線性回歸方程

關(guān)于線性回歸方程第1頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

有些教師常說：“如果你的數(shù)學(xué)成績好，那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題”按照這種說法，似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間也存在著某種關(guān)系。你如何認識它們之間存在的關(guān)系？物理成績

數(shù)學(xué)成績

學(xué)習(xí)興趣

學(xué)習(xí)時間

其他因素這兩個變量之間有不確定的關(guān)系結(jié)論：變量之間除了函數(shù)關(guān)系外，還有。相關(guān)關(guān)系問題引入：第2頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

函數(shù)關(guān)系---變量之間是一種確定性的關(guān)系.如:圓的面積S和半徑r之間的關(guān)系.

相關(guān)關(guān)系—變量之間有一定的聯(lián)系,但不能完全的用函數(shù)來表達.一般來說,身高越高,體重越重,但不能用一個函數(shù)來嚴格地表示身高與體重之間的關(guān)系.(非確定性關(guān)系)變量之間的關(guān)系第3頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系；相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的異同點：均是指兩個變量的關(guān)系．問題：舉一兩個現(xiàn)實生活中的問題，問題所涉及的變量之間存在一定的相關(guān)關(guān)系。（1）父母的身高與子女身高之間的關(guān)系（2）商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費之間的關(guān)系（3）糧食產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系例：相關(guān)關(guān)系是一種非確定關(guān)系.相同點：不同點：第4頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三問題：

某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：氣溫/0C261813104-1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?第5頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

為了了解熱茶銷量與氣溫的大致關(guān)系,我們以橫坐標x表示氣溫，縱坐標y表示熱茶銷量，建立直角坐標系.將表中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對表示的點在坐標系內(nèi)標出，得到下圖。今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).第6頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

選擇怎樣的直線近似地表示熱茶銷量與氣溫之間的關(guān)系?

我們有多種思考方案:(1)選擇能反映直線變化的兩個點,例如?。?）取一條直線,使得位于該直線一側(cè)和另一側(cè)的點的個數(shù)基本相同；（3）多取幾組點,確定幾條直線方程,再分別算出各條直線斜率、截距的平均值,作為所求直線的斜率、截距；

………………

怎樣的直線最好呢?這兩點的直線；第7頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三建構(gòu)數(shù)學(xué)

1.最小二乘法：用方程為的點，應(yīng)使得該直線與散點圖中的點最接近那么，怎樣衡量直線與圖中六個點的接近程度呢？

的直線擬合散點圖中我們將表中給出的自變量代入直線方程,得到相應(yīng)的六個值：的六個值

它們與表中相應(yīng)的實際值應(yīng)該越接近越好.

第8頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三所以,我們用類似于估計平均數(shù)時的思想,考慮離差的平方和

第9頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三與圖中六個點的接近程度,所以,設(shè)法取達到最小值.的值,使這種方法叫做最小平方法(又稱最小二乘法).

是直線在垂直方向(縱軸方向)上的距離的平方和,可以用來衡量直線與各散點第10頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第11頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第12頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第13頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三線性相關(guān)關(guān)系：像這樣能用直線方程近似表示的相關(guān)關(guān)系叫做線性相關(guān)關(guān)系.

如果散點圖中的點分布從整體上看大致在一條直線附近我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系第14頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三線性回歸方程：一般地,設(shè)有n個觀察數(shù)據(jù)如下：……當(dāng)a,b使取得最小值時,就稱這n對數(shù)據(jù)的線性回歸方程,該方程所表示的直線稱為回歸直線.為擬合第15頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第16頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三

類似地，我們可以推得，求回歸方程中系數(shù)a,b的一般公式:

以上公式的推導(dǎo)較復(fù)雜，故不作推導(dǎo)，但它的原理較為簡單：即各點到該直線的距離的平方和最小，這一方法叫最小二乘法。第17頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三求解線性回歸問題的步驟:1.列表()，畫散點圖.2.計算:3.代入公式求a,b4.列出直線方程第18頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三例題1：下表為某地近幾年機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計資料，請判斷機動車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程;如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,說明理由．第19頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三解：在直角坐標系中畫出數(shù)據(jù)的散點圖，直觀判斷散點在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系．第20頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第21頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三第22頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三P75練習(xí)2第23頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三回歸分析的基本步驟:畫散點圖求回歸方程預(yù)報、決策第24頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三問題：有時散點圖的各點并不集中在一條直線的附近，仍然可以按照求回歸直線方程的步驟求回歸直線，顯然這樣的回歸直線沒有實際意義。在怎樣的情況下求得的回歸直線方程才有實際意義？即建立的線性回歸模型是否合理？如何對一組數(shù)據(jù)之間的線性相關(guān)程度作出定量分析？第25頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三相關(guān)系數(shù)1.計算公式2．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1)|r|≤1．(2)|r|越接近于1，相關(guān)程度越強；|r|越接近于0，相關(guān)程度越弱．超級鏈接第26頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三散點圖只是形象地描述點的分布情況，要想把握其特征，必須進行定量的研究．第27頁，講稿共30頁，2023年5月2日，星期三相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？函數(shù)關(guān)系中的兩個變量間是一種確定性關(guān)系相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系

函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實生活中大量存在，是更一般的情況小結(jié)：1.