江蘇省蘇州市2022屆高三考前模擬試卷數(shù)學(xué)試題及答案

2021?2022學(xué)年度蘇州市高三考前模擬試卷

數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的。

1.設(shè)集合4={工￡^1|工2一工一240},B-{-1,1,2,3},則403=

A.{-1,0}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{0,1,2,3}

2.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)z=l+i(i是虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)Z+z2對應(yīng)的點位于

Z

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知單位向量a,b,c滿足2a+3Z>+4c=0,則ab=

297

A.——B.——C.0

1284

4.已知加sin200+tan200=百，則實數(shù)加的值為

A.GB.2C.4D.8

5.為加快新冠病毒檢測效率，檢測機構(gòu)采取“10合1檢測法’即將10個人的拭子樣本合并

檢測，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽性，則還需要對本組的每

個人再做檢測.現(xiàn)對來自重點管控區(qū)的100人進(jìn)行核酸檢測，若有2人感染病毒，則隨

機將其平均分成10組后這兩名感染患者在同一組的概率為

A.—B.—C.—D.—

15121110

6.已知奇函數(shù)/(x)=(x2-2x)3+b)540)在點(a,〃a))處的切線方程為y=/(a),則

b=

A.-B.-----回t----C.-2百^2D.-----回t----

3333

r22

7.已知￡,每是橢圓一+v」==1(〃?〉1)的左、右焦點，點4是橢圓上的一個動點，若

mm-\

入4月用的內(nèi)切圓半徑的最大值是理，則橢圓的離心率為

1

A.V2-1B.-C.—D.V3-1

22

8.已知x==，2=兀，，則x,y,z的大小關(guān)系為

A.x>y>zB.x>z>yC.y>x>zD.y>z>x

第1頁，共12頁

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求。全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。

9.已知投資4,8兩種項目獲得的收益分別為X,y,分布列如下表，則

X/百萬-102修百萬012

P0.2m0.6P0.30.4n

A.m+n=0.5B.E(2X+1)=4

C.投資兩種項目的收益期望一樣多D.投資4項目的風(fēng)險比8項目高

10.右圖是函數(shù)/(x)=Zsin(?yx+e)(4＞0,。＞0)的部分圖象，則

A.“X)的最小正周期為兀

B.將函數(shù)y=/(x)的圖象向右平移三個單位后，得到的函數(shù)

為奇函數(shù)

C.x=*兀是函數(shù)y=/(x)的一條對稱軸

6(第10題圖)

D.若函數(shù)y=/(fx)。＞0)在［0,兀］上有且僅有兩個零點，貝打€自，勺

63

11.某酒店大堂的壁燈的外觀是將兩個正三棱錐的底面重合構(gòu)成的一

個六面體(如圖)，已知8c=/8=1,現(xiàn)已知三棱錐E-8CD的

高大于三棱錐3。的高，則

A.平面。CE

7

B.二面角/I-8C-E的余弦值小于

9

C.該六面體存在外接球

(第11題圖)

D.該六面體存在內(nèi)切球

12.在數(shù)列｛勺｝中，若a；-a3=pp為非零常數(shù))，則稱也,｝為“等方差

數(shù)列”，P稱為“公方差”，下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是

A.是等方差數(shù)列

B.若正項等方差數(shù)列｛%｝的首項q=l,且〃「生，為是等比數(shù)列，則端=2〃-1

C.等比數(shù)列不可能為等方差數(shù)列

D.存在數(shù)列｛q｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列

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三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在正項等比數(shù)列｛q｝中，a2-a4=9,記數(shù)列｛勺｝的前〃項的積為7；,若

7；e(1,1000),請寫出一個滿足條件的〃的值為.

14.已知雙曲線［-1=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為耳，馬，過石的直線與圓

丫2+必=〃2相切，且與雙曲線的左支交于x軸上方的一點尸，當(dāng)尸耳=耳用時直線尸入

的斜率為.

15.函數(shù)〃x)=ln|x|-|x-l|,若函數(shù)y=/(x)-〃?有三個零點，則實數(shù)朋的值為.

16.如圖，已知四面體中，△48。和△8CZ)都是等腰

直角三角形，AB=6,NBAD=NCBD」.若四面體

2

ABCD外接球的表面積為87t,則此時二面角4-BD-C的

大小為______;若二面角力-8。-。為三時，點加為線段

3

(第16題圖)

上一點，則的最小值為.(本小題第一空2

分，第二空3分)

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(10分)

在①S+c2T加訪8=也相且B>j②幾±=儡：③sin8+sinC=q這

241-cos^sin-sinCb-c

三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并解答問題.

問題：在△/SC中，角/,8,C的對邊分別為a,b,c,且

(1)求8；

(2)若。為邊ZC的中點，且q=3,c=4,求中線8。長.

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18.(12分)

如圖，在數(shù)軸上，一個質(zhì)點在外力的作用下，從原點。出發(fā)，每次等可能地向左或向

右移動一個單位，質(zhì)點到達(dá)位置的數(shù)字記為X.

-6-5-4-3-2-10123456x

(第18題圖)

(1)若該質(zhì)點共移動2次，位于原點。的概率；

(2)若該質(zhì)點共移動6次，求該質(zhì)點到達(dá)數(shù)字X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

19.(12分)

已知數(shù)列｛為｝滿足gq+Ja,+T-卜*a,="("eN")，｛—｝的前n項和為.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項公式；

(2)設(shè)=log3a?,數(shù)列｛—!—｝的前n項和為7；,證明：T?<-S?+l.

她+也,+22

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20.（12分）

如圖，在四棱錐P-45CD中，已知側(cè)面尸CD

為正三角形，底面/8C。為直角梯形，AB//CD,

ZADC=90°,AB=AD=3,CD=4Y、M,N

分別在線段43和尸。上，且

AM=2MB,DN=2NP.

(1)求證尸A/〃平面/CN；

(2)設(shè)二面角尸的余弦值為且，(第20題圖)

3

求直線PC和平面PAB所成角的大小.

21.(12分)

已知。cR,函數(shù)f(x)=er-asinx(xe[0,—]).

(1)討論/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)零點的個數(shù)；

(2)若/(x)2與1。，求。的取值范圍.

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22.（12分）

在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知尸（1,0）,點“到直線x=-3的距離比到點尸的距離

大2,記陰的軌跡為C.

（1）求C的方程；

（2）過尸的直線/交C于/，8兩點，過點/作C的切線，交x軸于點P,直線8尸交

C于點。（不同于點8）,直線/。交x軸于點N.若SMNF=2S&NQ，求直線/

的方程.

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2021-2022學(xué)年度蘇州市高三考前模擬試卷

數(shù)學(xué)試卷參考答案

316.J叵

13.4（答案不唯一）14.--15.-2

424

四、解答題：本題共6小題，共70分.

17.（10分）

解：(1)若選①：(a2+c2—Z>2)sinB=-^-ac,S.a2+c2-b2=2accosB>

所以2accos8sin8=@ac,所以sin28=@

4分

22

又〈兀，所以W<28<2兀，所以28=4,所以8=三...............6分

4233

若選②：由正弦定理得sm'sm"=JJsin/,因為sinAxO,

1-cos8

sinB=y/3—VJcosB>即sin(5+§)=?.........................................................4分

由0<8<兀，^<S+y<y,所以8+1=當(dāng)，所以8=g..............................6分

若選③：由正弦定理得±=4,即/+。2一/=",

a-cb-c

由余弦定理得COS8='+C2-'=￡￡■=]■,..................................................4分

2aclac2

又0<3〈兀，所以5二3?..............................................................................................6分

3

（2）在△NBC中，由余弦定理得〃=。2+/-2accos8=9+16-12=13,所以6=2百,

................................................................................................................................................8分

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2

_______________2AC

又BA,BC=（BD+DA）?（BD+DC）=BD--------,

4

所以3-4-。5工=而2-?，所以中線8。長為叵.

......................10分

342

18.（12分）

解：（1）記“質(zhì)點位于原點。的位置”的事件為4

則P(A)

2x22

答：質(zhì)點移動2次后位于原點。的概率為1............3分

2

（2）隨機變量X可能取得的值為6,4,2,0,-2,-4,-6,

則尸(X=6)=q=L,尸(X=4)=3=9,P(X=2)=&=",

266426642664

”=。）母喘，尸”7）《嗜，尸―等哈尸（丫一）亨磊

.......................................................................10分

隨機變量X的分布列如下:

X6420-2-4-6

1615201561

P

64646464646464

r

￡(A)=6x—+4x—+2x—+0x—+(-2)x—+(-4)x—+(-6)x—=0?…，12分

64646464646464

19.（12分）

解:(1)當(dāng)〃=1時，《=3,

當(dāng)〃?2時，+…+=〃①,

1111

鏟|+承2+尹。3+…+正％="-1②’

由①一②得（=1,即q=3"（〃22）........................3分

當(dāng)〃=1時也成立，所以數(shù)列｛%｝的通項公式為4=3"（〃eN*）...............4分

（2）證明：由（1）知?！?3"，所以S=3口（3）1.（J」）,............6分

1—

3

z,

因為6〃=log3a7:=log33=n,

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所以大”("+D(〃+2)=?〃5+l)(〃+1)(〃+2)

］，8分

T1r1111]

所以T=_[--------+---------+…+(〃+1)5+2)1(?+lXn+2)]

21-22-32-33-4成〃+1)

1o

所以2騫=一[1-------------]................................................

2(”+1)5+2)」

+,n+,+|

因為3">2=(1+1)"N《7+C；,+l+C3=1+(〃+1)+("+D；"+2),

所以北=；口-(〃+；〃+2)】＜S"=太-5)

20.(12分)

解：(1)證明：連接MD,交AC于E.

因為把=2,AB=3,所以/〃=2,MB=1.

MB

因為所以匹=型=2.

EMAM

又器=2,所以普=等，所以PM〃NE.

NPEMNP

又NEu平面ACN,《平面NCM所以PM〃平面/CM................4分

(2)取CD中點F,連接MRPF.

因為△「(?￡)為正三角形，所以尸F(xiàn)_LCZ),且P/=26，DF=-CD=2=AM.

2

又AM〃DF,所以四邊形"MED為平行四邊形.

又N/￡)C=90。，所以四邊形/用尸￡＞為矩形，所有MF_LC。，且加F=3.

又PFLCD,MFCPF=F,加/，PFu平面尸例尸，所以CD平面PA/F.

又CDu平面ABCD,所以平面PA"_L平面ABCD.

過尸作MF的垂線交MF于點。，

過。作直線平行于CD交BC于點G,

則OW,OG,O尸兩兩相互垂直，則以。M,OG,OP分別

為x,y,z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。一

xyz,......................................6分

又M/LLC。，且MF=3,PFLCD,MFCFM=F,

所以NA/人尸為二面角P-CD-A的平面角.

于是cos/MFP=竺^=—.

PF3

第9頁，共12頁

因為尸尸=2石，所以0^=2,且0P=2jI,所以P(0,0,JI),

因為C(-2,2,0)，所以方=(2,-2,2五)................................8分

又4(1,一2,0),8(1,1,0),尸(0,0,2),則通=(0,3,0),AP=(-1,2,272).

m±AB,nt?AB=0，

設(shè)加=(a,6,c)為平面BIB的一個法向量，則｛一即《一

m±AP,［〃八AP=0,

38=0,_

所以Ia+2b+2舊-0令c=l'則。=2&，所以/"=......10分

設(shè)直線AC與平面PAB所成的角為0(0<。W9，

?..II,CP..6-^2.5/2

則sindn=|cos<CP,m>|=|-~1=|--1=—,

IwI-ICPI4x32

ITTT

因為0<ew］,所以直線4C與平面處8所成角的大小為：..............12分

另解：(2)設(shè)點C到平面48的距離為力，

結(jié)合點C到平面P/B的距離等于點F到平面的距離，

而為等腰三角形，MP=MF,

所以點尸到平面PAB的距離等于點尸。=2&,

所以sin。=豆,故

424

21.(12分)

解：(1)g(x)=f\x)=ex-acosx,gf(x)=ex+asinx.

若。<1,則/'(x)=ex—4cos%>l—l=0,所以/'(x)的零點個數(shù)為0；

若a=l,g'(x)=e'+sinx>0,所以/'(x)在［0，自上單調(diào)遞增，

又/'(0)=e°—cos0=1-1=0,所以/'(x)的零點個數(shù)為1；

若a>l,g，(x)=e、+asinx>0,所以/"(x)在［0,今上單調(diào)遞增，

又/(0)=1_0<0，/，9=->0，所以/'(X)的零點個數(shù)為L............4分

(2)由(1)知:

若aWl,/'(Me-cosxM,故/⑴在［。勺上單調(diào)遞增’

所以/(x)N/(0)=l>*°與與L;,所以aWl滿足題意；..............6分

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若。〉1,存在唯一/KO,］),使得/'(%)二爐)-acos%=0,..............7分

且當(dāng)xw(0,/)時，f\x)<0,當(dāng)xwC%,今時，/'(x)>0,

所以/(x)在(0,/)上單調(diào)遞減，在(/$上單調(diào)遞增.

^3-1

所以/(x)min=/(Xo)=e'。—〃sinx。=QCOSX°—Qsinx?！?--a,............................9分

化簡得cos(x0+；)2約旦cos浮又X°€(0,?所以毛€(0中，……10分

易證y=2在(0/)上單調(diào)遞減，所以』=絲人［正，1),

e、6a

解得。€(1,平丁］.

綜上所述，”的取值范圍為(-8,平一］.................................12分

22.(12分)

解：(1)因為點M到直線x=-3的距