七年級數(shù)學(xué)尖子生培優(yōu)競賽專題輔導(dǎo)專題03三角形的中線與面積

專題03三角形的中線與面積專題解讀】任三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.由“等底同髙”可知,三角形的一條中線能把這個(gè)三角形分成而積相等的兩部分.利用這一性質(zhì)，再進(jìn)行適當(dāng)拓展延伸，我們還可解決許多其他的等分點(diǎn)問題.反過來，在解決許多有關(guān)多邊形(如三角形、四邊形等)的而積問題時(shí)，如果我們能夠快速地聯(lián)想到“三角形的中線等分三角形而積“這一性質(zhì)，那么往往可以事半功倍.思維索引例1.(1)如圖，ZV1BC中，D為AB的中點(diǎn)，E為DF的中點(diǎn).作出/XAED中的髙AH：連接BF,當(dāng)AH=4,DF=5時(shí)，求厶BDF面積.Q)如圖，AABC中，ZC=90°,AC=12,BC=9,AB=15,若動點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C—A_BY的路徑運(yùn)動，且速度為每秒3個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為f秒.當(dāng)t= 時(shí)，CP把△ABC的面積分成相等的兩部分；當(dāng)t=5時(shí)，CP把△ABC分成的兩部分而積之比是Supc:S*bpc= :當(dāng)t= 時(shí)，ABPC的而積為18.例2.如圖1,在ZXABC中，中線AM可以將AABC分成兩個(gè)而積相等的三角形，即S好加請?jiān)趫D2,圖3中，用兩種不同的方法將圖中的四邊形ABCD分成4個(gè)而積相等的小三角形：如圖4,在四邊形ABCD的邊上找到一點(diǎn)E,使得線段AE將四邊形ABCD分為而積相等的兩部分.圖3 圖4

圖3 圖4例3?（1）已知：AABC中，AD是BC邊上的中線，P是AD±的一點(diǎn)，若ZVIBC的而積為陽當(dāng)點(diǎn)P是初的中點(diǎn)（即PD=片AD）時(shí)，APBC的而積= （用含5的代數(shù)式表示）:當(dāng)pd=Lad時(shí)，hpbc的面積= （用含s的代數(shù)式表示）：3 當(dāng)PD=LaD時(shí)，HPBC的而積= （用含的代數(shù)式表示）.n（2）如圖.AABC的面積為\2cm2.D是AB邊的中點(diǎn)，E為AC邊上一點(diǎn)，且AE=2EC?0為DC與BE的交點(diǎn).若△DBO的面積為acnr.ACEO的而積為hem2,求a~b.例4.（1）如圖1,在AABD中，BE是aBD的中線，則有Sube= Szs（2）在四邊形ABCD中，E是AD邊上的動點(diǎn)，分別連接AC、BD、EB和EC,設(shè)△EBC的面積為$,△ABC的而枳為S2,ADBC的而積為S3.如圖2,當(dāng)AE=-AD時(shí)，試探究S,52,S3之間的關(guān)系，并寫出求解過程；2如圖3,當(dāng)AE=-AD（n表示正整數(shù)）時(shí)，試探究Si,S2,?之間的關(guān)系.n（直接給出答案，不必求解過程）圖2

圖2素養(yǎng)提升如圖，在AABC中，E、F分別是AD.CE邊的中點(diǎn)，且S^:r=4cm29則為（）A.\cm2 B.2cm2 C. D?16c/??2如圖，在IWBC中E是BC上的一點(diǎn)，EC=2BE,點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，設(shè)△ABC,Z\B￡F的而積分別為V)V)A.1 B.2 C.3 D.43.如圖，三角形ABC內(nèi)的線段BD、CE相交于點(diǎn)F,已知FB=FD、FC=2FE?若ABFC的而積為2,則四邊形AEFD的面積等于（ ）3.D.74.w「=12,則圖中ABEG與ZkCDG的而積第4題圖C.D.74.w「=12,則圖中ABEG與ZkCDG的而積第4題圖C.4第5題圖D.5如圖，G為ZVIBC內(nèi)一點(diǎn)，連接AG、BG、CG并延長分別交邊BC、AC.AB于點(diǎn)F、D、E,則把△TOC\o"1-5"\h\zABC分成六個(gè)小三角形，其中四個(gè)小三角形而積已在圖上標(biāo)明，則AABC的面積為（ ）A.300 B?315 C?279 D?342如圖，AE.BD是△ABC的兩條中線，AE.BD交于F,則ABEF和△AFD面積的大小關(guān)系是如圖，AABC的中線BD.CE相交于點(diǎn)G,GF丄BC,且BC=5,AC=3.GF=2,則四邊形ADGE的而積是 ?如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E、點(diǎn)G分別為BF與CT的中點(diǎn)，則S帕彩EFGD如圖，在△ABC中.已知點(diǎn)D、E、F分別是BC、AD.BE上的中點(diǎn)，且/\ABC的而積為12cm29則△ABF的而積為 cm2.

第7題圖第7題圖10?如圖，在長方形ABCD中，AB=8cm,BC=6cm.點(diǎn)E是CD邊上的一點(diǎn)，且DE=2cm,動點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿A-B-C-E運(yùn)動，最終到達(dá)點(diǎn)E當(dāng)?shù)亩e等于20cm2時(shí)，則點(diǎn)P運(yùn)動的時(shí)間 -V.第10題圖 第11題圖11.如圖，已知△ABG請你用兩種不同的方法把它分成而積之比為八2/3的三個(gè)三角形。12?操作示例:如圖甲中,E,F分別為四邊形ABCD的邊ADBC的中點(diǎn)，設(shè)四邊形ABCD的而積為S“護(hù)昨,則％刃形妙杪和馮邊盟mZMJ1曲足H'J人樂式為 解決問題：在圖乙中，E,F,G,H分別為四邊形ABCD的邊AB.BC,CD的中點(diǎn)，并且圖中四邊形丿KZJ的面枳為20cm2,求圖中△AE/、HBFK、ZkCG厶與△?/〃的面枳和.圖甲

圖甲(1)在圖甲中，若久厶分別為AB,BC的中點(diǎn)，則Sg：Swc= 在圖乙中，若D「Q分別為朋的三等分點(diǎn)，環(huán)鳥分別為BC的三等分點(diǎn)，求△2&耳、AD2E2C的而積和與AABC的而積比等于多少？并說明理由.拓展：在圖丙中，若22?2宀??2分別為的(n+1)等分點(diǎn)，E「E"E“…也分別為BC的(n+1)等分點(diǎn)，求SD}E}E2>SD2E2C?……，SDnEfJC的而積和與AABC的而積比等于多少？(直接寫出答案，不必求解過程)圖甲圖甲在如圖/至圖2中，8BC的而積為“.操作：如圖b分別延長^ABC的邊BC到點(diǎn)D,CA到點(diǎn)E,AB到點(diǎn)F,使CD二BC,AE=CA,BF二AB,連結(jié)FD,FE,得到△DEF(如圖1).若增加部分的而積為則S】二 .(用含“的代數(shù)式表示).發(fā)現(xiàn)：像上而那樣，將△ABC各邊均順次延長一倍，連結(jié)所得端點(diǎn)，得到△DEF,此時(shí)，我們稱厶ABC向外擴(kuò)展了一次.可以發(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的ADEF的面積是原來AABC而積的 倍.應(yīng)用：張明去年在而積為10〃『的AABC空地上栽種了某種花卉.今年他準(zhǔn)備擴(kuò)大種植規(guī)模，把厶ABC向外進(jìn)行兩次擴(kuò)展成△A/GH(如圖2)?求這兩次擴(kuò)展的區(qū)域而積共為多少 亦？圖1 圖2專題03三角形的中線與面積思維索引】例1.⑴①略；?S^bdf=10. (2)@6.5；②1:4：③扌或豐.例2?(1)如圖所示，(答案不唯一)(2)如圖,(2)如圖,例3.(1)?$ ②gs： (2)2.例4.(1)Smbe=*Sa/Wd. ⑵①Si=*S2+*S3： ②Si=￡S2+