頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三

定理1.6(Laplace)若在行列式D中任意取定k個(gè)行

，則由這k個(gè)行組成的所有k階子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于D。當(dāng)k=1時(shí)，此定理即按行展開(kāi)，t=n。此定理可實(shí)現(xiàn)大幅度降階的目標(biāo)。設(shè)D的某k行組成的所有k階子式分別為它們相應(yīng)的代數(shù)余子式分別為則第24頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例7

(P.29)用拉普拉斯定理求行列式的值：解按第一、第二行展開(kāi)(含0多），這時(shí)任何兩列交叉點(diǎn)上的元素可構(gòu)成二階子式，共有則1,4列；2,4列；3,4列對(duì)應(yīng)的Si=0.1,2列1,3列2,3列第25頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)1,2列按1,2行展開(kāi)顯然，按Laplace展開(kāi)計(jì)算并沒(méi)有減少，但特殊情況卻有很多優(yōu)勢(shì)。展開(kāi)的原則：值為零的子式越多越好。第26頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三例證：取前k行展開(kāi)即得。第27頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三推廣：(其中Ak為方陣)特別：(其中Ak為方陣)注：

對(duì)右上三角形的也成立第28頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三P.26例3續(xù)當(dāng)k為何值時(shí)解第29頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)：注意：對(duì)角線上一定是方陣，非對(duì)角線上可以是長(zhǎng)方形的降成了二階和三階行列式第30頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三接克萊姆法則第31頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)：（P.36第12題（4）用前面的結(jié)果解）或原式第32頁(yè)，講稿共35頁(yè)，2023年5月2日，星期三練習(xí)

計(jì)算解