近世代數(shù)基礎(chǔ)

關(guān)于近世代數(shù)基礎(chǔ)1第1頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2第1講

緒論一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題第2頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三3

第二章基本概念第3頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三4

第1講集合及其之間的關(guān)系

——集合第2講集合及其之間的關(guān)系

——對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)

第3講代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則——運(yùn)算律第4講與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射——同態(tài)映射第5講等價(jià)關(guān)系與分類第4頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三5第1講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—集合1

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號(hào)3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運(yùn)算8運(yùn)算律9特殊集合的表示符號(hào)10集合的補(bǔ)充說(shuō)明11包含與排斥原理第5頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三6第2講基本概念之集合及其之間的關(guān)系

—對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)1映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號(hào)說(shuō)明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射（代數(shù)運(yùn)算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

第6頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三7

第3講基本概念之代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則

——運(yùn)算律

1與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1）結(jié)合律（2）交換律（3）消去律2與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（1）第一分配律（2）第二分配律第7頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三8

第4講基本概念之與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射

——同態(tài)映射

1同態(tài)映射

2同態(tài)滿射

3同構(gòu)映射

4自同構(gòu)映射

5舉例

第8頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三9

第5講基本概念之等價(jià)關(guān)系與集合的分類

——商集1商集2等價(jià)關(guān)系3集合的分類4集合A上的等價(jià)關(guān)系與集合A的分類之間的聯(lián)系第9頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三10第三章群

第10頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三11第1講代數(shù)系統(tǒng)第2講半群第3講群的定義及性質(zhì)第4講有限群第5講子群的定義及性質(zhì)第6講元素的階第7講循環(huán)群第8講變換群第9講特殊子群第10講群的同態(tài)與同構(gòu)第11講群與對(duì)稱的關(guān)系第11頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三12第1講代數(shù)系統(tǒng)

2代數(shù)系統(tǒng)的舉例1代數(shù)系統(tǒng)及子代數(shù)系統(tǒng)的定義第12頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三13第2講半群

1半群、子半群、交換半群的定義及判定定理2半群的舉例3半群中冪的定義及性質(zhì)第13頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三14

1群的第一定義

2單位元及逆元的定義

3群的第二定義

4群的第三定義

5群的第四定義

6群的定義的等價(jià)證明

7群的舉例

8群的重要性質(zhì)

第3講群的定義及性質(zhì)第14頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三15

第4講有限群

1群的分類及群的階

2有限群的判定定理

3由有限集合上代數(shù)運(yùn)算的運(yùn)算表觀察代數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)第15頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三161子群定義

2子群的判別方法

3子群的性質(zhì)

第5講子群的定義及性質(zhì)第16頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三17

1元素階的定義

2元素階的舉例

3元素階的性質(zhì)

第6講群中元素的階第17頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三18

2循環(huán)群與元素階的關(guān)系

1循環(huán)群的定義及舉例

3循環(huán)群的一般形式5循環(huán)群生成元的確定定理第7講循環(huán)群

4循環(huán)群的生成元的個(gè)數(shù)定理第18頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三19

第8講變換群

1變換、滿變換、單變換、一一變換的定義及符號(hào)說(shuō)明

2特殊集合關(guān)于乘法的結(jié)論

3變換群舉例

4特殊的變換群第19頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三201循環(huán)群子群的一些結(jié)論

2循環(huán)群概念的推廣

3特殊子群的幾何意義探討

4子群的陪集

5正規(guī)子群與商群

第9講特殊子群第20頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三211群的同態(tài)的定義及舉例2同態(tài)的性質(zhì)及結(jié)論3同構(gòu)的性質(zhì)及結(jié)論4循環(huán)群的構(gòu)造及循環(huán)群之間的同態(tài)5同態(tài)基本定理與同構(gòu)定理第10講群的同態(tài)與同構(gòu)第21頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三22

第11講群與對(duì)稱的關(guān)系

1序言

2幾何對(duì)稱

3代數(shù)對(duì)稱第22頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三23

第四章環(huán)論第23頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三24第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)第2講特殊元素及性質(zhì)第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)第4講環(huán)的特征第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)第7講特殊環(huán)第8講商域第9講有限域第24頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三25

第1講環(huán)的定義及基本性質(zhì)1環(huán)的定義2環(huán)的舉例3環(huán)的初步性質(zhì)第25頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三26

第2講特殊元素及性質(zhì)1特殊元素之一—零元、負(fù)元及單位元、逆元、零因子

2零因子的性質(zhì)

3求環(huán)中的特殊元素——舉例第26頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三27第3講環(huán)的分類及特殊環(huán)的性質(zhì)

1特殊環(huán)的定義

2除環(huán)的性質(zhì)

3有限環(huán)的幾個(gè)相關(guān)結(jié)論

4域中元素的計(jì)算方法

5循環(huán)環(huán)的性質(zhì)第27頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三28

第4講環(huán)的特征

1環(huán)的特征的定義

2特殊環(huán)的特征(數(shù))及相關(guān)結(jié)論

3舉例第28頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三29

第5講子環(huán)、理想(主理想)及素理想和極大理想

1子環(huán)

2理想(主理想)3素理想和極大理想第29頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三30

第6講環(huán)的同態(tài)與同構(gòu)1環(huán)的同態(tài)及同構(gòu)的定義2環(huán)的同態(tài)的舉例3環(huán)的同態(tài)基本性質(zhì)4商環(huán)及環(huán)的同態(tài)基本定理5環(huán)的同構(gòu)基本定理第30頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三31第7講特殊環(huán)1矩陣環(huán)

2多項(xiàng)式環(huán)

3剩余類環(huán)第31頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三32

第8講商域

1構(gòu)造域的方法

2挖補(bǔ)定理

3擴(kuò)域定理

4擴(kuò)域的形式

5商域的定義及結(jié)論

6舉例第32頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三33第9講有限域第33頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三34

第五章

整環(huán)里的因子分解第34頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三35第1講不可約元、素元、最大公因子第2講唯一分解環(huán)第3講特殊的唯一分解環(huán)第35頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三361整環(huán)的單位定義及性質(zhì)2整除的定義及性質(zhì)3相伴關(guān)系的性質(zhì)4不可約元5最大公因子6最大公因子、互素的概念推廣到多元的情形第1講不可約元、素元、最大公因子第36頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三37

第2講唯一分解環(huán)1唯一分解元、唯一分解元的標(biāo)準(zhǔn)分解式、唯一分解環(huán)、非唯一分解環(huán)舉例2最大公因子的存在性定理、不可約元與素元的關(guān)系定理3唯一分解環(huán)的判定定理第37頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三38

第3講特殊的唯一分解環(huán)1主理想環(huán)2歐氏環(huán)3唯一分解環(huán)上的一元多項(xiàng)式環(huán)4因子分解與多項(xiàng)式的根第38頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三39

第六章群論補(bǔ)充第39頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三40第1講共軛元與共軛子群第2講群的直積第3講群在集合上的作用第4講西羅定理第40頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三41

研究群內(nèi)一些特殊類型的元素和子群

1中心和中心化子

2共軛元和共軛子群

3共軛子群與正規(guī)化子第1講共軛元與共軛子群第41頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三42一群的外直積1群的外直積的定義2群的外直積的基本性質(zhì)3群的外直積定義的推廣4群的外直積舉例二群的內(nèi)直積1群的內(nèi)直積定義2群的內(nèi)直積的充要條件3群的內(nèi)直積定義的推廣三群的內(nèi)外直積

第2講群的直積第42頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三43一群在集合上的作用的定義二群在集合上的作用舉例1置換群在集合上的作用2群在自身集合上的作用3群的共軛變換定義了群在它自身上的作用4群在自身的全體子群的集合上的作用三

X中的元素x在G下的軌道1X中的元素x在G下的軌道定義2X中的元素x在G下的軌道舉例四軌道的相關(guān)結(jié)論第3講群在集合上的作用第43頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三44

第4講西羅定理第44頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三45

第一章緒論第45頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三46

緒論

第一講第46頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三47第一章緒論一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段（數(shù)學(xué)發(fā)展史）1用字母的代數(shù)2解方程3各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論1萌芽階段2初等數(shù)學(xué)階段3高等數(shù)學(xué)階段4近代數(shù)學(xué)階段5現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段1初等數(shù)學(xué)時(shí)期(初等數(shù)學(xué))2變量數(shù)學(xué)時(shí)期(高等代數(shù))3現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期(近世代數(shù))四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段1最初的文字?jǐn)⑹鲭A段2代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段3符號(hào)代數(shù)階段4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題1項(xiàng)鏈問(wèn)題3正多面體的著色問(wèn)題2分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問(wèn)題5開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問(wèn)題4圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問(wèn)題8代數(shù)方程根式的求解問(wèn)題7幾何作圖問(wèn)題6數(shù)字通信的可靠性問(wèn)題第47頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三48一關(guān)于代數(shù)的觀念二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題第48頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三49一關(guān)于代數(shù)的觀念

從人們的觀念上來(lái)看,人們關(guān)于代數(shù)的觀念大致有三種：1用字母的代數(shù)2解方程3各種代數(shù)結(jié)構(gòu)的理論第49頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三50

現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是以解方程為中心,而重點(diǎn)是研究各樣的代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)性質(zhì)以及它們之間的聯(lián)系.當(dāng)然,所謂代數(shù)結(jié)構(gòu)實(shí)際上就是帶有運(yùn)算的集合.一般說(shuō)來(lái),這些運(yùn)算還適合某些所希望的若干條件.

初等代數(shù)、高等代數(shù)、線性代數(shù)都稱為經(jīng)典代數(shù).它的研究對(duì)象主要是代數(shù)方程和線性方程組.而現(xiàn)代代數(shù)學(xué)也即近世代數(shù)(又稱為抽象代數(shù)),其主要內(nèi)容是研究第50頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三51

各種代數(shù)系統(tǒng)(代數(shù)結(jié)構(gòu)),而對(duì)于代數(shù)結(jié)構(gòu),其基本成分則是集合和集合上的映射.

而近世代數(shù)就像古典代數(shù)那樣,是關(guān)于運(yùn)算的學(xué)說(shuō),是計(jì)算規(guī)則的學(xué)說(shuō),但它不把自己局限在研究數(shù)的運(yùn)算的性質(zhì)上,而是企圖研究更具一般性的元素上運(yùn)算的性質(zhì),這種趨向是現(xiàn)實(shí)中的要求所提示的.近世代數(shù)已廣泛應(yīng)用于近代物理學(xué)、近代科學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、數(shù)字通訊、系統(tǒng)工程等領(lǐng)域.第51頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三52二數(shù)學(xué)史的發(fā)展階段1萌芽階段2初等數(shù)學(xué)階段3高等數(shù)學(xué)階段4近代數(shù)學(xué)階段5現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段第52頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三53三代數(shù)發(fā)展的階段(數(shù)學(xué)發(fā)展史)代數(shù)發(fā)展的階段初等數(shù)學(xué)時(shí)期（初等數(shù)學(xué)）變量數(shù)學(xué)時(shí)期或高等數(shù)學(xué)時(shí)期（高等代數(shù)）現(xiàn)代數(shù)學(xué)時(shí)期（抽象代數(shù)（近世代數(shù)））計(jì)算的對(duì)象：數(shù)計(jì)算的方法：加、減、乘、除計(jì)算的對(duì)象：若干不是數(shù)的事物（向量、矩陣、線性變換）計(jì)算的方法：類似于加、減、乘、除的運(yùn)算計(jì)算的對(duì)象：集合計(jì)算的方法：運(yùn)算（映射）第53頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三54四代數(shù)學(xué)發(fā)展的四個(gè)階段

代數(shù)學(xué)經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程,抽象代數(shù)(近世代數(shù))是19世紀(jì)最后20年直到20世紀(jì)前30年才發(fā)展起來(lái)的現(xiàn)代數(shù)學(xué)分支.1最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

2代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段

3符號(hào)代數(shù)階段

4結(jié)構(gòu)代數(shù)階段第54頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三551最初的文字?jǐn)⑹鲭A段

古希臘之前直到丟番圖(Diophantine,公元250年)時(shí)代,代數(shù)學(xué)處于最初的文字?jǐn)⑹鲭A段,這一階段除古希臘數(shù)學(xué)之外還包括古巴比倫、古埃及與古代中國(guó)的數(shù)學(xué).此時(shí)算術(shù)或代數(shù)尚未形成任何簡(jiǎn)化的符號(hào)表達(dá)法,代數(shù)運(yùn)算則都采用通常的語(yǔ)言敘述方式表達(dá),因而代數(shù)推理也都采用直觀的方法.在中國(guó)古代則有著名的籌算法,而在古希臘則借助于幾何圖形的變換方法.最典型的代表是畢達(dá)哥拉斯(Pythagoras,公元前585-497)幾何數(shù)論方法.例如通過(guò)圖形的組合可以得到不要認(rèn)為簡(jiǎn)單的幾何變換只能產(chǎn)生簡(jiǎn)單的代數(shù)結(jié)論,恰當(dāng)?shù)乩脦缀螆D形的變換有時(shí)也會(huì)產(chǎn)生重要的代數(shù)結(jié)論(如勾股定理與勾股數(shù).第55頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三562簡(jiǎn)化文字階段

缺乏符號(hào)運(yùn)算的代數(shù)當(dāng)然是相當(dāng)原始的代數(shù)學(xué).直到古希臘數(shù)學(xué)后期,數(shù)學(xué)家丟番圖才開始把通常的語(yǔ)言敘述作簡(jiǎn)化,利用簡(jiǎn)化的文字符號(hào)代替一些相對(duì)固定的代數(shù)表達(dá)式.這一時(shí)期稱為代數(shù)的簡(jiǎn)化文字階段,這一時(shí)期大致延續(xù)到歐洲文藝復(fù)興時(shí)代.丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展做出了突出的貢獻(xiàn),《算術(shù)》一書是丟番圖留下來(lái)的著作,該著作研究了一系列不定方程的求解問(wèn)題.例如把一個(gè)平方數(shù)表為兩個(gè)平方數(shù)之和的問(wèn)題.后來(lái)歐拉發(fā)現(xiàn)了正整數(shù)能夠表為兩個(gè)整數(shù)平方和的充分必要條件.把一個(gè)給定的整數(shù)表為四個(gè)數(shù)的和再加上這四個(gè)數(shù)的平方和.求兩個(gè)有理數(shù)使它們的和等于它們的立方和,例如七分之五與七分之八等等.正是在丟番圖關(guān)于整數(shù)諸如此類表法研究的基礎(chǔ)上,17世紀(jì)偉大的法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬(PierredeFermat,1601-1665)提出了不定方程xn+yn=zn在n≥3時(shí)不可解問(wèn)題.19世紀(jì)費(fèi)馬問(wèn)題的研究也是導(dǎo)致近世代數(shù)理想論產(chǎn)生的重要契機(jī).第56頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三573符號(hào)代數(shù)階段

這一階段是經(jīng)過(guò)歐洲文藝復(fù)興之后的好幾位數(shù)學(xué)家的努力而達(dá)到(它大致在17世紀(jì)完成).它的標(biāo)志是用字母表示數(shù),這一過(guò)程使代數(shù)學(xué)達(dá)到了現(xiàn)在我們看到的這種符號(hào)演算形式.較早的代表著作是德國(guó)數(shù)學(xué)家M.Stiefel(1486-1567)1553年的著述《綜合算術(shù)》.其利用10進(jìn)制小數(shù)表示實(shí)數(shù).對(duì)代數(shù)學(xué)的符號(hào)體系做出了重要貢獻(xiàn)的另一位代表人物是法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)(F.Viete,1540-1603).韋達(dá)是第一個(gè)系統(tǒng)使用字母表示數(shù)的人,在代數(shù)、三角學(xué)等許多方面都做出了杰出的貢獻(xiàn).第57頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三584結(jié)構(gòu)代數(shù)階段

這一階段代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象不再是個(gè)別的數(shù)字運(yùn)算,而是抽象的運(yùn)算系統(tǒng)(如群、環(huán)、域等)的代數(shù)結(jié)構(gòu).它起因于年輕的法國(guó)數(shù)學(xué)家EvaristeGalois(1811-1832)對(duì)代數(shù)方程式解的研究.Galois引入了群與擴(kuò)域的工具,解決了高次方程的求根問(wèn)題.這個(gè)問(wèn)題是在16世紀(jì)中葉,兩位意大利數(shù)學(xué)家G.Cardano(1506)與L.Ferrari(1545)發(fā)現(xiàn)了三、四次方程的求根公式之后一直困擾數(shù)學(xué)家達(dá)三百年之久的代數(shù)學(xué)難題.Galois擺脫了前人關(guān)于根的計(jì)算方法的研究途徑,發(fā)現(xiàn)根的對(duì)稱性群的結(jié)構(gòu)能夠決定根的可解性.Galois的研究不但確立了群論在數(shù)學(xué)中的地位,同時(shí)也開創(chuàng)了結(jié)構(gòu)代數(shù)這個(gè)新型的代數(shù)學(xué)研究方向.

在數(shù)學(xué)家們致力于解決高次方程的求根問(wèn)題的同時(shí),CarlGauss(1777-1855)為了解決Fermat問(wèn)題,開始一般性的研究代數(shù)數(shù)域.他的學(xué)生E.Kummer(1810-1893)在Gauss方法的基礎(chǔ)上引入理想數(shù),使Fermat問(wèn)題的研究推進(jìn)了一步.直到19世紀(jì)末已建立了群、環(huán)、域的系統(tǒng)理論.第58頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三59

1834年愛(ài)爾蘭數(shù)學(xué)家WilliamR.Hamiton(1805-1865)在Gauss把復(fù)數(shù)解釋為二元數(shù)這一思想的啟發(fā)下創(chuàng)建了一種奇特的不交換的數(shù)系,后來(lái)稱之為Hamiton四元數(shù).

三大進(jìn)展奠定了近世代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).1931年荷蘭數(shù)學(xué)家B.L.van.der.Waerden出版了兩卷本<近世代數(shù)學(xué)>,1955年該書第四版更名為<代數(shù)學(xué)>.這一著作標(biāo)志著群、環(huán)、域等抽象結(jié)構(gòu)理論已經(jīng)成為現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的主要研究對(duì)象,該著作同時(shí)也成為現(xiàn)代結(jié)構(gòu)主義數(shù)學(xué)的起點(diǎn).1951年美國(guó)數(shù)學(xué)家N.Jacobson又出版了新的代數(shù)學(xué)著作,書名為<抽象代數(shù)學(xué)講義>(共三卷).因此近世代數(shù)也被稱為抽象代數(shù).第59頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三60五幾類與近世代數(shù)的應(yīng)用有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題1項(xiàng)鏈問(wèn)題2分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問(wèn)題3正多面體的著色問(wèn)題4圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問(wèn)題5開關(guān)線路的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問(wèn)題6數(shù)字通信的可靠性問(wèn)題7幾何作圖問(wèn)題8代數(shù)方程根式的求解問(wèn)題第60頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三611)基本問(wèn)題:用黑白兩種顏色的珠子做成有五顆珠子的項(xiàng)鏈,問(wèn)可以做成多少種不同的項(xiàng)鏈？

2)問(wèn)題解決思路:枚舉法

3)問(wèn)題推廣:用n種顏色的珠子做成m顆珠子的項(xiàng)鏈,問(wèn)可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？1項(xiàng)鏈問(wèn)題第61頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三62數(shù)

學(xué)

表

述

把m顆珠子做成一個(gè)項(xiàng)鏈用一個(gè)正m邊形來(lái)代替,其中每個(gè)頂點(diǎn)代表一顆珠子.從任意正m邊形一個(gè)頂點(diǎn)開始,沿逆時(shí)針?lè)较?依次給每個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)以碼:1,2,3,…,m.這樣的一個(gè)項(xiàng)鏈稱之為有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈.由于每一顆珠子的顏色有n種選擇,因此由乘法原理,這些有標(biāo)號(hào)的項(xiàng)鏈共有種.但是其中有一些項(xiàng)鏈可通過(guò)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度或反轉(zhuǎn)180度使它們完全重合.對(duì)于這些項(xiàng)鏈稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.對(duì)那些無(wú)論怎樣旋轉(zhuǎn)或反轉(zhuǎn)都不能使它們重合的項(xiàng)鏈,稱之為本質(zhì)上不相同的項(xiàng)鏈,即為問(wèn)題所提的不同類型的項(xiàng)鏈.當(dāng)n與m較小時(shí),不難用枚舉法求得問(wèn)題的解答.但隨著n與m的增加,用枚舉法越來(lái)越難,因而必須尋找更為有效的可解決一般正整數(shù)n與m的方法.采用群論可解決此問(wèn)題,且至今尚未發(fā)現(xiàn)其它更為簡(jiǎn)單和有效的方法.第62頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三632分子結(jié)構(gòu)的計(jì)數(shù)問(wèn)題1)背景:在化學(xué)中研究有某幾種元素可合成多少種不同物質(zhì)的問(wèn)題,可以知道人們?cè)诖笞匀恢袑ふ一蛉斯ず铣蛇@些物質(zhì).2)問(wèn)題:在一個(gè)苯環(huán)上結(jié)合原子或原子團(tuán),問(wèn)可以形成多少種不同的化合物？

3)轉(zhuǎn)化:如果假定苯環(huán)上相鄰原子之間的鍵都是互相等價(jià)的,則此問(wèn)題就是兩種顏色六顆珠子的項(xiàng)鏈問(wèn)題.第63頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三64其中:下圖中外圈球右邊兩個(gè)每個(gè)代表一個(gè),其余四個(gè)每個(gè)代表一個(gè);內(nèi)圈每個(gè)代表一個(gè)

.第64頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三653正多面體的著色問(wèn)題1)問(wèn)題:用n種顏色對(duì)正六面體的面著色,問(wèn)有多少種不同的著色方法？2)數(shù)學(xué)模型:為了將問(wèn)題中的概念量化:設(shè)n種顏色的集合為,正六面體的面集合為,則每一種著色法對(duì)應(yīng)一個(gè)映射:,反之,每一個(gè)映射對(duì)應(yīng)一種著色法.

由于每一面的顏色有n種選擇,所以全部著色法的總數(shù)為,但這樣的著色與面的編號(hào)有關(guān),其中有些著色可適當(dāng)旋轉(zhuǎn)正六面體使它們完全重合,對(duì)這些著色法,稱它們?yōu)楸举|(zhì)上是相同的.因而我們的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求本質(zhì)上不同的著色法的數(shù)目.

當(dāng)n很小時(shí),不難用枚舉法求得結(jié)果,如當(dāng)n取2時(shí),本質(zhì)上不同的著色數(shù)為10,對(duì)于一般的情況則必須用群論方法才能解決.第65頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三664圖的構(gòu)造與計(jì)數(shù)問(wèn)題1)圖的概念：設(shè)稱為頂點(diǎn)集合,是由的一些二元子集構(gòu)成的集合,稱為邊集,則有序?qū)ΨQ為一個(gè)圖.2)圖的畫法:

每一個(gè)頂點(diǎn)用圓圈表示,對(duì)邊集中的每一對(duì)元素用一條直線或曲線連接頂點(diǎn)與.頂點(diǎn)的位置及邊的長(zhǎng)短、形狀均無(wú)關(guān)緊要.

第66頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三67

一個(gè)圖可以代表一個(gè)電路、水網(wǎng)絡(luò)、通訊網(wǎng)絡(luò)、交通網(wǎng)絡(luò)、地圖等有形的結(jié)構(gòu),也可以代表一些抽象關(guān)系.例如:可用一個(gè)圖代表一群人之間的關(guān)系,其中點(diǎn)代表單個(gè)人,凡有邊相連的的兩個(gè)點(diǎn)表示他們之間互相認(rèn)識(shí),否則表示不認(rèn)識(shí),則這個(gè)圖就表示出這群人之間的關(guān)系.

圖論中自然會(huì)涉及到某類圖有多少個(gè)的問(wèn)題.第67頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三683)問(wèn)題:畫出所有點(diǎn)數(shù)為3的圖.解決辦法:首先畫出3個(gè)頂點(diǎn):1,2,3,在每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間有“無(wú)邊”和“有邊”兩種情況,因而全部有8種情況,每種情況對(duì)應(yīng)一個(gè)圖.第68頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三694)推廣:當(dāng)點(diǎn)數(shù)為時(shí),共可形成個(gè)二元子集,每個(gè)二元子集可以對(duì)應(yīng)圖中的邊或不對(duì)應(yīng)邊兩種情況,故可形成個(gè)圖.我們觀察上圖中的8個(gè)圖,可以發(fā)現(xiàn)有些圖是完全相同的,如不考慮它們的頂點(diǎn)號(hào),這些圖可完全重合,這樣的圖稱它們是同構(gòu)的,可以看出:上圖中有4個(gè)互不同構(gòu)的圖.那么,對(duì)于一般的情況,也即頂點(diǎn)數(shù)為的圖中互不同構(gòu)的圖有多少個(gè)呢?這個(gè)問(wèn)題也不能用初等方法解決.第69頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三701)問(wèn)題:一個(gè)有兩種狀態(tài)的電子元件稱為一個(gè)開關(guān),例如普通的電燈開關(guān)、二極管等.由一些開關(guān)組成的二端網(wǎng)絡(luò)稱為開關(guān)線路.一個(gè)開關(guān)線路的兩端也只有兩種狀態(tài):通與不通.我們的問(wèn)題是:用n個(gè)開關(guān)可以構(gòu)造多少種不同的開關(guān)線路？5

開關(guān)

線路

的構(gòu)

造與

計(jì)數(shù)

問(wèn)題第70頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三712)模型：我們用個(gè)變量代表個(gè)開關(guān),每個(gè)變量的取值為0或1且代表開關(guān)的兩種狀態(tài).開關(guān)線路的狀態(tài)也用一個(gè)變量來(lái)表示,它的取值也是0或1代表開關(guān)線路的兩種狀態(tài).是的函數(shù),稱為開關(guān)函數(shù),記為,其中每一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路.3)數(shù)學(xué)計(jì)算：由于每一個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)開關(guān)線路,因而開關(guān)線路的數(shù)目就是開關(guān)函數(shù)的數(shù)目.又由于的定義域的點(diǎn)數(shù)目為,在定義域的每一個(gè)點(diǎn)上的取值有兩種可能.所以全部開關(guān)函數(shù)的數(shù)目為,這就是個(gè)開關(guān)的開關(guān)線路的數(shù)目.4)總結(jié)上面考慮的開關(guān)線路中的開關(guān)是有標(biāo)號(hào)的,有一些開關(guān)線路結(jié)構(gòu)完全相同,只是標(biāo)號(hào)不同,我們稱這些開關(guān)線路本質(zhì)上是相同的.要進(jìn)一步解決本質(zhì)上的開關(guān)線路的數(shù)目問(wèn)題,必須用群論方法.

第71頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三726數(shù)字通信的可靠性問(wèn)題

現(xiàn)代通信中用數(shù)字代表信息,用電子設(shè)備進(jìn)行發(fā)送、傳遞和接收,并用計(jì)算機(jī)加以處理.由于信息量大,在通信過(guò)程中難免出現(xiàn)錯(cuò)誤.為了減少錯(cuò)誤,除了改進(jìn)設(shè)備外,還可以從信息的表示方法上想辦法.由數(shù)字表示信息的方法稱為編碼.編碼學(xué)就是一門研究高效編碼方法的科學(xué).以下通過(guò)兩個(gè)簡(jiǎn)單的例子說(shuō)明檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼的概念.第72頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三73

簡(jiǎn)單檢錯(cuò)碼的編碼方法:奇偶性檢錯(cuò)碼設(shè)用六位二進(jìn)制碼來(lái)表示26個(gè)英文字母,其中前五位順序表示字母,第六位作檢錯(cuò)用,當(dāng)前五位的數(shù)碼中1的個(gè)數(shù)為奇數(shù)時(shí),第六位取1,否則第六位取0.這樣編出來(lái)的碼中1的個(gè)數(shù)始終是偶數(shù)個(gè).例如:A:000011;B:000101;C:000110;D:001001……用這種碼傳遞信息時(shí)可檢查錯(cuò)誤.當(dāng)接收一方收到的碼中含有奇數(shù)個(gè)1時(shí),則可斷定該信息是錯(cuò)誤的,可要求發(fā)送者重發(fā).因而,同樣的設(shè)備,用這種編碼方法可提高通信的準(zhǔn)確度.但是,人們并不滿足僅僅發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤,能否不通過(guò)重發(fā)的辦法,僅從信息本身來(lái)糾正其錯(cuò)誤呢?這在一定程度上也可用編碼方法解決.

第73頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三74

簡(jiǎn)單糾錯(cuò)碼的編碼方法:重復(fù)碼設(shè)用3位二進(jìn)制重復(fù)碼表示A,B兩個(gè)字母如下:A:000;B:111則接受的一方對(duì)收到的信息碼不管其中是否有錯(cuò),均可譯碼如下:

接收信息:000;001;010;011;100;101;110;111

譯碼:A;A;A;B;A;B;B;B

這就意味著對(duì)其中的信息做了糾正.

利用近世代數(shù)方法可得到更高效的檢錯(cuò)碼與糾錯(cuò)碼.第74頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三75

古代數(shù)學(xué)家們?cè)岢隽艘粋€(gè)有趣的作圖問(wèn)題:用圓規(guī)及沒(méi)有刻度和記號(hào)的直尺可做出那些圖形?為什么會(huì)提這樣的問(wèn)題呢?一方面是由于生產(chǎn)發(fā)展的需要,且圓規(guī)、直尺(最初的的直尺是無(wú)刻度的)是當(dāng)時(shí)丈量土地的基本工具;另一方面,從幾何學(xué)觀點(diǎn)看,古人認(rèn)為直線與圓弧是構(gòu)成一切平面圖形的要素.據(jù)說(shuō)古人還認(rèn)為只有使用圓規(guī)與直尺作圖才能確保其嚴(yán)密性.且整個(gè)平面幾何學(xué)是以圓規(guī)與直尺作為基本的工具.

歷史上有幾個(gè)幾何作圖問(wèn)題曾經(jīng)困擾人們很長(zhǎng)時(shí)間,它們是:1二倍立方體問(wèn)題作一個(gè)立方體使其體積等于已知立方體體積的二倍.2三等分任意角問(wèn)題給定任意一個(gè)角,將其三等分.3圓化方問(wèn)題給定一個(gè)已知圓,作一個(gè)正方形使其面積等于已知圓的面積.4n等分一個(gè)圓周

這些問(wèn)題直到近世代數(shù)理論出現(xiàn)以后才得到完全解決.

7幾何作圖問(wèn)題第75頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三768代數(shù)方程根式求解問(wèn)題

我們知道,任何一個(gè)一元二次代數(shù)方程可用根式表示它的兩個(gè)解.對(duì)于一元三次和四次代數(shù)方程,故人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的努力也巧妙地做到了這一點(diǎn).于是人們自然會(huì)問(wèn):是否任何次的代數(shù)方程的根均可用根式表示?許多努力都失敗了,但這些努力促使了近世代數(shù)的產(chǎn)生,并最終解決了這個(gè)問(wèn)題.19世紀(jì)初,法國(guó)數(shù)學(xué)家埃瓦里斯特·伽羅華是法國(guó)數(shù)學(xué)家(évaristeGalois,1811年10月25日－1832年5月31日,與尼爾斯·阿貝爾并稱為現(xiàn)代群論的創(chuàng)始人.)在研究五次代數(shù)方程的解法是提出了著名的伽羅華理論,成為近世代數(shù)的先驅(qū).但他的工作在當(dāng)時(shí)未被數(shù)學(xué)家所認(rèn)識(shí),且由于且由于其它原因于21歲過(guò)早地去世了.直到19世紀(jì)后期,他的理論才有其他的數(shù)學(xué)家加以進(jìn)一步的發(fā)展和系統(tǒng)闡述.第76頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三77第一章練習(xí)題第77頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三78

第二章基本概念第78頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三79

第二章：基本概念集合(第二講)映射(第三講)運(yùn)算律(第四講)同態(tài)與同構(gòu)(第五講)等價(jià)關(guān)系與集合的分類(第六講)第79頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三80

第二講基本概念之集合及其之間的關(guān)系——集合第80頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三81

集合的概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾(G.Cantor,1845-1918)于1894年所首先建立的.到現(xiàn)在,集合論不僅已成為數(shù)學(xué)的一個(gè)專門理論和獨(dú)立學(xué)科,而且廣泛地應(yīng)用到數(shù)學(xué)的各個(gè)分支.

在近世代數(shù)中,不僅每章每節(jié)甚至幾乎處處離不開集合,由此可見(jiàn)集合的重要性.但這只是問(wèn)題的一方面.另一方面我們?cè)谶@里講集合主要是為了在近世代數(shù)中講最基本的概念:群、環(huán)、域而作準(zhǔn)備,并不是要對(duì)集合本身的理論作太多和深入的闡述.這是因?yàn)?在近世代數(shù)中只用到集合的一些初步概念,諸如子集、真子集、集合的相等、冪集、交集、并集、差集以及集合的差、余集和它們的簡(jiǎn)單性質(zhì),而并不用到集合理論的其它內(nèi)容及知識(shí).第81頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三821

集合與集合元素的定義2集合與集合元素的表示符號(hào)3集合與集合元素之間的關(guān)系——屬于關(guān)系4集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類5集合的表示方法6集合之間的內(nèi)在關(guān)系——包含關(guān)系7集合運(yùn)算8運(yùn)算律9特殊集合的表示符號(hào)10集合的補(bǔ)充說(shuō)明11包含與排斥原理第82頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三831集合與集合元素的定義

集合正如像幾何學(xué)中的點(diǎn)、線、面等概念一樣,也是一種不加定義而可直接引入的最基本的原始概念.第83頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三841.1集合定義

把隨便一些對(duì)象(事物)放在一起做為一個(gè)整體進(jìn)行研究的話,這個(gè)整體就叫做集合(這是描述性定義);組成集合的對(duì)象或事物叫做這個(gè)集合的元素.定義2.1第84頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三851)線性方程組AX=B的解向量的集合.2)多項(xiàng)式f(x)的零點(diǎn)的集合.3)數(shù)域P上所有m行n列的矩陣的集合.4)延安市全體居民身份證號(hào)碼的集合.5)延安大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院2009級(jí)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的全體學(xué)生的集合.6)延安大學(xué)2011年西安世界園藝會(huì)志愿者的集合.7)大學(xué)生技能測(cè)試的所有項(xiàng)目的集合.8)延安大學(xué)2011—2012學(xué)年第一學(xué)期所有公選課的課程名稱的集合.1.2集合舉例例2.1第85頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三86

集合是不能嚴(yán)格定義的,因?yàn)槎x是用已知概念去定義未知概念,然而集合是數(shù)學(xué)中的一個(gè)最基礎(chǔ)及最基本的概念,不能再用其它數(shù)學(xué)概念來(lái)定義,正如哲學(xué)中的物質(zhì)概念一樣,它只能描述而不能定義.盡管集合沒(méi)有定義,但我們都能理解它是什么意思,可以說(shuō)具有特定性質(zhì)的抽象或具體的事物的全體稱為集合.1.3集合定義的注意問(wèn)題第86頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三87

若干個(gè)(有限個(gè)或無(wú)限個(gè))固定事物的全體稱為集合;組成一個(gè)集合的事物稱為這個(gè)集合的元素(濃度或元數(shù)).1.4集合的等價(jià)定義定義2.2第87頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三882集合與集合元素的表示符號(hào)集合:大寫字母表示如集合的元素:小寫字母表示如第88頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三893集合與集合元素之間的關(guān)系

——屬于關(guān)系定義2.3第89頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三904.1集合的分類標(biāo)準(zhǔn)及分類標(biāo)準(zhǔn)1:元素的個(gè)數(shù)分類:有限集合與無(wú)限集合標(biāo)準(zhǔn)2:與自然數(shù)集合或其子集進(jìn)行比較分類:可數(shù)集合與不可數(shù)集合定義2.44

集合的分類第90頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三914.2集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則定理2.1第91頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三924.3集合等勢(shì)的判斷準(zhǔn)則的應(yīng)用例2.2例2.3例2.4第92頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三93第93頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三94第94頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三95問(wèn)題第95頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三965集合的表示方法

給出集合的方式,不外乎以下兩種．列舉法:把集合中的所有元素都描寫出來(lái)(也即列出它的全部元素).但須注意列舉法不僅可以表示有限集合,而且還可以表示有些有規(guī)律的無(wú)限集合.描述法:用性質(zhì)描述出集合(也即給出這個(gè)集合中的元素所具有的特征性質(zhì)).定義2.5；定義2.6第96頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三97子集:設(shè)是兩個(gè)集合,如果集合的每一個(gè)元素都是集合的元素,那么就稱集合是集合的子集,記為:讀作集合屬于集合(集合包含集合或集合被包含于集合).6.1子集定義定義2.7

6集合之間的內(nèi)在關(guān)系—包含關(guān)系第97頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三98真子集:設(shè)是兩個(gè)集合,如果集合的每一個(gè)元素都是集合的元素,但集合中至少有一個(gè)元素不屬于集合,那么就稱集合是集合的真子集,記作

.6.2真子集定義定義2.8第98頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三99集合相等:如果集合與集合是由完全相同的元素組成的,就說(shuō)集合與集合相等,記作

6.3集合相等的定義定義2.9第99頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三100

性質(zhì)1定理2.26.4幾個(gè)定義的邏輯等價(jià)式第100頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三101

性質(zhì)2(包含關(guān)系)定理2.36.5幾個(gè)關(guān)系的自反性、反對(duì)稱性、對(duì)稱性及傳遞性第101頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三102

性質(zhì)3(相等關(guān)系)定理2.4第102頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三103性質(zhì)4(真包含關(guān)系)定理2.5第103頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1047.1集合運(yùn)算定義定義2.11---2.177集合運(yùn)算第104頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三105第105頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三106

7.2集合運(yùn)算之關(guān)于子集之間的運(yùn)算

定義2.18---2.24第106頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三107第107頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1087.3.1文氏圖的用法

文氏圖可以用來(lái)描述集合之間的關(guān)系及其運(yùn)算.在文氏圖中全集用矩形表示,子集用圓形區(qū)域表示,陰影區(qū)域表示運(yùn)算結(jié)果的集合.7.3集合的圖形表示—文氏圖第108頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1097.3.2文氏圖的特點(diǎn)

文氏圖表示法的優(yōu)點(diǎn)是直觀和形象,富有啟發(fā)性,幫助我們理解各種概念和定理,所以文氏圖可作為思考的出發(fā)點(diǎn).第109頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1107.3.3文氏圖應(yīng)注意的問(wèn)題

但文氏圖絕不能用作推理的依據(jù),因?yàn)橹庇^是不可靠的,只有邏輯推理才是可靠的.第110頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1117.3.4文氏圖的適用范圍

當(dāng)集合的數(shù)目較多時(shí),文氏圖將變得很復(fù)雜.也即對(duì)于集合的數(shù)目較少時(shí),文氏圖適用.第111頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1127.3.5.1A∩B

可用下圖陰影部分表示BBA(B)A(2)若BA則A∩B=B(3)若A=B則A∩B=A=B(1)若AB則A∩B=AA7.3.5文氏圖表示舉例例2.5第112頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三113A

BAB

A與B相切

相交的特例AB(5)A與B分離A∩B=(4)A與B相交 A∩BAA∩BBA∩BAA∩BBA∩B=第113頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1147.3.5.2A∪B可用下圖陰影部分表示(1)若AB則A∪B=BBABA(B)A(2)若BA則A∪B=A(3)若A=B則A∪B=A=B第114頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三115A

B(4)A與B相交A∪BA

B(5)A與B相切

相并的特例AB(6)A與B分離A∪B第115頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三116第116頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三117第117頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1187.4元素不屬于集合運(yùn)算結(jié)果的判斷準(zhǔn)則定理2.6第118頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1198運(yùn)算律定理2.7第119頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1209特殊集合的表示符號(hào)及性質(zhì)第一類:空集

;全集:

空集的絕對(duì)唯一性;全集的相對(duì)唯一性;空集表示形式的多樣性.第120頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三121

第二類:特殊集合第121頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三12210集合的補(bǔ)充說(shuō)明

集合的概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1)元素的確定性；2)元素的無(wú)序性；3)元素的互異性；4)集合可以作為元素,但是不能做為它自己的元素；5)元素與集合之間的關(guān)系是個(gè)體與整體的關(guān)系,應(yīng)嚴(yán)加區(qū)分.第122頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三12311.1包含與排斥原理的特殊形式定理2.811包含與排斥原理第123頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三12411.2包含與排斥原理舉例例2.6例2.7例2.8第124頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三125第125頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三126第126頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三127第127頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三128第128頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三129第129頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三130第130頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三131思考題

1)包含關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？

2)相等關(guān)系的重要性質(zhì)有那些？

3)運(yùn)算律是否成立及如何得出？

4)寫出集合的并、交、差這三個(gè)運(yùn)算所適合的所有運(yùn)算律并加以證明.第131頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1321)寫出并證明包含排斥原理的一般形式.

2)舉出包含排斥原理在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用實(shí)例三個(gè).

習(xí)題第132頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三133

第三講基本概念之

集合及其之間的關(guān)系—對(duì)應(yīng)關(guān)系(映射)(人造關(guān)系)第133頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1341映射概念回憶2映射及相關(guān)定義3映射的充要條件4映射舉例5符號(hào)說(shuō)明6映射的合成及相關(guān)結(jié)論7映射及其映射相等概念的推廣8集合及其之間的關(guān)系——特殊的映射(代數(shù)運(yùn)算）9集合及其之間的關(guān)系——一一映射

第134頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三135：

映射是兩個(gè)集合之間建立的一種聯(lián)系,也是近代數(shù)學(xué)上最基本的概念之一,我們借助“法則”來(lái)說(shuō)明映射的含義.

：：

1映射概念回憶第135頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1362.1.1映射的定義定義2.252.1映射的定義及圖形2映射第136頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三137

2.1.2映射的圖形定義2.26第137頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1382.2定義域、像、原像的定義定義2.27第138頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1392.3映射與通常函數(shù)的關(guān)系第139頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三140第140頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三141第141頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1423映射的充要條件定理2.9第142頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1434.1例2.94映射舉例第143頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三144第144頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三145第145頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1464.2例2.10第146頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1474.3從映射舉例觀察結(jié)論第147頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1484.4映射相等定義2.28;定理2.10第148頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1495符號(hào)說(shuō)明第149頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三150

6.1映射的合成的定義

定義2.296映射的合成第150頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1516.2映射合成的性質(zhì)

定理2.11第151頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三152

7.1映射的一般概念定義2.307映射概念的推廣第152頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三153

7.2映射相等定義2.31第153頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三154

設(shè)和是任意三個(gè)非空集合,則到的任何一個(gè)映射都稱為從的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算.

8.1代數(shù)運(yùn)算定義定義2.328集合及其之間的關(guān)系第154頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1551)代數(shù)運(yùn)算是特殊映射；2)代數(shù)運(yùn)算是具有普通計(jì)算法的特征(也即所給代數(shù)運(yùn)算能夠?qū)與b進(jìn)行運(yùn)算,而得到一個(gè)結(jié)果d=a⊙b.)8.2代數(shù)運(yùn)算定義觀察第155頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1568.3代數(shù)運(yùn)算描寫符號(hào)第156頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三157

當(dāng)元素a=b時(shí),a與b

的次序?qū)Υ鷶?shù)運(yùn)算沒(méi)有影響,a與b的次序可以調(diào)換,只是說(shuō)a⊙b與

b⊙a(bǔ)

都有意義.但并不是說(shuō)a⊙b=b⊙a(bǔ).8.4代數(shù)運(yùn)算問(wèn)題思考第157頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1588.5有限集合代數(shù)運(yùn)算運(yùn)算表第158頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三159

假如是一個(gè)的代數(shù)運(yùn)算,也即說(shuō)集合對(duì)于代數(shù)運(yùn)算是封閉的,也說(shuō)是集合的代數(shù)運(yùn)算或二元運(yùn)算(二元合成).8.6代數(shù)運(yùn)算的特例：二元合成定義定義2.33第159頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1608.7代數(shù)運(yùn)算的特例:二元合成舉例例2.11第160頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1619.1特殊映射的定義1滿射的定義2單射的定義3一一映射的定義4逆映射的定義9集合及其之間的關(guān)系(特殊映射)第161頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1629.1.1滿射的定義

若在一個(gè)集合A到集合B的映射f之下,集合B的每一個(gè)元都至少是集合A中某一個(gè)元的像,那么f叫做從集合A到集合B的一個(gè)滿射.這時(shí)有f(A)=B..定義2.34第162頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三163

若在一個(gè)集合到集合的映射之下,集合中任意兩個(gè)不同元素在集合中的像不相同,那么叫做從集合到集合的一個(gè)單射.9.1.2單射的定義定義2.35第163頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三164

如果既是滿射又是單射,即如果滿足下列條件:1);2)那么就稱是集合到集合的一個(gè)雙射.9.1.3一一映射的定義定義2.36第164頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三165

9.1.4逆映射的定義定義2.37--2.39第165頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1669.2特殊映射的等價(jià)命題1單射的等價(jià)命題2滿射的等價(jià)命題3雙射的等價(jià)命題4可逆映射的等價(jià)命題第166頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1679.2.1單射的等價(jià)命題定理2.12第167頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三168第168頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三169第169頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三170第170頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三171第171頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1729.2.2滿射的等價(jià)命題定理2.13第172頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三173證明第173頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三174證明第174頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三175第175頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三176第176頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1779.2.3雙射的等價(jià)命題定理2.14第177頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1789.2.4可逆映射的等價(jià)命題定理2.15第178頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1799.3一一映射的性質(zhì)

。第179頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1801)假設(shè)是一個(gè)有限集合,是一個(gè)映射,則

2)假設(shè)是一個(gè)有限集合,則9.4有限集合上幾個(gè)充要條件定理2.16;2.17第180頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1819.5時(shí)的特殊映射—變換

一個(gè)A到集合A的映射叫做集合A的一個(gè)變換;一個(gè)A到集合A的滿射、單射、一一映射叫做集合A的一個(gè)滿射變換、單射變換、一一變換.

定義2.40第181頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1829.6特殊變換—單位變換的定義定義2.41第182頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1831)舉出三個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中映射的例子.

2)舉出四個(gè)現(xiàn)實(shí)生活中代數(shù)運(yùn)算的實(shí)例.

思考題第183頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三184應(yīng)用題1)你站在某地,你的四周比你所在位置的高低能否建立一個(gè)映射呢?2)能否構(gòu)造一個(gè)集合B,使得大學(xué)畢業(yè)生的集合與B之間可以建立映射?能建立一一映射嗎?(注意:大學(xué)畢業(yè)生的集合你也可以規(guī)定,但不是幾個(gè)人應(yīng)該是一個(gè)學(xué)?；蛞粋€(gè)專業(yè)或一個(gè)縣的大學(xué)畢業(yè)生的集合)3)利用體育上的由:向左轉(zhuǎn)、向右轉(zhuǎn)、向后轉(zhuǎn)、原地不動(dòng)這幾個(gè)動(dòng)作要領(lǐng)能否建立一個(gè)映射呢?第184頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三185第185頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三186第186頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三187

第四講基本概念之

代數(shù)運(yùn)算適應(yīng)的規(guī)則

—運(yùn)算律第187頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三188一與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（一）結(jié)合律（二）交換律（三）消去律二與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律（一）第一分配律（二）第二分配律第188頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三189問(wèn)題

給一個(gè)集合賦予了代數(shù)運(yùn)算后,猶如使一潭死水泛起了波瀾,好比對(duì)這集合賦予了生命.

一個(gè)代數(shù)運(yùn)算是可以任意規(guī)定的,但未必都會(huì)有用,即任意取幾個(gè)集合,任意規(guī)定幾個(gè)代數(shù)運(yùn)算,很難希望得到好的結(jié)果,因而在以后所遇到的代數(shù)運(yùn)算都適合一些從實(shí)際中得來(lái)的規(guī)律(結(jié)合律、交換律、分配律),分與一種運(yùn)算(結(jié)合律、交換律)、兩種運(yùn)算(分配律)發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律.第189頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1901結(jié)合律未必都成立例2.13例2.12（一）結(jié)合律一與一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律第190頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1912結(jié)合律的定義

假如對(duì)于集合上的任意三個(gè)元素來(lái)說(shuō),都有,則稱一個(gè)集合上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律.定義2.42第191頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1923加括號(hào)的方式(有多少種呢?)

在中任意取出個(gè)元素假如我們寫下這個(gè)記號(hào)這個(gè)符號(hào)在現(xiàn)在當(dāng)然沒(méi)有意義了。只有加上括號(hào)才有意義,但是加括號(hào)的步驟不止一種,假設(shè)共有種,我們把由這個(gè)步驟所得的結(jié)果用以下式子來(lái)表示:

這個(gè)式子當(dāng)然未必相等,但是它們也可能相等。也未必有意義,何時(shí)有意義呢?第192頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1934有意義的情形假如對(duì)于的任意個(gè)固定的元素來(lái)說(shuō),所有的都相等,這時(shí)就把由這些不同的加括號(hào)步驟得到的唯一結(jié)果用下式表示:

這時(shí)此式也就有意義了.第193頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1945結(jié)合律定理

假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,那么對(duì)于的任意個(gè)元素來(lái)說(shuō),所有的都相等,因而以下的符號(hào):也就有意義了.定理2.18第194頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三195

設(shè)集合上的代數(shù)運(yùn)算適合結(jié)合律,則對(duì)于中的任意個(gè)元素來(lái)說(shuō),只要不改變?cè)氐呐帕许樞?任何一種加括號(hào)方法計(jì)算所得的結(jié)果都相同.結(jié)合律定理的等價(jià)形式定理2.19第195頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1965結(jié)合律定理的證明證明第196頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1971交換律的定義

一個(gè)到的代數(shù)運(yùn)算適合交換律.假如對(duì)于集合的任意兩個(gè)元素

,都有

.定義2.43（二）交換律第197頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1982交換律未必都成立例2.13例2.14第198頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三1993交換律定理

假如一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合結(jié)合律和交換律,那么在里,元素的次序的互換不影響運(yùn)算結(jié)果。定理2.20第199頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2004交換律定理證明證明第200頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三201（三）消去律定義2.44第201頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2021問(wèn)題的提出

結(jié)合律和交換律是只同一種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系,而分配律是同兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的一種規(guī)律.二與兩種代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的運(yùn)算律

——分配律第202頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2032第一(左)分配律定義2.45第203頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三204定理2.21第204頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2053第二(右)分配律定義2.46第205頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三206定理2.22第206頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三207練習(xí)題1)判斷下列定義在有理數(shù)集合上的代數(shù)運(yùn)算是否適合結(jié)合律、交換律、左消去律、右消去律？第207頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三208第208頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三209第209頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三210

思考題

1)現(xiàn)實(shí)生活中的代數(shù)運(yùn)算是否都適合這三個(gè)運(yùn)算律,舉例說(shuō)明.2)利用運(yùn)算表如何判斷交換律、結(jié)合律及左消去律、右消去律是否成立？第210頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三211補(bǔ)充例2.15證明第211頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三212第五講基本概念之

與代數(shù)運(yùn)算發(fā)生關(guān)系的映射

—同態(tài)映射第212頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2131同態(tài)映射2同態(tài)滿射3同構(gòu)映射4自同構(gòu)映射5舉例第213頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三2141同態(tài)映射第214頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三215(1)問(wèn)題的提出第215頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三216第216頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三217第217頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三218(2)舉例并觀察結(jié)果例2.17例2.16第218頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三219(3)同態(tài)的定義定義2.47第219頁(yè)，講稿共298頁(yè)，2023年5月2日，星期三22