初等變換應(yīng)用與矩陣的秩結(jié)論課件

教學(xué)目的理解秩的性質(zhì)，掌握、記住并會(huì)應(yīng)用秩的等式與不等式，掌握方程組秩的解法定理。作業(yè)重點(diǎn)秩的不等式及其應(yīng)用練習(xí)冊(cè)第19-21頁T6－10，其中交P19－20難點(diǎn)秩的不等式的性質(zhì)媒體黑板與投影講授內(nèi)容主線轉(zhuǎn)置、變換均恒等，還有不等式，方程組秩的判定定理，定理的證明、過程及其解法內(nèi)容概括轉(zhuǎn)置變換乘逆陣恒等加上部分整體、合并最小的不等式組成了秩的性質(zhì)。從方程組的最簡(jiǎn)型開始，定義同解方程組的自由變量的值即得解的矩陣向量形式班級(jí)：

時(shí)間：年月日；星期

第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩1第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩本次課講第三章第二節(jié)的應(yīng)用，并講授第三章第三節(jié)第四節(jié)，下次上課講第三章第四節(jié)和第四章第一節(jié)。下次上課前完成作業(yè)19頁到21頁，交作業(yè)19頁到20頁2定理：方陣

A

可逆的充要條件是存在有限個(gè)初等矩陣1.任一可逆矩陣均是k個(gè)初等矩陣之積1)充分性：若存在有限個(gè)初等矩陣證:第六講：初等變換與初等矩陣一、初等變換應(yīng)用32)必要性：設(shè)A可逆，因任何矩陣經(jīng)初等變換均可變成初等矩陣，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為F,則F經(jīng)有限次初等變換可以變成A,由定理1，即存在有限個(gè)初等矩陣第六講：初等變換與初等矩陣42.逆矩陣表示初等變換的結(jié)論與應(yīng)用第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩5同樣討論列的情況：可得到如下結(jié)論：初等列變換第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩6例1設(shè)求解第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩7所以（5）用初等變換求解方程組我們采用利用初等變換求逆矩陣同樣的辦法求解線性方程組AX=b,這里，假定A是方陣且可逆第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩8例2求矩陣X，使AX=b1，AX＝b2其中第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩9第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩10例3：（2004，1、2）設(shè)A是3階方陣，將A的第1列與第2列交換得B，B的第2列加到第3列得C，則滿足AQ＝C的可逆矩陣Q為分析：按照題意，用初等矩陣描述，有第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩11第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩12第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩13第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩14一、矩陣的秩的概念（1.定義）定義1在m×n矩陣A

中，任取k

行與k

列（k≤m，k≤n),位于這些行列交叉處的個(gè)元素，不改變它們?cè)贏

中的所處的位置次序而得的k

階行列式，稱為矩陣A

的

k

階子式.如——A的一個(gè)二階子式.定義2設(shè)在矩陣A

中有一個(gè)不等于0的r

階子式D，且所有的r+1階子式（如果存在的話）全等于0，那么D稱為矩陣A的最高階非零子式，數(shù)

r稱為矩陣A的秩，記作R(A).規(guī)定：零矩陣的秩等于0，即R(O)=0.由矩陣的秩的定義知：定義中有2個(gè)關(guān)鍵詞，一個(gè)是“一個(gè)”，另一個(gè)是“所有”第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩152.用定義求矩陣的秩（1）定義法：用定義判斷k階子式例1:求矩陣A

和

B

的秩，其中另外，因?yàn)锽是3行4列矩陣，沒有4階子式，所以R(B)小于等于3。注意到B的1、2行成比例，任意3階子式都會(huì)同時(shí)含有B的1、2行的部分，其行列式為0，，所以由定義，R(B)＝2第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩16第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩3.秩的性質(zhì):初等變換秩不變.定理1

若A~B,則R(A)=R(B).17第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩結(jié)論：行階梯形矩陣的秩等于它的非零行的行數(shù)18矩陣A行階梯形矩陣B;初等行變換(1)(2)R(A)=矩陣B非零行的行數(shù).分析：首先互換1、2行，第2步，用第一行把第2行以后的第2列元素變成0，按照上三角形依次做下去第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩19所以：R（A)＝3對(duì)于n階可逆矩陣A，因，知A的最高階非零子式為，所以A

的秩等于它的階數(shù)，故可逆矩陣又稱滿秩矩陣而奇異矩陣又稱降秩矩陣。5.滿秩定義第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩202）

若A~B,則R(A)=R(B);R(A)=R(kA).分析：由于初等變換不改變子式非零的特性，由定理，顯然初等變換秩不變。二、矩陣的秩的基本運(yùn)算:

1.等式（不變）運(yùn)算分析：由定義A的子式也是AT的子式，反之亦然3）若P,Q可逆,則:R(PAQ)=R(A).分析：因P、Q可逆，由初等矩陣定理，PAQ與A等價(jià)。推論：若B可逆，則R(BA)=R(A)（或R(AB)=R(A)）分析：在上述推論中，只要令P=B，Q=E即可（或P=E，Q=B）第七講：初等變換應(yīng)用與矩陣的秩21分析：由定義，最大k階子式是行列式，小于m