2021年上海金融學(xué)院附屬東輝外國語高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

2021年上海金融學(xué)院附屬東輝外國語高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.集合,則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B

試題分析：因?yàn)?,所以，故選B.考點(diǎn)：1、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式的解法；2、集合交集的應(yīng)用.2.已知雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為，則C的方程是（

）A. B.C. D.參考答案：B【分析】通過雙曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為可以求出，漸近線方程為，可以得到，結(jié)合，可以求出的值，最后求出雙曲線的方程.【詳解】因?yàn)殡p曲線C的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為所以，又因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，所以有，而，所以解得，因此雙曲線方程為，故本題選B.3.已知、是三次函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且，，則的取值范圍是（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A略4.“”是“成立”的

A.充分不必要條件

B.充分必要條件

C.必要不充分條件

D.既不充分也不必要條件參考答案：C等價(jià)于，故選C．5.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D6.已知若，那么正整數(shù)的值為

（

）A.4.

B.3.

C.6.

D.5.

參考答案：A7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)的為A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD為正方形，PA⊥底面ABCD，若AB=2，PA=1，則此四棱錐的外接球的體積為（）A．36π B．16π C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】球內(nèi)接多面體．【分析】把四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成一個(gè)長方體，可知：此長方體的對(duì)角線為四棱錐P﹣ABCD的外接球的直徑2R．利用勾股定理得出R，即可得出此四棱錐的外接球的體積．【解答】解：把四棱錐P﹣ABCD補(bǔ)成一個(gè)長方體，可知：此長方體的對(duì)角線為四棱錐P﹣ABCD的外接球的直徑2R．∴（2R）2=22+22+12=9，∴R=，∴此四棱錐的外接球的體積為=．故選：C．9.若,,,則

(

)

A.a>b>c

B.

b>c>a

C

c>b>a

D.b>a>c參考答案：C10.計(jì)算：------------------------------------------（★）A．B．C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在三個(gè)數(shù)，，中，最小的數(shù)是__________．參考答案：，．故三個(gè)數(shù)，，中最小的數(shù)是．12.已知等差數(shù)列中，，公差，且成等比數(shù)列，，則數(shù)列的前項(xiàng)和

；參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列的求和等比數(shù)列等差數(shù)列試題解析：因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，，

=若n為奇數(shù)，則，若n為偶數(shù)，則。

所以，

故答案為：答案：13.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中主視圖、俯視圖與左視圖均是半徑為2的圓，則這個(gè)幾何體的表面積是．參考答案：17π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體是球體切去后余下的部分，球的半徑為2，代入球的表面積公式可得答案．【解答】解：由三視圖知：幾何體是球體切去后余下的部分，∵球的半徑為2，∴幾何體的表面積S=（1﹣）×4π×22+π×22=17π．故答案為：17π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解答此類問題的關(guān)鍵．14.已知在R上是奇函數(shù)，且滿足，當(dāng)時(shí)，，則_______________參考答案：-215.15．設(shè)為平面內(nèi)的個(gè)點(diǎn)，在平面內(nèi)的所有點(diǎn)中，若點(diǎn)到點(diǎn)的距離之和最小，則稱點(diǎn)為點(diǎn)的一個(gè)“中位點(diǎn)”．例如，線段上的任意點(diǎn)都是端點(diǎn)的中位點(diǎn)．則有下列命題：①若三個(gè)點(diǎn)共線，在線段上，則是的中位點(diǎn)；②直角三角形斜邊的點(diǎn)是該直角三角形三個(gè)頂點(diǎn)的中位點(diǎn)；③若四個(gè)點(diǎn)共線，則它們的中位點(diǎn)存在且唯一；④梯形對(duì)角線的交點(diǎn)是該梯形四個(gè)頂點(diǎn)的唯一中位點(diǎn)．其中的真命題是____________．（寫出所有真命題的序號(hào)）參考答案：①④16.(13)若二項(xiàng)式的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為-160，則=____________________.（文科）下表是某廠1～4月份用水量（單位：百噸）的一組數(shù)據(jù)，月

份1234用水量4.5432.5由其散點(diǎn)圖可知，用水量與月份之間有較好的線性相關(guān)關(guān)系，其線性回歸方程是__________________________．

參考答案：6（文略17.已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），設(shè)其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，恒有xf′（x）＜f（﹣x），令F（x）=xf（x），則滿足F（3）＞F（2x﹣1）的實(shí)數(shù)x的取值范圍是．參考答案：（﹣1，2）【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和條件，通過導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)F（x）的單調(diào)性，利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式即可．【解答】解：∵f（x）是奇函數(shù)，∴不等式xf′（x）＜f（﹣x），等價(jià)為xf′（x）＜﹣f（x），即xf′（x）+f（x）＜0，∵F（x）=xf（x），∴F′（x）=xf′（x）+f（x），即當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，F(xiàn)′（x）=xf′（x）+f（x）＜0，函數(shù)F（x）為減函數(shù)，∵f（x）是奇函數(shù)，∴F（x）=xf（x）為偶數(shù)，且當(dāng)x＞0為增函數(shù)．即不等式F（3）＞F（2x﹣1）等價(jià)為F（3）＞F（|2x﹣1|），∴|2x﹣1|＜3，∴﹣3＜2x﹣1＜3，即﹣2＜2x＜4，∴﹣1＜x＜2，即實(shí)數(shù)x的取值范圍是（﹣1，2），故答案為：（﹣1，2）．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列滿足，且當(dāng)時(shí)，恒成立.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求和.參考答案：解：（1）

1分

2分所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列

4分

6分（2）

8分

9分

12分

13分

19.（12分）已知橢圓C：（a＞b＞0）的離心率為，P是橢圓C上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離等于+1（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓C相交于不同兩點(diǎn)A，B，設(shè)N為橢圓上一點(diǎn)，是否存在整數(shù)t，使得t?=+（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）？若存在，試求整數(shù)t的所有取值；若不存在，請(qǐng)說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的定義．【分析】（Ⅰ）由離心率為，可得a2=2b2，代入點(diǎn)（0，﹣1），可求解a，b的值，則橢圓方程可求；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，和橢圓聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求出k的范圍，利用根與系數(shù)關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和與積，代入t?=+后得到P點(diǎn)的坐標(biāo)，把P點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程后得到t與k的關(guān)系，由k的范圍確定t的范圍，可得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）由題知離心率為，所以a2=2b2．又因?yàn)辄c(diǎn)P到橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)的最大距離等于+1，所以a+c=+1，所以b2=1，a2=2．故C的方程為=1…（3分）（Ⅱ）由題意知直線直線AB的斜率存在．設(shè)AB方程為y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y），由y=k（x﹣2）代入=1，得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0．△=64k2﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2＜．

…x1+x2=，x1x2=，∵t?=+，∴（x1+x2，y1+y2）=t（x，y）．∴x=，y=﹣．…（8分）∵點(diǎn)N在橢圓上，∴[]2+2?[﹣]=2，∴16k2=t2（1+2k2），∴t2=＜4，∴﹣2＜t＜2．∴整數(shù)t值為﹣1，0，1．…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，訓(xùn)練了利用代入法求解變量的取值范圍．屬中檔題．20.（13分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，N為圓A：上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B（1，0），點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AN上，且

（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（II）試判斷以PB為直徑的圓與圓=4的位置關(guān)系，并說明理由.參考答案：

解析：（I）解：由點(diǎn)M是BN中點(diǎn)，又，

可知PM垂直平分BN.所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，

所以|PA|+|PB|=4.

由橢圓定義知，點(diǎn)P的軌跡是以A，B為焦點(diǎn)的橢圓.

設(shè)橢圓方程為，

由2a=4，2c=2，可得a2=4，b2=3.

可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡方程為…………6分

（II）解：設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)為Q，則，

，

即以PB為直徑的圓的圓心為，半徑為，

又圓的圓心為O（0，0），半徑r2=2，

又

=，

故|OQ|=r2－r1，即兩圓內(nèi)切.……………………13分21.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，（1）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）令，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：對(duì)任意，都有.參考答案：（1）；（2）證明見解析．試題分析：（1）用首項(xiàng)，公差表示出已知條件，并解出，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得；（2）由（1）得，由此可求得，利用函數(shù)的單調(diào)性可證明結(jié)論．考點(diǎn)：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，裂項(xiàng)相消法求和，數(shù)列與不等式的綜合．22.（10分）已知函數(shù)，其中實(shí)數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式的解集為，求的值.參考答案：(1)不等式的解集為;(2)試題分析：（1）將代入得一絕對(duì)值不等式：，解此不等式即可.（2）含絕對(duì)值的不等式，一般都去掉絕對(duì)值符號(hào)求解。本題有以下三種考慮：思路一、根據(jù)的符號(hào)去絕對(duì)值.時(shí)，，所以原不等式轉(zhuǎn)