中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題幾何探究問題課件

專題五幾何探究問題幾何探究問題主要涉及利用三角形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的探索與證明、三角形和四邊形的綜合探索與證明以及幾何動態(tài)問題等.這是中考對幾何推理與證明能力考查的必然體現(xiàn),重在提高學(xué)生對圖形及性質(zhì)的認(rèn)識,訓(xùn)練學(xué)生的推理能力,解題時應(yīng)注意演繹推理與合情推理的結(jié)合.全國各地的中考數(shù)學(xué)試題都把幾何探究問題作為中考的壓軸題之一,安徽省中考也是如此,如2016年的第23題、2015年的第23題、第2014年的第23題、2013年的第23題等.預(yù)計2017年安徽中考中,這類問題仍是考查的重點(diǎn)之一,需重點(diǎn)復(fù)習(xí).幾何探究問題是中考必考題型,考查知識全面,綜合性強(qiáng),它把幾何知識與代數(shù)知識有機(jī)結(jié)合起來,滲透數(shù)形結(jié)合思想,重在考查分析問題的能力、邏輯思維推理能力.如折疊類型、探究型、開放型、運(yùn)動型、情境型等,背景鮮活,具有實(shí)用性和創(chuàng)造性,在考查考生計算能力的同時,考查考生的閱讀理解能力、動手操作能力、抽象思維能力、建模能力,力求引導(dǎo)考生將數(shù)學(xué)知識運(yùn)用到實(shí)際生活中去.需要通過觀察、分析、比較、概括、推理、判斷等來確定所需求的結(jié)論、條件或方法,因而解題的策略是將其轉(zhuǎn)化為封閉性問題.常用的解題策略:1.找特征或模型:如中點(diǎn)、特殊角、折疊、相似結(jié)構(gòu)、三線合一、三角形面積等;2.找思路:借助問與問之間的聯(lián)系,尋找條件和思路;3.照搬:照搬前一問的方法和思路解決問題,如照搬字母、照搬輔助線、照搬全等、照搬相似等;4.找結(jié)構(gòu):尋找不變的結(jié)構(gòu),利用不變結(jié)構(gòu)的特征解決問題.常見的不變結(jié)構(gòu)及方法:有直角,作垂線,找全等或相似;有中點(diǎn),作倍長,通過全等轉(zhuǎn)移邊和角;有平行,找相似,轉(zhuǎn)比例.題型2題型1題型3題型1

與全等三角形有關(guān)的探究典例1

(2016·山東泰安)(1)已知:△ABC是等腰三角形,其底邊是BC,點(diǎn)D在線段AB上,E是直線BC上一點(diǎn),且∠DEC=∠DCE,若∠A=60°(如圖①),求證:EB=AD;(2)若將(1)中的“點(diǎn)D在線段AB上”改為“點(diǎn)D在線段AB的延長線上”,其他條件不變(如圖②),(1)的結(jié)論是否成立,并說明理由;(3)若將(1)中的“若∠A=60°”改為“若∠A=90°”,其他條件不變,則

的值是多少?(直接寫出結(jié)論,不要求寫解答過程)題型2題型1題型3【解析】(1)作DF∥BC交AC于F,由已知得△ABC和△ADF均為等邊三角形,則AD=DF,利用AAS證明△DBE≌△CFD,得EB=DF,從而EB=AD;(2)作DF∥BC交AC的延長線于點(diǎn)F,同(1)證出△DBE≌△CFD,得出EB=DF,即可得出結(jié)論;(3)作DF∥BC交AC于點(diǎn)F,同(1)得:△DBE≌△CFD,得出EB=DF,證出△ADF是等腰直角三角形,得出DF=AD,即可得出結(jié)果.題型2題型1題型3【答案】(1)作DF∥BC交AC于點(diǎn)F,如圖1所示.∴∠ADF=∠ABC,∠AFD=∠ACB,∠FDC=∠DCE,∵△ABC是等腰三角形,∠A=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°,∴∠DBE=120°,∠ADF=∠AFD=60°=∠A,∴△ADF是等邊三角形,∠DFC=120°,∴AD=DF,∵∠DEC=∠DCE,∴∠FDC=∠DEC,ED=CD,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.題型2題型1題型3(2)EB=AD成立.理由如下:作DF∥BC交AC的延長線于點(diǎn)F,如圖2所示.由(1)得AD=DF,∠FDC=∠ECD,∠FDC=∠DEC,ED=CD,又∵∠DBE=∠DFC=60°,∴△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∴EB=AD.題型2題型1題型3理由如下:作DF∥BC交AC于點(diǎn)F,如圖3所示:同(1)得:△DBE≌△CFD(AAS),∴EB=DF,∵△ABC是等腰直角三角形,DF∥BC,∴△ADF是等腰直角三角形,題型2題型1題型3題型2

與相似三角形有關(guān)的探究典例2

(2016·內(nèi)蒙古包頭)如圖,已知一個直角三角形紙片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F分別是AC,AB邊上的點(diǎn),連接EF.(1)如圖1,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,且使S四邊形ECBF=3S△EDF,求AE的長.(2)如圖2,若將紙片ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處,且使MF∥CA.①試判斷四邊形AEMF的形狀,并證明你的結(jié)論;②求EF的長.題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型2題型1題型3【答案】(1)如圖1,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)D處,∴EF⊥AB,△AEF≌△DEF,∴S△AEF≌S△DEF,∵S四邊形ECBF=3S△EDF,∴S△ABC=4S△AEF,在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,AC=4,BC=3,題型2題型1題型3(2)①四邊形AEMF為菱形.理由如下:如圖2,∵△ACB的一角沿EF折疊,折疊后點(diǎn)A落在AB邊上的點(diǎn)M處,∴AE=EM,AF=MF,∠AFE=∠MFE,∵M(jìn)F∥AC,∴∠AEF=∠MFE,∴∠AEF=∠AFE,∴AE=AF,∴AE=EM=MF=AF,∴四邊形AEMF為菱形.②連接AM交EF于點(diǎn)O,如圖2,設(shè)AE=x,則EM=x,CE=4-x,∵四邊形AEMF為菱形,∴EM∥AB,∴△CME∽△CBA,題型2題型1題型3(3)如圖3,作FH⊥BC于點(diǎn)H,∵EC∥FH,∴△NCE∽△NHF,設(shè)FH=4x,NH=7x,則CH=7x-1,BH=3-(7x-1)=4-7x,∵FH∥AC,∴△BFH∽△BAC,題型2題型1題型3題型2題型1題型3題型3

與全等和相似三角形有關(guān)的探究典例3

(2016·湖北黃石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=2α.(1)如圖1,若點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)為F,求證:△ADF∽△ABC.(2)如圖2,在(1)的條件下,若α=45°,求證:DE2=BD2+CE2.(3)如圖3,若α=45°,點(diǎn)E在BC的延長線上,則等式DE2=BD2+CE2還能成立嗎?請說明理由.

題型2題型1題型3【解析】本題考查軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理.(1)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得∠DAE=∠FAE,AD=AF,再得出∠BAC=∠DAF,然后根據(jù)兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似得以證明;(2)根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AD=AF,再求出∠BAD=∠CAF,然后利用邊角邊證明△ABD和△ACF全等,根據(jù)全等三角形性質(zhì)可得CF=BD,∠ACF=∠ABD,然后求出∠ECF=90°,最后利用勾股定理證明即可;(3)作點(diǎn)D關(guān)于AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得EF=DE,AF=AD,再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF,再結(jié)合(2)即可.

題型2題型1題型3【答案】(1)∵D,F關(guān)于直線AE對稱,∴DE=EF,①∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,又∵AB=AC,AD=AF,∴△ADF∽△ABC.(2)∵∠DAF=2α=∠BAC,∴∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,即∠BAD=∠CAF,又AB=AC,AD=AF,∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,②且∠ACF=∠ABD=45°,即∠ECF=90°,在△ECF中,結(jié)合已證明的①②得DE2=BD2+CE2.

題型2題型1題型3(3)解法1:將△CAE順時針旋轉(zhuǎn)90°得△BAF,連接DF,如圖2所示.∴BF=CE,③AF=AE,∵∠ACE=135°=∠ABF,∠ABC=45°,∴∠FBD=90°,即DF2=BF2+BD2,④由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),∠BAF=∠CAE,∴∠BAF+∠FAC=∠CAE+∠FAC=2α,∴∠DAF=∠FAE-∠DAE=2α-α=α,AF=AE,又∵AD為公共邊,∴△DAF≌△DAE,即DF=DE.⑤將③⑤代入④式,得DE2=BD2+CE2.

題型2題型1題型3解法2:作點(diǎn)D關(guān)于直線AE的對稱點(diǎn)F,連接AF,EF,CF,如圖3所示.∴AD=AF,DE=EF,⑥∠DAE=∠FAE=α,∴∠DAF=2α=∠BAC,即∠DAF-∠DAC=∠BAC-∠DAC,∴∠BAD=∠CAF.又∵AB=AC,AD=AF.∴△BAD≌△CAF,∴BD=CF,⑦且∠ACF=∠ABD=45°,∴∠DCF=∠DCA+∠ACF=90°,∴CF⊥CE,∴EF2=FC2+CE2,將⑥⑦代入得DE2=BD2+CE2.

213456781.(1)問題發(fā)現(xiàn)如圖1,△ABC和△ADE均為等邊三角形,點(diǎn)D在BC的延長線上,連接CE,請?zhí)羁?①∠ACE的度數(shù)為

;

②線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系為

.

(2)拓展探究如圖2,△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,點(diǎn)D在邊BC的延長線上,連接CE,請判斷∠ACE的度數(shù)及線段AC,CD,CE之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.(3)問題解決如圖3,在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,∠ACB=90°,若點(diǎn)P滿足PA=PB,∠APB=90°,請直接寫出線段PC的長度.

21345678解:(1)①∵△ABC為等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°,∵△ADE為等邊三角形,∴AD=AE,∠DAE=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC,即∠BAD=∠CAE,∴△ABD≌△ACE(SAS),∴∠ACE=∠B=60°.②∵△ABD≌△ACE,∴BD=CE,∴BC=BD-CD=CE-CD,∴AC=CE-CD.

21345678(2)∵△ABC和△ADE均為等腰直角三角形,∴AB=AC,∠BAD=∠CAE,AD=AE,∴△ACE≌△ABD(SAS),∴∠ACE=∠B=45°,BD=CE,即BC+CD=CE,∴BC=CE-CD,

213456782134567821345678如圖(2),點(diǎn)C,P在AB的異側(cè)時,過點(diǎn)A作AD⊥PC于點(diǎn)D,∵∠ACB=∠APB=90°,∴A,B,P,C四點(diǎn)共圓,∴∠ACD=∠ABC=45°,∠APD=∠ABC,

213456782.如圖1,在平行四邊形ABCD中,AE⊥BC于點(diǎn)E,E恰為BC的中點(diǎn),tanB=2.(1)求證:AD=AE;(2)如圖2,點(diǎn)P在線段BE上,作EF⊥DP于點(diǎn)F,連接AF,求證:DF-EF=

AF.

21345678解:(1)如圖1,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∵tanB=2,∴

=2,∴AE=2BE,∵E為BC的中點(diǎn),∴BC=2BE,∴AE=BC.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD=BC,∴AD=AE.(2)如圖,作AM⊥AF,交DP于點(diǎn)M,則∠MAF=90°.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∵AE⊥BC,∴AE⊥AD,∴∠DAE=∠MAF=90°,∴∠DAM=∠FAE=90°-∠MAE.∵AE⊥BC,EF⊥DP,∴∠AEP=∠EFP=90°,21345678∴∠AEF+∠PEF=90°,∠PEF+∠FPE=90°,∴∠AEF=∠FPE,∵AD∥BC,∴∠ADM=∠FPE,∴∠ADM=∠AEF,在△ADM和△AEF中,∴AM=AF,DM=EF,∴DF-EF=MF.213456783.(2016·武漢)在△ABC中,P為AB上一點(diǎn).(1)如圖1,若∠ACP=∠B,求證:AC2=AP·AB.(2)若M為CP的中點(diǎn),AC=2.①如圖2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的長;②如圖3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接寫出BP的長.21345678(2)①如圖,取AP中點(diǎn)G,連接MG.設(shè)AG=x,則PG=x,BG=3-x.21345678213456784.(2016·北京)在等邊△ABC中,(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點(diǎn),AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數(shù);(2)點(diǎn)P,Q是BC邊上的兩個動點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè),且AP=AQ,點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,連接AM,PM.①依題意將圖2補(bǔ)全;②小茹通過觀察、實(shí)驗(yàn)提出猜想:在點(diǎn)P,Q運(yùn)動的過程中,始終有PA=PM.小茹把這個猜想與同學(xué)們進(jìn)行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形;想法2:在BA上取一點(diǎn)N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;想法3:將線段BP繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).21345678解:(1)∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ=20°,∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°.21345678(2)①如圖所示.②如圖,∵AP=AQ,∴∠APQ=∠AQP,∴∠APB=∠AQC,∵△ABC是等邊三角形,∴∠B=∠C=60°,∴∠BAP=∠CAQ,∵點(diǎn)Q關(guān)于直線AC的對稱點(diǎn)為M,∴AQ=AM,∠QAC=∠MAC,∴∠MAC=∠BAP,∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°,∴∠PAM=60°,∵AP=AQ,∴AP=AM,∴△APM是等邊三角形,∴PA=PM.213456785.(2016·貴陽)(1)閱讀理解:如圖①,在△ABC中,若AB=10,AC=6,求BC邊上的中線AD的取值范圍.解決此問題可以用如下方法:延長AD到點(diǎn)E使DE=AD,再連接BE(或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD),把AB,AC,2AD集中在△ABE中,利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是

;

(2)問題解決:如圖②,在△ABC中,D是BC邊上的中點(diǎn),DE⊥DF于點(diǎn)D,DE交AB于點(diǎn)E,DF交AC于點(diǎn)F,連接EF,求證:BE+CF>EF;(3)問題拓展:如圖③,在四邊形ABCD中,∠B+∠D=180°,CB=CD,∠BCD=140°,以C為頂點(diǎn)作一個70°角,角的兩邊分別交AB,AD于E,F兩點(diǎn),連接EF,探索線段BE,DF,EF之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.21345678解:(1)延長AD至E,使DE=AD,連接BE,如圖①所示:∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,∴△BDE≌△CDA(SAS),∴BE=AC=6,在△ABE中,由三角形的三邊關(guān)系得:AB-BE<AE<AB+BE,∴10-6<AE<10+6,即4<AE<16,∴2<AD<8.21345678(2)延長FD至點(diǎn)M,使DM=DF,連接BM,EM,如圖所示:由(1)得△BMD≌△CFD(SAS),∴BM=CF,∵DE⊥DF,DM=DF,∴EM=EF,在△BME中,由三角形的三邊關(guān)系得:BE+BM>EM,∴BE+CF>EF.21345678(3)BE+DF=EF.理由如下:延長AB至點(diǎn)N,使BN=DF,連接CN,如圖所示:∵∠ABC+∠D=180°,∠NBC+∠ABC=180°,∴∠NBC=∠D,∴△NBC≌△FDC(SAS),∴CN=CF,∠NCB=∠FCD,∵∠BCD=140°,∠ECF=70°,∴∠BCE+∠FCD=70°,∴∠ECN=70°=∠ECF,21345678∴△NCE≌△FCE(SAS),∴EN=EF,∵BE+BN=EN,∴BE+DF=EF.213456786.(2016·福建莆田)若正方形有兩個相鄰頂點(diǎn)在三角形的同一條邊上,其余兩個頂點(diǎn)分別在三角形的另兩條邊上,則正方形稱為三角形該邊上的內(nèi)接正方形,△ABC中,設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,各邊上的高分別記為ha,hb,hc,各邊上的內(nèi)接正方形的邊長分別記為xa,xb,xc(1)模擬探究:如圖,正方形EFGH為△ABC的BC邊上的內(nèi)接正方形,(3)拓展延伸:若△ABC為銳角三角形,b<c,請判斷xb與xc的大小,并說明理由.21345678解:(1)∵正方形EFGH中,EH∥FG,∴△AEH∽△ABC,∵AD⊥BC,21345678213456787.如圖,△ABC中,AD⊥BC,DE⊥AC于E,AF⊥BE于H,交DE于F,(1)求證:△ADF∽△BCE;(2)若AB=AC,求證:DF=EF;(3)在(2)的條件下,若∠EAF=30°,直接寫出cos∠EBC的值.21345678解:(1)如圖①,∵AD⊥BC,∴∠ADC=90°,即∠1+∠EDC=90°,∵DE⊥AC,∴∠DEC=90°,∴∠EDC+∠C=90°,∴∠1=∠C,∵AH⊥BE,∴∠SAH+∠ASH=90°,又∵∠2+∠BSD=90°,∠BSD=∠ASH,∴∠SAH=∠2,∴△ADF∽△BCE.21345678(2)如圖2,