高等數(shù)學,向量的乘法運算

*三、向量的混合積第三節(jié)一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積向量的乘法運算第七章一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,1.定義設(shè)向量的夾角為,稱記作數(shù)量積(點積).引例.設(shè)一物體在常力F作用下,位移為s,則力F所做的功為記作故2.性質(zhì)為兩個非零向量,則有3.運算律(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律事實上,當時,顯然成立;例1.

證明三角形余弦定理證:如圖.則設(shè)4.數(shù)量積的坐標表示設(shè)則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得例2.

已知三點AMB.解:則求故為).求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度例3.

設(shè)均勻流速為的流體流過一個面積為A的平面域,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內(nèi)流過的體積:的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例.設(shè)O為杠桿L的支點,有一個與杠桿夾角為符合右手規(guī)則矩是一個向量

M:的力F作用在杠桿的P點上,則力F作用在杠桿上的力1.定義定義向量方向捧:(叉積測)記作且符衡合右聚手規(guī)玻則模柴:向量笑積產(chǎn),稱引例乓中的裝力矩思考黨:右圖倍三角鍛形面身積S＝2.性質(zhì)為非這零向賓量,驗則∥∥3.撓運爺算律(2)誓分粒配律(3賭)幸結(jié)合僅律(證蒼明略礙)證明危:4.向量停積的蛙坐標捐表示憲式設(shè)則向量窩積的鵲行列芝式計到算法(垂行列礦式計舞算見債上冊P3賀55童～P沉35鄙8撲)例4.已知允三點角形AB消C的面盡積.解:如圖抵所示信,求三一點M的線皺速度例5.設(shè)剛拍體以駁等角鞭速度繞l軸旋計轉(zhuǎn),導(dǎo)出厚剛體捧上的表象示式矮.解:在軸l上引些進一奪個角睛速度序向量使其在l上任諒取一土點O,作它與則點M離開杯轉(zhuǎn)軸讓的距腰離且符合表右手杰法則的夾拌角為,方向揚與旋吹轉(zhuǎn)方是向符跌合右周手法羞則旁,向徑*三慶、向量童的混旋合積1.定義已知皆三向稿量稱數(shù)捕量混合漁積.記作幾何蹄意義為棱鋸作平龍行六拋面體,底面背積高故平兆行六澇面體吹體積跪為則其2.混合剩積的扔坐標災(zāi)表示設(shè)3.性質(zhì)(1)墊三紀個非蒜零向戴量共面遵的充暈要條申件是(2)聰輪灣換對硬稱性潮:(可用丸三階濾行列高式推鋼出)例6.已知羞一四慘面體封的頂區(qū)點4旨)資,柴求該澤四面銷體體福積己.解:已知濟四面柜體的沿體積追等于盤以向買量為棱跌的平飾行六雖面體財體積距的故例7.已知A(1改,2且,0泳)、B(2遮,3俯,1拜)、C(4涉,2再,2傳)、四點夢共面番,辟求點M的坐枝標x、y、z所滿昌足的脈方程讓.解:A、B、C、M四點霧共面展開殊行列它式即役得點M的坐洽標所閱滿足甜的方企程AM、AB、AC三向量共面即內(nèi)容挽小結(jié)設(shè)1.敏向纏量運來算加減車:數(shù)乘:點積確:叉積屬:混合牙積:2.蕉向多量關(guān)細系:思考錯與練蹦習1.想設(shè)計算并求夾角的正瞇弦與蠅余弦訊.答案矮:2.率用射向量跟方法誦證明肝正弦沿定理走:證:由三牢角形摘面積條公式所以因P2渴2梨3漏,鎖4閣,教6削,距7筑,9(1談)面;棗(2恨),繪1姜0榆,牙1廟2第三央節(jié)