新教材數(shù)學(xué)人教A版選擇性課時素養(yǎng)評價3321拋物線的簡單幾何性質(zhì)

二十七拋物線的簡單幾何性質(zhì)(25分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.過拋物線C:y=QUOTEx2的焦點F的直線交拋物線C于A,B兩點,線段AB的中點為MQUOTE,則|AB|= ()A.QUOTE B.QUOTE 【解析】選D.由題意可得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)形式為:x2=8y,所以準(zhǔn)線方程為y=-2,由題意可得A,B的縱坐標(biāo)之和為QUOTE×2=5,所以弦長|AB|=5+4=9.【加練·固】已知F是拋物線x2=2y的焦點,A,B是拋物線上的兩點,|AF|+|BF|=6,則線段AB的中點到x軸的距離為.

【解析】因為|AF|+|BF|=6,由拋物線的定義可得|AD|+|BE|=6,又線段AB的中點到拋物線準(zhǔn)線y=-QUOTE的距離為QUOTE(|AD|+|BE|)=3,所以線段AB的中點到x軸的距離為QUOTE.答案:QUOTE2.設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3,則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是 ()A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)【解析】選D.因為拋物線的焦點到頂點的距離為3,所以QUOTE=3,即p=6.又拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的最小值為QUOTE,所以拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3,+∞).3.從拋物線y2=4x在第一象限內(nèi)的一點P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且|PM|=4,設(shè)拋物線的焦點為F,則直線PF的斜率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE QUOTE【解析】選C.設(shè)P(x0,y0),依題意可知拋物線準(zhǔn)線為x=-1,所以x0=4-1=3.所以y0=2QUOTE,所以P(3,2QUOTE),F(1,0),所以直線PF的斜率k=QUOTE=QUOTE.4.已知點M(4,y0)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,點M到拋物線C的焦點F的距離為5,設(shè)O為坐標(biāo)原點,則△OFM的面積為 () C.QUOTE QUOTE【解析】選B.由題意得,拋物線的準(zhǔn)線方程為:x=-QUOTE,焦點FQUOTE,由拋物線的性質(zhì)知點M到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離,可得5=4+QUOTE,解得p=2,即拋物線的方程為y2=4x,將M代入拋物線方程可得QUOTE=16,解得:|y0|=4,所以S△OFM=QUOTE|OF|·|y0|=QUOTE×1×4=2.二、填空題(每小題5分,共10分)5.設(shè)拋物線y2=mx的準(zhǔn)線與直線x=1的距離為3,則拋物線的方程為.

【解析】當(dāng)m>0時,準(zhǔn)線方程為x=-QUOTE=-2,所以m=8,此時拋物線方程為y2=8x,當(dāng)m<0時,準(zhǔn)線方程為x=-QUOTE=4,所以m=-16,此時拋物線方程為y2=-16x,所以所求拋物線方程為y2=8x或y2=-16x.答案:y2=8x或y2=-16x6.拋物線y2=4x的焦點為F,點P為拋物線上的動點,點M為其準(zhǔn)線上的動點,當(dāng)△FPM為等邊三角形時,其面積為.

【解析】據(jù)題意知,△PMF為等邊三角形時,PF=PM,所以PM垂直拋物線的準(zhǔn)線,設(shè)PQUOTE,則M(-1,m),則等邊三角形邊長為1+QUOTE,因為F(1,0),所以由PM=FM,得1+QUOTE=QUOTE,解得m2=12,所以等邊三角形邊長為4,其面積為4QUOTE.答案:4QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)7.如圖,一隧道內(nèi)設(shè)雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構(gòu)成,為保證安全,要求行駛車輛頂部(設(shè)為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有米.(1)以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),求該拋物線的方程.(2)若行車道總寬度AB為7米,請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米?(精確到米)【解析】(1)如圖所示,依題意,設(shè)該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),因為點C(5,-5)在拋物線上,可解得p=QUOTE,所以該拋物線的方程為x2=-5y.(2)設(shè)車輛高h(yuǎn)米,則|DB|=h+0.5,故D(3.5,h-6.5),代入方程x2=-5y,解得h=4.05,所以車輛通過隧道的限制高度為4.0米.8.拋物線的頂點在原點,以x軸為對稱軸,經(jīng)過焦點且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長為8,試求拋物線方程.【解析】當(dāng)拋物線的焦點在x軸正半軸上時,設(shè)拋物線方程為y2=2px(p>0),焦點坐標(biāo)為QUOTE.因為直線過點QUOTE且傾斜角為135°,所以直線方程為y=-x+QUOTEp.設(shè)直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=x1+x2+p=8.①由QUOTE消去y,得x2-3px+QUOTE=0.所以x1+x2=3p.②由①②得p=2,所以所求拋物線方程為y2=4x.當(dāng)拋物線的焦點在x軸負(fù)半軸上時,同理可求得拋物線方程為y2=-4x.綜上,所求拋物線的方程為y2=4x或y2=-4x.(15分鐘·30分)1.(5分)設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點,A,B,C為拋物線上不同的三點,點F是△ABC的重心,O為坐標(biāo)原點,△OFA,△OFB,△OFC的面積分別為S1,S2,S3,則QUOTE+QUOTE+QUOTE=() 【解析】選C.設(shè)A,B,C三點的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),因為拋物線y2=4x的焦點F的坐標(biāo)為(1,0),所以S1=QUOTE|y1|,S2=QUOTE|y2|,S3=QUOTE|y3|,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE(QUOTE+QUOTE+QUOTE)=x1+x2+x3,因為點F是△ABC的重心,所以x1+x2+x3=3,所以QUOTE+QUOTE+QUOTE=3.2.(5分)拋物線y=-x2上的點到直線4x+3y-8=0距離的最小值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE 【解析】選A.設(shè)拋物線y=-x2上一點M為(m,-m2),該點到直線4x+3y-8=0的距離為QUOTE,當(dāng)m=QUOTE時,取得最小值為QUOTE.3.(5分)已知點P是拋物線y2=4x上的動點,點P在y軸上的射影是M,點A(4,6),則|PA|+|PM|的最小值是.

【解析】如圖,由y2=4x,得p=2,所以F(1,0),|PM|=|PF|-QUOTE=|PF|-1,所以|PA|+|PM|=|PA|+|PF|-1≥|AF|-1=QUOTE-1=3QUOTE-1.答案:3QUOTE-14.(5分)如圖:已知P為拋物線y2=4x上的動點,過P分別作y軸與直線x-y+4=0的垂線,垂足分別為A,B,則|PA|+|PB|的最小值為.

【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是x=-1,又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)知,拋物線上的點到焦點的距離等于其到準(zhǔn)線的距離,所以|PA|+|PB|=|PF|+|PB|-1,|PF|+|PB|的最小值就是點F到直線x-y+4=0的距離,所以點F到直線的距離d=QUOTE=QUOTE,即|PA|+|PB|的最小值是QUOTE-1.答案:QUOTE-15.(10分)點M(m,4)(m>0)為拋物線x2=2py(p>0)上一點,F為其焦點,已知|FM|=5.(1)求m與p的值.(2)以M點為切點作拋物線的切線,交y軸于點N,求△FMN的面積.【解析】(1)由拋物線定義知,|FM|=QUOTE+4=5,2=4y,又由M(m,4)在拋物線上,所以m=4.故p=2,m=4.(2)設(shè)過M點的切線方程為y-4=k(x-4),代入拋物線方程消去y得,x2-4kx+16k-16=0,其判別式Δ=16k2-64(k-1)=0,所以k=2,切線方程為y=2x-4,切線與y軸的交點為N(0,-4),拋物線的焦點F(0,1),所以S△FMN=QUOTE|FN|·m=QUOTE×5×4=10.1.已知點A是拋物線x2=4y的對稱軸與準(zhǔn)線的交點,點B為拋物線的焦點,P在拋物線上且滿足|PA|=m|PB|,當(dāng)m取最大值時,點P恰好在以A,B為焦點的雙曲線上,則該雙曲線的離心率為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE+1 D.QUOTE-1【解析】選C.設(shè)點P(x,y),y≥0,則m2=QUOTE=QUOTE=1+QUOTE≤1+QUOTE=2,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時取等號,此時點P(±2,1),2c=2,2a=|PA|-|PB|=2QUOTE-2,e=QUOTE=QUOTE+1.2.如圖,拋物線E:y2=4x的焦點為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M,N.(1)若點C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|.(2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑.【解析】(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1.由點C的縱坐標(biāo)為2,得點C的坐標(biāo)為(1,2),所以點C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|=QUOTE.所以|MN|=2QUOTE=2QUOTE=2.(2)設(shè)CQUOTE,則圓C的方程為QUOTE+(y-y0)2=QUOTE+QUOTE,即x2-QUOTEx+y