湖南省益陽市新建中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析

湖南省益陽市新建中學(xué)高一數(shù)學(xué)文下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．至少有1個(gè)黑球與都是紅球B．至少有1個(gè)黑球與都是黑球C．至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球D．恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球參考答案：A【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】A是對(duì)立事件；B和不是互斥事件；D是互斥但不對(duì)立事件．【解答】解：從裝有3個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，在A中：至少有1個(gè)黑球與都是紅球，不能同時(shí)發(fā)生，也不能同時(shí)不發(fā)生，故A是對(duì)立事件；在B中，至少有1個(gè)黑球與都是黑球，能夠同時(shí)發(fā)生，故B不是互斥事件，更不是對(duì)立事件；在C中，至少有1個(gè)黑球與至少有1個(gè)紅球，能夠同時(shí)發(fā)生，故C不是互斥事件，更不是對(duì)立事件；在D中，恰有1個(gè)黑球與恰有2個(gè)黑球，不能同時(shí)發(fā)生，但能同時(shí)不發(fā)生，故D是互斥但不對(duì)立事件．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件與對(duì)立事件的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對(duì)立事件的合理運(yùn)用．2.在中，一定成立的等式是（

）

參考答案：C略3.函數(shù)的最小值為（

）、

、

、

、參考答案：B略4.已知直線l過點(diǎn)P（，1），圓C：x2+y2=4，則直線l與圓C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切 C．相交和相切 D．相離參考答案：C【考點(diǎn)】J5：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)直線l過點(diǎn)P（，1），而點(diǎn)P在圓C：x2+y2=4上，可得直線和圓的位置關(guān)系．【解答】解：∵直線l過點(diǎn)P（，1），而點(diǎn)P在圓C：x2+y2=4上，故直線l和圓相交或相切，故選：C．5.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的取值范圍是（

）A．

B．[0,4]

C．

D．[0,1]參考答案：A作出實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件表示的平面區(qū)域，得到△ABC及其內(nèi)部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，），O（0，0）．設(shè)z=F（x，y）=|x|﹣y，將直線l：z=|x|﹣y進(jìn)行平移，觀察直線在y軸上的截距變化，當(dāng)x≥0時(shí)，直線為圖形中的紅色線，可得當(dāng)l經(jīng)過B與O點(diǎn)時(shí)，取得最值z(mì)∈[0，]，當(dāng)x＜0時(shí)，直線是圖形中的藍(lán)色直線，經(jīng)過A或B時(shí)取得最值，z∈[﹣，3]綜上所述，z+1∈[﹣，4]．故選：A．

6.圓關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的圓的方程是

（

）A.

B.C.

D.參考答案：C略7.已知，是單位向量，，若向量滿足，則的取值范圍為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】9R：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】令，，，作出圖象，根據(jù)圖象可求出的最大值、最小值．【解答】解：令，，，如圖所示：則，又，所以點(diǎn)C在以點(diǎn)D為圓心、半徑為1的圓上，易知點(diǎn)C與O、D共線時(shí)達(dá)到最值，最大值為+1，最小值為﹣1，所以的取值范圍為[﹣1，+1]．故選A．8.在數(shù)列中，若，，則下列不等式中成立的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.函數(shù)，若f(1)+f(a)=2,則a的所有可能值為()

A.1B.－C.1,－D.1,參考答案：解析：注意到這里a的可能取值至多有3個(gè),故運(yùn)用代值驗(yàn)證的方法.當(dāng)a=1時(shí),由f(1)+f(a)=2得f(1)=1;

由f(x)的表達(dá)式得f(1)==1,故a=1是所求的一個(gè)解,由此否定B.當(dāng)a=－時(shí),由f(x)的表達(dá)式得f(－)=sin=1,

又f(1)=1,故f(1)+f(－)=2,a=－是所求的一個(gè)解,由此否定A.D.本題應(yīng)選C.10.把化簡后的結(jié)果是

A.

B.

C.

D.

參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.兩個(gè)球的表面積之差為48π，它們的大圓周長之和為12π，則這兩球的半徑之差為____________。參考答案：2略12.已知函數(shù)且，則實(shí)數(shù)_____．參考答案：-1【知識(shí)點(diǎn)】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)【試題解析】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，得不成立；當(dāng)時(shí)，得

所以，

故答案為：-113.已知，若存在，使得任意恒成立，且兩邊等號(hào)能取到，則的最小值為

.參考答案：略14.已知點(diǎn)M（4，﹣1），點(diǎn)P是直線l：y=2x+3上的任一點(diǎn)，則|PM|最小值為．參考答案：【分析】可得|PM|最小值即為點(diǎn)M到直線l的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得．【解答】解：由題意可得|PM|最小值即為點(diǎn)M到直線l的距離，由距離公式可得d==，故答案為：．15.函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

.參考答案：（-∞，-）∪（-，2）16.函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

參考答案：略17.已知直線，則過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）已知向量=（1，0），=（m，1），且與的夾角為．（1）求|﹣2|；（2）若（+λ）與垂直，求實(shí)數(shù)λ的值．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【分析】（1）由cos＜＞==，求出m=1，由此能求出|﹣2|．（2）由=（1+λ，λ），（+λ）與垂直，能求出實(shí)數(shù)λ的值．【解答】解：（1）∵=（1，0），=（m，1），且與的夾角為．∴=m，||=1，||=，cos＜＞==，解得m=1，或m=﹣1（舍）∴=（﹣1，﹣2），∴|﹣2|==．（2）∵=（1+λ，λ），（+λ）與垂直，∴，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量垂直的性質(zhì)的合理運(yùn)用．19.（本小題滿分12分）如圖1,已知OPQ是半徑為1,圓心角為的扇形,C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn),ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.記∠COP=α,求當(dāng)角α取何值時(shí),矩形ABCD的面積最大?并求出這個(gè)最大面積.

參考答案：解析:在Rt△OBC中,BC=cosα,BC=sinα,在Rt△OAD中,=tan60°=，所以O(shè)A=DA=BC=sinα.所以AB=OB-OA=cosαsinα.設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S=AB·BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α=sin2α+cos2α-=(sin2α+cos2α)-=sin(2α+).由于0<α<,所以當(dāng)2α+=,即α=時(shí)，S最大=-=.因此,當(dāng)α=時(shí),矩形ABCD的面積最大，最大面積為.略20.（本題滿分8分）已知（1）求的值；（2）求的值。參考答案：（1）由題得即或又所以（2）原式=，=，=21.已知函數(shù)（且）.

（1）用定義證明函數(shù)在上為增函數(shù)；

（2）設(shè)函數(shù)，若在是單調(diào)函數(shù)，且在該區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.參考答案：解：（Ⅰ）設(shè)

()()

∵,

∴＜0,＞0

∴

∴函數(shù)在上為增函數(shù)………6分

（Ⅱ）

對(duì)稱軸，定義域x∈[2,5]………7分

①在[2,5]上單調(diào)遞增且

………11分

②在[2,5]上單調(diào)遞減且

無解………15分

綜上所述………16分22.如圖，在直角梯形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E在CD上，且，將沿AE折起，使得平面平面ABCE（如圖）.G為AE中點(diǎn).（1）求證:DG⊥平面ABCE；（2）求四棱錐D-ABCE的體積；（3）在線段BD上是否存在點(diǎn)P，使得平面？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.參考答案：(1)見證明；(2)(3)【分析】（1）證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得出平面；（2）分別計(jì)算和梯形的面積，即可得出棱錐的體積；（3）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，可證平面平面，故平面，根據(jù)計(jì)算的值.【詳解】（1）證明：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．?）在直角三角形中，易求,則．所以四棱錐的體積為．

（3）過點(diǎn)C作交于點(diǎn)，則．過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接,則．又因?yàn)?，平面平?所以平面．同