用消元法解下列方程組的過程

關(guān)于用消元法解下列方程組的過程第1頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三解:①②③2②③③2①④3①②2第2頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三③+5②④–3②③2④③④用“回代”的方法求出解.于是得解:其中x3可以任意取值.或令x3=c,方程組的解可記作:第3頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

1.上述解方程組的方法稱為消元法．

2.始終把方程組看作一個整體變形,用到如下三種變換:(2)其中c為任意常數(shù).或歸納以上過程:(3)一個方程加上另一個方程的k倍:(2)以不等于0的數(shù)k乘某個方程:(1)交換方程次序:

i

與j

相互替換;以i

k替換i;以i+kj

替換i.第4頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三由于三種變換都是可逆的,所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的.故這三種變換是同解變換.3.上述三種變換都是可逆的.因為在上述變換過程中,未知量并未參與本質(zhì)性運算,僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算.第5頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三若記則對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對矩陣B(方程組(1)的增廣矩陣)的變換.二、矩陣的初等變換定義1:

下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:(1)對調(diào)兩行(對調(diào)i,j

兩行,記作rirj);(2)以非零數(shù)k乘以某一行的所有元素(第i行乘k,記作rik

);(3)把某一行所有元素的k倍加到另一行的對應(yīng)元素上去(第j行的k倍加到第i

行上去,記作ri+krj).同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“r”換成“c”)．第6頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

定義2:

矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換.初等變換的逆變換仍為初等變換且變換類型相同.rirj的逆變換為rj

ri;rik的逆變換為ri(1/k),或rik;ri+krj的逆變換為ri+(–k)rj,或ri–krj.定義3:如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等行變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B行等價.記作AB.(2)

如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等列變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B列等價.記作AB.(3)

如果矩陣A可經(jīng)過有限次初等變換變?yōu)榫仃嘊,則稱矩陣A與B等價.記作AB.rc第7頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三具有以下三條性質(zhì)的關(guān)系稱為等價關(guān)系:(1)自反性:AA;(2)對稱性:若AB,則BA;(3)傳遞性:若AB,且BC,則AC.矩陣的(行、列)等價滿足等價關(guān)系的定義.第8頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三§12.6.2矩陣的秩定義:

在mn矩陣A中任取k行k列(km,kn),位于這k行k列交叉處的k2個元素,不改變它們在A中所處的位置次序而得到的k階行列式,被稱為矩陣A的k階子式.mn矩陣A的k階子式共有定義:

若在矩陣A中有一個r階子式D非零,且所有的r+1階子式(如果存在的話)都為零,則稱D為矩陣A的一個最高階非零子式,稱數(shù)r為矩陣A的秩,記作R(A).第9頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三規(guī)定零矩陣的秩為零.

mn矩陣A的秩R(A)是A中不等于零的子式的最高階數(shù).

對于AT,顯然有:R(AT)=R(A).解:在矩陣A中例1:求矩陣A=的秩.又由于矩陣A的3階子式只有|

A

|,且|

A

|

=

0.所以,R(A)=2.第10頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三例2:求矩陣A=的秩.解:因為計算A的3階子式.所以,R(A)=2.第11頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三定理:初等變換不改變矩陣的秩另解:用初等變換將A化為行階梯形矩陣:顯然,非零行的行數(shù)為2.所以,R(A)=2.特點(1).

可劃出一條階梯線,線的下方全為零;特點(2).每個臺階只有一行,臺階數(shù)即是非零行的行數(shù),階梯線上的第一個元素為非零元,即非零行的階梯線上的第一個元素為非零元.行階梯矩陣第12頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三例3:求矩陣A=的秩.解:用初等行變換將A化為行階梯矩陣:Ar1r4r2r4r32r1r43r1r33r2r44r2r4r3由階梯形矩陣有三個非零行可知:R(A)=3.第13頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三r1r2r32r2–r3r3–2r1r4–3r1例4:第14頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三r3+5r2r4–3r2r22r3–2r4r4r3r2–r3r1–r3r1–r2第15頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三

注意:

行最簡形矩陣是由矩陣(方程組)唯一確定的,行階梯形矩陣的非零行的行數(shù)也是由矩陣(方程組)唯一確定的.行階梯矩陣B6還稱為行最簡形矩陣,即非零行的第一個非零元為1,且這些非零元所在的列的其它元素都為零.行最簡形矩陣再經(jīng)過列初等列變換可化成標(biāo)準(zhǔn)形.B6c3c4c4+c1+c2對任何矩陣Amn,總可以經(jīng)過有限次初等行變換把它們變?yōu)樾须A梯形矩陣和行最簡形矩陣.第16頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三c5–4c1–3c2+3c3矩陣F稱為矩陣B的標(biāo)準(zhǔn)形.特點:

標(biāo)準(zhǔn)形F的左上角是一個單位矩陣,其余元素全為零.所有與矩陣A等價的矩陣組成的一個集合,稱為一個等價類,標(biāo)準(zhǔn)形F是這個等價類中最簡單的矩陣.任一個矩陣Amn總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形由m,n,r三個數(shù)唯一確定,其中r就是行階梯形矩陣中非零行的行數(shù).第17頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價具有的性質(zhì):自反性,對稱性,傳遞性.三、小結(jié)(1)rirj(cicj);(2)rik(cik);(3)ri+krj(ci+kcj).2.A初等變換B

AB.第18頁，講稿共21頁，2023年5月2日，星期三思考題已知四元齊次方程組元齊次方程組(2)的通解為:及另一四問:方程組