粘性流體運動

關(guān)于粘性流體運動第1頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三粘性流體運動微分方程以應(yīng)力表示的運動方程，需補充方程才能求解。Navier－Stokes方程對一維流動問題：補充方程：牛頓剪切定律對粘性流體流動問題：補充方程：廣義的牛頓剪切定律即：牛頓流體本構(gòu)方程目的將應(yīng)力從運動方程中消去，得到由速度分量和壓力表示的粘性流體運動微分方程，即N-S方程。關(guān)鍵：尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系第2頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三N-S方程牛頓流體的本構(gòu)方程引入的基本假設(shè)：為了尋求流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，Stokes提出三個基本假設(shè)：應(yīng)力與變形速率成線性關(guān)系;應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系各向同性；靜止流場中，切應(yīng)力為零，各正應(yīng)力均等于靜壓力第3頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三牛頓流體的本構(gòu)方程：第4頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三本構(gòu)方程的討論：正應(yīng)力中的粘性應(yīng)力：流體正應(yīng)力與三個速度偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)(即:線變形率)，同固體力學(xué)中的虎克定律。線變形率與流體流動：從流體流動角度看，線變形率的正負(fù)反映了流體的流動是加速還是減速；體變形率的正負(fù)反映了流動過程中流體體積是增加還是減少。正應(yīng)力與線變形速率：附加粘性正應(yīng)力附加粘性正應(yīng)力的產(chǎn)生是速度沿流動方向的變化所導(dǎo)致的。第5頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三正應(yīng)力與壓力：由于粘性正應(yīng)力的存在，流動流體的壓力在數(shù)值上一般不等于正應(yīng)力值。但有：這說明：三個正壓力在數(shù)值上一般不等于壓力，但它們的平均值卻總是與壓力大小相等。切應(yīng)力與角邊形率：流體切應(yīng)力與角變形率相關(guān)。牛頓流體本構(gòu)方程反映了流體應(yīng)力與變形速率之間的關(guān)系，是流體力學(xué)的虎克定律（反映應(yīng)力和應(yīng)變的關(guān)系）。第6頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三流體運動微分方程——Navier－Stokes方程適用于牛頓流體第7頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三常見條件下N－S方程的表達(dá)形式：適用于牛頓流體常粘度條件下N－S方程：矢量形式：第8頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三適用于牛頓流體不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：第9頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三適用于牛頓流體常粘度條件下不可壓縮流體的N－S方程：矢量形式：非定常項定常流動為0靜止流場為0對流項靜止流場為0蠕變流時≈0單位質(zhì)量流體的體積力單位質(zhì)量流體的壓力差擴(kuò)散項（粘性力項）對靜止或理想流體為0高速非邊界層問題≈0第10頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三流體流動微分方程的應(yīng)用連續(xù)方程和N－S方程是粘性流體流動應(yīng)遵循的質(zhì)量守恒和動量守恒的數(shù)學(xué)表達(dá)式。N-S方程應(yīng)用概述封閉條件：理論上方程是封閉的，但若要考慮到物性參數(shù)的變化，應(yīng)將物性變化的關(guān)系作為補充方程。方程求解：N－S方程無普遍解；特殊條件下，有可能獲得準(zhǔn)確或近似的分析解；通常通過數(shù)值計算獲得離散解。應(yīng)用條件：只適用于牛頓流體第11頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三流動微分方程的應(yīng)用求解步驟根據(jù)問題特點對一般形式的運動方程進(jìn)行簡化，獲得針對具體問題的微分方程或方程組。提出相關(guān)的初始條件和邊界條件。

初始條件：非穩(wěn)態(tài)問題邊界條件固壁－流體邊界：流體具有粘性，在與壁面接觸處流體速度為零。液體－氣體邊界：對非高速流，氣液界面上，液相速度梯度為零。液體－液體邊界：液液界面兩側(cè)的速度或切應(yīng)力相等。第12頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三兩平行平板間的層流流動(a)壓力梯度＋上板速v0(b)上板v0帶動(庫埃特流動)(c)靜止平板，壓力差驅(qū)動(a)壓力梯度＋上板速v0(a)壓力梯度＋上板速v0第13頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三條件：1.穩(wěn)態(tài)2.層流，流速x方向3.連續(xù)性方程（不可壓縮）4.設(shè)板平行于地面，質(zhì)量力gx=gz=0,gy=－g(忽略質(zhì)量力時，gy=0)5.平板沿z向相對于二板距離為無限寬，忽略此方向上邊界面影響。第14頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三將以上條件代入N-S方程，得解(1)式，得邊界條件——對(a)(b)情形：y=0時，vx=0;y=h時，vx=v0得（3-64）式：特別對(b)情形：(3-65)(3-66)(3-67)(3-68)第15頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三對(c)情形：v0=0，流體兩端壓力差p=px－px+L(3-69)(3-70)(3-71)(3-72)(a)情形的流量是(b)情形和(c)情形的流量之和第16頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三圓管內(nèi)的一維穩(wěn)態(tài)流動分析。

不可壓縮流體在水平圓管內(nèi)作一維穩(wěn)態(tài)層流流動。試寫出該條件下的連續(xù)性方程和運動微分方程。并證明管道截面上任一點的總勢能和軸向壓力梯度為常數(shù)。第17頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例題第18頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第19頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第20頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三速度勢和流函數(shù)一速度勢函數(shù)對于無旋流場，處處滿足：，由矢量分析知，任一標(biāo)量函數(shù)梯度的旋度恒為零，所以速度一定是某個標(biāo)量函數(shù)的梯度，即:因則有:

即流場的速度等于勢函數(shù)的梯度。因此，稱為速度勢函數(shù)，簡稱速度勢；稱無旋流動為有勢流動，簡稱勢流。這與單位質(zhì)量有勢力和有勢力場的勢函數(shù)的關(guān)系相類似。（7－35）（7－36）第21頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三結(jié)論：

無旋條件是速度有勢的充要條件。無旋必然有勢，有勢必須無旋。所以無旋流場又稱為有勢流場。速度勢的存在與流體是否可壓縮、流動是否定常無關(guān)。

第22頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三以上給出了在直角坐標(biāo)系中速度勢函數(shù)和速度的關(guān)系，在柱坐標(biāo)系中，，，有勢流動的速度勢函數(shù)與速度的線積分有密切關(guān)系。若勢流中有一曲線AB，速度沿該曲線積分為

上式表明，有勢流動中沿AB曲線的速度線積分等于終點B和起點A的速度勢之差。由于速度勢是單值的，則該線積分與積分路徑無關(guān)。這與力做的功和位勢的關(guān)系相類似。當(dāng)速度沿封閉軸線積分時即，周線上的速度環(huán)量等于零。（7-34）（7-35）第23頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

根據(jù)無旋條件，速度有勢：代入不可壓縮連續(xù)性條件 可得：

或上述方程稱作不可壓無旋流動的基本方程。在笛卡兒坐標(biāo)系中：

在柱坐標(biāo)系中：

式中為拉普拉斯算子。滿足拉普拉斯方程的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，故速度勢是調(diào)和函數(shù)。

第24頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二流函數(shù)在笛卡兒坐標(biāo)系中，平面、不可壓縮流體的連續(xù)性方程可寫成:若定義某一個函數(shù)（流函數(shù)）令:

,第25頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三平面不可壓縮流體流函數(shù)的基本性質(zhì)1.沿同一流線流函數(shù)值為常數(shù)平面流動中通過兩條流線間單位厚度的流量等于兩條流線上的流函數(shù)的差值3.在有勢流動中流函數(shù)也是一調(diào)和函數(shù)第26頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三特性1s為坐標(biāo)系XOY的任意一條流線，在s上任取一點作速度矢量，與流線相切，該點的微元流線段在x、y軸上的投影為dx、dy，在x、y軸上的投影為vx、vy

或由，得到在流線s上，Ψ的增量dΨ為0，說明沿流線Ψ（x，y，t）為常數(shù)，而流函數(shù)的等值線，即Ψ（x，y，t）=C就是流線。因此，找到流函數(shù)后，可以知道流場中各點速度，還可以畫出流線。

第27頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三特性2

設(shè)Ψ1、Ψ2是兩條相鄰流線，作其間一曲線AB，求通過AB兩點間單位厚度的流量。(見下圖）在AB上作微元線段,過微元線段處的速度為，,單位厚度的流量dq應(yīng)為通過dx的流量vydx和通過dy的流量vxdy之和，（vy<0）沿AB線段積分，由于沿流線流函數(shù)為常數(shù)，因此

第28頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第29頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三特性3對平面勢流有將，代入上式得到即，滿足Laplace方程。所以在平面勢流中函數(shù)也是調(diào)和函數(shù)。第30頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三三流函數(shù)和勢函數(shù)的關(guān)系在平面勢流中有，

，交叉相乘得說明等勢線族Φ(x,y,z,t)=C1與流函數(shù)族Ψ(x,y,z,t)=C2相互正交。在平面勢流中，流線族和等勢線族組成正交網(wǎng)格，稱為流網(wǎng)。

第31頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三極坐標(biāo)(r,θ)中，徑向的微元線段是dr，圓周的微元線段是rdθ，速度勢函數(shù)Φ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度流函數(shù)Ψ(r,θ,t)與vr、vθ的關(guān)系是，速度勢函數(shù)和流函數(shù)的關(guān)系是

，第32頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例1第33頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第34頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例2第35頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三例3第36頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第37頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三流線是一族以x軸和y軸為漸近線的雙曲線，等勢線是以直角平分線為漸近線的雙曲線族。將x軸看成是固壁，并且只觀察上半平面，則流動沿y軸垂直的自上而下流向固壁，然后在原點處分開，流向兩側(cè)。第38頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三幾種簡單的平面無旋流動一均勻流二點源和點匯三點渦第39頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三一均勻流第40頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三圖2均勻流示意圖第41頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二點源和點匯第42頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第43頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

圖3a點源

圖3b點匯第44頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第45頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三三點渦定義：流體質(zhì)點沿著同心圓的軌跡運動，且其速度大小與向徑r成反比的流動。又被稱為自由渦。將坐標(biāo)原點置于點渦處，設(shè)點渦的強度為，則任一半徑r處流體的速度可由stokes定理得到,那么而求點渦的速度勢函數(shù)和流函數(shù)

對上面兩式積分，并令積分常數(shù)等于零，得到：等勢線是的線，流線是以坐標(biāo)原點為圓心的同心圓。點渦的復(fù)勢是或

第46頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三圖4點渦示意圖第47頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三勢流的疊加勢流疊加原理有兩個流動，它們的速度分布函數(shù)、速度勢函數(shù)、流函數(shù)、復(fù)勢函數(shù)分別為、Φ1、Ψ1、W1和、Φ2、Ψ2、W2，由于和都滿足線性Laplace方程，可以將和分別進(jìn)行疊加。將兩流動合起來的復(fù)合流動，其相應(yīng)量分別為、Φ、Ψ、W，存在以下關(guān)系：因此第48頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三流動變成n個，同樣將n個流動疊加，復(fù)合流動的相應(yīng)量定義：疊加多個流動時，所得合成流動的復(fù)勢即為分流動的復(fù)勢的代數(shù)和，此即勢流的疊加原理。第49頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第二節(jié)蠕動流動蠕動流動：雷諾數(shù)很低的流動。特點：流動的尺度和流動的速度均很小如：熱電廠鍋爐爐膛氣流中繞煤粉顆粒、油滴等的流動；滑動軸承間隙中的流動等等。第50頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三一、蠕動流動的微分方程對于定常流動，忽略慣性力和質(zhì)量力，在直角坐標(biāo)系下，可把納維爾――斯托克斯方程組簡化成：

第51頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三一、蠕動流動的微分方程●如果流動是不可壓縮流體，則連續(xù)性方程為：

將式（8－18）依次求、、，然后相加，并結(jié)合連續(xù)性方程，即得：

即蠕動流動的壓力場滿足拉普拉斯方程。第52頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二、繞球的蠕動流動

對如圖所示的無窮遠(yuǎn)來流以速度均勻平行流沿軸繞半徑為的靜止圓球流動，得速度與壓強分布為：

第53頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二、繞球的蠕動流動

式中為無窮遠(yuǎn)處來流的壓力。圓球以很小的速度在靜止流體中作等速運動時，在流場中通過x軸的平面上的流譜如圖所示。

第54頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二、繞球的蠕動流動在圓球的前后兩駐點A和B處的壓強是壓強的最高點和最低點，分別為：在前駐點A（＝180°）

在后駐點B（＝0°）：

而切應(yīng)力的最大值，發(fā)生在C（＝90°）為：

等于A、B點處的壓強與無窮遠(yuǎn)處的壓強之差的絕對值。第55頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二、繞球的蠕動流動球面上的壓強和剪切應(yīng)力也可根據(jù)速度分布公式算出，為：

對上述兩式積分，可分別得到作用在球面上的壓強和切應(yīng)力的合力。將這兩個合力在流動方向的分量相加，可得到流體作用在圓球上的阻力為：

這就是圓球的斯托克斯阻力公式。式中d=2為圓球的直徑。

第56頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第三節(jié)邊界層的概念

邊界層：物體壁面附近存在大的速度梯度的薄層。

我們可以用如圖所示的繞平板的流動情況說明邊界層的概念。第57頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三★邊界層的定義粘性流體繞流物體時，由于粘性的作用，在物體的表面附近，存在一速度急劇變化的薄層——邊界層。例如：來流的流體繞流平板時，在平板表面形成邊界層。第58頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三在平板的前部邊界層呈層流狀態(tài)，隨著流程的增加，邊界層的厚度也在增加，層流變?yōu)椴环€(wěn)定狀態(tài)，流體的質(zhì)點運動變得不規(guī)則，最終發(fā)展為紊流，這一變化發(fā)生在一段很短的長度范圍，稱之為轉(zhuǎn)捩區(qū)，轉(zhuǎn)類區(qū)的開始點稱為轉(zhuǎn)捩點。轉(zhuǎn)類區(qū)下游邊界層內(nèi)的流動為紊流狀態(tài)。在轉(zhuǎn)捩區(qū)和紊流區(qū)的壁面附近，由于流體的質(zhì)點的隨機脈動受到平板壁面的限制，因此在靠近壁面的更薄的區(qū)域內(nèi)，流動仍保持為層流狀態(tài)，稱為層流底層和粘性底層。

★邊界層的定義第59頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層的特點邊界層內(nèi)速度梯度很大，旋渦強度大，有旋流動慣性力和粘性具有相同的數(shù)量級，同時考慮。邊界層外部速度梯度很小，可以作為理想流體的勢流處理。邊界層厚度隨的增大而增大，隨的增大而減小。由于邊界層很薄，因而可以近似認(rèn)為，邊界層任一截面上各點壓強相等。第60頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層的分類按流動狀態(tài)，可分為層流邊界層和紊流邊界層?！衽袆e準(zhǔn)則——雷諾準(zhǔn)則：平板上的臨界雷諾數(shù)=~●邊界層的構(gòu)成：

1.層流邊界層，當(dāng)較小時，邊界層內(nèi)全為層流，稱為層流邊界層。

2.混合邊界層：除前部起始部分有一小片層流區(qū)，其余大部分為紊流區(qū)，稱為混合邊界層。第61頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層的厚度兩個流動區(qū)域之間并沒有明顯的分界線。邊界層的厚度：通常，取壁面到沿壁面外法線上速度達(dá)到勢流區(qū)速度的99％處的距離作為邊界層的厚度，以δ表示，這一厚度也稱邊界層的名義厚度。邊界層的厚度取決于慣性和粘性作用之間的關(guān)系，即取決于雷諾數(shù)的大小。雷諾數(shù)越大，邊界層就越薄；反之，隨著粘性作用的增長，邊界層就變厚。沿著流動方向由繞流物體的前緣點開始，邊界層逐漸變厚。第62頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程在這一節(jié)里，將利用邊界層流動的特點如流體的粘度大小、速度與溫度梯度大和邊界層的厚度與物體的特征長度相比為一小量等對N-S方程進(jìn)行簡化從而導(dǎo)出層流邊界層微分方程。在簡化過程中，假定流動為二維不可壓定常流，不考慮質(zhì)量力，則流動的控制方程N-S方程為：

（a）第63頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程將上述方程組無量綱化。為此考慮如圖所示的一半無窮繞流平板，假定無窮遠(yuǎn)來流的速度，流動繞過平板時在平板附近形成邊界層，其厚度為，平板前緣至某點的距離為。取和為特征量，可定義如下的無量綱量：

///（）//第64頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三代入方程組（a），整理后得：

式中雷諾數(shù)第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程（b）第65頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三

與相比較是很小的，即<<或/<<1，同時注意到，與、與、與具有同一數(shù)量級，于是、、和的量級均為1，并可以得到：～1～1～1～為了估計其他各量的數(shù)量級，由連續(xù)性方程可得：＝～1第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程第66頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程因此~，于是又得到：

~~~1~

通過分析方程組（b）各項的數(shù)量級，方程組（b）中第二式中各慣性項可以忽略掉，同時可以略去、、。于是在方程組（b）的粘性項中只剩第一式中的一項。

第67頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三如果僅保留數(shù)量級為1的項，而將數(shù)量級比1小的各項全部略去，再恢復(fù)到有量綱的形式，便可以得到層流邊界層的微分方程組為：

沿邊界層上緣由伯努利可知：常數(shù)上式對求導(dǎo)，得：第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程第68頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三這樣，層流邊界層的微分方程又可寫為：

方程組（c）即為在物體壁面為平面的假設(shè)下得到的邊界層微分方程。第四節(jié)平面層流邊界層的微分方程（c）第69頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第五節(jié)邊界層的動量積分關(guān)系式邊界層的動量積分方程是對邊界層內(nèi)流動的再簡化。其推導(dǎo)過程有兩種方法：一種是沿邊界層厚度方向積分邊界層的方程組，一種是在邊界層內(nèi)直接應(yīng)用動量守恒原理。下面的推導(dǎo)采用第二種方法。第70頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層動量積分方程的推導(dǎo)如圖所示為不可壓縮流體的定常二維邊界層流動，設(shè)物體表面型線的曲率很小。

取一個單位厚度的微小控制體，它的投影面ABDC

。用動量定理來建立該控制體內(nèi)的流體在單位時間內(nèi)沿x方向的動量變化和外力之間的關(guān)系。

第71頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層動量積分方程的推導(dǎo)設(shè)壁面上的摩擦應(yīng)力為根據(jù)邊界層的控制方程組，邊界層內(nèi)的壓強僅近似地依賴于而與無關(guān)，設(shè)AB面上的壓強為，DC上的壓強為

控制面AC為邊界層的外邊界其外部為理想流體的勢流，只有與之垂直的壓力，設(shè)AC上的壓強為A，C兩點壓強的平均值。作用在控制體上的表面力沿方向的合力為：

第72頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層動量積分方程的推導(dǎo)式中為邊界層外邊界AC與方向的夾角，由幾何關(guān)系可知：，上式經(jīng)整理并略去高階小量，得：單位時間內(nèi)沿方向經(jīng)過AB流入控制體的質(zhì)量和動量分別為：經(jīng)過CD面流出的質(zhì)量和動量分別為：定常流動條件下，可知從控制面AC流入控制體中的流量為：由此引起流入的動量為：第73頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層動量積分方程的推導(dǎo)式中V為邊界層外邊界上的速度。這樣，可得單位時間內(nèi)該控制體內(nèi)沿x方向的動量變化為根據(jù)動量定理，，則可得邊界層的動量積分方程為：

上式也稱為卡門動量積分關(guān)系式。該式是針對邊界層流動在二維定常流動條件下導(dǎo)出的，并沒有涉及邊界層的流態(tài)，所以其對層流和紊流邊界層都能適用。（d）第74頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆積分方程的求解實際上可以把、和看作已知數(shù)，而未知數(shù)只有、和三個。再補充兩個關(guān)系式：一、沿邊界層厚度的速度分布=(y)

二、切向應(yīng)力與邊界層厚度的關(guān)系式一般在應(yīng)用邊界層的動量積分關(guān)系式（d）來求解邊界層問題時，邊界層內(nèi)的速度分布是按照已有的經(jīng)驗來假定的。假定的愈接近實際，則所得到的結(jié)果愈正確。所以選擇邊界層內(nèi)的速度分布函數(shù)是求解邊界層問題的重要關(guān)鍵。

第75頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第六節(jié)邊界層的位移厚度和動量損失厚度

邊界層的厚度，表示粘性影響的范圍。位移厚度動量損失厚度根據(jù)伯努力方程可知：又由于：帶入（d）得或（d1）第76頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層厚度計算式的推導(dǎo)因此在邊界層內(nèi)由于粘性影響使體積流量的減小量，即上式中第一項積分。位移厚度或排擠厚度可表示成：

（d2）同理動量損失厚度可表示為：

（d3）將和代入式（d）,得

（d4）第77頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆邊界層厚度計算式的推導(dǎo)式（d4）是另一種形式的平面不可壓縮粘性流體邊界層動量積分關(guān)系式。、和都是未知數(shù)，它們決定于邊界層內(nèi)速度的分布規(guī)律。將式（d4）化為無因次形式，統(tǒng)除以，得（d5）或式中H＝。計算曲面邊界層時，用上式較為方便。第78頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三第七節(jié)平板邊界層流動的近似計算

平板層流邊界層的近似計算

對于式（d），如果邊界層外部的壓強梯度為零，方程變?yōu)椋?/p>

(d6）

假定平板非常薄，對流動沒有影響。邊界層外層流動：則上式可變?yōu)椋?/p>

(d7）

兩個補充關(guān)系式:一、馮卡門假定，二、牛頓內(nèi)摩擦定律。平板紊流邊界層的近似計算

采用將邊界層內(nèi)的速度分布與圓管內(nèi)充分發(fā)展紊流的速度分布規(guī)律進(jìn)行類比的方法。第79頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆平板層流邊界層的近似計算選擇一三次項式速度分布：

(e)

根據(jù)下列邊界條件來確定待定系數(shù)和.(1)在平板壁面上的速度為零，即在處

(2)在邊界層外邊界上的速度等于來流速度,即在處，

(3)在邊界層外邊界上，摩擦切應(yīng)力為零，即在處，

(4)由于在平板壁面上的速度為零，即，由方程組（d）的第一式得

第80頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆平板層流邊界層的近似計算速度分布的四個系數(shù)可確定為：

于是，層流邊界層中速度的分布規(guī)律為

(e1)第二個補充關(guān)系式：利用牛頓內(nèi)摩擦定律和式（e1

）得出

(e2)式中為動力粘性系數(shù)。將速度分布方程（e1）帶入方程（e2）并積分得：分離變量，并積分得：

(e3)第81頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三◆平板層流邊界層的近似計算式中為運動粘性系數(shù)，為基于長度的雷諾數(shù)。合并方程（e2）和(e3)得到：

(e4)如果表面摩擦系數(shù)為：

(e5)那么，為：

(e6)根據(jù)動量損失厚度的定義式（d3），并考慮式（e3），可得動量損失厚度為：

(e7)同理，位移厚度為:

(e8)上述計算結(jié)果是依賴于所假設(shè)的速度分布規(guī)律的，不同階次的速度分布，可以得出不同的結(jié)果。表1給出幾種不同的情況。第82頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三表1不同階次的速度分布所得結(jié)果比較

32123÷???è?-÷???è?ddyy第83頁，講稿共94頁，2023年5月2日，星期三二、平板紊流邊界層的近似計算如前所述由于流動的混參以及速度和壓力的波動，紊流邊界層的速度分布都采用一些模型假定。普朗特建議，當(dāng)邊界層雷諾數(shù)時，邊界層內(nèi)的速度分布可采用次方規(guī)律，即：

（f）該式不能直接應(yīng)用于邊界層的內(nèi)邊界。通常認(rèn)為粘性底層內(nèi)的速度分布為線形分布。雷諾數(shù)取