江蘇省鹽城市三校2022-2023學(xué)年高二年級下冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年度高二年級第二學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題本試卷分試題卷和答題卷兩部分.試題卷包括1至4頁；答題卷1至4頁.滿分150分.考試時間150分鐘.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.在等比數(shù)列中，，，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等比中項性質(zhì)進(jìn)行計算即可.【詳解】，得，因為、、都為奇數(shù)項，在等比數(shù)列中應(yīng)該為同號，所以，故.故選：A.2.雙曲線虛軸的一個端點為，焦點為、，，則雙曲線的離心率為A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】由題意知.3.從5名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，則不同的組隊方案共有（）．A.68種 B.70種 C.72種 D.74種【答案】B【解析】【分析】選3名醫(yī)生組成一個醫(yī)療小分隊，要求其中男、女醫(yī)生都有，方法共有兩類，一是：一男二女，另一類是：兩男一女；在每一類中都用分步計數(shù)原理解答．【詳解】直接法：一男兩女，有種，兩男一女，有種，共計種間接法：任意選取種，其中都是男醫(yī)生有種，都是女醫(yī)生有種，于是符合條件的有種．故選:B．4.若一個樣本容量為的樣本的平均數(shù)為，方差為．現(xiàn)樣本中又加入一個新數(shù)據(jù)，此時樣本容量為，平均數(shù)為，方差為，則（）A.， B.， C.， D.，【答案】B【解析】【分析】由題設(shè)條件，利用平均數(shù)和方差的計算公式進(jìn)行求解．【詳解】解：∵某8個數(shù)的平均數(shù)為5，方差為2，現(xiàn)又加入一個新數(shù)據(jù)5，此時這9個數(shù)的平均數(shù)為，方差為s2，.故選B．【點睛】本題考查平均數(shù)和方差的計算公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．5.據(jù)美國的一份資料報道，在美國總的來說患肺癌的概率約為0.1%，在人群中有20%是吸煙者，他們患肺癌的概率約為0.4%，則不吸煙患肺癌的概率為（）A.0.025% B.0.032% C.0.048% D.0.02%【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全概率公式求得正確答案.【詳解】設(shè)不吸煙患肺癌的概率為，則，解得.故選：A6.已知直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，則直線l與平面α所成的角為（）A.120° B.60° C.30° D.150°【答案】C【解析】【分析】利用空間向量的夾角公式即可求解.【詳解】因為直線l的方向向量，平面α的一個法向量為，設(shè)直線與平面α所成的角為，則，所以直線l與平面α所成的角為，故選：C.7.已知斜率存在的直線l與橢圓交于A，B兩點，且l與圓切于點P.若P為線段AB的中點，則直線PC的斜率為（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】利用點差法，結(jié)合點的坐標(biāo)滿足圓方程，以及與直線垂直，聯(lián)立方程組求得點的坐標(biāo)，即可求得直線的斜率.【詳解】設(shè)點的坐標(biāo)分別為，則：，作差后可得：，即：；又因為直線與直線垂直，故可得，與聯(lián)立后可得：，解得，又因為點在圓上，故可得：，解得，則，即直線的斜率為或.故選：C.8.設(shè)，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用、的形式構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究其在上單調(diào)性，進(jìn)而比較相應(yīng)函數(shù)值的符號，即可知參數(shù)的大小關(guān)系.【詳解】由，令且，所以，令且，則，即遞減，所以，故上恒成立，則在上遞減，所以，即，則；由，令且，所以在上遞增，故，故上遞增，，即，則；綜上，.故選：C【點睛】關(guān)鍵點睛：應(yīng)用作差法得到某種函數(shù)形式，并構(gòu)造函數(shù)研究單調(diào)性判斷函數(shù)值的符號即可.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各式正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】對于A，由可判斷；對于B，根據(jù)二項式系數(shù)和公式可判斷；對于CD，根據(jù)排列數(shù)的計算公式可驗證.【詳解】對于A，由得，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C錯誤；對于D，，D正確.故選：AD10.一個質(zhì)地均勻的正四面體表面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，拋擲該正四面體兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為偶數(shù)”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，則下列說法正確的是（）A. B.事件A和事件B互為對立事件C. D.事件A和事件B相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】求得的值判斷選項A；舉反例否定選項B；求得的值判斷選項C；利用公式是否成立判斷選項D.【詳解】選項A：.判斷正確；選項B：事件B：第一次向下的數(shù)字為偶數(shù),第二次向下的數(shù)字為奇數(shù)，則兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù).則事件A和事件B不是對立事件.判斷錯誤；選項C：，則.判斷正確；選項D：，又，,則有成立，則事件A和事件B相互獨(dú)立.判斷正確.故選：ACD11.如圖，在棱長為2的正方體中，E為邊AD的中點，點P為線段上的動點，設(shè)，則（）A.當(dāng)時，EP//平面 B.當(dāng)時，取得最小值，其值為C.的最小值為 D.當(dāng)平面CEP時，【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間位置關(guān)系的向量證明判斷A；利用兩點間距離公式計算判斷BC；確定直線與平面CEP交點的位置判斷D作答.【詳解】在棱長為2的正方體中，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，則點，對于A，，，，而，顯然，即是平面的一個法向量，而，因此不平行于平面，即直線與平面不平行，A錯誤；對于B，，則，因此當(dāng)時，取得最小值，B正確；對于C，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，C正確；對于D，取的中點，連接，如圖，因為E為邊AD的中點，則，當(dāng)平面CEP時，平面，連接，連接，連接，顯然平面平面，因此，平面，平面，則平面，即有，而，所以，D錯誤.故選：BC【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及空間圖形中幾條線段和最小的問題，把相關(guān)線段所在的平面圖形展開并放在同一平面內(nèi)，再利用兩點之間線段最短解決是關(guān)鍵.12.已知分別是函數(shù)和的零點，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)，再結(jié)合反函數(shù)圖像的特點得到點和關(guān)于點對稱，根據(jù)可判斷A、B選項；結(jié)合反函數(shù)的性質(zhì)可以判斷C選項；利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項.【詳解】因為，分別是函數(shù)，的零點，所以，，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點的橫坐標(biāo)，如圖所示，點，，分別為函數(shù)，，的圖像與函數(shù)圖像的交點，所以，因為函數(shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對稱，的圖像也關(guān)于的圖像對稱，所以點和關(guān)于點對稱，，，故AB正確；由反函數(shù)的性質(zhì)可得，因為單調(diào)遞增，，所以，所以，故C錯；當(dāng)時，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)值為，因為，所以，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.甲、乙兩人各進(jìn)行一次投籃，兩人投中的概率分別為，已知兩人的投中互為獨(dú)立事件，則兩人中至少有一個人投中的概率為__________．【答案】0.9##【解析】【分析】由條件計算兩人都沒有投中的概率，再得兩人至少有一人投中的概率.【詳解】由題，兩人都沒有投中的概率為，所以兩人中至少有一個人投中的概率.故答案為：0.9.14.已知隨機(jī)變量，，且，，則_________.【答案】【解析】【分析】由題意可得出，，由，可求出的值.【詳解】因為隨機(jī)變量，所以，，且，所以，所以，解得：.故答案為：15.設(shè)多項式，則_____.【答案】【解析】【分析】分別賦值，得到兩個等式，兩式相加即得偶數(shù)項系數(shù)的倍.【詳解】依題意，令，得到：，令，得到：，兩式相加可得：，故.故答案為：16.已知拋物線：的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，且，則________；設(shè)點是拋物線上的任意一點，點是的對稱軸與準(zhǔn)線的交點，則的最大值為________.【答案】①.##1.5②.【解析】【分析】空1：設(shè)直線聯(lián)立方程可得，根據(jù)題意可得，代入可解得；空2：根據(jù)拋物線定義取到最大值即最小，此時直線與拋物線相切，利用導(dǎo)數(shù)求切線分析求解．【詳解】設(shè)過點的直線為，聯(lián)立方程消去得，可得∵，則可得：，可得，解得過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則可得若取到最大值即最小，此時直線與拋物線相切，即，則設(shè)，則切線斜率，切線方程為切線過，代入得，解得，即則，即則的最大值為故答案為：；．四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.已知正項數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）記，記數(shù)列的前n項和為，證明：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先利用題給條件求得數(shù)列的通項公式，進(jìn)而求得數(shù)列的通項公式；（2）利用得到，再利用裂項相消法求得數(shù)列的前n項和，進(jìn)而得到.【小問1詳解】數(shù)列中，，由，可得又，則數(shù)列是首項為1公差為1的等差數(shù)列，則，則數(shù)列的通項公式為【小問2詳解】由（1）知，則則數(shù)列的前n項和由，可得，即．18.已知二項式

的展開式中，.給出下列條件：①第二項與第三項的二項式系數(shù)之比是1：4；②各項系數(shù)之和為512；③第7項為常數(shù)項.在上面三個條件中選擇兩個合適的條件分別補(bǔ)充在上面的橫線上，并完成下列問題.（1）求實數(shù)和值；（2）求的展開式中的常數(shù)項.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先看條件①②③分別可以得到什么結(jié)果，然后分別選取求解即可;（2）根據(jù)第一小問得出的未知數(shù)的值，得到第二問的二項式，然后將前面括號打開，分別求常數(shù)項計算即可.小問1詳解】由①可知，解得；由②得令得；由③得，要使該項為常數(shù)，則；所以條件①與③得到的是同一結(jié)果，所以只有選擇條件①與②和條件②與③；該兩種組合都會得到，所以，解得；【小問2詳解】由（1）可知，，所以有所以常數(shù)項為令，解得；所以常數(shù)項為.19.有甲、乙兩個班級進(jìn)行數(shù)學(xué)考試，按照大于或等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如下的列聯(lián)表．已知從全部210人中隨機(jī)抽取1人為優(yōu)秀的概率為．班級成績合計優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班20乙班60合計210（1）請完成上面的列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，分析成績是否與班級有關(guān)；（2）從全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，記被抽取的3人中的優(yōu)秀人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的分布列及均值．附：a0.050.013.8416.635【答案】（1）聯(lián)表見解析，有關(guān)；（2）的分布列見解析，=.【解析】【分析】（1）由題知優(yōu)秀的人數(shù)為，然后可完成表格的填寫,并計算得，從而得出結(jié)論；(2)由，，可得分布列，從而計算E()即可.【小問1詳解】解:由題知優(yōu)秀的人數(shù)為（人），所以列聯(lián)表如下：班級成績合計優(yōu)秀非優(yōu)秀甲班2090110乙班4060100合計60150210假設(shè)：成績和班級無關(guān)，則：>6.635=,根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗，推斷不成立，故成績與班級有關(guān)；【小問2詳解】解：因為，且，所以的分布列為：0123P所以E()=0+1+2+3=.20.如圖，在中，，，，可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角是直二面角．動點在線段上．（1）當(dāng)為的中點時，求異面直線與所成角的余弦值；（2）求與平面所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）建系，利用空間向量求異面直線夾角；（2）設(shè)可得，利用空間向量求線面夾角結(jié)合二次函數(shù)分析運(yùn)算.【小問1詳解】由題意可得：，平面平面，平面平面，平面，所以平面，如圖，以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，若為的中點，則，可得，設(shè)異面直線與所成角，則.故異面直線與所成角的余弦值為.【小問2詳解】若動點在線段上，設(shè)，則，可得，解得，即，則，由題意可知：平面的法向量為，設(shè)與平面所成角為，則，對于開口向上，對稱軸為，可得當(dāng)時，取到最小值，所以的最大值為，因為，故與平面所成角的正弦最大值為.21.設(shè)，已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對于函數(shù)的極值點，存在，使得，試問對任意的正數(shù)a，是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由.【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是（2）是定值6【解析】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)大于零或小于零的解集即可作答；（2）求出極值點，再根據(jù)給定等式求出，代入計算判斷作答【小問1詳解】，由，解得或，當(dāng)或時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間是，，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】因為函數(shù)存在極值點，由（2）知：，且，因為，，又，得，即，因為，則，依題意，，即，因此，即，亦即，而，因此，所以對任意的正數(shù)a，為定值6.【點睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：（1）在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；（2）不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；（3）利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.22.已知從曲線的左、右焦點分別為，實軸長為、一條漸近線方程為，過的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點．（1）求雙曲線C的方程；（2）已知，若的外心Q的橫坐標(biāo)為0，求直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線中實軸以及漸近線方程，可得方程組，可得答案；（2）根據(jù)三角形外心的定義，由直線與雙曲線方程聯(lián)立，利