勾股定理的逆定理

1.如圖所示,△ABC中,若∠A=75°,∠C=45°,AB=2,則AC的長等于()B.2C.D.知識點：轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、勾股定理知識點的描述：在解決有關(guān)求線段長度問題時，常通過添加輔助線，把一般三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形的問題，利用勾股定理解決問題。勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。答案：C詳細解答：作BC邊上的高AD,ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°，那么∠B=60°，從而∠BAD=30°在Rt△ABD中，∠BAD=30°，AB=2,所以BD=1，AD=在Rt△ACD中，∠C=45°，AD=,所以CD=AD=，利用勾股定理可得AC=。1．已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D，∠A=60°，CD=，線段AB長為（）。A.2B.3答案：C分析：欲求AB，可由AB=BD+AD，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出BD和AD?；蛴驛B，可由，分別在兩個三角形中利用勾股定理和特殊角，求出AC和BC。詳細解答：在Rt△ACD中，∠A=60°，那么∠ACD=30°，又已知CD=,所以利用勾股定理或特殊三角形的三邊的比求出AD=1。在Rt△ACB中，∠A=60°，那么∠B=30°。在Rt△BCD中，∠B=30°，又已知CD=,所以BC=2，利用勾股定理或特殊三角形的三邊的比求出BD=3。因此AB=BD+CD=3+1=4，小結(jié)：本題是“雙垂圖”的計算題，“雙垂圖”是中考重要的考點，所以要求對圖形及性質(zhì)掌握非常熟練，能夠靈活應(yīng)用。目前“雙垂圖”需要掌握的知識點有：3個直角三角形，三個勾股定理及推導(dǎo)式BC2-BD2=AC2-AD2，兩對相等銳角，四對互余角，及30°或45°特殊角的特殊性質(zhì)等。2．已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足a2c2－b2c2=a4－bA．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形知識點：綜合代數(shù)變形和勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀知識點的描述：這類問題常常用到代數(shù)中的配方、因式分解，再結(jié)合幾何中的有關(guān)定理不難作出判斷。答案：D詳細解答：∵a2c2－b2c2=a4－b4，∴左右兩邊因式分解得∴∴或，即或，所以三角形的形狀為等腰三角形或直角三角形。2．若△ABC的三邊a，b，c滿足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，則△ABC是（）（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等腰三角形或直角三角形答案：C詳細解答：∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0，∴c-b=0且a2-b2-c2=0即且，所以三角形的形狀為等腰直角三角形。3．五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的是（）知識點：勾股定理的逆定理知識點的描述：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，最大的邊就是斜邊。滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù)．最好能記住常見的幾組勾股數(shù)：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17等。答案：C詳細解答：A圖和B圖中右邊的三角形三邊不存在某兩邊的平方和等于第三邊的平方，不是直角三角形。D圖中兩個的三角形三邊都不存在某兩邊的平方和等于第三邊的平方，都不是直角三角形。只有C圖中的兩個三角形都是直角三角形。3．在下列說法中是錯誤的（）A．在△ABC中，（為正整數(shù)，且），則△ABC為直角三角形.B．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC為直角三角形.C．在△ABC中，若，則△ABC為直角三角形.D．在△ABC中，若a：b：c＝5：12：13，則△ABC為直角三角形.答案：B詳細解答：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，那么最大角∠C＝不是直角三角形?！鰽BC三條邊的比為a:b:c＝5:12:13，則可設(shè)a＝5k，b＝12k，c＝13k，a2＋b2＝25k2＋144k2＝169k2，c2＝(13k)2＝169k2，所以，a2＋b2＝c2，△ABC是直角三角形．4.下列各命題的逆命題不成立的是()A.兩直線平行,同旁內(nèi)角互補；B.若兩個數(shù)的絕對值相等,則這兩個數(shù)也相等a2=b2,那么a=b知識點：互逆命題知識點的描述：如果一個命題的題設(shè)是另一個命題的結(jié)論，而結(jié)論又是另一個命題的題設(shè)，那么這樣的兩個命題是互逆命題。一個命題和它的逆命題的真假沒有什么聯(lián)系。答案：C詳細解答：“對頂角相等”的逆命題是“相等的角是對頂角”，顯然這是一個假命題。4．下列命題的逆命題成立的是（）（A）若a=b，則 （B）全等三角形的周長相等（C）同角（或等角）的余角相等（D）若a=0，則ab=0答案：C詳細解答：（A）的逆命題是：若，則a=b。不一定成立，也可能a=-b（B）的逆命題是：周長相等的三角形全等。不一定成立，兩個三角形周長相等，形狀不一定就相同。（D）的逆命題是：若ab=0，則a=0。不一定成立，也可能是b=0，而a≠0。5．如圖，一輪船以16海里/時的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一輪船以12海里/時的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2小時后，兩船相距（） B.30海里 知識點：勾股定理的實際應(yīng)用題知識點的描述：求距離或某個長度是很常見的實際應(yīng)用題，這種問題一般轉(zhuǎn)化為幾何中的求線段長度問題，通常是在現(xiàn)有的直角三角形或構(gòu)建的直角三角形中，利用勾股定理求出線段的長度，從而解決實際問題。答案：D詳細解答：畫出答題圖，由題意知，三角形ABC是直角三角形，AC=32海里，AB=24海里，根據(jù)勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600，所以BC=40（海里）5．有一長、寬、高分別為5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根細木條（木條的粗細、形變忽略不計）要求木條不能露出木箱．請你算一算，能放入的細木條的最大長度是（）A．B．C．D．答案：C詳細解答：畫出如圖所示的木箱圖，圖中AD的長度就是能放入的細木條的最大長度，由題意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm在Rt△ACB中，AC和BC是直角邊，AB是斜邊，AB2=AC2+CB2=41,在Rt△ADB中，AB和BD是直角邊，AD是斜邊，AD2=AB2+BD2=41+9=50,所以AD=6．如圖，正方形網(wǎng)格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上答案都不對知識點：網(wǎng)格問題，勾股定理和逆定理知識點的描述：網(wǎng)格問題是常見的問題，解決這種問題要充分的利用正方形網(wǎng)格。勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形答案：A詳細解答：把△ABC的各邊分別放在不同的直角三角形中，給出必須的點的名稱，畫出圖形。在Rt△BCD中，CD=1，DB=8，那么CB2=CD2+BD2=65，在Rt△ACE中，AE=2，CE=3，那么AC2=AE2+CE2=13，在Rt△ABF中，AF=6，BF=4，那么AB2=AF2+BF2=52，所以，在△ABC中，AC2+AB2=13+52=65，又CB2=65，所以，AC2+AB2=CB2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形6．如圖，圖中的小方格都是邊長為1的正方形網(wǎng)格，則圖中四邊形的面積是()A.25B.12.5答案：B詳細解答：S四邊形EFGH=SABCD-S△DEF-S△CFG-S△BGH-S△AEH=5×5-×1×2-×3×3-×2×3-×2×7.如圖，已知四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求得四邊形ABCD的面積.（）A.36B.25C.24D.30知識點：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用知識點的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。答案：A分析：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特征，聯(lián)想勾股數(shù)，連接AC，可實現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化，并運用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.詳細解答：連接AC，在Rt△ABC中，AC2=AB2＋BC2=32＋42=25，∴AC=5.在△ACD中，∵AC2＋CD2=25＋122=169，又∵AD2=132=169，∴AC2＋CD2=AD2，∴∠ACD=90°．故S四邊形ABCD=S△ABC＋S△ACD=AB·BC＋AC·CD=×3×4＋×5×12=6＋30=36.7．在四邊形ABCD中，AB＝2，BC＝，CD＝5，DA＝4，∠B＝90°，那么四邊形ABCD的面積是()。A.10B.C.D.答案：B詳細解答：連接AC，在Rt△ABC中，AB＝2，，BC＝所以＝＋＝9所以AC＝3又因為，所以所以∠CAD＝90°所以＝×2×＋×3×4＝8.已知：如圖，四邊形ABCD，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3。那么四邊形ABCD的面積是()。A.24B.36C.18D.20知識點：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用知識點的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。答案：C詳細解答：如圖，作DE∥AB，連結(jié)BD，可以證明△ABD≌△EDB（ASA）；所以DE=AB=4，BE=AD=3，EC=BC-EB=6-3=3；在△DEC中，EC=3；DE=4，CD=5，3、4、5勾股數(shù)，所以△DEC為直角三角形，DE⊥BC；利用梯形面積公式可得：四邊形ABCD的面積是（3+6）×4=188．已知，△ABC中，AB中，AB＝17cm，BC＝16cm，BC邊上的中線AD＝15cm，求AC得()。A.15B.16答案：C詳細解答：如圖，∵AD是BC邊上的中線，BC＝16cm∴BD＝8cm∴在△ABD中：AB＝17cm，AD＝15cm，BD＝8cm則有：∴∠ADB＝90°∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝15cm，CD＝8cm根據(jù)勾股定理得：AC＝＝17（cm）9.已知：如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的高，且CD2=AD·BD，△ABC是()。A.直角三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形D.等邊三角形知識點：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用知識點的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。答案：A詳細解答：∵AC2=AD2+CD2，BC2=CD2+BD2∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2又∵CD2=AD·BD∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2=（AD+BD）2=AB2所以△ABC是直角三角形。9．如圖，在△ABC中，∠ACB=90o，AC=BC，P是△ABC內(nèi)的一點，且PB=1，PC=2，PA=3，求得∠BPC的度數(shù)（）．AAC東南BACCPBA.AAC東南BACCPBC.135°D.120°答案：C詳細解答：如答圖，將△APC繞點C旋轉(zhuǎn)，使CA與CB重合，即△APC≌△BEC,∴△PCE為等腰Rt△，∴∠CPE=45°，PE2=PC2+CE2=8.又∵PB2=1，BE2=9，∴PE2+PB2=BE2,則∠BPE=90°，∴∠BPC=135°.10．已知：如圖正方形ABCD中，E是AD的中點，點F在DC上且DF＝DC，判斷△BEF為（）。A.直角三角形B.等腰三角形C.不等邊三角形D.等邊三角形知識點：勾股定理和逆定理在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用知識點的描述：勾股定理的內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理的逆定理：在三角形中，如果某兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。答案：A詳細解答：設(shè)DF＝a，則DE＝AE＝2a，CF＝3a，AB＝BC＝4a。在Rt△ABE中，BE2＝AB2＋AE2＝（4a）2＋(2a)2＝20a2在Rt△DEF中，EF2＝DE2＋DF2＝（2a）2＋a2＝5a2在Rt△BCF中，BF2＝BC2＋CF2＝（4a）2＋(3a)2＝25a2所以BE2＋EF