大話統(tǒng)計學教師chap5概率理論4條件

A

˙

BA

˙

BABS條件概率P(B)P(

A

|

B)

=

P(

A

B)P(

A)P(B

|

A)

=

P(

A

B)條件概率#(B)事件A

B

樣本點的數(shù)目事件B

樣本點的數(shù)目=

#(

A

B)

=BP(A

|

B)=在給定(given

that)B

事件，事件A

的概率A

BP(A

|

B)=要研究的事件主題，在已經(jīng)知道部份信息情況下，研究該主題事件的概率，即為條件概率。若P(A|B)<P(A)，則事件B

帶給事件A

是負面信息。若P(A|B)>P(A)，則事件B

帶給事件A

是正面信息。在賭場賭21點，利用算牌的方法(10點以上大牌或2~6點的小牌)，如果剩下未出的牌，大牌很多(事件B)，莊家爆牌(事件

A)的概率變大，就下大賭注。若P(A|B)=P(A)，則事件B帶給事件A

是無信息，也就是兩個事件A

與B是獨立。若P(A|B)>P(A)，則P(B|A)>P(B)。若事件B

帶給事件A是正面信息，則事件A

帶給事件B

也是正面信息。若P(A|B)<P(A)，則P(B|A)<P(B)。若事件B

帶給事件A是負面信息，則事件A

帶給事件B

也是負面信息。條件概率例題3.13：已經(jīng)知道擲兩個骰子全是黑色(2,3,5,6)(事件A)，分別是多少？(骰子紅色是1或4)#(

A)

16,

P(B1

|

A)

=

1

=#(S

)

36#(B

)

1P(B1

)=

1

=#(

A

B

)

1B1骰子顏色AiAB2兩個骰子點數(shù)和B

j23456789101112#(

Aj

)2

紅{1,4}1002001000041

紅1

黑02204402200162

黑{2,3,5,6}001212

4212116#(Bi

)12345

6

5432136事件

B1

=

點數(shù)和為12，

B2

=

點數(shù)和為

6，則概率

P(B1

|

A)P(B2

|

A)是正面信息。163622P(B

|

A)

=

1P(B

)

=

5

,2P(B

|

A)

<

P(B

)2事件A

對事件

2

是負面信息。B1P(B1

|

A)

>

P(B1

)事件A

對事件BB2A

B2A

˙

BA

˙

BcABS若要事件B帶給事件A

是正面信息，則增加P(A∩B)

或減少P(B)

，使P(A|B)>P(A)。反之，則為負面信息。P(B)P(

A

|

B)

=

P(

A

B)增加減少兩個骰子點數(shù)和B

j骰23456789101112#(

Aj

)2

紅100200100004子1

紅1

黑0220440220016顏2

黑0012124212116色Ai#(Bi

)1234565432136若事件A

對事件B

是正面信息，則：#(S

)·#

(

A

B)

>#(

A)·#

(B)若事件A

對事件B

是負面信息，則：#(S

)·#

(

A

B)

<#(

A)·#

(B)若事件A

對事件B

是無信息(兩事件獨立)，則：#(S

)·#

(

A

B)

=#(

A)·#

(B)(上述例題沒有兩事件獨立，事件獨立請見下節(jié))#(S)例題3.14：52

張撲克牌，抽出一張牌，下列事件的概率：A=出現(xiàn)1

張老KC=出現(xiàn)1張人頭(J，Q，K)B=出現(xiàn)1張紅心D=出現(xiàn)1張黑桃計算下列條件概率：

1.P(A|B)2.P(B|A)3.

P(C|A) 4.

P(A|C)B紅心Not

B非紅心A老K134Not

A非老K1236481339

52C人頭Not

C非人頭A老K404Not

A非老K84048124052P(C

|

A)

=

P(

A

C)

=

4

/

52

=

1P(

A) 4

/

52P(

A)

=

4

=

152

13P(

A

|

B)

=

P(

A

B)

=

1/

52

=

1P(B) 13

/

52

1352

1312

3=P(C)

=例題3.15：統(tǒng)計學有40

個學生，其中有17

個男生，23

個女生。隨機抽樣2

個學生，第一個是女生，第二個是男生的概率是多少？

解答：令F1=第一個是女生；B2=第二個是男生。P(F1

B2)

=

P(F1)P(B2

|

F1)

=

23

·

17

=

0.25140

39這是不投返式抽樣，第二個試驗的概率和前次試驗有關，所以條件概率P(B2

|

B1)

?

P(B2)Let

’s

Make

A

Deal

我們來交易吧1963年開始，美國電視游戲節(jié)目：(主持人Monty

Hall)有三個門，其中一個門后面有一輛汽車。兩個門有只羊。你選一個門，暫時不打開主持人打開一個有羊的門主持人問你：「要不要換門」？請問換或不換，何者概率較高？換或不換，是不是沒有差別？換或不換，得到汽車的概率各是多少？主觀概率先猜測一下？1P(W

)

=1/

3如果

L1

表示第一次選擇是錯誤

(羊) W1

表示第一次選擇是正確

(車)

L2

表示第二次選擇(交換)是錯誤(羊)W2

表示第二次選擇(交換)是正確(車)

贏汽車的概率

P(W2)

=

P(L1∩W2)

+P(W1∩W2)P(L1∩W2)

= P(W2

|

L1)

P(

L1)

=

1×(2/3)

=

2/3邏輯推導：選擇換門策略L12WP(W2

|

W1

)

=

0L2

P(L2

|

L1

)

=

0P(L1

)=2

/

3WW2

P(W2

|

L1

)

=112

P(L2

|

W1

)=1P(L1

&

L2

)

=

0P(L1

&W2

)

=

2

/

3P(W1

&

L2

)

=1/

3P(W1

&W2

)

=

01P(W

)

=1/

3如果

L1

表示第一次選擇是錯誤

(羊) W1

表示第一次選擇是正確

(車)

L2

表示第二次選擇(不換)是錯誤(羊)W2

表示第二次選擇(不換)是正確(車)

贏汽車的概率

P(W2)

=

P(L1∩W2)

+P(W1∩W2)P(W1∩W2)

= P(W2

|

W1)

P(W1)

=

1×(1/3)

=

1/3邏輯推導：選擇不換策略L12WP(W2

|

W1

)

=1L2

P(L2

|

L1

)

=1P(L1

)=2

/

3WW2

P(W2

|

L1

)

=

012

P(L2

|

W1

)

=

0P(L1

&

L2

)

=

2

/

3P(L1

&W2

)

=

0P(W1

&

L2

)

=

0P(W1

&W2

)

=1/

3簡單的說：如果用『不換』的策略得到車子的概率是1/3如果用『換』的策略第一次選到「車」(1/3)，結(jié)果一定換到「羊」，(車羊變色)換到「車」的概率=0第一次選到「羊」(2/3)

， 結(jié)果一定換到「車」=1得到車子的概率是1/3

×

0

+

2/3

×

1

=

2/3令

C1、C2、C3

分別為車子在

1、2、3

號門的事件P(C1)

=

P(C2)

=

P(C3)

=

1/3令

H1、H2、H3

分別為主持人開

1、2、3

號門的事件如果參賽者選第

1

號門：1.

車子在1

號門，主持人開2號門及3號門的概率?P(H2

|

C1)

= P(H3

|

C1)

=

?車子在2

號門，主持人一定開3

號門車子在3

號門，主持人一定開2

號門P(H3

|

C2)

=

1P(H2

|

C3)

=

1123C:

CarH:

Host邏輯推導另一種分析假設參賽者選第1

號門：他選「換」的策略，贏的概率P(車子在2

號門，主持人打開3

號門)+P(車子在3

號門，主持人打開2

號門)=

P(C2∩H3)

+

P(C3∩H2)=

P(C2)P(H3

|

C2)

+

P(C3)P(H2

|

C3)=

1/3

×

1

+

1/3

×

1

=

2/3他選「不換」的策略，贏的概率P(車子在1

號門，主持人打開2

號門)+P(車子在1

號門，主持人打開3

號門)=

P(C1∩H2)

+

P(C1∩H3)=

P(C1)P(H2

|

C1)

+

P(C1)P(H3

|

C1)=

1/3

×

1/2

+

1/3

×

1/2

=

1/3請觀賞影片

MontyHall

ProblemLet

’s

Make

A

Deal

我們來交易吧如果改為4

個門：有4

個門，其中一個門后面有一輛汽車。3

個門有只羊。參賽者選一個門，暫時不打開(例如：1

號門)主持人打開兩個有羊的門(例如：2,

4

號門)主持人問參賽者：「要不要換另外一個門(3

號門)」？請問換或不換，何者概率較高？換或不換，得到汽車的概率各是多少？如果用『不換』的策略得到車子的概率是1/4如果用『換』的策略第一次選到「車」(1/4)，結(jié)果一定換到「羊」，(車羊變色)換到「車」的概率=0第一次選到「羊」(3/4)

， 結(jié)果一定換到「車」=1得到車子的概率是1/4

×

0

+

3/4

×

1

=

3/4Let

’s

Make

A

Deal

我們來交易吧如果改為4

個門：有4

個門，其中一個門后面有一輛汽車。3

個門有只羊。參賽者選一個門，暫時不打開(例如：1

號門)主持人打開一個有羊的門(例如：2

號門)主持人問：「要不要換另外2

個門之一」(3,

4

號門)？請問換或不換，何者概率較高？換或不換，得到汽車的概率各是多少？觀看解答中文統(tǒng)計

3.0

概率概論

Monty

Hall

換門門問題模擬「不換」策略100

次模擬「換門」策略100

次模擬「換門」策略100

次模擬「不換」策略100

次52

張牌，你抽出一張得到黑桃A

的概率是多少？你暫時不要打開！如果我看了剩下的

51張牌，翻開50張不是黑桃A

，最后一張是黑桃A

的概率是多少？答案：51/52因為若這51張牌有黑桃A一定在這一張牌答案是：決勝21

點賭博就是要有正面信息，使贏錢的概率提高。決勝21

點就是利用算牌的方法提高贏錢的概率。但是市面上賣明牌的(六合彩、樂透)，可能不是正面信息，反而是負面信息。請觀賞「決勝21

點」影片片段賭場21

點的牌桌有用5、6、8付牌。算牌的方法是：

2,3,4,5,6為+1

點，10,J,Q,K,A為-1

點，7,8,9為0

點。如果算牌結(jié)果為正數(shù)越大，即已出現(xiàn)的牌中小牌越多，以后會出現(xiàn)大牌的機會增加，這時對玩家有利，因為莊家爆牌概率越高，玩家應該下大賭注。如果贏的機會不大時就下小注。所以團員先在賭桌算牌，出現(xiàn)機會(算牌數(shù)大)時，通知隊友上來下大注。1962年美國加州大學教授索普博士(Dr.Edward

Thorp)發(fā)表《打敗莊家》

(Beat

the

Dealer)即介紹這種算牌方法。賭場規(guī)則：如果莊家的總點數(shù)等于或少于16

點，則必須拿牌；如果莊家的總點數(shù)等于或多于17點，則必須停牌。播放影片

開啟決勝

21

點.aviP(

A

B)

=

P(

A

|

B)P(B)

=

P(B

|

A)P(

A)P(

A

B

C)

=

P(

A)P(B

|

A)P(C

|

A

B)=

P(B)P(C

|

B)P(

A

|

B

C)

=

P(C)P(

A

|

C)P(B

|

A

C)P(

A

B

C)

=

P(

A)

+

P(B)

+

P(C)

-

P(

A

B)

-