甘肅蘭州中考數(shù)學解析

2019年甘肅省蘭州市初中畢業(yè)、升學考試數(shù)學一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共48分．不需寫出解答過程，請把最后結果填在題后括號內(nèi)．1．（2019甘肅省蘭州市，1，4分）－2019的相反數(shù)是 A. B.2019 C.-2019 D.【答案】B【解析】解：－2019的相反數(shù)是2019，故選B.【知識點】相反數(shù)2．（2019甘肅省蘭州市，2，4分）如圖，直線a,b被直線c所截，a∥b，∠=80°，則∠2= A.130° B.120° C.110° D.100°【答案】D【解析】解：∵a∥b，∴∠3=∠1=80°，∠2+∠3=180°，∴∠2=100°，故選D.【知識點】對頂角的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)3．（2019甘肅省蘭州市，3，4分）計算：－= A. B. C.3 D.【答案】A【解析】解：原式=，故選A.【知識點】二次根式的化簡，二次根式的運算4．（2019甘肅省蘭州市，4，4分）剪紙是中國特有的民間藝術，在如圖所示的四個剪紙圖案中，既是軸對稱又是中心對稱圖形的是【答案】C【解析】解：既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是C，故選C.【知識點】軸對稱圖形，中心對稱圖象5．（2019甘肅省蘭州市，5，4分）x=1是關于x的一元二次方程的解，則2a+4b= A.-2 B.-3 D.-6【答案】A【解析】解：把x=1代入x2+ax+2b=0，得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，∴2a+4b=2（a+2b）=-2，故選A.【知識點】一元二次方程的解，整體代入6．（2019甘肅省蘭州市，6，4分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若∠A=40°，則∠C= A.110° B.120° C.135° D.140°【答案】D【解析】解：根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補，∴∠A+∠C=180°，∵∠A=40°，∴∠C=140°，故選D.【知識點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)7．（2019甘肅省蘭州市，7，4分）化簡：= A.a-1 B.a+1 C. D.【答案】A【解析】解：原式=，故選A.【知識點】分式的加減，分式的約分8．（2019甘肅省蘭州市，8，4分）已知△ABC≈△A′B′C′，AB=8，則= A.2 B. C.3 D.【答案】B【解析】解：∵△ABC∽△A′B′C′，∴，故選B.【知識點】相似三角形的性質(zhì)9．（2019甘肅省蘭州市，9，4分）《九章算術》是中國古代數(shù)學著作之一，書中有這樣的一個問題：五只雀，六只燕共重一斤，雀重燕輕，互換一只，恰好一樣重.問：每只雀、燕的重量各為多少？設一只雀的重量為x斤，一只燕的重量為y斤，則可列方程組為 A. B. C. D.【答案】C【解析】解：根據(jù)題意，得，故選C.【知識點】二元一次方程組的應用10．（2019甘肅省蘭州市，10，4分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，將四邊形ABCD先向下平移，再向右平移得到四邊形A1B1C1D1,已知A（-3，5），B（-4，3），A1（3，3），則B1的坐標為 A.（1，2） B.（2，1） C.（1，4） D.（4，1）【答案】B【解析】解：∵A（－3，5），A1（3，3），∴四邊形ABCD向右平移6個單位，向下平移2個單位，∵點B（－4，3），∴點B1（2，1），故選B.【知識點】圖形的平移11．（2019甘肅省蘭州市，11，4分）已知點A（1，y1），B（2，y2）在拋物線上，則下列結論正確的是A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，可得：拋物線開口向下，對稱軸為x=－1，∴在對稱軸的右側，y隨x的增大而減小，∵－1＜1＜2，∴2＞y1＞y2，故選A.【知識點】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)12．（2019甘肅省蘭州市，12，4分）如圖，邊長為的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O，將正方形ABCD沿直線DF折疊，點C落在對角線BD上的點E處，折痕DF交AC于點M，則OM= A. B. C. D.【答案】D【思路分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，OC=OD，AC⊥BD，根據(jù)折疊，DF⊥EC，CD=DE=，利用△ODM≌△OCE，得OM=EF，求出OD的長，根據(jù)OE=DE－OD即可.【解題過程】在正方形ABCD中，OC=OD，AC⊥BD，由折疊可知，DF⊥EC，CD=DE=，∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，又∵OC=OD，∠DOM=∠COE=90°，∴△ODM≌△OCE（ASA），∴OM=EF，在Rt△BCD中，BD=，∴OD=1，∴OE=DE－OD=，∴OM=，故選D.【知識點】正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分．不需寫出解答過程，請把最后結果填在題中橫線上．13．（2019甘肅省蘭州市，13，4分）因式分解：.【答案】a（a+1）2【解析】解：原式=a（a2+2a+1）=a（a+1）2，故答案為：a（a+1）2.【知識點】提公因式法分解因式，公式法分解因式14．（2019甘肅省蘭州市，14，4分）在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，則∠B=.【答案】70【解析】解：∵AB=AC，∴∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=40°，∴∠B=∠C=70°，故答案為：70°.【知識點】等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和15．（2019甘肅省蘭州市，15，4分）如圖，矩形OABC的頂點B在反比例函數(shù)的圖象上，，則k=.【答案】6【解析】解：∵S矩形OABC=6，∴OAAB=6，∴k=xy=6，故答案為：6.【知識點】反比例函數(shù)中k的幾何意義16．（2019甘肅省蘭州市，16，4分）如圖，矩形ABCD，∠BAC=60°，以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB，AC于點M,N兩點，再分別以點M,N為圓心，以大于MN的長作半徑作弧交于點P，作射線AP交BC于點E，若BE=1，則矩形ABCD的面積等于.【答案】【思路分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)，求出∠BCA，∠EAC的度數(shù)，利用銳角三角函數(shù)，求出AE，AB的值，進而可得矩形ABCD的面積.【解題過程】解：在矩形ABCD中，∠BAC=60°，∴∠B=90°，∠BCA=30°，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠EAC=30°，∵在Rt△ABE中，BE=1，∴AE==2，AB=，∵∠EAC=∠ECA=30°，∴EC=AE=2，∴S矩形ABCD=ABBC=.【知識點】矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的面積，銳角三角函數(shù)三、解答題（本大題共9小題，滿分102分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．（2019甘肅省蘭州市，17，5分）計算：.【思路分析】根據(jù)絕對值、零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方、特殊角的函數(shù)值，將各式化簡，在合并即可.【解題過程】解：原式=2－1+4－1=4.【知識點】絕對值、零指數(shù)冪、有理數(shù)的乘方、特殊角的函數(shù)值18．（2019甘肅省蘭州市，18，5分）化簡：.【思路分析】根據(jù)單項式乘單項式，平方差公式，去掉括號，再合并同類項即可.【解題過程】解：原式===.【知識點】單項式乘單項式，平方差公式19．（2019甘肅省蘭州市，19，5分）解不等式組：.【思路分析】分別求出兩個不等式的解集，再找出兩個解集的公共部分即可得解.【解題過程】解：，解不等式①，得：x<6，解不等式②，得：x＞2，∴不等式組的解集為：2＜x＜6.【知識點】解一元一次不等式組20．（2019甘肅省蘭州市，20，6分）如圖，AB=DE,BF=EC,∠B=∠E，求證：AC∥DF.【思路分析】利用BF=EC，易得BC=EF，根據(jù)SAS可得△ABC≌△DEF，進而可得∠ACB=∠CFE，即可得證.【解題過程】證明：∵BC=EF，∴BC+FC=EC+FC，即BC=EF，又∵AB=DE∠B=∠E，∴△ABC≌△DEF，∴∠ACB=∠CFE，∴AC∥DF.【知識點】全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的判定21．（2019甘肅省蘭州市，21，6分）2019年5月，以“尋根國學，傳承文明”為主題的蘭州市第三屆“國學少年強--國學知識挑戰(zhàn)賽”總決賽拉開序幕.小明晉級了總決賽，比賽過程分兩個環(huán)節(jié)，參賽選手須在每個環(huán)節(jié)中各選一道題目.第一環(huán)節(jié)：寫字注音、成語故事、國學常識、成語接龍（分別用A1，A2，A3，A4表示）；第二環(huán)節(jié)：成語聽寫、詩詞對句、經(jīng)典誦讀（分別用B1，B2，B3表示）.（1）請用樹狀圖或列表的方法表示小明參加總決賽抽取題目的所有可能結果；（2）求小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率.【思路分析】（1）直接利用樹狀圖表示出所有12種等可能的結果即可；（2）找出小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結果數(shù)，根據(jù)概率公式計算即可.【解題過程】解：（1）畫樹狀圖為：共有12種等可能的結果數(shù)；（2）小明參加總決賽抽取題目是成語題目的結果數(shù)為2，所以小明參加總決賽抽取題目是成語題目（成語故事、成語接龍、成語聽寫）的概率==．【知識點】用樹狀圖與列表法求概率22．（2019甘肅省蘭州市，22，7分）如圖AC=8，分別以A、C為圓心，以長度5為半徑作弧，兩條弧分別相交于點B和D.依次連接A、B、C、D，連接BD交AC于點O.（1）判斷四邊形ABCD的形狀，并說明理由;（2）求BD的長.【思路分析】（1）利用線段垂直平分線的性質(zhì)，易得AB=BC，AD=DC，利用HL證明△ABO≌△ADO，從而可證四邊形ABCD是菱形；（2）利用菱形的性質(zhì)，求得OA的長，再利用勾股定理，求得BO的長，進而可得BD的長.【解題過程】解：（1）四邊形ABCD是菱形，理由：∵BD垂直平分AC，∴AB=BC，AD=DC，BD⊥AC，∴∠AOB=∠AOD=90°，∵AO=AO，AB=AD，∴△ABO≌△ADO（HL），∴AB=AD，∴AB=BC=CD=DA，∴四邊形ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，∴OA=AC=4，BD=2BO，∵AB=5，∴BO==3，∴BD=6.【知識點】垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)和判定，勾股定理23．（2019甘肅省蘭州市，23，7分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過等邊三角形BOC的頂點B，OC=2，點A在反比例函數(shù)圖象上，連接AC，OA.（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）若四邊形ACBO的面積是，求點A的坐標.【思路分析】【解題過程】解：（1）作BD⊥OC于D，∵△BOC是等邊三角形，∴OB=OC=2，OD=OC=1，∴BD==，∴S△OBD=OD×BD=，S△OBD=|k|，∴|k|=，∵反比例函數(shù)的圖象在第一三象限，的圖象在一三象限，∴k=，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）∵S△OBC=OC?BD=×2×=，∴S△AOC==，∵S△AOC=OC?yA=，∴yA=，把y=代入，求得x=，∴點A的坐標為（，）．【知識點】全等三角形的性質(zhì)和判定，反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，反比例函數(shù)的解析式24．（2019甘肅省蘭州市，24，7分）為了解某校八年級學生一門課程的學習情況，小佳和小麗分別對八年級1班和2班本門課程的期末成績進行了調(diào)查分析.小佳對八年級1班全班學生（25名）的成績進行分析，過程如下：收集、整理數(shù)據(jù)：分析數(shù)據(jù)：小麗用同樣的方法對八年級2班全班學生（25名）的成績進行分析，數(shù)據(jù)如下：根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）已知八年級1班學生的成績在80≤x＜90這一組的數(shù)據(jù)如下：85，87，88，80，82，85，83，85，87，85根據(jù)上述數(shù)據(jù)，將表二補充完整；（2）你認為哪個班級的成績更為優(yōu)異？請說明理由.【思路分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義找出第13個數(shù)，然后確定80≤x＜90這一組中最小的數(shù)即可；（2）從平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)和方差的意義可判斷八年級1班學生的成績更為優(yōu)異.【解題過程】解：（1）共有25個數(shù)據(jù)，第13個數(shù)落在80≤x＜90這一組中，此組最小的數(shù)為第13個數(shù)，所以八年級1班學生的成績的中位數(shù)為80；故答案為80；（2）八年級1班學生的成績更為優(yōu)異．理由如下：八年級1班學生的成績的平均數(shù)比2班高，1班的中位數(shù)比2班的中位數(shù)大，并且1班的眾數(shù)為85，比2班的眾數(shù)大，1班的方差比2班小，比較穩(wěn)定.【知識點】中位數(shù)和眾數(shù)，算術平均數(shù)，方差25．（2019甘肅省蘭州市，25，7分）某數(shù)學課題研究小組針對蘭州市住房窗戶“如何設計遮陽蓬”這一課題進行了探究，過程如下：問題提出：如圖1是某住戶窗戶上方安裝的遮陽蓬，要求設計的遮陽蓬能最大限度地遮住夏天炎熱的陽光，又能最大限度地使冬天溫暖的陽光射入室內(nèi).方案設計：如圖2，該數(shù)學課題研究小組通過調(diào)查研究設計了垂直于墻面AC的遮陽蓬CD.數(shù)據(jù)收集：通過查閱相關資料和實際測量：蘭州市一年中，夏至日這一天的正午時刻太陽光線DA與遮陽蓬CD的夾角∠ADC最大（∠°）；冬至日這一天的正午時刻，太陽光線DB與遮陽蓬CD的夾角∠BDC最?。ā稀悖?窗戶的高度AB=2m.問題解決：根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，求遮陽蓬CD的長.°≈°≈°≈°≈°≈°≈4.49）【思路分析】根據(jù)正切的定義，分別用CD表示出BC、AC，根據(jù)題意列式計算即可．【解題過程】解：在Rt△DCB中，tan∠BDC=，則BC=CD?tan∠BDC≈0.59CD，在Rt△DCA中，tan∠ADC=，則AC=CD?tan∠ADC≈4.49CD，由題意得，AC-BC=AB，即4.49CD-0.59CD=2，解得，CD≈0.5m，答：遮陽蓬CD的長約為0.5m．【知識點】解直角三角形及其應用26．（2019甘肅省蘭州市，26，9分）如圖，在△ABC中，AB=AC=6cm，BC=8cm，點D為BC的中點，BE=DE，將∠BDE繞點D順時針旋轉度（），角的兩邊分別交直線AB于M、N兩點，設B、M兩點間的距離為xcm，M,N兩點間的距離為ycm.小濤根據(jù)學習函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究.下面是小濤的探究過程，請補充完整.（1）列表：下表的已知數(shù)據(jù)是B,M兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量,分別得到了y與x的幾組對應值：請你通過計算，補全表格；（2）描點、連線，在平面直角坐標系xOy中，描出表格中各組數(shù)值所對應的點（x，y）,并畫出函數(shù)y關于x的圖象.（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：.（4）解決問題：當MN=2BM時，BM的長度大約是cm.（保留兩位小數(shù)）.【思路分析】【解題過程】解：（1）①當x=BM=0時，連接AD，則AD⊥BC，BD=CD=BC=4，cos∠ABD===cosα，則sinα=，則y=MN=BN==3；②x=BM=，在△MBD中，BD=4，BM=，cos∠B==cosα，tanα=，過點M作MH⊥BD于點H，則BH=BMcosα=，則EH=，MD2=HD2+EH2=，則BD2=BM2+MD2，故∠BMD=90°，則y=MN=MDtanα=（DBsinα）tanα=；（2）描點出如下圖象，從圖象可以看出：0≤x≤1.25時，y隨x最大而減小，當1.25＜x≤4.10時，y隨x最大而增大；（3）MN=2BM，即y=2x，在上圖中作直線y=2x，直線與曲線交點的縱坐標為：2.68和7.45，故答案為：2.68或7.45．【知識點】27．（2019甘肅省蘭州市，27，10分）通過對下面數(shù)學模型的研究學習，解決第27題、第28題.【模型呈現(xiàn)】如右圖，在Rt△ABC，∠ACB=90°，將斜邊AB繞點A順時針旋轉90°得到AD，過點B作DE⊥AC于點E，可以推理得到△ABC≌△DAE，進而得到AC=DE，BC=AE，我們把這個數(shù)學模型成為“K型”.推理過程如下：【模型應用】27.（10分）如圖，在Rt△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ACB=90°，BC=2，將斜邊AB繞點A順時針旋轉一定的角度得到AD，過AD作DE⊥AC于點E，∠DAE=∠ABC，DE=1，連接DO交⊙O于點F.（1）求證：AD是⊙O的切線；（2）連接FC交AB于點G，連接FB.求證：.【思路分析】（1）根據(jù)圓的直徑所對的圓周角是直角，可得∠ABC+∠BAC=90°，根據(jù)等量代換，可得∠DAE+∠BAC=90°，進而易證AD是⊙O的切線；（2）延長DO交BC于點H，連接OC，利用AAS證明△DEA≌△ACB，再根據(jù)勾股定理，求出AD，AB的值，根據(jù)兩邊成比例，且夾角相等，易證△DAO∽△AED，再證明DH⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)，可得∠BOH=∠BOC，又根據(jù)∠BFG=∠BOC，可得∠FOG=∠BFG，進而可證△FGO∽△BGF，即可得證.【解題過程】證明：（1）∵⊙O為Rt△ABC的外接圓，∴O為斜邊AB中點，AB為直徑，∵∠ACB=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∵∠DAE=∠ABC，∴∠DAE+∠BAC=90°，∴∠BAD=180°-（∠DAE+∠BAC）=90°，∴AD⊥AB，∴AD是⊙O的切線；（2）延長DO交BC于點H，連接OC，∵DE⊥AC于點E，∴∠DEA=90°，∵AB繞點A旋轉得到AD，∴AB=AD，在△DEA與△ACB中，，∴△DEA≌△ACB（AAS），∴AE=BC=2，AC=DE=1，∴AD=AB=，∵O為AB中點，∴AO=AB=，∴，∵∠DAO=∠AED=90°，∴△DAO∽△AED，∴∠ADO=∠EAD，∴DO∥EA，∴∠OHB=∠ACB=90°，即DH⊥BC，∵OB=OC，∴OH平分∠BOC，即∠BOH=∠BOC，∵∠FOG=∠BOH，∠BFG=∠BOC，∴∠FOG=∠BFG，∵∠FGO=∠BGF，∴△FGO∽△BGF，∴，∴FG2=GO?GB.【知識點】圓的有關概念及性質(zhì)，與圓有關的位置關系，等腰三角形的性質(zhì)和判定，相似的性質(zhì)和判定，平移、旋轉與對稱28．（2019甘肅省蘭州市，28，12分）【模型遷移】二次函數(shù)的圖象交x軸于點（-1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C，動點M從點A出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設運動的時間為t秒.（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）連接BD，當t=時，求△DNB的面積；（3）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標；（4）當t=時，在直線MN上存在一點Q，使得∠AQC+∠OAC=90°,求點Q的坐標.【思路分析】（1）將點A（-1，0），B（4，0）代入y=ax2+bx+2即可求出解析式；（2）利用待定系數(shù)法求出