七年級數(shù)學(xué)幾何圖形初步(培優(yōu)篇)(Word版-含解析)

一、初一數(shù)學(xué)幾何模型部分解答題壓軸題精選（難）1．問題情境1:如圖1,AB∥CD,P是ABCD內(nèi)部一點(diǎn),P在BD的右側(cè),探究∠B,∠P,∠D之間的關(guān)系?小明的思路是:如圖2,過P作PE∥AB,通過平行線性質(zhì),可得∠B,∠P,∠D之間滿足____關(guān)系。(直接寫出結(jié)論)問題情境2如圖3,AB∥CD,P是AB,CD內(nèi)部一點(diǎn),P在BD的左側(cè),可得∠B,∠P,∠D之間滿足____關(guān)系。(直接寫出結(jié)論)問題遷移:請合理的利用上面的結(jié)論解決以下問題:已知AB∥CD,∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點(diǎn)F

（1）如圖4,若∠E=80°,求∠BFD的度數(shù)；（2）如圖5中,∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1（3）若∠ABM=1n∠ABF,∠CDM=1【答案】（1）解：根據(jù)問題情境2，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF∵,∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點(diǎn)F

∴∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE∴∠FBE+∠FDE=∠BFD∵∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°∴80°+∠BFD+∠BFD=360°∴∠BFD=140°（2）結(jié)論為：6∠M+∠E=360°證明：∵∠ABM=13∠ABF,∠CDM=1∴∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM∵∠ABE與∠CDE兩個角的角平分線相交于點(diǎn)F

∴∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM∵∠ABE+∠CDE+∠E=360°∴6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴6∠M+∠E=360°（3）證明：根據(jù)（2）的結(jié)論可知2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°2n（∠ABM+∠CDME）+∠E=360°∵∠M=∠ABM+∠CDM∴2n∠M+m°=360°∴∠M=【解析】問題情境1:

圖1中∠B,∠P,∠D之間關(guān)系是：∠P+∠B+∠D=360°，問題情境2：圖3中∠B,∠P,∠D之間關(guān)系是：∠P=∠B+∠D；【分析】問題情境1和2

過點(diǎn)P作EP∥AB，利用平行線的性質(zhì)，可證得結(jié)論。（1）利用問題情境2的結(jié)論，可得出∠BFD=∠AEF+∠CDF，再根據(jù)角平分線的定義得出∠AEF=∠FBE，∠CDF=∠FDE，再證明∠E+∠BFD+∠FBE+∠FDE=360°，就可建立方程80°+∠BFD+∠BFD=360°，解方程求出∠BFD的度數(shù)即可。（2）根據(jù)已知可得出∠ABF=3∠ABM，∠CDF=3∠CDM，再根據(jù)角平分線的定義得出，∠ABE=6∠ABM，∠CDE=6∠CDM，然后根據(jù)問題情境1的結(jié)論∠ABE+∠CDE+∠E=360°，可推出6（∠ABM+∠CDM）+∠E=360°，變形即可證得結(jié)論。（3）根據(jù)已知得出2n∠ABM+2n∠CDM+∠E=360°，再根據(jù)∠M=∠ABM+∠CDM，代入變形即可得出結(jié)論。2．如圖，∠AOB=90°，∠BOC=30°，射線OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．（1）求∠MON的度數(shù)；（2）如果（1）中，∠AOB=α，其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（3）如果（1）中，∠BOC=β（β為銳角），其他條件不變，求∠MON的度數(shù)；（4）從（1）、（2）、（3）的結(jié)果中，你能看出什么規(guī)律？【答案】（1）解：∠AOB=90°，∠BOC=30°，∴∠AOC=90°+30=120°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=12∠AOC=60°，∠CON=1∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=60°﹣15°=45°（2）解：∠AOB=α，∠BOC=30°，∴∠AOC=α+30°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=12∠AOC=12α+15°，∠CON=∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12α+15°﹣15°=1（3）解：∠AOB=90°，∠BOC=β，∴∠AOC=β+90°．由角平分線的性質(zhì)可知：∠MOC=12∠AOC=12β+45°，∠CON=12∵∠MON=∠MOC﹣∠CON，∴∠MON=12β+45°﹣1（4）解：根據(jù)（1）、（2）、（3）可知∠MON=12【解析】【分析】（1）先求得∠AOC的度數(shù)，然后由角平分線的定義可知∠MOC=60°，∠CON=15°，最后根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（2）先求得∠AOC=α+30°，由角平分線的定義可知∠MOC=12α+15°，∠CON=15°，最后根據(jù)∠MON=∠MOC﹣∠CON求解即可；（3）先求得∠AOC=β+90°，由角平分線的定義可知∠MOC=12β+15°，∠CON=3．

綜合題（1）如圖，已知點(diǎn)C在線段AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)M、N分別是AC、BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度．（2）對于（1）問，如果我們這樣敘述：“已知點(diǎn)C在直線AB上，且AC=6cm，BC=4cm，點(diǎn)M、N分別是AC，BC的中點(diǎn)，求線段MN的長度．”結(jié)果會有變化嗎？如果有，求出結(jié)果；如果沒有，說明理由．【答案】（1）解：∵AC=6cm，且M是AC的中點(diǎn)，∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC+CN=3cm+2cm=5cm，∴線段MN的長度是5m（2）解：分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，由（1）得MN=5cm，當(dāng)C在線段AB的延長線上時，∵AC=6cm，且M是AC的中點(diǎn)∴MC=12AC=1同理：CN=2cm，∴MN=MC﹣CN=3cm﹣2cm=1cm，∴當(dāng)C在直線AB上時，線段MN的長度是5cm或1cm．【解析】【分析】（1）根據(jù)線段的中點(diǎn)定義，由M是AC的中點(diǎn)，求出MC、CN的值，得到MN=MC+CN的值；（2）當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上，由（1）得MN的值；當(dāng)C在線段AB的延長線上時，再由M是AC的中點(diǎn)，求出MC、CN的值，得到MN=MC﹣CN的值.4．根據(jù)下圖回答問題：（1）如圖1，CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∠MAC+∠ACM=90°，請判斷AB與CD的位置關(guān)系并說明理由；（2）如圖2，當(dāng)∠M=90°且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)直角頂點(diǎn)M移動時，問∠BAM與∠MCD是否存在確定的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖3，G為線段AC上一定點(diǎn)，點(diǎn)H為直線CD上一動點(diǎn)且AB與CD的位置關(guān)系保持（1）中的不變，當(dāng)點(diǎn)H在射線CD上運(yùn)動時（點(diǎn)C除外）∠CGH+∠CHG與∠BAC有何數(shù)量關(guān)系？猜想結(jié)論并說明理由．【答案】（1）∵CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，∴∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，∵∠MAC+∠ACM=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，理由：如圖，過M作MF∥AB，∵AB∥CD，∴MF∥AB∥CD，∴∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，∵∠M=90°，∴∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH．理由：過點(diǎn)G作GP∥AB，∵AB∥CD∴GP∥CD，∴∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，∴∠PGC=∠CHG+∠CGH，∴∠BAC=∠CHG+∠CGH．【解析】【分析】（1）已知CM平分∠ACD，AM平分∠BAC，根據(jù)角平分線的定義可得∠BAC=2∠MAC，∠ACD=2∠ACM，再由∠MAC+∠ACM=90°，即可得∠BAC+∠ACD=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行即可得AB∥CD；（2）∠BAM+∠MCD=90°，過M作MF∥AB，即可得MF∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAM=∠AMF，∠FMC=∠DCM，再由∠M=90°，即可得∠BAM+∠MCD=90°；（3）∠BAC=∠CHG+∠CGH，過點(diǎn)G作GP∥AB，即可得GP∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠BAC=∠PGC，∠CHG=∠PGH，所以PGC=∠CHG+∠CGH，即可得∠BAC=∠CHG+∠CGH．5．如圖，已知點(diǎn)B(a,b)，且a，b滿足|2a+b-13|+a-3b+4=0.過點(diǎn)（1）求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)M是邊OA上的一個動點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），∠CMA的角平分線交射線CB于點(diǎn)N，在點(diǎn)M運(yùn)動過程中，∠（3）在四邊形OABC的邊上是否存在點(diǎn)P，使得BP將四邊形OABC分成面積比為1：4的兩部分？若存在，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）解：由|2a+b-{2a+b-∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(5,3)（2）解：不變化∵BC⊥∴BC∥x軸∴∠∵M(jìn)N平分∠∴∠∴∠∴∠（3）解：點(diǎn)P可能在OC,OA邊上，如下圖所示，由（1）可知，BC=5，AB=3，故矩形OABC的面積為15若點(diǎn)P在OC邊上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,a)，則CP=3三角形BCP的面積為12剩余部分面積為15-所以15-5a2P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,9若點(diǎn)P在OA邊上，可設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(a,0)，則AP=5三角形BAP的面積為12剩余部分面積為15-所以15-3a2P點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0).綜上,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)，(0,9【解析】【分析】（1）由絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性可知由兩個非負(fù)數(shù)的和為0，則這兩個數(shù)都為0，由此可列出關(guān)于a，b的二元一次方程組，解之即可得出B點(diǎn)坐標(biāo)；（2）根據(jù)平行線和角平分線的性質(zhì)可證明∠CMN=（3）點(diǎn)P只能在OC,OA邊上，表示出兩部分的面積，依比值求解即可.6．探究與發(fā)現(xiàn)：（1）探究一：我們知道，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.那么，三角形的一個內(nèi)角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在何種數(shù)量關(guān)系呢？已知：如圖1，∠FDC與∠ECD分別為△ADC的兩個外角，試探究∠A與∠FDC+∠ECD的數(shù)量關(guān)系.（2）探究二：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？已知：如圖2，在△ADC中，DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，試探究∠P與∠A的數(shù)量關(guān)系.（3）探究三：若將△ADC改為任意四邊形ABCD呢？已知：如圖3，在四邊形ABCD中，DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，試?yán)蒙鲜鼋Y(jié)論探究∠P與∠A+∠B的數(shù)量關(guān)系.（4）探究四：若將上題中的四邊形ABCD改為六邊形ABCDEF（圖4）呢？請直接寫出∠P與∠A+∠B+∠E+∠F的數(shù)量關(guān)系：▲

.【答案】（1）解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；（2）探究二：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠ACD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=90°+12（3）探究三：∵DP、CP分別平分∠ADC和∠BCD，∴∠PDC=12∠ADC，∠PCD=1∴∠DPC=180°-∠PDC-∠PCD，=180°-12∠ADC-1=180°-12=180°-12=12（4）探究四：六邊形ABCDEF的內(nèi)角和為：（6-2）?180°=720°，∵DP、CP分別平分∠EDC和∠BCD，∴∠PDC=12∠EDC，∠PCD=1∴∠P=180°-∠PDC-∠PCD=180°-12∠EDC-1=180°-12=180°-12=12即∠P=12【解析】【分析】探究一：根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理整理即可得解；探究二：根據(jù)角平分線的定義可得∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列式整理即可得解；探究三：根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；探究四：根據(jù)六邊形的內(nèi)角和公式表示出∠EDC+∠BCD，然后同理探究二解答即可.7．如圖1，已知∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B不重合），連結(jié)AP，將線段AP繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AQ，連結(jié)QE并延長交射線（1）如圖1，當(dāng)BP=BA時，∠EBF=________°，猜想∠QFC=________（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時，猜想∠QFC【答案】（1）30；60（2）解：結(jié)論：∠QFC=60如圖：∵∠BAP=∠BAE+∴∠BAP=在△ABP和△AEQ中，AB=AE，∠BAP=∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=【解析】【解答】證明：（1）∵∠ABC=90°，△ABE是等邊三角形，∴∠ABE=60°，∴∠EBF=30°；猜想：∠QFC=60理由如下：如圖，∵∠BAP=∠BAE∴∠BAP=∵AB=AE，AP=AQ，∴△ABP∴∠AEQ=∴∠BEF=180∴∠QFC=故答案為：30；60；【分析】（1）∠EBF與∠ABE互余，而∠ABE=60°，即可求得∠EBF的度數(shù)；先證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案；（2）先證明∠BAP=∠EAQ，進(jìn)而得到△ABP≌△AEQ，證得∠AEQ=∠ABP=90°，則∠BEF=180°-∠AEQ-∠AEB=180°-90°-60°=30°，∠QFC=∠EBF+∠BEF，即可得到答案.8．如圖，∠AOB＝40°，點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)P為OB上一動點(diǎn)，∠CPB的角平分線PD交射線OA于D。設(shè)∠OCP的度數(shù)為x°，∠CDP的度數(shù)為y°。小明對x與y之間滿足的等量關(guān)系進(jìn)行了探究，下面是小明的探究過程，請補(bǔ)充完整；（1）x的取值范圍是________；（2）按照下表中x的值進(jìn)行取點(diǎn)、畫圖、計算，分別得到了y與x的幾組對應(yīng)值，補(bǔ)全表格；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，①描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)；②描出當(dāng)x＝120°時，y的值；（4）若∠AOB＝a°，題目中的其它條件不變，用含a、x的代數(shù)式表示y為________?！敬鸢浮浚?）40°<x<140°（2）解：∵∠DPB=∠AOB+∠CDP=40°+y°，∠DPB=12∴40°+y°=12（40°+x°），即y=1x=60時，y=12x-20=1x=70時，y=12x-20=1x=80時，y=12x-20=1x=90時，y=12x-20=1補(bǔ)全表格如下：；（3）解：①②如圖：

x=120時，y=12x-20=1（4）y=12【解析】【解答】解：（1）∵∠CPB是△COP的外角，∴∠CPB=40°+x°，∠CPB一定小于180°，即40°+x°<180°，x<140°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=1∵當(dāng)∠DPB=40°時，DP∥OA，即∠CPB的角平分線與OA無交點(diǎn)，所以∠DPB一定大于40°，即12∴x的取值范圍是40°<x<140°；（4）∵∠DPB=∠AOB+∠CDP，∠AOB＝a°，∠CDP的度數(shù)為y°，∴∠DPB=a°+y°，∵∠CPB=∠AOB+∠OCP，∠AOB＝a°，∠OCP的度數(shù)為x°，∴∠CPB=a°+x°，∵PD平分∠CPB，∴∠DPB=12∠CPB=12（∴a°+y°=12（a°+x°），即y=1【分析】（1）根據(jù)角平分線和三角形外角的性質(zhì)，可得∠CPB=40°+x°，∠DPB=12（2）根據(jù)角平分線和三角形外角的性質(zhì)列出y與x的關(guān)系式，分別計算求值即可；（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中描出各點(diǎn)即可；（4）根據(jù)角平分線和三角形外角的性質(zhì)即可求解.9．如圖1，在△ABC中，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于點(diǎn)A1，（1）分別計算：當(dāng)∠A分別為700、800時，求∠A1的度數(shù).（2）根據(jù)（1）中的計算結(jié)果，寫出∠A與∠A1之間的數(shù)量關(guān)系________.（3）∠A1BC的角平分線與∠A1CD的角平分線交于點(diǎn)A2，∠A2BC的角平分線與∠A2CD的角平分線交于點(diǎn)A3，如此繼續(xù)下去可得A4，…，∠An，請寫出∠A5與∠A的數(shù)量關(guān)系________.（4）如圖2，若E為BA延長線上一動點(diǎn)，連EC，∠AEC與∠ACE的角平分線交于Q，當(dāng)E滑動時，有下面兩個結(jié)論：①∠Q+∠A1的值為定值；②∠D-∠A1的值為定值.其中有且只有一個是正確，請寫出正確結(jié)論，并求出其值.【答案】（1）解：∵A1C、A1B分別是∠ACD、∠ABC的角平分線∴∠A1BC=12∠ABC，∠A1CD=1由三角形的外角性質(zhì)知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，即：∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=1當(dāng)∠A=70°時，∠A1=35°；當(dāng)∠A=80°，∠A1=40°（2）∠A=2∠A1（3）∠A5=132（4）解：△ABC中，由三角形的外角性質(zhì)知：∠BAC=∠AEC+∠ACE=2（∠QEC+∠QCE）；即：2∠A1=2（180°-∠Q），化簡得：∠A1+∠Q=180°故①的結(jié)論是正確，且這個定值為180°【解析】【解答】解：（2）由（1）可知∠A1==12即∠A=2∠A1（3）同（1）可求得：∠A2=12∠A1=1∠A3=12∠A2=1…依此類推，∠An=12當(dāng)n=5時，∠A5=125∠A=【分析】（1）由三角形的外角性質(zhì)易知：∠A=∠ACD-∠ABC，∠A1=∠A1CD-∠A1BC，而∠ABC的角平分線與∠ACB的外角∠ACD的平分線交于A1，可得∠A1=12（∠ACD-∠ABC）=12∠A（2）根據(jù)（1）可得到∠A=2∠A1（3）根據(jù)（1）可得到∠A2=12∠A1=122∠A，∠A3=12∠A2=123∠A，…依此類推，∠A10．如圖，已知CD∥EF，A，B分別是CD和EF上一點(diǎn)，BC平分∠ABE，BD平分∠ABF（1）證明：BD⊥BC;（2）如圖，若G是BF上一點(diǎn)，且∠BAG=50°，作∠DAG的平分線交BD于點(diǎn)P，求∠APD的度數(shù)：（3）如圖，過A作AN⊥EF于點(diǎn)N，作AQ∥BC交EF于Q，AP平分∠BAN交EF于P，直接寫出∠PAQ=________.【答案】（1）證明：∵BC平分∠ABE，BD平分∠ABF∴∠ABC=12∠ABE，∠ABD=1∴∠ABC+∠ABD=12（∠ABE+∠ABF）=1∴BD⊥BC（2）解：∵CD∥EFBD平分∠ABF∴∠ADP=∠DBF=12又AP平分∠DAG，∠BAG=50°∴∠DAP=12∴∠APD=180°－∠DAP－∠ADP=180°－12∠DAG－1=180°－12(∠DAB－∠BAG)－1=180°－12∠DAB+12×50°－=180°－12=180°－12=115°（3）45°【解析】【解答】（3）解：如圖，∵AQ∥BC∴∠1=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，∵BC平分∠ABE，∴∠1=∠2=∠4，∴12又∵CD∥EF，AN⊥EF，AP平分∠BAN∴∠PAN=12∴∠PAQ=∠PAN+∠NAQ=12=45°-12=135°-（12=135°-90°=45°.【分析】（1）根據(jù)角平分線和平角的定義可得∠CBD=90°，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可得∠ADP=∠DBF=12∠ABF，∠DAB+∠ABF=180°，∠DAP=12∠DAG，然后根據(jù)出三角形內(nèi)角和即可求出∠APD的度數(shù)；（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可得∠1=∠2=∠4，∠2+∠3+∠4=180°，即12∠3+∠4=90°，根據(jù)垂直和平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義可得∠PAN=111．如圖1，已知直線CD∥EF，點(diǎn)A、B分別在直線CD與EF上．P為兩平行線間一點(diǎn)．（1）若∠DAP=40°，∠FBP=70°，則∠APB=________．（2）猜想∠DAP，∠FBP，∠APB之間有什么關(guān)系？并說明理由．（3）利用(2)的結(jié)論解答：①如圖2，AP1、BP1分別平分∠DAP、∠FBP，請你寫出∠P與∠P1的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．②如圖3，AP2、BP2分別平分∠CAP、∠EBP，若∠APB=β，求∠AP2B(用含β的代數(shù)式表示)．【答案】（1）110（2）由（1）可知∠DAP，∠FBP，∠APB之間的關(guān)系為：∠APB=（3）