勾股定理幾種證明方法的探索與思考-畢業(yè)論文

PAGE16勾股定理幾種證明方法的探索與思考PAGE17淮南師范學(xué)院2009屆本科畢業(yè)論文PAGE16PAGE17勾股定理幾種證明方法的探索與思考摘要本文討論了勾股定理的幾種證明方法和勾股定理的一些應(yīng)用。AbstractInthispaper,wediscussseveralmethodsofproofaboutPythagoreanpropositionandapplicationsofPythagoreanproposition.關(guān)鍵詞勾股定理，證明，演繹法KeywordsPythagoreanproposition，proof，deductivemethod引言2002年8月第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)在北京召開(kāi)，這是從國(guó)際數(shù)學(xué)大會(huì)舉行以來(lái)首次在我國(guó)召開(kāi)，說(shuō)明了中國(guó)的數(shù)學(xué)在國(guó)際上的地位。在本次大會(huì)上，隨處都能看到一個(gè)旋轉(zhuǎn)的紙風(fēng)車(chē)，它就是這次大會(huì)的標(biāo)志。這個(gè)圖形是根據(jù)趙爽《周脾算經(jīng)注》中的“弦圖一”為模板進(jìn)行設(shè)計(jì)[1]的。這個(gè)圖案的設(shè)計(jì)充分說(shuō)明了勾股定理在數(shù)學(xué)中的地位。對(duì)于勾股定理的由來(lái)，各國(guó)各民族都有不同的文字記載，但中華民族是最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的民族之一。勾股定理是一壇千年佳釀，另人陶醉神往。它以其簡(jiǎn)潔,優(yōu)美的形式，豐富深刻的內(nèi)容，展現(xiàn)了自然界的和諧與唯美。1.勾股定理的證明勾股定理是數(shù)學(xué)中一條有名的定理，它是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》[2]中對(duì)它進(jìn)行了詳細(xì)的介紹。目前勾股定理的證明方法已有500多種，每種證明方法大都把幾何知識(shí)與代數(shù)知識(shí)相結(jié)合，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的魅力，轉(zhuǎn)化思想的巧妙。1.1拼圖法拼圖是數(shù)學(xué)中經(jīng)常遇到的，它能充分體現(xiàn)出實(shí)踐的作用，。下面我們就用拼圖的方法來(lái)證明勾股定理。1.1.1拼法一：用四個(gè)相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c），把他們拼成一圖.如圖（1）在圖1中，可以用兩種方法把正方形ABCD的面積表示出來(lái)，即：(1)(2)由此可得：化簡(jiǎn)后即為：1.1.2拼法二：用四個(gè)完全相同的直角三角形（直角邊長(zhǎng)分別為a,b,斜邊長(zhǎng)為c）,如圖2正方形ABCD的面積也能用兩種方法表示出來(lái)，即：（1）（2）由（1）（2）得化簡(jiǎn)后可得到：不難發(fā)現(xiàn)拼法一與拼法二都是用四個(gè)直角三角形。接下來(lái)我們用兩個(gè)直角三角形拼一拼。（這種方法是美國(guó)的一位總統(tǒng)發(fā)現(xiàn)的）1.1.3拼法三：在1876年一個(gè)周末的傍晚，當(dāng)時(shí)美國(guó)俄亥俄州共和黨議員伽菲爾德發(fā)現(xiàn)，附近的一個(gè)小凳上有兩個(gè)小孩子在談?wù)撝裁?，好奇心?qū)使伽菲爾德問(wèn)兩個(gè)小孩在干什么？其中一個(gè)小男孩頭也不抬地說(shuō)：“請(qǐng)問(wèn)先生如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為3和4，那么斜邊長(zhǎng)為多少？”伽菲爾德答到：“5呀”。小男孩又問(wèn)到：“如果兩直角邊長(zhǎng)分別為5和7，那么這個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)又是多少？”伽菲爾德不假思索的回答到：“那斜邊的平方一定等于5的平方加上7的平方?！靶∧泻⒂终f(shuō)道：’先生，你能說(shuō)出其中的道理嗎？”伽菲爾德一時(shí)語(yǔ)塞。當(dāng)晚他潛心探討小男孩留給他的問(wèn)題，經(jīng)過(guò)反復(fù)的思考與演算，終于弄清楚了其中的道理，并給出了一個(gè)極其簡(jiǎn)捷的證明方法，如圖，就是伽菲爾德的證明方法△ABC與△ECD是一對(duì)同樣的三角形,兩直角邊長(zhǎng)分別為a和b,斜邊長(zhǎng)為c.我們很容易知道△AED也是直角三角形,兩直角邊長(zhǎng)為c,梯形ABCD的面積可以用兩種方法表示出:①②有①②兩式可得：化簡(jiǎn)后得：從以上三例我們能看到拼圖這種方法的巧妙,但其思路還是離不開(kāi)數(shù)形結(jié)合。拼法一這種方法是在西方廣為流傳的畢達(dá)哥拉斯等人的基礎(chǔ)上被發(fā)現(xiàn)的.拼法二則是中華民族的發(fā)現(xiàn),在《數(shù)學(xué)史概論.》.[3].一書(shū)中對(duì)此作了詳細(xì)的說(shuō)明。用拼圖來(lái)證明勾股定理是一種簡(jiǎn)單又明了的方法,有好多學(xué)者在這方面都有研究,也有專門(mén)的文章出現(xiàn).[3]1.2.1演繹法在許多有關(guān)勾股定理的證明方法中,有一種方法最為古老,而且對(duì)后來(lái)的影響有比較大,這種方法就是演繹法,是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德發(fā)現(xiàn)的.在他所著的《幾何原本》中給出了這種方法。如圖直角三角形ABC的AC邊長(zhǎng)為a，AB邊長(zhǎng)為b,斜邊CB長(zhǎng)為c.正方形ACGF邊長(zhǎng)為a,正方形ABHI邊長(zhǎng)為b,正方形CDEB邊長(zhǎng)為c.證明過(guò)程如下:連接GB,AD,CH,AE,過(guò)點(diǎn)A做AK垂直于BE交DE與點(diǎn)K。因?yàn)镃G=CA,CB=CD,∠GCB=∠ACD.容易知道△ACD≌△GCB，又因?yàn)樗寓偻恚阂驗(yàn)樗杂忠驗(yàn)樗寓谟症?②可以得到即歐幾里德的這種演繹思想對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展起到了很大的作用,更直接的作用是給勾股定理的證明方法提供了一個(gè)全新的思路。看下面一例首先畫(huà)直角三角形ABC,（如圖）設(shè)點(diǎn)C為直角頂點(diǎn),(斜邊長(zhǎng)為c,兩直角邊長(zhǎng)分別為a,b),分別以直角邊BC,AC為一邊畫(huà)正方形BCDE,ACFG,以斜邊AB為一邊畫(huà)正方形ABJK.接著連接DF,容易知道△ABC≌△FDC,從而六邊形ABEDFG的面積是以BC為一邊的正方形的面積，AC為一邊的正方形的面積，再加上直角三角形ABC的面積的二倍的總和。即①通過(guò)驗(yàn)證還能知道六邊形ABEDFG的面積是四邊形ABEG面積的兩倍;再接下來(lái),過(guò)J引CA的平行線,過(guò)K引CB的平行線,設(shè)它們的交點(diǎn)為L(zhǎng),則△ABC≌△JKL(兩角夾一邊).于是,六邊形AKLJBC的面積是以斜邊AB為一邊的正方形面積與直角三角形ABC面積的二倍的總和.即②我們還不難發(fā)現(xiàn),如果把四邊形ABEG繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度后,它恰巧重合于四邊形JBCL.如果把四邊形ABEG繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90度后,它恰巧重合于AKLC.由此能說(shuō)以六邊形ABEDFG面積等于六邊形AKLJBC的面積.即③由①②③式可得即定理即得證:不難發(fā)現(xiàn)這兩種方法與前面的拼圖法有著許多不同之處,在這里注重圖形的轉(zhuǎn)化演繹,所以我們可把它們歸結(jié)為演繹法證明勾股定理.演繹法證明勾股定理一直都是一個(gè)重要的思路，不論在西方,還是在中國(guó),都受到了這種思想的影響,在《數(shù)學(xué)史中勾股定理的證明》[5]一文有更詳細(xì)介紹。接下來(lái),我們看這樣一種證法,它融合拼圖與演繹為一體,構(gòu)思相當(dāng)巧妙，如圖⑹圖(6)里的四個(gè)完全相同的直角三角形和一個(gè)小正方形構(gòu)成了一個(gè)大正方形.現(xiàn)在,把其中一個(gè)直角三角形命名為ABC(圖8),并設(shè)BC=a，CA=b，AB=c,中間一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是a-b,大正方形的邊長(zhǎng)是c,從而,圖(8)里的大正方形的面積是。把圖(6)中的兩個(gè)直角三角形合成一個(gè)長(zhǎng)方形,這樣,四個(gè)直角三角形就合成兩個(gè)長(zhǎng)方形和圖(6)中間的一個(gè)小正方形,.把他們重新拼起來(lái),就可以得到圖(7)，然后,如圖(9)那樣，在該圖中再引一條鉛垂的虛線,標(biāo)上各邊的長(zhǎng).將圖(9)作適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化后,能夠恰好成為圖(10)所表示的那樣,由一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形,和一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形組成.由此我們可以得到：定理得證。1.3.1一種純粹的數(shù)學(xué)與幾何相結(jié)合的方法不難發(fā)現(xiàn),無(wú)論采用的拼圖,演繹,或者拼圖與演繹相結(jié)合,最后都是離不開(kāi)面積相等這種思路.在近500多種證明方法中大都采用了這種思想.但也有許多方法另辟蹊徑,.在《基礎(chǔ)幾何學(xué)》與《幾何的有名定理》[5]兩本書(shū)中有這方面的介紹在中學(xué)八年級(jí)老教材中,我們見(jiàn)到過(guò)這樣一種方法:如圖直角三角形ABC,直角邊AC長(zhǎng)為a,直角邊BC長(zhǎng)為b,斜邊AB長(zhǎng)為c,求證證明如下:過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB交AB與點(diǎn)H,對(duì)于△BCH與△BAC:∵∠B為公共角,∠BHC=∠BCA=∴△BCH～△BAC∴∴①同理,在△ACH與△ABC中,也有一個(gè)公共角A,另有一直角,所以它們也相似，既△ACH～△BAC,所以所以②有①+②可得=即定理得證,這種證明方法不同與以上,拋開(kāi)面積相等這種思路,是一種純粹的數(shù)學(xué)與幾何相結(jié)合,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的巧妙與獨(dú)有魅力。勾股定理的證明方法有不下500多種每種方法都與數(shù)形結(jié)合思想有聯(lián)系。同時(shí)對(duì)勾股定理的證明也反映了中西方文化的差異[6]。在《幾何的有名定理》一書(shū)中對(duì)勾股定理有詳細(xì)介紹.2.勾股定理的應(yīng)用勾股定理是數(shù)學(xué)中一條重要的定理,所以它的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。它包括定理本身的應(yīng)用，有定理證明方法的應(yīng)用.對(duì)證明方法的應(yīng)用,主要是對(duì)證明方法中所蘊(yùn)涵的思想的應(yīng)用。比如,數(shù)形結(jié)合思想,演繹變換(轉(zhuǎn)化思想)[7]等。但是大多時(shí)候定理與思想是共同出現(xiàn)。數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科中一種重要思想,它把代數(shù)與幾何聯(lián)系在一起,往往能起到另人意想不到的效果。2.1勾股定理與方程的聯(lián)系求解。(數(shù)形結(jié)合的方法)例1在一棵樹(shù)的20米高處有兩只小松鼠,其中一只爬下樹(shù)向離樹(shù)40米的池塘，而另一只爬到樹(shù)頂后直接撲向池塘。如果兩只松鼠經(jīng)過(guò)的路程相等,問(wèn)這棵樹(shù)有多高?分析:根據(jù)題意畫(huà)出圖形,在直角三角形中運(yùn)用勾股定理求解。解:如上圖，D為樹(shù)頂,AB=20米,點(diǎn)C為池塘,AC=40米設(shè)BD的長(zhǎng)為米,則樹(shù)高為(20+)米∵AC+AB=BD+DC∴DC=40+20-x=60-x在直角△ACD中,有勾股定理可得:即:解得=10所以樹(shù)高為30米。通過(guò)此例我們能看到勾股定理與數(shù)形結(jié)合之間的聯(lián)系,相互包含,而且求解時(shí)通常與方程的聯(lián)系也相當(dāng)緊密。我門(mén)再看一例與生活有聯(lián)系的實(shí)例。圖(1)是一面矩形彩旗完全展平時(shí)的尺寸圖(單位:cm),中矩形ABCD是有雙層白布縫制的穿旗桿用的旗褲,矩形DCEF為綢緞面。將穿好彩旗的旗桿垂直插在操場(chǎng)上,旗桿從桿頂?shù)降孛娴母叨葹?20cm,在無(wú)風(fēng)的天氣里.彩旗自然下垂,如圖(1)求彩旗下垂時(shí)最低處離地面的最小高度h。分析本題是以大家熟悉的紅旗為素材編擬一道具有較強(qiáng)的創(chuàng)新意識(shí)的試題,通過(guò)本題的解決,可使我們認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)無(wú)處不在,彩旗下垂的高度就是矩形DCEF的對(duì)角線DE的長(zhǎng)度，所以本題需先求出對(duì)角線DE的長(zhǎng)。解:在RT△DEF中,根據(jù)勾股定理,得因?yàn)镈F=120,EF=90,所以2所以=DE=150所以h=220-150=70(cm)所以彩旗下垂時(shí)的最低處離地面的最小高度是70cm;2.2演繹法的應(yīng)用對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想隨處可見(jiàn),不再舉例.下面我來(lái)看轉(zhuǎn)化思想;在勾股定理證明方法時(shí),提到了演繹法,其實(shí)這種方法里就是轉(zhuǎn)化思想，這種思想在數(shù)學(xué)中也比較重要。在七年級(jí)的教材里就出現(xiàn)了這種思想,我來(lái)看幾例。例3,如圖,長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為25cm,寬AF為20cm,高為30cm,點(diǎn)B距點(diǎn)C5cm,一只昆蟲(chóng),如果要沿著長(zhǎng)方體表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,需要爬行的最短路程是多少?分析:由于昆蟲(chóng)是沿著長(zhǎng)方體的表面爬行的,故需把長(zhǎng)方體展開(kāi)平面圖形,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,昆蟲(chóng)爬行的路程有兩種可能如圖2、圖3所示,利用勾股定理容易求出圖2,圖3中AB的長(zhǎng)度,比較后即可求得昆蟲(chóng)爬行的最短路程。解:將長(zhǎng)方體展開(kāi)成平面圖形,因?yàn)閮牲c(diǎn)之間線段最短,所以能求的爬行路程是線段AB的長(zhǎng)度,根據(jù)點(diǎn)B在圖上的位置,展開(kāi)后線段AB有兩種可能.即圖2和圖3所示。圖2中,由勾股定理,得.AB=圖3中,由勾股定理,得因?yàn)?525<1625,所以昆蟲(chóng)需要爬行最短路程是cm.這種類型的問(wèn)題從七年級(jí)時(shí)就已體現(xiàn),求立體圖形的最短距離,一般需要把立體圖形展開(kāi),最終利用勾股定理求兩點(diǎn)的距離,對(duì)于轉(zhuǎn)化思想,在生活中也經(jīng)常遇到,如:例4,如圖,林中有兩棵樹(shù),相距12m,一顆樹(shù)高為13m,另一棵樹(shù)高8m,一只小鳥(niǎo)從一棵書(shū)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端,小鳥(niǎo)至少要飛多遠(yuǎn)？分析:本題是一道具有創(chuàng)意的實(shí)際問(wèn)題,當(dāng)小鳥(niǎo)從高樹(shù)頂端按直線飛行到另一棵樹(shù)的頂點(diǎn)時(shí),所飛行的距離最短,本題涉及到兩點(diǎn)之間線段最短,以及勾股定理的應(yīng)用等知識(shí).分別用AB,CD表示兩棵樹(shù),如圖⑵得到梯形ABCD.過(guò)D作AB的垂線可構(gòu)造直角三角形,利用勾股定理解決。解:如圖2,作DE⊥AB與點(diǎn)E.因?yàn)锳B=13米,CD=8米,所以AE=5米,由BC=12米,得DE=12米在Rt△ADE中,因?yàn)锳E=5,DE=12,所以所以AD2=169,所以AD=13米所以一只小鳥(niǎo)從一棵樹(shù)的頂端飛到另一棵樹(shù)的頂端,至少要132.3構(gòu)造直角三角形來(lái)解題以上兩種應(yīng)用均有側(cè)重點(diǎn),第一種側(cè)重?cái)?shù)形結(jié)合,第二種側(cè)重思想轉(zhuǎn)換。我們知道構(gòu)造直角三角形來(lái)解題是求解平面幾何問(wèn)題的重要的方法。下面就看這樣一例,它包含數(shù)形結(jié)合與轉(zhuǎn)化思想于一體。例5已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CE=BC，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，求DE的長(zhǎng)。分析：因?yàn)镈E與△ABC的各邊都沒(méi)有明顯的關(guān)系，所以可以通過(guò)添加輔助線構(gòu)造直角三角形，將DE作為直角三角形的一條邊，利用勾股定理求DE的長(zhǎng)。解法1：過(guò)點(diǎn)D做DF⊥BE，垂足為點(diǎn)F在Rt在Rt△DFE中，F(xiàn)E=4-=，利用勾股定理可以求得DE的長(zhǎng)：DE=解法2，連結(jié)AE，因?yàn)锳B=BC=CE,所以利用在直角三角形中，若一條邊的中線長(zhǎng)等于這條邊的一半，則這條邊所對(duì)的角為直角?？傻檬侵苯?。所以DE是Rt的斜邊。在Rt△ABE中，，，用勾股定理求得在Rt中所以的長(zhǎng)為致謝：本論文是在李遠(yuǎn)華老師的悉心關(guān)懷和指導(dǎo)下完成的李老師嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，淵博的專業(yè)知識(shí)給了我深刻的印象。提高我獨(dú)立檢索資料的能力，初步具備搜集、整理、篩選信息資料的能力，初步掌握科學(xué)研究的基本方法，了解科學(xué)研究論文的寫(xiě)作技巧與規(guī)范化要求，受到科學(xué)研究的初步訓(xùn)練。實(shí)驗(yàn)期間李老師不僅僅在是在學(xué)術(shù)上辛勤指導(dǎo)，還對(duì)我生活予以無(wú)微不致的關(guān)懷，使我順利的完成了本論文的研究工作。在此，向各位參考文獻(xiàn)[1]趙爽.周脾算經(jīng)注[2]A、B勃格萊洛夫.基礎(chǔ)幾何學(xué)[M]程永茂李德文（譯）黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社.[3]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M].高等教育出版社,2005,(4).[4]朱奎詳.在趣味拼圖中感悟勾股定理.中學(xué)生數(shù)學(xué).[J]2006年04期.[5]朱哲.數(shù)學(xué)史中勾股定理的證明《數(shù)學(xué)教學(xué)》[J]2006年3期.[6]失野健太郎.《幾何的有名定理》[M]陳永明（譯）上?？茖W(xué)技術(shù)出版社.[7]王凱.勾股定理與中國(guó)古代數(shù)學(xué).邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)[J].2005年3期.[8]劉頓.勾股定理與數(shù)學(xué)思想.初中生[J].2006年2期.[9]九年義務(wù)教育八年級(jí)教科書(shū).幾何[J].人民教育出版社出版.基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開(kāi)發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開(kāi)發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開(kāi)發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開(kāi)發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開(kāi)發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門(mén)傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜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