河南豫北高中2021-2022學(xué)年高三畢業(yè)班考前定位聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（理）（含答案解析）

河南豫北高中2021-2022學(xué)年高三畢業(yè)班考前定位聯(lián)合考試

數(shù)學(xué)試題（理）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知集合4=卜,=館（2》-?。?B=｛^|x-2|<1｝,則AAB=（）

A.（0,2）B,（1,2）

C.（1,3）D.（0,3）

2.已知復(fù)數(shù)z的實部為1,且|z-Z=2|z+Z|,則|z|=（）

A.及B.2C.6D.4

3.已知x>0,y>0則“f+y24I，，是“x+y4血”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，生，”是方程/-3》-21=0的兩根，則數(shù)列｛q｝的前

20項和為（）

A.-30B.-15C.15D.30

5.已知a,夕是兩個不同的平面，m,〃是兩條不同的直線，則下列條件不能推出aJ?尸

的是（）

A.mLa,nl//3,m//nB.m//a,n工0,m//n

C.m//a,n///3,機D.tnYa,nA./3,m±n

6.某高科技公司為加強自主研發(fā)能力，研發(fā)費用逐年增加，統(tǒng)計最近6年的研發(fā)費用

y（單位：億元）與年份編號x得到樣本數(shù)據(jù)（七,y）（i=l,2,3,4,5,6）,令4=ln?,并將

（與馬）繪制成下面的散點圖.若用方程丫="小對y與x的關(guān)系進(jìn)行擬合，則（）

2-

1.5?.,

1??一

0.5-

Oi23456~x

A.a>l,h>0B.a>\,h<0C.0<a<\,h>0D.0<6f<1,/?<0

7.小張接到4項工作，要在下周一、周二、周三這3天中完成，每天至少完成1項,

且周一只能完成其中1項工作，則不同的安排方式有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

8.已知數(shù)列｛〃〃｝滿足q+耳。2—卜^,則

q+2cli+21%+,,‘+2~°」a2O22=（）

A.2x（2ac2-l）B.|（22022+1）

C.|（24044-1）D.|（24044+1）

9.將函數(shù)f（x）=sin（3x+9）（帆|苦）的圖像向左平移等個單位長度后得到函數(shù)g（x）的

圖像，若/a）與g（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，則？=（）

71c71-兀八兀

A.-B.-C.-D.—

36912

22

10.已知馬分別是雙曲線=l的左、右焦點，點A,8在C上，若|。4上如

（。為坐標(biāo)原點），麗=4書（4>0）,則△ABE的面積為（）

A.16B.24C.32D.36

II.在《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱為“陽馬”.如

圖，在“陽馬”P-AfiCD中，底面43cD,AD=2AB=2PA=2,尸是棱BC的中

點，點E是棱AB上的動點，則當(dāng)！PEF的周長最小時，三棱錐P-AEF外接球的表面

積為（）

A7jiZ萬R7亞乃

248

CD.衛(wèi)

42

12.設(shè)〃=e()s_i,Z?=2(e()()l-1),c=sin0.01+tan0.01,則()

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.b>c>a

二、填空題

試卷第2頁，共4頁

r--U1r>A

13.已知函數(shù)f(x)=(',若/(”)=-m,則實數(shù)，w=______.

.x(x+4),x<0

14.已知￡,5是單位向量，若(2Z+B)J_B,則￡,B的夾角為.

15.已知/(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(2,0)對稱，當(dāng)xw[0,2]時，

/(x)=-"l-(x-l)2,若方程f(x)-叔》-2)=0的所有根的和為6,則實數(shù)%的取值范

圍是?

22

16.已知橢圓C:=+斗=1(4>6>0)的左、右焦點分別為「，尸2，過耳的直線與C交

ab

于A,8兩點，滿足4片，4行且|A閭=2|A用，則tanNB鳥耳=.

三、解答題

17.在“1BC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知a(cosC+2)=6csinA.

⑴求C；

(2)若2a+b=Vic,求sinA.

18.如圖1,在矩形ABCD中，點E在邊CD上，BC=DE=2EC,將A/ME沿AE進(jìn)行

翻折，翻折后力點到達(dá)P點位置，且滿足平面PAE，平面43CE,如圖2.

圖1圖2

(1)若點F在棱抬上，且E尸〃平面P8C,求不；；

PA

(2)求二面角8-PC-E的正弦值

19.為了鼓勵師生積極參與體育運動，某校舉辦運動會并設(shè)置了豐厚的獎勵，甲同學(xué)報

名參加了羽毛球和長跑比賽.甲在羽毛球比賽中順利晉級到了決賽，決賽采用“五局三

勝制”，先獲勝三局的選手即獲得冠軍，甲在每局中獲勝的概率均為;，各局勝負(fù)相互

獨立.

(1)求甲獲得羽毛球比賽冠軍的概率

(2)長跑比賽緊接在羽毛球決賽后進(jìn)行，由于連續(xù)比賽，體力受到影響，若羽毛球決賽局

打3就結(jié)束，則甲在長跑比賽中有；的概率跑進(jìn)前十名，若羽毛球決賽局?jǐn)?shù)大于3,則

甲在長跑比賽中不可能跑進(jìn)前十名.已知羽毛球比賽冠軍獎金是300元，亞軍獎金是

100元，長跑比賽跑進(jìn)前十名就獲得100元獎金，沒有其他獎項，求甲在這兩項比賽中

獲得的獎金總額X(單位：元)的分布列.

20.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點為F,直線y=8與拋物線C交于點P,且

依l=|p.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點尸作拋物線C的兩條互相垂直的弦A3,DE,設(shè)弦A8,OE的中點分別為P,

Q,求|PQ|的最小值.

21.已知函數(shù)f(x)=2or-sinx(a€R).

(1)當(dāng)時，求/(x)在區(qū)間［0,兀］上的最值；

(2)若當(dāng)x>0時，不等式/(x)+orcos無之0恒成立，求。的取值范圍.

22.在極坐標(biāo)系中，已知直線°一；一和曲線C：夕2=一—2八，以極點為坐

2cosl6>+-I2-cos*

標(biāo)原點，極軸為*軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.

(1)求/與C的直角坐標(biāo)方程；

⑵若/與C交于A,8兩點，且點P(l,0),求高+，所的值.

23.已知函數(shù)/(x)=|x+2|-|x-6|.

⑴求不等式/(x)<4的解集；

(2)若對任意xeR,不等式〃》)4父+2》+”恒成立，求實數(shù)機的取值范圍.

試卷第4頁，共4頁

參考答案：

1.B

【分析】由定義域得到不等式，解不等式求出A,解絕對值不等式求出8,從而求出交集.

【詳解】由對數(shù)函數(shù)真數(shù)大于0得到2x-/>0,解得：0<x<2,所以A=(0,2),

由解得：l<x<3,所以8=(1,3),

故Ac3=(l,2).

故選：B

2.C

【分析】設(shè)出z=l+ai(“€R),根據(jù)條件列出方程，求出。=±2,從而求出模長.

【詳解】設(shè)z=l+“i(aeR),則|z-*=|2ai|=2|a|,|z+z|=|2|=2,

由題意得：2|“|=2X2,所以。=±2,所以|Z|=J『+22=石.

故選：C

3.A

【分析】根據(jù)基本不等式可以從產(chǎn)+丁41得到x+y4后，充分性得證；必要性可以舉出反

例證偽，故得到答案.

［詳解】根據(jù)基本不等式得。+y)2^x2+y2+2xy<2(x2+j2),

^x2+y2<\,則x+y442卜?+y?)?&.

反過來，若》=夜-1，丫=1，滿足x+y=而f+V=4-2應(yīng)>1,

所以4+/41“是，“+y<的充分不必要條件.

故選：A

4.D

【分析】根據(jù)韋達(dá)定理得至U%+46=3,利用等差數(shù)列求和公式及等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行計算.

【詳解】?5，46是方程9一3%一21=0的兩根，

所以%+%6=3,

又｛q｝是等差數(shù)列，

答案第1頁，共13頁

所以其前20項和為

20(%,出。)=203+%)=30.

22

故選：D

5.C

【分析】根據(jù)線面平行垂直的性質(zhì)與判定判斷即可

【詳解】對A,m±a,m〃〃則〃_Lc,又〃///?故a_L尸，正確；

對B,nVp,m〃〃則加又加〃a故cJ-尸，正確；

對C,平面a,夕的關(guān)系無法確定，C錯誤；

對D,則〃〃a或"ua,又〃_1_￡,故a_L夕，D正確；

故選：C

6.A

【分析】首先將所給方程，變形為回歸直線方程的形式，再結(jié)合圖像即可判斷.

【詳解】因為尸證無，令z=ln)，，則z與x的回歸方程為z=bx+lna.根據(jù)散點圖可知z

與x正相關(guān)，所以b>0.從回歸直線圖像可知，回歸直線的縱截距大于0,即lna>0,所

以a>1.

故選：A

7.C

【分析】先按照周一，再安排其他兩天，利用分步計數(shù)原理及排列組合知識進(jìn)行求解；

【詳解】先從4項工作中選1項安排在周一完成，再從剩下的工作中選2項安排在周二或周

三，所以不同的安排方式有C；C；A；=24種.

故選：C

8.C

【分析】先求出通項公式，利用等比數(shù)列求和公式進(jìn)行計算.

【詳解】因為4+盤陽+…+最丁"〃=2〃，

所以當(dāng)〃22時，6+5%1■手工1=2(〃-1)，

兩式相減得表4=2,

所以a“=2"5N2),

又4=2也適合該式，

答案第2頁，共13頁

故=2”.

所以｛a,,｝為等比數(shù)列，

所以q+2%+22/+…+22S&022=，(4-1一)-1^24044-lj-

故選：C

9.B

TT

【分析】先求出平移后的解析式，利用兩圖象關(guān)于y軸對稱，得到等量關(guān)系，求出

O

【詳解】由題意知ga)=sin(3x+g+。)因為與g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，

所以F(-x)=g(x),即sin(°-3x)=sin13l+1+°],則夕一3x-(3x+g+°)=2kn或

2兀

(p-3x+3x+—^-+(p=(2k+])Ti,keZ.前面一種情況不能怛成立，

7T

后面一種情況解得：(p=—+k7r,keZ

6

因為lel<E，所以&=0,得8=9滿足題意.

26

故選：B

10.B

【分析】由已知A,片，B三點共線且A、8都在雙曲線C的左支上，根據(jù)雙曲線方程有

\OAh\OFt\=\OF2\,則Af；，Ag,應(yīng)用勾股定理及雙曲線的定義求|然|、IAB|,最后利用

三角形面積公式求aAB居的面積.

【詳解】由麗=4斤反4>0)知：4,月，B三點共線，且4、8都在雙曲線C的左支上，

不妨設(shè)A在第二象限，由條件知：f；(-717,0),工(a,0),

所以|。4|=|0年=|。閭=&7,則AF；_LAK.

設(shè)幽=m(zn>0),則同="+6.

在心一斗入中，|A用?+|4月2=恒周2,即機2+5+6)2=68,解得加=2.

設(shè)忸用=〃(">0),貝IJ忸用=“+6.

在RSAB6中，|48『+,月「=忸圖2,即(〃+2)2+8?=("+6尸，解得“=4.

答案第3頁，共13頁

11.D

【分析】由題可得PE+防最小，利用展開圖可得此時EF=@,sinABAF=—,利用正

22

弦定理可得△AEF的外接圓半徑為人進(jìn)而可得內(nèi)=,即得.

【詳解】因為PF固定，所以要使！PEF的周長最小，只需PE+所最小.

如圖，將四棱雉P-45c。的側(cè)面/^鉆沿AB展開，使得與矩形A8CD在同一個平面

內(nèi)，當(dāng)P,E,F三點共線時，PE+EF取得最小值.

EF

設(shè)的外接圓半徑為廣,則2r=

sinZBAF

2

設(shè)三棱錐P-AEE外接球的半徑為R,則R2=

77乃

所以三棱錐P-AEF外接球的表面積S=4萬4=4^-x-=—.

82

故選：D.

12.A

答案第4頁，共13頁

【詳解】因為所以。>尻

設(shè)/(x)=2(e、一］)一sinx-tanx,

貝ijfM=2eA-cosx---,

cosx

OeinY

令g(x)=7'(x),貝IJg'(x)=2e*+sinx....-.

COSX

、i,fn吟q八2sinx2，由48g

當(dāng)xw0,2時，2e">2,sinx>0,----<-----=——<2

l6)cos'x高巴9f

6

所以g'(x)>0,所以當(dāng)xe(()A)時，f(x)>f'(O)=O,

所以f(x)在《高上單調(diào)遞增，

從而f(x)>f(0)=0,

因此/(001)>0,即6>c.

綜上可得a>b>c.

故選：A

【點睛】比較函數(shù)值的大小，要結(jié)合函數(shù)值的特點，選擇不同的方法，本題中，可以作

差進(jìn)行比較大小，而"C的大小比較，則需要構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)得到其單調(diào)性，從而比較

出大小，有難度，屬于難題.

13.-5

【分析】分根之。和加<0兩種情況，解方程〃+1=-刃及裙+4機=-〃?，結(jié)合范圍求得結(jié)果.

【詳解】當(dāng)機之。時，由/(〃?)=-加得/+1=-加，此方程無實數(shù)解；

當(dāng)m<0時，由/(6)=-/n得〃/+4"z=-機,解得〃2=-5.

故答案為：-5.

14.y##1200

【分析】根據(jù)平面向量的垂直表示與數(shù)量積運算求解即可

【詳解】設(shè)2，B的夾角為，，因為(2￡+B)_LM所以(21+分坂=224+^=2COS6?+1=0，

1,刀■

所以cose=-j又e?o㈤，故。=莖.

2萬

故答案為：y

答案第5頁，共13頁

5/彳M廿巧

【分析】將方程的根轉(zhuǎn)化為圖象交點問題，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解.

【詳解】方程fW--X-2）=0的根轉(zhuǎn)化為y=f（x）和y=Mx-2）的圖象的公共點的橫坐標(biāo),

因為兩個圖象均關(guān)于點（2。對稱，要使所有根的和為6,則兩個圖象有且只有3個公共點.

作出y=/（x）和y=z（x-2）的圖象如圖所示.

當(dāng)斤＞0時，只需直線）=%"一2）與圓（x—7y+），2=l相離，可得&＞骼；

當(dāng)無＜0時，只需直線＞=%（兀-2）與圓（x-5）2+y2=l相切，可得上=_4.

故上的取值范圍是更,+?＞.

【分析】根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合勾股定理可得求得忸用=與，再根據(jù)tan/A/譙=2與

4

tanZABF2=-,進(jìn)而根據(jù)tanZBF2Ft=tan（ZA耳工-ZABF2）求解即可

【詳解】因為|AE|=2|A周，|A周+|A閭=2a,所以|A耳|=告，引局=g.設(shè)忸周=%＞0,

根據(jù)橢圓定義可得忸用+忸用=2%所以忸周因為A耳，Ag,所以/班月=],

所以|A3『+|A用2=1崎，BP（y+wj+fyj=（2"機）2,解得“=3根.所以忸用=',

答案第6頁，共13頁

4〃

則頡4">需=2,tan/ABF?=需=力=g,所以

3.3

tanZAFF-tanZ.ABF2

lanNBg耳=lan(NA耳乙一NAB/^)=}22

1+tanZ.AFFtanZABFn

}22l+2x-

3

故答案為：A2

17.d)C=y

(2)"一&

【分析】（1）利用正弦定理得到GsinC-cosC=2,利用輔助角公式求出C=（；

（2）利用正弦定理及第一問結(jié)論，求出A=?7T-B7T，利用差角公式進(jìn)行求解.

46

【詳解】（1）由條件及正弦定理得sinA（cosC+2）=6sinCsinA,

因為sinAwO,所以cosC+2=V5sinC,

所以GsinC-cosC=2,所以sin(c-.J=1.

因為Cw(O,7t),所以c-B=W，所以c=4.

623

27r

(2)因為2a+0=yf2c，C=,

由正弦定理得：2sinA+sin3=J5sinC,即2sinA+sin^-A

~2'

整理可得sin（A+斗拳

.,—r/口4兀LL,、I,兀兀口L4兀兀

由已知可得4（屋所以A+1"即A=

.Tt兀兀.兀>/6-A/2

sin—cos——cos—sin—=-------

46464

,,、PF]_

18.(1)---=

PA3

(2)T

答案第7頁，共13頁

【分析】(1)作出輔助線，由線面平行得到線線平行，從而求出比例關(guān)系，得到答案;

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量進(jìn)行求解.

【詳解】(1)如圖，在尸B上取點G,使得連接尸G,GC,

則PG〃鉆〃CE.

因為EF〃平面P8C,平面EEGCc平面P3C=CG,所以EF〃CG,

所以四邊形EFGC是平行四邊形，所以產(chǎn)G=EC.

(2)在平面ABC內(nèi)，過E作團(tuán)_LA8,垂足為以E為坐標(biāo)原點，EH,EC所在直線

為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)EC=1,則E(0,0,0),C(O,1,O),P(1,-1,V2),8(2,1,0),

所以而=(-1,2,-應(yīng)),EC=(0,1,0),CB=(2,0,0).

設(shè)平面PCE的法向量為m=(玉,%，4),則，,

th-EC=0

即卜+2y「01O,令日則詬=("oi).

凹=0

fi.pc—()

設(shè)平面尸86的法向量為5=(孫％4),貝|._~，

vn-CB=0n

答案第8頁，共13頁

-々+2：「2=0,令為"則Z=(o,i,?

2X2=0

所以cos〈菽〉=冊=一5

設(shè)二面角8-PC-E的大小為6,所以sin?=

(2)分布列見解析

【分析】(1)根據(jù)相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算可得；

(2)依題意X的可能取值為100、200、300、400,求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列;

【詳解】(1)解：甲獲得羽毛球比賽冠軍有3種情況：

①甲連勝3局，概率為

②前3局甲輸1局，第4局甲勝，概率為C；xjx(2Y=@_；

③前4局甲輸2局，第5局甲勝，概率為C；x

所以甲獲得羽毛球比賽冠軍的概率為，+/+$=言.

(2)解：依題意X的可能取值為100、200、300、400,

814

①羽毛球打3局獲勝，長跑獲獎，此時X=400,概率為=x；==；

27227

?14

②羽毛球打3局獲勝，長跑末獲獎，此時X=300,概率為===；

27227

③羽毛球打3局失敗，長跑獲獎，此時X=200,概率為xl=—；

④羽毛球打3局失敗，長跑末獲獎，此時X=100,概率為(口xl=—；

⑤羽毛球打4局或5局獲勝，此時X=300,概率為卷+《=9

64114

⑥羽毛球打4局或5局失敗，止匕時X=100,概率為1-二-二=77.

812781

答案第9頁，共13頁

所以P(X=100)=—+一=——，P(X=200)=—,P(X=300)=——+—=

81541625427818?

4

P(X=400)=—.

即X的分布列為

X100200300400

311524

r

162548127

20.⑴/=8x

(2)8

【分析】（1）設(shè)出網(wǎng)飛,8）,由焦半徑得到方程，求出夕=4,進(jìn)而求出拋物線方程；

（2）設(shè)出直線方程，表達(dá)出P,。兩點坐標(biāo)，用兩點間距離公式表達(dá)出|尸。|,利用基本不

等式求出最小值.

【詳解】（1）依題意,設(shè)P（知8）.

由拋物線的定義得IP用=%+與=（0,解得：xn=2p,

因為P（事,8）在拋物線C:y2=2px（p>0）上，

所以82=2px。，所以8?=2夕20,解得：p=4.

故拋物線C的方程為V=8x.

（2）由題意可知尸（2,0）,直線4B的斜率存在，且不為0.

設(shè)直線48的方程為尤=加），+2（機工0）,.

聯(lián)立2:，整理得：/-8wy-16=0,

[y=8x

則乂+必=8，〃，從而苦+毛=帆（乂+%）+4=8m2+4.

因為「是弦A8的中點，所以網(wǎng)4療+2,4時，

同理可得Q（3+2,-±）.

kmmJ

答案第10頁，共13頁

當(dāng)且僅當(dāng)加1=二且加=工，即加=±1時等號成立,

mm

故|P&的最小值為8.

【點睛】圓錐曲線與直線相交問題，一般設(shè)出直線方程，聯(lián)立后得到兩根之和，兩根之積,

結(jié)合題目條件列出方程，或表達(dá)出弦長，常常結(jié)合基本不等式或二次函數(shù)等進(jìn)行求解.

21.(1)最小值為工一立，最大值為g

622

⑵g+8)

【分析】(1)求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，進(jìn)而得到/*)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最值即可；

(2)化簡構(gòu)造函數(shù)g(x)=^Uqin-Y—ax,求導(dǎo)換元分析l2COS~JC4-1了的取值范圍，進(jìn)而分I

2+cosx(2+cosx)，3

和討論”的范圍即可

【詳解】(1)a時，f(x)=gx-sinx,所以尸(x)=；-cosx.

當(dāng)xeO"?)時，小)<0,f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)"時，/3>0,/⑴單調(diào)遞增，又

/(。)=0,/暫=￡-4，于5)=g

\J)O2Z

所以/(X)在［0,利上的最小值為立，最大值為

622

cinY

(2)由當(dāng)x>0時，不等式/*)+arcosxN0恒成立，可得一------奴"0恒成立.

2+cosx

、六..sinx2cosx+l

1S^W=--------以，則g'(x)=

2+cosx(2+cosx)2

.2cosx+l2cosx+4—323

而--------7=------5-=---------T-------7

(2+cosx)(2+cosx)2+cosx(2+cosx)

令￡=85工+2,故;w，

則2cosx+l,

(2+cosx)~一年

答案第11頁，共13頁

，2COSX+1c

若則g(x)=(o+cos扭―4。(不恒為零)，

即g(x)在區(qū)間(0,+=0)上單調(diào)遞減.

所以當(dāng)x>0時，g(x)<g(0)=0,符合題意.

若“<；，則g'(0)=；-a>0,

因為g'(x)的圖象是不間斷的，故存在％e(0,y),

使得Vxe(O,x0),總有g(shù)'(x)>0,g(x)在區(qū)間(0,不)上單調(diào)遞增,

故Vx?0,x。)，總有g(shù)(x)>g(0)=0,這與題設(shè)矛盾.

綜上，實數(shù)。的取值范圍是，+?>).