第一章·有理數(shù)·第1課時(shí)·有理數(shù)和數(shù)軸

初中數(shù)學(xué)第一章《有理數(shù)》“有理數(shù)和數(shù)軸”培訓(xùn)教程知識(shí)點(diǎn)精講第一節(jié)：正數(shù)和負(fù)數(shù)從中學(xué)開(kāi)始，我們對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)在小學(xué)基礎(chǔ)上進(jìn)一步擴(kuò)展和深化。中學(xué)數(shù)學(xué)把整數(shù)分為正整數(shù)，0和負(fù)整數(shù)，把分?jǐn)?shù)分為正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)。數(shù)不僅有正數(shù)和負(fù)數(shù)之分，而且有了更具體的分類(lèi)。問(wèn)(1)：什么是正數(shù)？什么是負(fù)數(shù)？如何劃分正數(shù)和負(fù)數(shù)？答：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。如果一個(gè)數(shù)的前面是一個(gè)正號(hào)，即：“＋”號(hào)，這個(gè)數(shù)就表示正數(shù)，“＋”號(hào)通?？梢允÷?。小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。如果一個(gè)數(shù)的前面是一個(gè)負(fù)號(hào)，即：“－”號(hào)，這個(gè)數(shù)就表示負(fù)數(shù)，“－”號(hào)不省略。問(wèn)(2)："0"在正數(shù)和負(fù)數(shù)中有什么作用和意義？、答：作用：0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)。它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界數(shù)。意義：0不僅可以表示沒(méi)有，也可以用來(lái)表示一個(gè)確定的意義。比如：海拔高度0米，不是表示沒(méi)有高度，而是表示一個(gè)確定的海拔高度值。溫度0度，不是表示沒(méi)有溫度，而是表示一個(gè)確定的溫度值。問(wèn)(3)：如何劃分正整數(shù)和負(fù)整數(shù)？答：大于0的整數(shù)，稱(chēng)之為正整數(shù)。比如：1，2，3，…。小于0的整數(shù)，稱(chēng)之為負(fù)整數(shù)。比如：－1，－2，－3，…。問(wèn)(4)：“0”答：0是整數(shù)，但它既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)的分界數(shù)。問(wèn)(5)：如何劃分正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)？答：大于0的分?jǐn)?shù)，稱(chēng)之為正分?jǐn)?shù)。小于0的分?jǐn)?shù)，稱(chēng)之為負(fù)分?jǐn)?shù)。比如：，，，，1，1，，都是正分?jǐn)?shù)。－，－，－，－，－1，－1，－，－都是負(fù)分?jǐn)?shù)。問(wèn)(6)：“0”答：0是整數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，它是正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)的分界數(shù)。問(wèn)(7)：分?jǐn)?shù)和小數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？答：聯(lián)系：分?jǐn)?shù)和小數(shù)中的有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化。用分?jǐn)?shù)的分子除以分母可以把分?jǐn)?shù)化成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)的形式。反之，有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)也可以化成分?jǐn)?shù)。比如：分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)。=0.25，－=－0.5，－1=－1.333…=－1.，=0.1666…=0.1。有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以化成分?jǐn)?shù)。1.25=1，－1.5=－1，0.=0.333…=，－1.1=－1.1666…=－1。區(qū)別：分?jǐn)?shù)和小數(shù)在形式上有明顯區(qū)別，是兩種不同的數(shù)的表示形式，不是從屬關(guān)系。小數(shù)里不能包含分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)里不能包含小數(shù)。雖然分?jǐn)?shù)和小數(shù)中的有限小數(shù)、無(wú)限循環(huán)小數(shù)可以互相轉(zhuǎn)化。但分?jǐn)?shù)和小數(shù)中的無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能互相轉(zhuǎn)化。分?jǐn)?shù)不能化成無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，反之，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)。第二節(jié)：有理數(shù)中學(xué)數(shù)學(xué)把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)一起來(lái)，統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)。問(wèn)(1)：什么是有理數(shù)？答：有理數(shù)就是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱(chēng)。問(wèn)(2)：有理數(shù)是如何分類(lèi)的？答：一是按定義分。有理數(shù)包括整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩大類(lèi)。其中，整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。其中的正整數(shù)和0又可統(tǒng)稱(chēng)為非負(fù)整數(shù)或自然數(shù)。如下圖所示：正整數(shù)：1，2，3，…整數(shù)0負(fù)整數(shù)：－1，－2，－3，…有理數(shù)正分?jǐn)?shù)：，，1，，…分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)：－，－，－1，－，…二是按正數(shù)、0、負(fù)數(shù)分。有理數(shù)包括正有理數(shù)、0、負(fù)有理數(shù)。其中，正有理數(shù)包括正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)，負(fù)有理數(shù)包括負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。如下圖所示：?jiǎn)?3)：有理數(shù)中的整數(shù)和分?jǐn)?shù)之間有什么關(guān)系？答：有理數(shù)中的整數(shù)可以化成分母為1的分?jǐn)?shù)的形式，分?jǐn)?shù)可以看作是兩個(gè)整數(shù)之比。但有理數(shù)中的整數(shù)和分?jǐn)?shù)是兩種不同的數(shù)的表示形式，不是從屬關(guān)系。比如：任意一個(gè)整數(shù)－23=－，－17=－，0=，12=，19=，都可以化成分母為1的分?jǐn)?shù)的形式。任意一個(gè)分?jǐn)?shù)－，－，，，－1=－，1=，都可以看作是兩個(gè)整數(shù)之比。問(wèn)(4)：有理數(shù)和小數(shù)、百分?jǐn)?shù)之間有什么關(guān)系？答：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)。小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)是四種不同的數(shù)的表示形式，不是從屬關(guān)系。小數(shù)、百分?jǐn)?shù)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù)。第三節(jié)：數(shù)軸把正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)，正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)這些數(shù)在圖形上表示出來(lái)，這個(gè)圖形就是數(shù)軸。數(shù)軸就是用于表示數(shù)的具有原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線。數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，每一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都可以找到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。問(wèn)(1)：什么是數(shù)軸？答：用于表示數(shù)的具有原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。問(wèn)(2)：數(shù)軸的作用和構(gòu)成要素是什么？答：數(shù)軸的作用就是用于表示數(shù)。數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，每一個(gè)數(shù)在數(shù)軸上都可以找到它的對(duì)應(yīng)點(diǎn)。答：原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度是構(gòu)成數(shù)軸的三要素。只有具備了原點(diǎn)、正方向、單位長(zhǎng)度的直線才能構(gòu)成數(shù)軸。①數(shù)軸的原點(diǎn)就是數(shù)軸上的正半軸和負(fù)半軸的分界點(diǎn)，用數(shù)字0表示。以原點(diǎn)為分界點(diǎn)，把負(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的一半數(shù)軸稱(chēng)之為負(fù)半軸，正數(shù)對(duì)應(yīng)的一半數(shù)軸稱(chēng)之為正半軸。②數(shù)軸的正方向就是數(shù)軸所在直線上箭頭所指的方向。箭頭所指的方向?yàn)檎较?，與箭頭相反的方向?yàn)樨?fù)方向。③數(shù)軸的單位長(zhǎng)度是指數(shù)軸上以原點(diǎn)0為起點(diǎn)，以相等的長(zhǎng)度劃分的單位。通常設(shè)單位長(zhǎng)度為1。單位長(zhǎng)度不是長(zhǎng)度測(cè)量單位，沒(méi)有固定的間距，可根據(jù)需要確定長(zhǎng)短。同一數(shù)軸上，單位長(zhǎng)度的間距必須相等。問(wèn)(3)：數(shù)軸有幾種形式？答：數(shù)軸包括“橫軸”和“縱軸”兩種形式。如圖1，與水平線平行的數(shù)軸，稱(chēng)之為“橫軸”。如圖2，與水平線垂直的數(shù)軸，稱(chēng)之為“縱軸”。圖1：－5－4－3－2－1O12345圖2：543210－1－2－3問(wèn)(4)：數(shù)軸有哪幾種畫(huà)法？答：數(shù)軸有橫軸和縱軸兩種畫(huà)法：①橫軸的畫(huà)法：如圖1所示。1)畫(huà)一條與水平線平行的直線，在直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，用數(shù)“0”2)從原點(diǎn)0出發(fā)，向右的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；向左的方向?yàn)樨?fù)方向，不用箭頭表示。3)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，通常設(shè)單位長(zhǎng)度為1，單位長(zhǎng)度的間距相等。從原點(diǎn)0出發(fā)，向右每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次用正整數(shù)表示；從原點(diǎn)0出發(fā)，向左每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次用負(fù)整數(shù)表示。②縱軸的畫(huà)法：如圖2所示。1)如圖2，畫(huà)一條與水平線垂直的直線，在直線上取一點(diǎn)作為原點(diǎn)，用數(shù)“0”表示。2)從原點(diǎn)0出發(fā)，向上的方向?yàn)檎较?，用箭頭表示；向下的方向?yàn)樨?fù)方向，不用箭頭表示。3)選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度作為單位長(zhǎng)度，通常設(shè)單位長(zhǎng)度為1，單位長(zhǎng)度的間距相等。從原點(diǎn)0出發(fā)，向上每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次用正整數(shù)表示；從原點(diǎn)0出發(fā)，，向下每隔一個(gè)單位長(zhǎng)度取一個(gè)點(diǎn)，依次用負(fù)整數(shù)表示。問(wèn)(5)：數(shù)軸上的數(shù)具有什么分布規(guī)律？答：規(guī)定：數(shù)軸上的數(shù)依箭頭所指的方向，以原點(diǎn)0為分界點(diǎn)，按從小到大的順序排列。圖1：－5－4－3－2－1O12345①如圖1，橫軸向右的箭頭所指的方向是正方向。以原點(diǎn)0為分界點(diǎn)，越向右越大，越向左越小。所以，橫軸上，左邊的數(shù)總是小于右邊的數(shù)。即：左小右大。②如圖2，縱軸向上的箭頭所指的方向是正方向。以原點(diǎn)0為分界點(diǎn)，越向上越大，越向下越小。所以，縱軸上，下邊的數(shù)總是小于上邊的數(shù)，即：下小上大。圖2：543210－1－2－3典型題型精編解析選擇題：1.若a>0，且a>b，則b是（）A.正數(shù)B.負(fù)數(shù)C.0或負(fù)數(shù)D.負(fù)數(shù)、0或正數(shù)【答案】D【解析】數(shù)軸上的數(shù)按“負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)，從小到大”的分布規(guī)律排列。a＞0，則a是正數(shù)。a＞b，所以b可能是負(fù)數(shù)、0或正數(shù)。注意：不要忽略正數(shù)。故選D。2.下列結(jié)論中，正確的是（）A.有理數(shù)可分成正有理數(shù)和負(fù)有理數(shù)兩大類(lèi)B.分?jǐn)?shù)都可以化成小數(shù)，小數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)C.沒(méi)有最大的有理數(shù)，也沒(méi)有最小的有理數(shù)D.0是正整數(shù)和負(fù)整數(shù)、正分?jǐn)?shù)和負(fù)分?jǐn)?shù)的分界數(shù)，所以0既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)【答案】C【解析】有理數(shù)不僅包括正數(shù)和負(fù)數(shù)，還包括0，0是非正非負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤。分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)，無(wú)限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，故B錯(cuò)誤。0是整數(shù)，不是分?jǐn)?shù)，故D錯(cuò)誤。有理數(shù)可以無(wú)限大，也可以無(wú)限小，故C正確。選C。3.下列各圖中（）是數(shù)軸A.B.C.D.【答案】D【解析】原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度是數(shù)軸的三要素，缺一不可。A中單位長(zhǎng)度既代表1，又代表2，單位長(zhǎng)度不相等。B中箭頭向左，指向了負(fù)方向。C中無(wú)原點(diǎn)，且單位長(zhǎng)度有長(zhǎng)有短，不相等。只有D滿足數(shù)軸的三要素，有原點(diǎn)，箭頭向左、指向正方向，單位長(zhǎng)度相等。故選D。4.數(shù)軸上四點(diǎn)E、F、G、H對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是a、b、c、d，且b＜a＜0，d＞c＞0，則數(shù)軸的原點(diǎn)在（）①E點(diǎn)的左側(cè)②點(diǎn)F、H之間③G點(diǎn)的右側(cè)④點(diǎn)E、G之間【答案】④【解析】以橫軸為圖示，由已知畫(huà)出圖示。∵數(shù)軸上的數(shù)按“負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)，從小到大”的分布規(guī)律排列。∴b＜a＜0，點(diǎn)F在E的左邊，且點(diǎn)E、F在原點(diǎn)0的左側(cè)。d＞c＞0，點(diǎn)H在G的右邊，且點(diǎn)G、H在原點(diǎn)0的右側(cè)。∴原點(diǎn)0在E、G點(diǎn)之間。故選④。填空題：1.一種商品的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)是200元，隨季節(jié)的變化，該商品的價(jià)格可浮動(dòng)±10%。若超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)價(jià)的浮動(dòng)價(jià)格記為“＋”，低于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)的浮動(dòng)價(jià)格記為“－”，則該商品的浮動(dòng)價(jià)格最高為_(kāi)_____元，最低為_(kāi)_____元。【答案】＋220，－180【解析】由已知可知：該商品的浮動(dòng)價(jià)格=標(biāo)準(zhǔn)價(jià)×(1±10%)=200×(1±10%)?！?0%就是商品標(biāo)準(zhǔn)價(jià)可上漲或下降的最高和最低百分比。上漲取“＋”號(hào)，下降取“－”號(hào)?！嗌蠞q時(shí)，該商品的浮動(dòng)價(jià)格最高為：200×(1＋10%)=220。下降時(shí)，該商品的浮動(dòng)價(jià)格最低為：200×(1－10%)=180。按題目要求：220超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)價(jià)，記作＋220。180低于標(biāo)準(zhǔn)價(jià)，記作－180。注意題目要求，答案不是“220，180”，而是“＋220，－180”2.若某數(shù)比某數(shù)“小幾”，則用“－幾”表示；若某數(shù)比某數(shù)“大幾”，則用“＋幾”表示。已知86比95小，“小幾”可表示為_(kāi)____；那么107比95大，“大幾”可表示為_(kāi)____。【答案】－9；＋12【解析】由題目要求可知：“－”號(hào)表示“小”，則“＋”表示“大”?！唷埃?”表示小9，“＋12”表示大12。此時(shí)，正數(shù)和負(fù)數(shù)的符號(hào)相反、意義相反。注意：此時(shí)“＋”號(hào)有意義，不能省略。如果只是符號(hào)，可以省略。3.以下各數(shù)中，不是有理數(shù)的是______________。，－1.424242……，，，10%，3.14，0.20200220002……(注：是圓周率。)【答案】－1.424242……，，10%，3.14，0.20200220002……【解析】整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)有理數(shù)。小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)是四種不同的數(shù)的表示形式，不是從屬關(guān)系。小數(shù)、百分?jǐn)?shù)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù)。所以，－1.424242……，，10%，3.14，0.20200220002……都不是有理數(shù)。，是分?jǐn)?shù)，是有理數(shù)。故得出以上答案。4.如圖，△ABC的邊BC在數(shù)軸上，原點(diǎn)為點(diǎn)O，高AO=5，且OB=2OC，S△ABC=30，則點(diǎn)B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是_______和_______。【答案】－8和4【解題思路】由已知得：S△ABC=·AO·BC=·5·3OC=30。解得：OC=4。則：OB=2OC=8。由此確定點(diǎn)D、E在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)數(shù)的為－8和4。解答題：1.已知一組數(shù)5，－2，2.7，－4.1，3，－，0。(1)將以上各數(shù)按從小到大的順序排列，并用“<”連接；(2)按有理數(shù)的類(lèi)別，將以上各數(shù)分類(lèi)?！敬鸢浮?1)將以上各數(shù)按從小到大的順序排列，并用“＜”連接；【答案】－4.1＜－＜－2＜0＜2.7＜3＜5。【解析】數(shù)軸上的數(shù)按“負(fù)數(shù)＜0＜正數(shù)，從小到大”的順序排列。小于0的負(fù)數(shù)是：－4.1，－2，－。排序大小是：－4＜－＜－2大于0的正數(shù)是：5，2.7，3。排序大小是：2＜3＜5。∴這組數(shù)從小到大排列為：－4.1＜－＜－2＜0＜2.7＜3＜5?！咀ⅰ空?fù)數(shù)混合比較大小，最好先正、負(fù)分組，再比較大小。(2)按有理數(shù)的類(lèi)別，將以上各數(shù)分類(lèi)?！敬鸢浮咳缦聢D所示：①整數(shù)②分?jǐn)?shù)注：2.7、－4.1是小數(shù)，不是有理數(shù)?！窘馕觥坑欣頂?shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩大類(lèi)。整數(shù)包括正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)。5是正整數(shù)，－2是負(fù)整數(shù)。0是整數(shù)，但它既不是正整數(shù)，也不是負(fù)整數(shù)，它是正、負(fù)整數(shù)的分界數(shù)。分?jǐn)?shù)包括正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)。3是正分?jǐn)?shù)，－是負(fù)分?jǐn)?shù)。小數(shù)是一種獨(dú)立的數(shù)的表示形式，小數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù)之間不是從屬關(guān)系。小數(shù)既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，不是有理數(shù)，所以不能在有理數(shù)范圍內(nèi)分類(lèi)。其中的小數(shù)2.7、－4.1表示一個(gè)獨(dú)立的小數(shù)類(lèi)別,可單獨(dú)標(biāo)注列出。2.在數(shù)軸上有一條線段AB，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為－2、7。(1)用橫軸和縱軸兩種形式畫(huà)數(shù)軸，標(biāo)出原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，寫(xiě)出作法，并把點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示出來(lái)；(2)線段AB=_______；若點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為_(kāi)_______?！敬鸢浮?1)用橫軸和縱軸兩種形式畫(huà)數(shù)軸，標(biāo)出正方向、原點(diǎn)和單位長(zhǎng)度，寫(xiě)出作法，并把點(diǎn)A、B在數(shù)軸上表示出來(lái)；畫(huà)