華東某大學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)考研全程攻略

目錄

第一部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)方法

第二部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)筆記:數(shù)學(xué)分析筆記、高等代數(shù)筆記

第三部分:復(fù)試:筆試與口試

第一部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)方法

華師大數(shù)學(xué)系的研究生入學(xué)考試初試有兩門數(shù)學(xué)專業(yè)課,《高等代數(shù)》與《數(shù)學(xué)分析》,

兩門課分值共300分（總分500分）,可見專業(yè)課的得分情況直接關(guān)系到考研成功與否,專

業(yè)課的復(fù)習(xí)是考研復(fù)習(xí)的重中之重。下面就自己的復(fù)習(xí)經(jīng)驗提出ー些建議:

一、復(fù)習(xí)用書

1、華師大數(shù)學(xué)系教材:

《高等代數(shù)與解析幾何（上）》、《高等代數(shù)與解析幾何（下）》（陳志杰主編）；

《數(shù)學(xué)分析（上冊）》、《數(shù)學(xué)分析（下冊）》（華師大數(shù)學(xué)系編）。

2、教材輔導(dǎo)用書:

《高等代數(shù)與解析幾何習(xí)題精解》、《數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（單變量部分）》、

《數(shù)學(xué)分析習(xí)題精解（多變量部分）》

我認(rèn)為要考好兩門專業(yè)課,有這幾本書就足夠了。另外書中的解析幾何部分不會考，可

以不看;但看看還是有幫助的。

二、調(diào)整心態(tài)

在決定考研之后,就要調(diào)整好心態(tài)。既然選擇考數(shù)學(xué),就要相信自己,不管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)怎么樣,

只要通過精心地復(fù)習(xí),就一定能達(dá)到預(yù)期效果。

三、復(fù)習(xí)過程

第一階段:打好基礎(chǔ)

1、時間安排:7月15之前的兩三個月或是更長,每天3小時左右。

2、主要任務(wù):看四本教材至少兩遍。著重理解書中的基本概念和定理，對一些重要概念的

定義、性質(zhì)和重要定理的證明過程要做到心中有數(shù),對公式做到會用，選做教材中的習(xí)

題。

3、預(yù)期效果：能想出大部分概念的定義和性質(zhì);能想出ー些重要定理的內(nèi)容和寫出其證明

過程:能默寫出重要公式。

第二階段：強(qiáng)化訓(xùn)練

1、時間安排:7月16日左右一11月15日左右,每天5小時左右。

2、主要任務(wù)：把教材和精解（指三本教材輔導(dǎo)用書,下同）結(jié)合起來復(fù)習(xí),著重理解、吃

透精解中的例題,學(xué)習(xí)其中的解題思路和方法。盡量做完課本中的習(xí)題和精解中的習(xí)題,

在做題中總結(jié)解題規(guī)律,找出自己薄弱的地方。

3、預(yù)期效果:不但能記住概念、定理和公式,而且能夠知道它們的來龍去脈,能夠獨立推

導(dǎo)，并很清楚它們的應(yīng)用范圍和基本的考察點。

第三階段:真題解答

1、時間安排:u月16日左右一12月31日左右,每天3小時左右。

2、主要任務(wù):做至少近十年的真題，兩門共二十套，把握命題規(guī)律。建議每兩天做ー套，

做時嚴(yán)格按考試的時間限定。做完后給自己評分,不會做的要去查找相關(guān)內(nèi)容,力求解

答。有條件的還可找來直升研究生考題做做,不過不要強(qiáng)求每道題都能解決，量力而行。

3、預(yù)期效果:看見一道題,就能知道它要考察哪些知識點，這些知識點的聯(lián)系如何,并就

此尋求解題思路,完成解答。

第四階段：查漏補缺

1、時間安排：1月1日左右一考前一天,每天3小時左右

2、主要任務(wù):重溫教材和精解，對之前沒解決的問題想辦法解決:重溫做過的真題,對之

前沒解決的題目想辦法解決。每天找?guī)椎李}做做。

3、預(yù)期效果:心中有底,從容面對即將來的考試。

四、復(fù)習(xí)中應(yīng)注意的地方

1、對基礎(chǔ)不好的同學(xué)而言,前期的復(fù)習(xí)可能面臨較大的困難,但定不可知難而退。解決的

辦法有很多，反復(fù)看教材或是請人指導(dǎo)都行。

2、不能盲目地做很多題?？偨Y(jié)解題的規(guī)律，把握解題思路和技巧オ是主要的。我的建議是:

會做精解習(xí)題（個別打星號的題除外）及真題就足夠了。

3、切忌復(fù)習(xí)前緊后松。有些（尤其是學(xué)過又學(xué)得好的）同學(xué)可能花三四個月時間就能把這

兩門專業(yè)課復(fù)習(xí)好，在臨近考試的ー兩個月時間就把絕大部分時間花在政治、英語的復(fù)

習(xí)上，專業(yè)課就不怎么看了，這勢必會造成一些知識點的模糊甚至忘記,考試時就會出

現(xiàn)“這個問題好像見過，但就想不起做題的思路”的情況。臨近考試前，不但要看專業(yè)

課,而且要天天做題,哪怕是做過的題,也要動手ー做。

4、不可復(fù)習(xí)前松后緊。無論哪門數(shù)學(xué)都不是朝夕之間就能學(xué)好的。

五、送給考生的一句話

考研之路并不是想象中那么可怕,有付出就會有回報。

第二部分:專業(yè)課復(fù)習(xí)筆記

(一)數(shù)學(xué)分析筆記

第一講數(shù)列極限

概念、定義、定理

1.!im。0\/ど>0,ヨN>0,Vn>N,W.〃ーvど

｛々〃｝不以《為極限<=>ヨ￡〇>0,VN,ヨル>NM.k〃ーaN/

2.柯西定理:liman=a<^>>〇,ヨN>〇,V〃,加〉M|a〃ー。〃J<￡

n->oo

3.an<an+l,n=1,2,...,?！à疢nlim。,？=。

4.lim?！?。n3Myn\a\<M

5.lim?！?。>0=mN,n2N,。”>—>0

"T82

6.。,？>bn=>liman>limbn

H—>00/I—>00

l.an<cnくわ〃,lim?！ǘimわ〃二。nlimcn二。

0,k>m

〇，"刀"’+。ワ-（）

8.lim1"+,??+a<—jn=k

ん〃"+%〃""??+%

n—>ooa

g,kくm

9.limVn=lim'y[a=l,a〉〇

10.1im(l+-)n=?

11.施篤茲定理:有X"｝,｛先｝,%"單增趨于無窮

若[imy"+1ノ"'anlim2二a

ん“+1人〃

判斷

1.limx“=acY〇,U(a,￡)中有x”的無限多項

2.a=supS=>ヨ{“〃}uS』!man-a

r

3.エ”>0,limxn=0=>limdx~-0

キ

4.區(qū)}有界不收斂=>ヨ/-^a,xnTb,ab

5.{x“}收斂》limx2n=limx2n_x

6.S無界つヨ演eS,|x,J單增趨于無窮

7.limxn-0,V{ム}u(-oo,+oo),3{x?},limbkxn=0

8.supZk“ー乙<+8=>{a}收斂

kn=l

9.{x“}收斂oWe>0,ヨN,V〃>N,\xn-x2n\<s

答案:1,3錯誤,其余都正確。

典型例題

X-X

2

l.x?-xn_2一°,發(fā)證:一---——0("?〇〇)

1〉”ーシーI=卜"一招」ー|演ー1ーZー211Kk“-x?_2|-?o

Ve>〇,mN”〃>N1,レ“-x,-i|<€;ヨ町れ〉N,—<s

2n

rハハiX~Xn-\'("ーN|)￡yへ

n>max{N],M},-n-----—<--------!—+―NiL<ど+￡=2ど

nnn

2./(x)>0,在。1]上連續(xù),求!imJy/(-)"-

“川V當(dāng)nn

解:此題利用迫斂性。

令M=max/(x),收/(丄ド丄V"ナ丄=M

VMnnXを〃

設(shè)M=/(%)/￡[0,1]

弋￡>〇,ヨb>O,|x-xo|<8,f(x)>M-￡

コハ”1S'A7r1q-Pos

NVn|n

(丄)"丄之セ1，(")"丄=/(レ)々[〉(M一￡)(1一￡)

\("7nn\nnn\n

=M—￡一￡M+屋>M-e(M+1)

3.求!imsin2(乃N〃ー+〃-mi)

解:此題利用函數(shù)連續(xù)?生

原式=limsinユ兀(7rr+〃一〃)=limsin?zr(,n=---)

"宀0’一Jガ+〃十〃

4.0<卬く[,。用=ム(2ーム),求山!I。“

解:4/(x)=x(2-x),xe[0,l]

/(x)=2-2x>0

m=f(0)=0,M=f(l)=l

曾ー2ー?！?gt;Ina”單增且4<1

故!ima“存在,設(shè)為AnA=A(2-A)nA=1

第二講函數(shù)極限

概念、定義、定理

l.lim/(x)=A=Ve〉0,ヨワ〉0,Vx,0<|x-x|<3,\f(x)-A\<s

X—>X00

2.lim/(x)存在〇Tど>〇,ヨざ>〇,Vx,x,0<x-x<8,0<x-x<8,

XTぢ

け(xj-/(xj|<￡

3.limf(x)=A=Vx〃—>+oo,limf(xn)=A

4.函數(shù)極限的局部有界性局部保號性、迫斂性保四則運算。

5./(x)單調(diào)=>lim./(x)與!im/(x)都存在。

x—>而.X—>jr0"

判斷

l.lim，(x)=A=Vx"―/.Urn/(怎)存在

.r—>.r0M—>oo

2.Kmf(x)=%,limg(〃)=Anlimg(/(x))=A

X—>XQ?—></()A—>xo

3.1imf(x)=A,Vxe(0,+oo),/(x)=/(Vx)=>/(x)三A

4./(x)=f{x+T),T>0,lim/(x)=An/(x)三A

5./(x)單調(diào),ヨx“單增趨于+oo,lim/(x,)=A=>lim/(x)=A

答案:2錯誤,其余都正確。

典型例題

1.求下列極限

A=lim1n+,B=lim?ア、,C=lim(l+tan(x—1)アス

?tarcsin2yxコー1sin2x?

解:利曲~sinx?arcsinx~tanx~arctanx?ln(l+x)?ex-l,x—>0

1

A

FW—112Vx2+x+l2V3

1-x2-e~x~.._2x_(-2x)e'

Blimlim----------------------

XTO(2x)4ー。244X3

-X+X€X

—lim—lim

x3x?32

C=lim(1+tan(x一1),(皿-り=lim(1+(x—l))i

X->1X->1

2./(0)=-(0)=0,ブ(0)=6,求:lim八s讐)

x-?0X

解：原式=lim/(smーカ2:め<風(fēng)、［擊/(sinx)(不能再用洛必達(dá)法則

32

XT。4xXT。2x

"グ(sin-八o)=3

2スー。sin2x2

3.唐定義在(-8,+oo)上函數(shù),滿足Vx〇w(ー〇〇,+00),lim/(x)存在,定義

X->X()

g(Xo)=lim/(x),求證:Vx0e(-oo,+oo),limg(x)=g(x0)

X—>xoX->XQ

證:Vx0e(-00,+00),limf(y)=g(x())

:Ne〉0,ヨb>0,0<|y-x0|<3,\f(y)~g(x0)|<￡

Vx,滿足〇<|x-x0|<3

1皿，(y)-g(Xo)|<￡

|g(x)-g(Xo)|W￡,得證。

4.｛，(幻｝是定義在[0,+8]上函數(shù)，lim/?(%)=〇〇,Vn,

求證:ヨy(x)定義在[0,+8],滿足!im厶D=oo,V〃

/"(x)

證:4/(x)=max｛ガ(め,ガ(幻,…，/:3,x€[“-1,"]｝,〃=1,2,...

V〃,limf(x)=〇〇

x—>-HX>n

nVG〉〇,ヨ>M,|//x)|>G

M*=max｛M,九｝,則V%>Af*

?鬻?",得證。

5./(x)定義在[a+〇〇),皿>a,解[a向上有界,lim(/(x+1)-/(%))=A

求證:lim=A

證:令A(yù)=0

V￡〉OJM，X>M，\f(x+l)-f(x)\<￡

傕[a,l+M]上有界,|/(x)KK,Vxe[47,1+M]

又!im—=0=>3M,VX>M,—<S

XTXX92X

げ(九)レ|/(X)一/(Xl)l+??'+〃+1)/(犬ー〃)I+

(〃=[x—M])

ノれ￡K.

二------F,：-■r<￡+￡=2ど

〃+M\x\

再令gは)=/(元)-Ax,則有!im(g(x+l)-g(x))=O

g(九)f(x)-Axハ/ヽ

=>---------->0(x-+00)

XX

=>—A(x->+00)

X

第三講連續(xù)函數(shù)

概念、定義、定理

1.舟?處連續(xù)〇Um/(x)=f(x0)

2.旗,向上連續(xù)oWx°€伍向,冰與處連續(xù),/(a+0)=/(a)JS—0)=f(b)

3.最大、小值定理:#E［a向上連續(xù)=>ヨ/e［a向,Vxe［a,切,/(x)4(N)/(無〇)

4.介值定理:推い,回上連續(xù),/3)<ス</(b)=>3x0e(a,Z?),/(x0)=2

5.一致連續(xù)性定理:J在［a,ダ上連續(xù)つ他［a,グ上一致連續(xù),即

Vf>0,3J>0,Vx,ye［a,わ］,若トーy|<S,則|/(x)-/(y)|<￡

6.Vx",”,k“-y,J->。n\f(xn)-/(y.)|-0

<=>作其定義域一致連續(xù)

7期,",|演一先|(覆)一((ル)性分>。

<=>作其定義域不一致連續(xù)

判斷

1.推/上一致連續(xù),/(ハUノ,g在ルh一致連續(xù)ng。推，上一致連續(xù)

2.先E(aめ)一致連續(xù)0/(a+0)J3-0)存在,進(jìn)續(xù)

3J在(a,+8)一致連續(xù)0，(a+0),/(+8)存在,/連續(xù)

4.彈調(diào)且滿足介值性定理n耀續(xù)

5.ガ施足介值性定理つ僻續(xù)

6.連調(diào)且值域由f(a)JS)］中稠密つ展續(xù)

7HxeQ,f(x)=g(x),/,g連續(xù)=>f=g

8.limf(x)=oo,展續(xù)nlim/(x)=+oo或一〇〇

9.lim/(イ)=+〇〇,力￡續(xù)つ茂最小值

XT8

答案:3,5,8錯誤,其余都正確。

典型例題

1.庭［0,+8)上連續(xù),笛界,VcG(-8,+8)J(X)=C至多有有限個解

求證:lim/(x)存在

證:/(イ)連續(xù)有界=>ヨ居->H?〇〇,limf(x?)=A

下證!im/(x)=A

V￡>O,/(X)=A+￡只有有限多個解T|,...X*

/(x)=A-￡只有有限多個觴，”…y“

Vx>max{X1,...x?,yい…y“}=M,\f(x)-A\<s

若ヨx*>M,/(x*)>A+e,又limf(xn)=A

3x?,x?>M,f(x?)<A+E

.,.ヨザ在x?與x”之間,/(y*)=A+e

.,.y*>M,矛盾。

x+2丄在上不一致連續(xù),而)上一致連續(xù)

2.求證Z\x)=sin(0,1)1,+8

最+1X

1一!一,有

證:⑴令ス”=后，"

2〃萬+一

2

但げ(%)—『?！?1-2x0

故/在(0,1)上不一致連續(xù)

-1.1x+2/1、1

(2)|/1(x)|=--------sin—+------(ーー7)cos—

(x+1)-7Xx+1廠X

<1+2=3

|/(x)-/(y)|=|/'(z)(x-y)|<3(x-y)

Vf>0,^=|,|x-y|<^=>|/(x)-/(y)|<f

3.メ至續(xù)，3厶,”。,厶<り=>/(厶)</(r2)

求證:f是嚴(yán)格增函數(shù)

證:V。<んヨハ,々,ラ￡

st.a<r]<r2<r3<h

ョ尤",北

a<xn<厶，七,eQ,xnia

r3<yn<b,y??Q,y“Tb

f(a)=lim/(%?)<f(r])<f(r2)<f(r3)<limf(yn)=于(b)

故，嚴(yán)格單增。

4./^[a,+8)上一致連續(xù),VxG[6r,4-oo),limf(x+n)=0

求證:lim/(x)=0

證:尸致連續(xù)

=>VE〉0,ヨざ〉0,|x-y|<ざ,，(x)—/(y)|<￡

在[0,1]中取K個點,〇=X]<x2<???<x?=1,s.t.max|x/-x『イ<ざ

Vxz,limf(xy4-n)=0=>ヨN,,n>Ni,\f(xi4-n)\<s

Vxe[a,+8),x-[尤]e[0,1],=>ヨる,s.“x-[x]—xj<8

.??げ(尤一[x])-/(無メ<￡

取N=max{N「…,N*}

Vx>N+l,|/(x-[x])-/(x,.)|<￡

|/(x)|<|/(x)-/(ノ+[幻)I+\f(Xi+[幻)I

V￡+￡=2E

第四講導(dǎo)數(shù)、微分、中值定理

概念、定義、定理

1ノ(x)=lim-/(ム)=11mハム+ル)一f(め

〃。)=啊3ム

?f6X-XQ

2.妙=ハ/)Ar

y=/(尤)在無〇可微〇八y=AAx+o(Ax),玉)固定，Ax—(),△%=尤ー無〇

3.有限增量公式:y-y0=/(x0)Ax+o(Ax)

/(無)=/(尤0)+/'(ム)Ax+0(Ax)

4.羅爾定理:

曲,み］連續(xù),在(aめ)可導(dǎo),ハa)=ハケnヨ穴ユ?ノC)=0

5.拉格朗日中值定理:

用3的連續(xù),在(ス")可導(dǎo)=>/(わ)一于(a)=/'?("一a)Ke(a,b)

6.柯西中值定理:

f,g在［。ウ］連續(xù)，在3,。)可導(dǎo),g'(x)00=>ヨぜe(a力),要二/"=壊?

g(ガーg(a)g?

7.Vxe［a力］,f(x)?()っが增

/'(%)<()=>彈減

/.(外》0,且7%€3力［］<=［。ガ］,ブ(幻。()=>J嚴(yán)格單增

8.傕［。ガ］上可導(dǎo),,傕/e(。ガ)上取極值=>,尸(ム)=()

9.推(。ガ)上可導(dǎo),9'(ム)=a若滑(ム)〉。つ/為極小值點

若/,(*0)<()=>/為極大值點

10.作リ(ム)連續(xù),在ッ。(ち河導(dǎo);

lim/'(九)=4=庶Z處可導(dǎo),同Z''(尤o)=A

1L/(x)在［a2］上處處可導(dǎo)，xt<x29f(xl)<A<f(x2)

n3x0G(xt,x2),s.t./(x0)=2

n

12./(x)=/(x0)+/'(x0)(x-x0)+???+,ド。)(x-/)"+o((x-x0))

n!

n1

fW=/(x0)+/(x0)(x-x0)H---F—~y-^(x-x0)---^-(x-x^y^

M5+1)!

13/(x)〉0n/(x)為凸函數(shù)

14.Jenso杯等式:」為凸函數(shù)

=>V^A,.=1(0<4<I)ノ(24巧)wZスJ(あ)

i=li=li=l

判斷

1.摧無〇處可導(dǎo)，xn<x0<y“,尤“->ム,y,一與(〃一〇〇)

川im/*")一)(尤)f(Y}

=>lun------------=J(x)

…ムー先0

2.在/處可導(dǎo),X”->%,先->x0(n-?oo)

/Un)/(yn)

=>lim-=/(x0)

"f8x?-y“

3.?傕(スの上有界nブ在(a,?上有界

4ノ’在(a1)上有界n屛(a,份上有界

5J在(。,+8)上有界=>/'在(a,+8)上有界

6.ド在(a,+8)上有界n應(yīng)(a,+00)上有界

7.推［a,+8)上可導(dǎo),/(x)-/⑷=/'?.)(尤—a)

nlim久=+00

8/(a+0)存在,則<(a)存在且￡［d)=f\a+0)

9._/在龍=0處有任意階導(dǎo)數(shù)母伙0)=0,磔義在(-1,1)且Z'(0)=0

nf(x)=0,Vxe(-1,1)

答案:1,4正確,其余都錯誤。

典型例題

1Jは)定義在(0,+8),W尤,>〉0"(盯)=/(x)+/(y),ブ⑴存在

求:f(x)

,ン、../(x+Ax)-/(x)

解:f(x)=lim-------ーームエ/

x+Ar、,Axヽ

‘Z1711

=lim----—=lim---------(/(-)=一y(x))

—Axレー〇Axxx

x

Ar

/(1+)-/(1).

X1

lim(川)=0)

包ー。Arx

x

/1(I)

X

2.庶［0,1］上連續(xù),在(0,1)上可導(dǎo),/(0)=0,/(I)=\,Ki+K2+-+Kn=l,

Q<Ki<1,2=1,2,...,/?

求證:存在互異的ム,…,ム,使得一gー+—+…+』。=1

f僞)ハら)ハム)

證:對KC)=K［<1

K1+,3X2,/(X2)=ム+,爲(wèi)>Xj

Ki+K2H-----卜&,3x1.,f(xi)—Kt+K2H-----FKj,x,.>x(_)

Ki=/(x,.)-/(%,_1)=/'(r,)(x,.=l,2,...,n,x0=0,x?=1

-；-----b,+???+=(玉-XO)+(X2一項)+…+(%ームー1)

ハム)ハら)ハム)

=X"_*0=]

第五講積分

概念、定義、定理

lJ/(x)dr=F(x)+c,F'(x)=f(x)

2.[f8dx=I州,Z/?)軌,T:a=x0<x]<---<xn=/?,||7'||=max|x(.-|

上可積=\/￡>0,ヨア,2幼4<￡,例=SUP|/W_/(y)|

X^GlXj-X^j

4.ガ生口,切上可積0Ve>0,Vcr>〇,ヨT,s.t.研2cr的區(qū)間長度之和<￡

5.￡/(x)Jx=F(x)|*

6當(dāng)ン⑺力=〃x),(7(x)連續(xù))

axJa

7.庭3,切上連續(xù)nヨ3人-/(x)Jx

b-aJa

8.網(wǎng)"積n茂界:儺續(xù)=何積;憚?wù){(diào)=用"積;

f,g可積=>/土g可積;/,g可積,|g(x)|ン相>()=>エ可積

判斷

1.戸!積,若「，?)ん可導(dǎo),則&「Z"(。カ=/(X)

J"dxJa

2.任意可積函數(shù)/;存在原函數(shù)ド(x),即ド(x)=Ax)

3.河積,g連續(xù),貝リ(g。/)(%)=g(/(%))可積

4./(x)可積,/(x)>0,3x0,/(xn)>0=>￡/(x)tZx>0

5./(x)可積,Vxe[?,/?],/(x)>0=>Jf(x)dx>0

6.理續(xù),ヨ4e[a,口,y0=—^—\hf(x)dx

h-aJa

7.何積,，在有理點上為〇=>[f(x)dx=0

答案:1,2,4錯誤,其余都正確。

典型例題

lj(x)在レ,切上連續(xù),

求證」廣げ(x+人)-八功厶ー/0)-/(?),(//f〇+)

hia

證:，f(，は+た)一ア(幻心

=：￡/("+"心?)\'f(x)dx

=1f二ア(y妙-1￡f(x)dx

hJa+hh%

=;『f(x)dx—；￡，+/，f(x)dx

=/(バーf(り)Tf(b)~f(a)(ht0+)

e(/?,/?+A),77G(a,a+h),h—>(ドで―—Q

兀

2.求/=lim卩sin〃(x)ム

”—8JO

n7tn

解:Ve>0,1sin"(x)あ=(2sin"(x)あ+JJsin"は心

"■'2"￡

/,=P￡sin"(xyZ￥<j^sin"(^-￡,)6Zx=ysin"(^-￡,)-?0(n—>〇〇)

7T

I2=[Jsin〃(x)厶<￡

J---E

2

第六講非正常積分與定積分的應(yīng)用

概念、定義、定理

1.[f(x)dx=limff(x)dx

Jaft—>+00J。

efteb-￡

2.ff{x}dx=lim[f{x}dx

3.「"/(x)ム收斂oVe>0,ヨA>a,VA],ん〉,A[A2f(x)dx<￡

J4

4./(x)>〇,「‘"は)む收斂0f(x)dx<M,\fu>a

Ja

5./(x)<g(x),J“g(x世收斂=>『/(x)厶收斂

6./(x),j?(x)>0,lim=I

…"g(x)

l)0</<+00,「，(x)公收斂0「'g(尤)心收斂

JaJa

2)/=0,「"g(x心收斂n「/は心收斂

7.廣芻p>l,收斂;p￡l,發(fā)散

川xp

「セ,q<l,收斂;”1,發(fā)散

J。プ

8.「げ(x)"收斂n1f(x)む收斂

9.阿貝爾判別法:「"/(イ)む收斂,g(x)單調(diào)有界=>「'/(x)g(x)ム收斂

10.狄利克雷判別法:

Pf(x)dx>a;g(x)單調(diào)趨于On「"(x)g(x)厶收斂

JaJa

判斷

1.「ン(x)厶收斂,/(X)非負(fù)、連續(xù)=>limy(x)=0

Jax->+8

2.「./(x)dx收斂,/(x)單調(diào)=>lim/(x)=0

3.lim/(x)=0=「/(x)厶收斂

x—>+OQJa

4.「ン(x)dx收斂=>，［ンQ)dr=-f(x)

ルdxJx

5.g(x)<f(x)<h(x)

fg(x)厶收斂,fた(x)厶收斂n［/(%)厶收斂

JaJaJa

6.「ン收斂=>「ン(庁ム收斂

JaJa

7「"(X)2厶收斂=>/イ(X)厶收斂

JaJa

8.「""(X)ム收斂,lim鯉よ)=1nVg(x)厶收斂

Jax->+ooj(X)

答案:2,5正確,其余都錯誤。

典型例題

1./(X)單調(diào),「f(%)公收斂,則/(%)=o(-)(X->+00)

JaX

證:由題設(shè)知：/(X)單減趨于。

「'f(xg收斂n\/ど>〇,ヨA,土>A,C<￡

j“2J2

又］:f3dt>Jv'/(x)t/r=^/(x)>0

222

故0<^/(X)<￡/(。カ<￡

22

/.lim—f(x)=0,即!imxf(x)=lim=0

X->+002X->+XX->4<OI

X

2.r/5心收斂,y。)在［4,+8)上一致連續(xù)=>lim/(x)=0

Jax->+oo

證:用反證法。

若/（X）不趨于。，則

ヨ％，ヨ怎—+8,ホも）|2%

/⑶一致連續(xù)nヨb>0沖ーホ6,『は）-/（刈<年

Vxe（ムー8,xn+8）,|/（x）|>y

ム>28^--甌不趨于〇,這與『/（x）む收斂矛盾。

第七講常數(shù)項級數(shù)

概念、定義、定理

9n

1-E??=厠2ム=limS.

w-?0O*7^n->x

M=1k=\

'Xm

2.Z。“收斂=Wド〉0,ヨN,V〃,機(jī)〉N,<E

〃=1A=〃+l

oo〃

34,NO,エ凡收斂〇Zみ

n=X攵=1

4上匕較判別法:（）<a,<包,￡わ“收斂=>“收斂

〃=1〃=1

5.ナ廠",卜|<1收斂;卜|>1,發(fā)散

n=\

6.f—p>l收斂;“VI發(fā)散

n=l〃

7Jは）單減趨于〇,￡ハ〃）收斂0『"（尤）む收斂

n=l

8.之。“收斂=>liman=0

9.比值判別法:ム?0,lim也=r

“TOO"

%?

r<l,￡a“收斂;r〉1五?！鞍l(fā)散

w=ln=\

10.根式判別法:lim指7=r

"->00

r<l,fa“收斂;r>“發(fā)散

?=1n=\

11A,>（）,ム單減趨于On￡（-1）%.收斂

n=\

12*k“|收斂nfa“收斂,為絕對收斂

〃=1〃=|

收斂，發(fā)散,為條件收斂

?=1"=1

13阿貝爾判別法:￡>“收斂,〃,單調(diào)有界つfa,ん收斂

14.狄利克雷判別法:

力めWM,V/れ單調(diào)趨于On￡a也收斂

2=1n=\

判斷

1.ム>0,5"a"收斂=>lim3"-r<\

2.liman=Q=>￡ム收斂

3.a?>〇,X%收斂=>。“=。(一)(〃->8)

n

4%>0，Z(-l)"a”收斂,0〈。“〈%nZ(T)め收斂

5さ%收斂つ收斂;WX:收斂つWX收斂

6モ氏收斂つZぐ收斂

7.1im—=l，Za,,收斂=>Zク收斂

答案：全都錯誤。

典型例題

l.a?>0,Z冊收斂‘e""=??+e""也

求證:z勿收斂

fl

證:bn=ln(e--an)-an

ln(e""-a")In(e'-x)ex

lrim---------=lim---------=lim------=0

00x

an工ー。*xXTO+e—x

.?.Zln(e""-a")收斂

又Z?！笔諗?故亦收斂

第ハ講函數(shù)項級數(shù)與函數(shù)列

概念、定義、定理

1.ヵ(%)一致收斂于y"(X)0Ve>0,ヨN>0,|/?W-/(x)|<￡,\/x

2.エ,(x)一致收斂于/(x)=Ve>0,ヨN>0,V/?,m>N,|/?(%)-/(x)|<￡,Vx

3.于"(x)一致收斂于/(x)〇sup|/n(x)-/(x)|T0(/2T〇〇)

xeD

4.X""(x)在。上一致收斂=ナ"式ス)一致收斂于/ば)=エルは)

5.工”“(工)在。上一致收斂〇Ve>0,ヨN,V〃,か〉N,エム(x)<￡,\/XGD

6.M判別法:ヨM,>O,V|M,,(%)|<M",ぬeREM“收斂

nWX，(x)在ク上一致收斂

7.阿貝爾判別法:エ?！?。)在り上一致收斂;み"(x)單調(diào),一致有界

nWX，(x)仇,(幻在。上一致收斂

8.狄利克雷判別法:￡4(x)V〃“(x)單調(diào)一致收斂于〇

=>エ。ズ》)".。)在。上一致收斂

9在び(ム,6)上,limん(x)=〃“,/”(x)一致收斂于/(x)

nlim/(x)=liman

jr—>.v0n—>oo

10」,(x)在。上一致收斂于"x),/：(x)連續(xù),Vn

n在。上連續(xù)

ll.Z,Uo)t/(xo),￡(x)一致收斂于g(x)

=>/"(x)一致收斂于fは)，/'(x)=g(x)

12./“(x)一致收斂于/(x)nlim￡f.(x)dx=￡f(x)dx

判斷

1./“(ス)在7(スい)<:ZL町上一致收斂=>ん(x)在［c,d］上一致收斂

2/5)在\/［スカ<=(',の上一致收斂=>カは)在(c,の上一致收斂

3ギ”“は)在。上一致收斂n".は)在。上一致收斂于0

4.Z"“は)在。上一致收斂=>BMn,s.t.\un(x)\<吃,ZM,收斂

5/は)在。上一致收斂于yは),yは)在。上有界

0〃充分大時,んは)在。上一致有界

6J;は)在3み］上連續(xù)は)一致收斂于yは),Wxe［a,み］，/は)>0

nヨb>0,ヨN,>N,fn(x)>b,Vxw［a,み］

答案:1,4錯誤,其余都正確。

典型例題

1.求證：/は)=工は+丄)"在(一口)內(nèi)連續(xù)

n

證:Vx0G(-1,1),3^e(0,1),s￡x0e［-q,q］u(-1,1)

は+丄)"《(W+丄)"W(q+丄)"

nnn

而Z(q+丄)"收斂，(根式判別法判斷)

n

二￡(x+與在［-q,り］u(-1,1)上一致收斂

n

又(x+-y連續(xù),故人無)在[ーり,勿上連續(xù),在X。(e[-のり])處連續(xù)

n

由與的任意性即得ズ(X)在(-1,1)上連續(xù)

第九講幕級數(shù)、傅立葉級數(shù)

概念、定義、定理

1爆級數(shù)之a(chǎn)n(x-％)",一般取々=0,即すanx"

n=Qn=0

收斂域:{XZ見バ收斂}

收斂半徑:R>Q

V|x|<絕對收斂;V|x|>R,￡*X"發(fā)散

M=0

=>R=L(-R,R)為收斂區(qū)間

p

oo

2.?/"在(一氏/?)上內(nèi)閉一致收斂,且絕對收斂

〃=0

00

3.S(X)=ZもX"，R>0

S(x)=Z(a”x")=Z區(qū)ノWxe(-R,/?)

n=0n=0

4.7(x)展開為嘉級數(shù),若ア00(%)存在,V〃，るは)一〇,Vxe[a,切

/,n，Uo)

=>f(x)=Z(x-xy

nlo

5ひ。ラ,xe(—oo,+oo)

〃=0加

〇〇

sinx=Z(T嚴(yán),XG(—CO,+oo)

，匸I(2n-l)!

2n

cosx=V(-1)H-x---,xe(-oo,+oo)

占(2〃)！

ln(l+x)=^(-l)"-'—,xe(-l,l]

n=l"

6.傅立葉系數(shù)：

11

a——f(x)cosnxdx.n=0,1,...

n71Jー”

b=一/(x)sinnxdx.n—1,2,...

n71hガ

7.收斂定理：ノ按段光滑,2萬為周期

/(x+0)+/(x-0)_a。oo

+〉(aflcosnx+bnsinnx)

22M=1

第十講含參量積分

概念、定義、定理

l.g(y)=］af(x,y)dx,yel

/(x,y)二元連續(xù)=>g在/上連續(xù)

厶(x,y)二元連續(xù)=>g'(y)=f厶は,y心

2.g(y)=J；(：/(x,y)ム

Jp(y)

g6)=鼠:厶(%,)リ公+/(a(y),y)a(y)-/(夕(y),y)夕(y)

3.g(y)=『/(羽y)ぬ在，上一致收斂

=V2>0,ヨA〉a.X/yG/,f(x,y)dx<ど

4.g(y)=『/(%，y)公在/上一致收斂

〇VA"單增趨于+8,ん/(x,y)ム在/上一致收斂

5./(%,y)在[0,+00)*/上連續(xù),g(y)=["/(%,y心在/上一致收斂

ng(y)在/上連續(xù)

6/.(X,》)在［。,+8)x，上連續(xù),「ン(羽y心對りG/收斂,

「ル(X,y心在，上一致收斂ng'(y)=『ん(x,y心

7./(x,y)在［a,+co)x［c,d］上連續(xù),『/(x,y)厶在［c,d］上一致收斂

=>『dy［'f{x,y)dx=「'dx('f(x,y)dy

JcJaJaJc

8.|/(%,y)\</?(x),Vye/,『/i(x)む收斂

n「'"(x,)，ゆ在，上一致收斂

9J：/(x,y)公在/上一致收斂,g(x,y)關(guān)于x單調(diào),一致有界

n￡'f(x,y)g(x,y心在，上一致收斂

10.￡\/(x,y>Zx|<M,\/A>a,g(x,y)關(guān)于x單調(diào)一致收斂于。

n『f(%,y)g(x,)0む在，上一致收斂

典型例題:

1.求證:〇⑺=J'arctan—<Zx,re(0,+8),在(0,+8)上連續(xù)

證:Vr0eけ,2ち］J(x,f)=arctan-在［0,l］x號,2ら］上連續(xù)

(p(t)=[arctanシ/r在，〇連續(xù),再由ん的任意性即得證。

第十一講多元連續(xù)函數(shù)、多元微分學(xué)

概念、定義、定理

1.limf(x,y)=A,(x,y)eD

=V￡>0,ヨb>0,0〈而ーち)2+(y-y°)2<3,\f(x,y)-A\<￡

2.7在(%,%)連續(xù)〇!imf(x,y)=f(x0,y0)

/(%+Ax,%)一/(ム,九)

3/(%,y0)=網(wǎng)

Ax

4.り=￡(%,%)ゐ+fy(x0,y0)dy,/在(%,%)處可微

z=/(x,y),Az=f(x+Ax,y+Ay)-f(x,y)=AAx+8Ay+o(夕),夕=-JAx2+Ay2

くけ，，ゝ，,ヽ…,ゝ

5?ヌ=んは。，％，Zo)cosa+ん(X。,外,z°)cos〃+エ(X。,汽,Z。)cos/

dl

(力生(x(),MpZ。)處可微,7=(cosa,cos〃,cosア))

6.隱函數(shù)存在定理:ド(x,y)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);へは〇,九)。〇:ド(x°,yo)=O

=>ヨXo的鄰域(X。ー&x0+ざ)和定義在(Xo-瓦X。+ざ)上的可微函數(shù)y=9(x)

s.t.F(x,(p(x))=0,(@=——^)

7.z=/(x,y)在(x。,％)處取極值=>/v(x0,y0)=fy(xo,yo)=O

"式與,打)爲(wèi)(/，%)ヽ

8/(%,%)=力(％，%)=0，A=

、ん&丿0)ム(無?,九)ノ

A正定n/(匕)，)在。〇,尤)取極小值;A負(fù)定=>/(x,y)在(x。,%)取極大值

9.條件極值:目標(biāo)函數(shù)/(x,y);條件函數(shù)タ](x,y)=/。,〉)=0

令尸(x,y，4,ム)=f(x,y)+4ジ1(x,y)+ん%(x,y)

ェ=0

り=0

解方程組:

ろ=0

F,=0

判斷

1厶刀在(X。,為)處存在n/在(X。,％)連續(xù)

2.力/在(x。,%)處存在u/在(x。,九)連續(xù)

3./&（%,レ0）處可微=>ル/在（ム,%）存在;誰（%,%）處連續(xù)

4J在（ム,%）處可微u人,刀在（ム,打）存在;，在（ム,凡）處連續(xù)

5/./在（與,%）處連續(xù)=>,/在（ムづ〇）處可微

6/,ル在（ム,凡）處連續(xù)<=y在（ム,%）處可微

7.Vx,limf（x,y）=/は〇,y）;Vy,lim/（x,y）=f（x,y0）=>>/在（ム,%）處連續(xù)

8.園<M,\fy\<M=>庶（％,y°）處連續(xù)

9Jは,y）在開域。上連續(xù),有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)ん,ム

若八三。=>/（%,>）=。（>）

10Jは,y）在開域ク上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)人,ム,ん=人三On〃x,y）三c

11.yは,y）在は0,九）沿每個方向的方向?qū)?shù)存在n人は〇,%）存在

12./（x,y）在は〇,典）沿每個方向的方向?qū)?shù)存在且相等=>,/在（ム,%）處連續(xù)

答案:3,5,8,10正確,其余都錯誤。

典型例題

1Jは,y）在有界閉域。上有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),人イ+人,=0,人,ホ0,Vは,y）e。

求證:ノ在。上的最大、小值只能在邊界上取得

證:若最大值在血。取得,設(shè)為生則與是極大值點

九4）+厶,4）=0つ九4）爲(wèi),（4）-64）<〇

.?.玲不是極值點,矛盾。

第十二講重積分

概念、定義、定理

1JJfは,y）d蘭在=Ve>0,ヨ。=0。,,寸ユA。,<￡

D

2.JJ/は,y）d（7=，‘公〇は,yWy=『カ0は,ア）厶

3.jjf(x,y)da=『dej"，f(グcos。,廠si