八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題17.5 勾股定理全章七類必考?jí)狠S題（人教版）（解析版）

PAGE76專題17.5勾股定理全章七類必考?jí)狠S題【人教版】必考點(diǎn)1必考點(diǎn)1勾股定理與網(wǎng)格問題1．（2022春·北京海淀·八年級(jí)人大附中?？计谥校┬”趯W(xué)習(xí)了勾股定理的趙爽弦圖后，嘗試用小正方形做類似的圖形，經(jīng)過嘗試后，得到如圖：長(zhǎng)方形ABCD內(nèi)部嵌入了6個(gè)全等的正方形，其中點(diǎn)M，N，P，Q分別在長(zhǎng)方形的邊AB，BC，CD和AD上，若AB＝23，BC＝32，則小正方形的邊長(zhǎng)為_____．【答案】53【分析】如圖，作出輔助線，每個(gè)小正方形都分為四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，假設(shè)小直角三角形長(zhǎng)邊直角邊長(zhǎng)為b，短邊直角邊長(zhǎng)為a，找出等量關(guān)系，列二元一次方程組解出a、b，再由勾股定理算出原圖中的小正方形邊長(zhǎng)．【詳解】解：如圖，作輔助線，發(fā)現(xiàn)每個(gè)小正方形都分為四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形，假設(shè)小直角三角形長(zhǎng)邊直角邊長(zhǎng)為b，短邊直角邊長(zhǎng)為a，由題意，得3b+a=234b+2a=32解得：a=2b=7小正方形的邊長(zhǎng)為：a2+b2=2故答案為：53．【點(diǎn)睛】此題考查了用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，找到等量關(guān)系求解．2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中．每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F,G,H都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖．例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為26，此時(shí)正方形EFGH的面積為52．問：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為26時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是________(不包括52)．【答案】36或50【分析】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b．利用分類討論的思想，在格點(diǎn)上找出各點(diǎn)位置，即找出邊的位置，即可求出面積．【詳解】設(shè)四個(gè)全等的直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)分別為a，b．則正方形EFGH的邊長(zhǎng)為a+b，即S正方形EFGH∴在網(wǎng)格中找出a和b的線段，且線段的端點(diǎn)都在格點(diǎn)上即可．分情況討論：①a=5，b=1此時(shí)S正方形②a=13，此時(shí)S正方形③a=22此時(shí)S正方形題干中不包括52，故S正方形EFGH的值為36或故答案為：36或50．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理．利用分類討論的思想是解答本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·山東東營(yíng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，剪一剪，拼成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是____.【答案】5【分析】由圖可知每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，面積為1，得出拼成的小正方形的面積為5，進(jìn)一步開方得出拼成的正方形的邊長(zhǎng)為5.【詳解】分割圖形如下：故這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是5.故答案為5.【點(diǎn)睛】本題考查圖形的剪拼和勾股定理，熟知勾股定理，能夠構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·全國(guó)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）圖中的虛線網(wǎng)格是等邊三角形網(wǎng)格,它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形.(1)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的高=____;

(2)圖①中的?ABCD的對(duì)角線AC的長(zhǎng)=____;

(3)圖②中的四邊形EFGH的面積=____.

【答案】

32

13

8【詳解】分析：(1)利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求出高；(2)要求AC的長(zhǎng)，構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理求出．(3)要求四邊形EFGH的面積，先將其分割，然后求每部分的面積，再相加和即可．詳解：(1)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形的高=1-14(2)過點(diǎn)A作AK⊥BC于K(如圖①),由圖①知,?ABCD的面積等于24個(gè)小等邊三角形的面積和,由(1)知每個(gè)小等邊三角形的面積為12×1×32=34,∴S?ABCD=24×34=63.又S?ABCD=BC·AK,BC=4,∴AK=63÷4=332,又在Rt△ABK中,AB=3,∴BK=∴AC=AK2+(3)如圖②所示,將四邊形EFGH分割成五部分,以FG為對(duì)角線構(gòu)造?FPGM,∵?FPGM含有6個(gè)小等邊三角形,∴S△FGM=3S小等邊三角形,同理可得S△DGH=4S小等邊三角形,S△EFC=9S小等邊三角形,S△EDH=8S小等邊三角形,又S四邊形CMGD=8S小等邊三角形,由(2)知小等邊三角形的面積為34∴S四邊形EFGH=(3+4+9+8+8)×34=83點(diǎn)睛：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)的應(yīng)用和勾股定理，平行四邊形的面積和三角形的面積，利用等腰三角形的“三線合一”的性質(zhì)和分割圖形是解題關(guān)鍵.5．（2022秋·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期中）問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為5，10，13，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：；思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為5a，22a，17a（a＞0），請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積．探索創(chuàng)新：（3）若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為m2+16n2,9m2+4n2【答案】（1）72；（2）畫圖見解析，3a2；（【分析】（1）利用割補(bǔ)法求解可得；（2）在網(wǎng)格中利用勾股定理分別作出邊長(zhǎng)為5a、22a（3）在網(wǎng)格中構(gòu)建邊長(zhǎng)為6m和6n的矩形，同理作出邊長(zhǎng)為m2+16n2、【詳解】解：（1）ΔABC的面積為3×3-1故答案為：72（2）如圖，AB=22a，BC=5由圖可得：SΔABC故答案為：3a（3）構(gòu)造ΔABC所示，AB=(2m)AC=mBC=(3m)∴SΔABC【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了勾股定理及作圖的知識(shí)，解答本題關(guān)鍵是仔細(xì)理解問題背景，熟練掌握勾股定理，關(guān)鍵是結(jié)合網(wǎng)格用矩形及容易求得面積的直角三角形表示出所求三角形的面積進(jìn)行解答．6．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）方格紙中每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，我們把以格點(diǎn)連線為邊的多邊形稱為“格點(diǎn)多邊形”．（1）在圖1中確定格點(diǎn)D，并畫出一個(gè)以A、B、C、D為頂點(diǎn)的四邊形，使其為軸對(duì)稱圖形（一種情況即可）；（2）直接寫出圖2中△FGH的面積是；（3）在圖3中畫一個(gè)格點(diǎn)正方形，使其面積等于17．【答案】（1）見解析；（2）9；（3）見解析.【分析】（1）直接利用軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)分析得出答案；（2）利用△FGH所在矩形面積減去周圍三角形面積，進(jìn)而得出答案；（3）利用勾股定理作出17，結(jié)合正方形的性質(zhì)得出答案.【詳解】解：（1）如圖1所示，四邊形ABCD即為所求；（2）如圖2所示：△FGH的面積=矩形ABHC的面積-△AFG的面積-△BGH的面積-△FCH的面積=5×6-1（3）如圖3所示：四邊形ABCD即為所求；【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖--軸對(duì)稱變換和勾股定理等知識(shí)，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．7．（2022春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC=5，并且直接寫出對(duì)應(yīng)三角形的面積．【答案】見解析；S=10；S=252

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可【詳解】解：鈍角三角形時(shí)，如圖，∵BC⊥BD，BC=5，∴△ABC是鈍角三角形，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得BC邊上高為BD=4,∴S=1直角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)F使得BF=4，F(xiàn)C=3，根據(jù)勾股定理，得BC=32+∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB≌△BFC，∴∠EAB=∠FBC，∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠FBC+∠EBA=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB=32+∴S=12BA×BC銳角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)M使得BM=3，CM=4，根據(jù)勾股定理，得BC=32+根據(jù)直角三角形時(shí)的作圖，知道∠ABN=90°，∴∠ABC＜∠ABN，∴∠ABC＜90°∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠A=∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形，∴S=12【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的距離處處相等，根據(jù)題意，運(yùn)用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點(diǎn)線段是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)2必考點(diǎn)2勾股定理與折疊問題1．（2022秋·浙江寧波·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在ΔABC中，AB=AC，點(diǎn)D在線段AC上，現(xiàn)將ΔABC沿著BD翻折后得到ΔA'BD，A'B交AC于點(diǎn)E，A'D//BC且A【答案】4【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)得到S△ABD=S△A'BD=S△A'ED+S△EBD，由A'D//BC且A'D=BC，依據(jù)平行線的性質(zhì)及ASA，可得△A'DE≌△BCE，通過等量代換得到S【詳解】解：設(shè)AD=∵AB=AC,∴∠C=∵將△ABC沿著BD翻折后得到△A∴S△ABD=S△A∵A'∴∠A'DE=∠C，又∵A'∴△A'DE≌△BCE∴DE=EC=12DC又∵S△BCD=∴S△BCD∴CD=AD=4∴DE=EC=1∵CD=4∴∠CBD=∠CDB,又∵∠CBD=∠CBE+∠DBE，∠CDB=∠A+∴∠CBE=又∵∠BEC=180°-∠C-∠EBC,∠ABC∴∠BEC=∴BE=如下圖，連接B與EC的中點(diǎn)F,則FC=FE=12EC=a∴BF⊥AC,∴BD2-DF2=B解得a=1，∴BF=15，∴S△ABC故答案為：415【點(diǎn)睛】本題考查了翻折的性質(zhì)、等腰三角形的等邊對(duì)等角的性質(zhì)、三線合一的性質(zhì)、三角形等角對(duì)等邊的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理和外角性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)D是AC的中點(diǎn)，三角形BCD、三角形BCE是等腰三角形，依據(jù)勾股定理列出關(guān)于a的方程.2．（2022秋·浙江·八年級(jí)期末）△ABC中，AB=42，AC=6，∠A=45°，折疊△ABC，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕EF交AC于點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)D由B向A連續(xù)移動(dòng)過程中，點(diǎn)E經(jīng)過的路徑長(zhǎng)記為m，則BC=________，m=【答案】

25

【分析】過B作BM⊥AC，垂足為M，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BM，再利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)度，分三段分別求出點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度，再相加即可．【詳解】解：過B作BM⊥AC，垂足為M，如圖1，∵∠A=45°，AB=42∴BM=AM=42∵AC=6，∴CM=6-4=2，∴BC=C①∵由折疊可知：EF垂直平分CD，當(dāng)D與B重合時(shí)，此時(shí)AE最小，如圖2，作E1G⊥AB，垂足為G，連接E1B，設(shè)AE∵∠A=45°，∴AG=E1G=∵E1F垂直平分∴E∴在Rt△E1GB即(6-x)2解得：x=1（負(fù)值舍去），∴AE②∵ED=EC，∴當(dāng)AE最大時(shí)，EC最短，∴ED最短，∴當(dāng)ED⊥AB時(shí)，ED為垂線段，取最小值，∴如圖3，作E2D2設(shè)AE2=y∴E2∴E2F垂直平分∴E2∴22∴y=12-62∴AE∴E從最近到最遠(yuǎn)走了12-62③當(dāng)D從D2點(diǎn)繼續(xù)向A移動(dòng)，ED∴AE減小，∴當(dāng)D與A重合時(shí)，如圖4，此時(shí)E3∴AE∴E從E2到E3運(yùn)動(dòng)了∴點(diǎn)E從E1運(yùn)動(dòng)到E2，再運(yùn)動(dòng)到路徑長(zhǎng)為11-62故答案為：25；20-12【點(diǎn)睛】本題考查了折疊問題，垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，根據(jù)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的情況分別得出點(diǎn)E相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)情況，逐步求解．3．（2022秋·河南周口·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=4，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，D為BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，把△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，CD的長(zhǎng)為__________．【答案】2或2【分析】本題以三角形為基礎(chǔ)，考查內(nèi)容包含中點(diǎn)的用法，可立刻推邊等；動(dòng)點(diǎn)圖形翻折問題，可得到角等以及邊等，解答本題需以題目要求直角三角形為前提，采取分類討論方法，通過構(gòu)造輔助線、假設(shè)未知數(shù)并結(jié)合勾股定理求解．【詳解】（1）當(dāng)∠AFE=90°時(shí)作EM⊥BC垂足為M.，作AN⊥ME于N，如下圖所示：∵∠C=∠EMB=90°∴EM∥AC∵AE=EB∴MB=MC=∴∠C=∠CMN=∠N=90°∴四邊形ACMN是矩形∵AC=CM=2∴四邊形ACMN是正方形在RT△ABC中，∵AC=2,BC=4∴AB=25，AE=5在RT△AFE中，∵AE=5，AF=AC=2∴FE=1設(shè)CD=FD=x，在RT△EDM中，∵DE=1+x，EM=1，DM=2-x∴DE(1+x)2x=2∴CD=23（2）當(dāng)∠AFE=90°時(shí)，如下圖所示∵∠AFD=90°∴F,E,D三點(diǎn)共線在RT△AFE中，∵AE=5，AF=AC=2∴EF=1又∵DE=1∴EF=ED又∵EA=EB，∠AEF=∠BED所以△AFE?△BDE(SAS)

∴∠BDE=∠AFE=90°故四邊形AFCD是矩形又∵AF=AC所以四邊形AFCD是正方形∴CD=AC=2【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)翻折問題，需要著重注意分類討論，思考要全面，求解過程嘗試?yán)酶钛a(bǔ)法將圖形補(bǔ)成常見模型以便求解．4．（2022春·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，將△CDE沿著DE翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，當(dāng)FE⊥AC時(shí)，F(xiàn)E=________．【答案】92或【分析】分點(diǎn)F在AC上方和AC下方，分別畫圖圖形，求出BC=6,AC=33，根據(jù)30°【詳解】解：①如圖：∵在Rt△ABC中：∠BAC=90°,∠C=30°,AB=3∴BC=2AB=6,∠B=60°,∴AC=6∵點(diǎn)D為AC的中點(diǎn),∴CD=1∵FE⊥AC,∴∠EMD=∠FMD=90°．∴∠EMD=∠A=90°，∴EM∥AB，∴∠MEC=∠B=60°．由折疊可知：DF=CD=∵在Rt△MDF中：∠F=30°,∴MD=∴MF=3∵在Rt△MED中：∠1=30°,∴ED=2MD=∴EM=3∴FE=EM+MF=9②如圖所示，∵將△CDE沿著DE翻折，F(xiàn)E⊥AC，∴EF∥AB，∴∠FEB=∠B=60°，∴∠FEC=120°∵折疊，∴∠FED=∠CED=120°，∵∠C=30°∴∠EDC=∠EDF=30°，∴∠DNC=∠FNE=90°，∴DN=1∴NE=∴EF=DE=2故答案為：92或3【點(diǎn)睛】此題考查了勾股定理，30°直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，實(shí)數(shù)的運(yùn)算，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）統(tǒng)考期末）如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿MN折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上點(diǎn)A'處，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D'，連接A'D'交邊CD于點(diǎn)E，連接CD'，若AB=9，AD=6，A【答案】94【分析】連接NA'，勾股定理求得DN，進(jìn)而證明△A'D'N≌△NCA【詳解】解：如圖，連接NA∵折疊∴DN=D'N，∵四邊形ABCD是長(zhǎng)方形，AB=9，AD=6，∴DC=AB=9,BC=AD=6，∠D=∠BCD=90°設(shè)DN=x則NC=DC-DN=9-x∵A'是BC的中點(diǎn)，∴C在Rt△A'CN在Rt△A'∴CN2即9-x解得x=3∴ND=ND'=A又∵∠N∴△∴∠N∴∵∴CE=E設(shè)EC=a,在Rt△AA即b2又CE+EN=CN=6∴EC+A由①可得b+ab-a將②代入③得b-a=3②-④得2a=解得a=即EC=∴E故答案為：9【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊問題，因式分解，三角形全等的性質(zhì)與判定，解二元一次方程組，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·遼寧沈陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△ABC中，AB=25，AC=105，AP垂直直線BC于點(diǎn)P(1)當(dāng)BC=25時(shí)，求AP的長(zhǎng)；(2)當(dāng)AP=20時(shí)，①求BC的長(zhǎng)；②將△ACP沿直線AC翻折后得到△ACQ，連接BQ，請(qǐng)直接寫出△BCQ的周長(zhǎng)為___________．【答案】(1)20(2)①25或5；②541+35【分析】（1）根據(jù)雙勾股列方程即可求出CP，進(jìn)而求得AP的長(zhǎng)；（2）分情況討論當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，分別求出BC的長(zhǎng)和△BCQ的周長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖：∵AP⊥BC∴AP2=A設(shè)CP=x，則BP=BC-PC=25-x∴(105解得：x=10∴AP=（2）①當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，當(dāng)AP=20時(shí)，BP=ACP=A∴BC=BP+PC=25當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖：∵AB=25>AC=105，∴PC=AC∴BC=BP-PC=5綜上所述：BC=25或5②當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，由①知，AB=BC=25，BP=15，PC=10，如圖，AC與BP交于MM過Q點(diǎn)作QH⊥BC，由折疊可知：QC=PC=10，PQ⊥AC，PQ=2MP∴S△ACP∴12∴MP=45∴PQ=2MP=85設(shè)HC=x，則HP=PC+HC=10+x，∵H∴102解得：x=6，HQ=∴BQ=∴△BCQ的周長(zhǎng)為：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=5當(dāng)△ABC是鈍角三角形時(shí)，如圖，同理可得：CQ=PC=10，PQ=2MP=85，BC=5，設(shè)HC=x，則HP=PC+HC=10+x，∵H∴102解得：x=6，∴HB=CH-CB=6-5=1，HQ=∴BQ=∴△BCQ的周長(zhǎng)為：BQ+BC+CQ=BQ+BC+PC=綜上所述：△BCQ的周長(zhǎng)為541+35或【點(diǎn)睛】本題考查等積法求高，雙勾股定理的求直角三角形邊長(zhǎng)，解題的關(guān)鍵是在做題時(shí)注意分類討論．必考點(diǎn)3必考點(diǎn)3以弦圖為背景的計(jì)算1．（2022春·浙江·八年級(jí)期末）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股圖為背景的郵票．所謂勾股圖是指以直角三角形的三邊為邊向外作正方形構(gòu)成，它可以驗(yàn)證勾股定理．在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)．如圖所示作矩形HFPQ，延長(zhǎng)CB交HF于點(diǎn)G．若正方形BCDE的面積等于矩形BEFG面積的3倍，則ab的值為（

A．24 B．22 C．5-1【答案】D【分析】設(shè)BC=c，利用勾股定理得到SBCDE=c2，再說明△BMG∽△CBA，得到GB=abc，根據(jù)S正方形【詳解】解：設(shè)BC=c，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AC=a,AB=b(a<b)由勾股定理可得：AC2+AB∵四邊形BCDE是正方形，∴S正方形∵四邊形ABML是正方形，四邊形BEFG是矩形，∴AB=BM,∠MGB＝∠ABM＝BAC＝90°，∵∠BMG＋∠MBG＝∠MBG＋∠ABC＝∠ABC＋∠ACB，∴∠BMG＝∠ABC，∠MBG＝∠ACB，∴△BMG∽△CBA，∴GBAC=∴GB=ab∵四邊形BEFG是矩形，四邊形BCDE是正方形，∴BC＝BE＝c，∴S矩形∵S又S∴a∴兩邊同除以b2可得：整理得：(a解得：ab∵a＜b∴a故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形和矩形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是幾何中的一個(gè)重要定理，在我國(guó)算書《網(wǎng)醉算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載．如圖1，是由邊長(zhǎng)相等的小正方形和直角三角形構(gòu)成的，可以用其面積關(guān)系驗(yàn)證勾股定理．圖2是由圖1放入矩形內(nèi)得到的，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G，H，I都在矩形KLMJ的邊上，則矩形KLMJ的面積為(

)A．121 B．110 C．100 D．90【答案】B【分析】延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，可得四邊形AOLP是正方形，然后求出正方形的邊長(zhǎng)，再求出矩形KLMJ的長(zhǎng)與寬，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AB交KF于點(diǎn)O，延長(zhǎng)AC交GM于點(diǎn)P，則四邊形OALP是矩形．∵∠CBF=90°，∴∠ABC+∠OBF=90°，又∵直角ΔABC中，∠ABC+∠ACB=90°，∴∠OBF=∠ACB，在ΔOBF和ΔACB中，∠BAC=∠BOF∠ACB=∠OBF∴ΔOBF?ΔACB(AAS)，∴AC=OB，同理：ΔACB?ΔPGC，∴PC=AB，∴OA=AP，所以，矩形AOLP是正方形，邊長(zhǎng)AO=AB+AC=3+4=7，所以，KL=3+7=10，LM=4+7=11，因此，矩形KLMJ的面積為10×11=110，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的證明，作出輔助線構(gòu)造出正方形是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·全國(guó)·八年級(jí)期中）勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要紐帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用下圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形ABC的三條邊為邊長(zhǎng)向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，連接BI，CD，過點(diǎn)C作CJ⊥DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K．設(shè)正方形ACHI的面積為S1，正方形BCGF的面積為S2，矩形AKJD的面積為S3，矩形KJEB的面積為S4，下列結(jié)論中：①BI⊥CD；②S1∶S△ACD＝2∶1；③S1－S4＝S3－S2；④S1S4＝S3S2，正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】利用正方形的性質(zhì)證明△ABI≌△ADC，得出∠AIB=∠ACD，即可得出∠CNI=∠NAI，即可判斷①，利用△ABI≌△ADC，即可求出△ABI的面積，即可判斷②，由勾股定理和S3+S4=S?ABED，即可判斷③，由③S1-S4=S3-S2，兩邊平方，根據(jù)勾股定理可得AC2-BC2【詳解】解：∵四邊形ACHI和四邊形ABED為正方形，∴AI=AC，AD=AB，∠CAI=∠BAD=90°，∵∠BAI=∠BAC+∠CAI，∠DAC=∠BAC+∠BAD，∴∠BAI=∠DAC，∴△ABI≌△ADC（SAS），∴∠AIB=∠ACD，∵∠CNI=∠CAI=90°，∴BI⊥CD，故①正確；∵S△ACD=S△AIB=12×AI×AC，S正方形ACHI=S1=AI×AC∴S1：S△ACD=2：1，故②正確；∵S1=AC2，S2=BC2，S3+S4=S正方形ADEB=AB2，AC2+BC2=AB2，∴S1+S2=S3+S4，∴S1-S4=S3-S2，故③正確；∵S1-S4=S3-S2，∴S∵S1=AC2，S2=BC2，S3=AK?KJ=AK?AB，S4=BK?KJ=BK?AB，∴S12+∵AB2=AC2+BC2，AC∴AC即AC∴S12=A==AB2=0，∴S1?S4=S2?S3，故④正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的條件，勾股定理的運(yùn)用，完全平方公式的變形．4．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）如圖，已知所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中A，B，C，D四個(gè)小正方形的面積之和等于8，則最大正方形的邊長(zhǎng)為__．【答案】2【分析】分別設(shè)A，B，C，D四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，b，c，d，根據(jù)題圖可得出相應(yīng)等式．【詳解】分別設(shè)A，B，C，D四個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，b，c，d，根據(jù)題意得：a題目中需要求a2+c2的值，則由①【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是學(xué)會(huì)設(shè)未知數(shù)解題，同時(shí)利用數(shù)形結(jié)合的思想解題．5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、S2【答案】(1)①見解析；②29(2)3(3)S【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：a2+b2=c2=17，（2）根據(jù)題意得：a2（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（S1+S【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=1在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即(a+b)2=c在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12(a+b)(a+b)=1②在圖1中：a2+b圖2中大正方形的面積為：a+b2∵b-a2=5，∴17-2ab=5，2ab=12，∴a+b2∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：a2如圖4：即有：S1=a2，∴S1如圖5：S1=12π∵18∴S1如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正△XYZ的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)x作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=∴正△XYZ的面積為：S=1∴S1=12×a×∵3∴S1∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S故答案為：3；（3）關(guān)系：S1以a為直徑的半圓面積為：12以b為直徑的半圓面積為：12以c為直徑的半圓面積為：12三角形的面積為：S3∴S1即：S1結(jié)合（1）的結(jié)論：a∴S1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．必考點(diǎn)4必考點(diǎn)4勾股定理的證明方法1．（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)?？计谥校┰赗t△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．將Rt△ABC繞點(diǎn)O依次旋轉(zhuǎn)90°、180°和270°，構(gòu)成的圖形如圖所示．該圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽制作的“勾股圓方圖”，也被稱作“趙爽弦圖”，它是我國(guó)最早對(duì)勾股定理證明的記載，也成為了2002年在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)設(shè)計(jì)的主要依據(jù)．（1）請(qǐng)利用這個(gè)圖形證明勾股定理；（2）請(qǐng)利用這個(gè)圖形說明a2＋b2≥2ab，并說明等號(hào)成立的條件；（3）請(qǐng)根據(jù)（2）的結(jié)論解決下面的問題：長(zhǎng)為x，寬為y的長(zhǎng)方形，其周長(zhǎng)為8，求當(dāng)x，y取何值時(shí)，該長(zhǎng)方形的面積最大？最大面積是多少？【答案】（1）詳見解析；（2）當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立；（3）當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=2時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大，最大面積是4．【分析】1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式．（2）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)證明即可．（3）利用（2）中的結(jié)論求得當(dāng)x，y取何值時(shí)，該矩形面積最大以及其最大面積．【詳解】解：（1）因?yàn)檫呴L(zhǎng)為c的正方形面積為c2，它也可以看成是由4個(gè)直角三角形與1個(gè)邊長(zhǎng)為（a–b）的小正方形組成的，它的面積為4×12ab＋(a–b)2＝a2＋b2，所以c2＝a2＋b2．（2）∵(a–b)2≥0，∴a2＋b2–2ab≥0，∴a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，等號(hào)成立．（3）依題意得2(x＋y)＝8，∴x＋y＝4，長(zhǎng)方形的面積為xy，由（2）的結(jié)論知2xy≤x2＋y2＝(x＋y)2–2xy，∴4xy≤(x＋y)2，∴xy≤4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)=2時(shí)，長(zhǎng)方形的面積最大，最大面積是4．【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合題．需要學(xué)生掌握勾股定理的證明和以及非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，掌握三角形和正方形面積計(jì)算公式是解決問題的關(guān)鍵．2．（2022秋·河南鄭州·八年級(jí)校考期中）(1)我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成丁一個(gè)大的正方形（如圖1），這個(gè)矩形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理.證明：∵大正方形面積表示為S＝c2，，又可表示為S＝4×12ab＋(b－a)2∴4×12ab＋(b－a)2＝c2∴______________即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.(2)愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形(如圖2)，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過程.(3)如圖3所示，∠ABC＝∠ACE＝90°，請(qǐng)你添加適當(dāng)?shù)妮o助線，證明結(jié)論a2＋b2＝c2.【答案】（1）a2+b2=c【分析】（1）通過化簡(jiǎn)即可證得；（2）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積＋陰影部分小正方形的面積＝大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；（3）作輔助線，構(gòu)建矩形，根據(jù)矩形的面積可得結(jié)論．【詳解】解答：證明：（1）∵大正方形面積表示為S＝c2，又可表示為S＝4×1∴4×12ab+b-a∴2ab+b∴a2即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．故答案為a2（2）證明：由圖得，大正方形面積＝12×ab×4＋c2＝（a＋b）×（a＋整理得，2ab+c即a2+b（3）如圖，過A作AF⊥AB，過E作EF⊥AF于F，交BC的延長(zhǎng)線于D，則四邊形ABDF是矩形，∵△ACE是等腰直角三角形，∴AC＝CE＝c，∠ACE＝90°＝∠ACB＋∠ECD，∵∠ACB＋∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC≌△CDE（AAS），∴CD＝AB＝b，DE＝BC＝a，S矩形ABDF＝b（a＋b）＝2×12ab+∴a2【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，鍛煉了同學(xué)們的數(shù)形結(jié)合的思想方法．3．（2022·山東濰坊·八年級(jí)統(tǒng)考期中）公元3世紀(jì)初，我國(guó)學(xué)家趙爽證明勾定理的圖形稱為“弦圖”．1876年美國(guó)總統(tǒng)Garfeild用圖1（點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)C′三點(diǎn)共線）進(jìn)行了勾股定理的證明．△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，兩直角邊長(zhǎng)為a，b，斜邊是c．請(qǐng)用此圖1證明勾股定理．拓展應(yīng)用l：如圖2，以△ABC的邊AB和邊AC為邊長(zhǎng)分別向外作正方形ABFH和正方形ACED，過點(diǎn)F、E分別作BC的垂線段FM、EN，則FM、EN、BC的數(shù)量關(guān)系是怎樣？直接寫出結(jié)論．拓展應(yīng)用2：如圖3，在兩平行線m、n之間有一正方形ABCD，已知點(diǎn)A和點(diǎn)C分別在直線m、n上，過點(diǎn)D作直線l∥n∥m，已知l、n之間距離為1，l、m之間距離為2．則正方形的面積是．【答案】證明勾股定理：見解析；拓展應(yīng)用l：FM+EN＝BC；拓展應(yīng)用2：正方形的面積為5.【分析】用a、b、c表示三角形與梯形的面積，再根據(jù)梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積和便可得結(jié)論；拓展1．過點(diǎn)A作AP⊥BC于點(diǎn)P，再證明三角形全等便可得結(jié)論；拓展2．過點(diǎn)D作PQ⊥m，分別交m于點(diǎn)P，交n于點(diǎn)Q，然后證明三角形全等，轉(zhuǎn)化線段，再用勾股定理解答.【詳解】如圖：∵點(diǎn)C、點(diǎn)B、點(diǎn)B′三點(diǎn)共線，∠C＝∠C′＝90°，∴四邊形ACC′B′是直角梯形，∵△ACB與△BC′B′是一樣的直角三角板，∴Rt△ACB≌Rt△BC′B′，∴∠CAB＝∠C′BB′，AB＝BB′，∴∠CBA+∠C′BB’＝90°∴△ABB′是等腰直角三角形，所以S梯形ACC′B′＝（AC+B′C′）?CC′÷2＝(a+bS△ACB＝12AC?BC=12ab，S△BC′B′＝12ab，S△所以(a+ba2+2ab+b2＝ab+ab+c2，∴a2+b2＝c2；拓展1．過A作AP⊥BC于點(diǎn)P，如圖2，則∠BMF＝∠APB＝90°，∵∠ABF＝90°，∴∠BFM+∠MBF＝∠MBF+∠ABP，∴∠BFM＝∠ABP，在△BMF和△ABP中，∠BFM=∠ABP∠BMF=∠APB=∴△BMF≌△ABP（AAS），∴FM＝BP，同理，EN＝CP，∴FM+EN＝BP+CP，即FM+EN＝BC，故答案為FM+EN＝BC；拓展2．過點(diǎn)D作PQ⊥m，分別交m于點(diǎn)P，交n于點(diǎn)Q，如圖3，則∠APD＝∠ADC＝∠CQD＝90°，∴∠ADP+∠DAP＝∠ADP+∠CDQ＝90°，∴∠DAP＝∠CDQ，在△APD和△DQC中，∠DAP=∠CDQ∠APD=∠DQC∴△APD≌△DQC（AAS），∴AP＝DQ＝2，∵PD＝1，∴AD2＝22+12＝5，∴正方形的面積為5，故答案為5．【點(diǎn)睛】本題是勾股定理的探究與應(yīng)用，主要考查了勾股定理的性質(zhì)及應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形和直角三角形．4．（2022秋·江蘇蘇州·八年級(jí)蘇州中學(xué)校考期中）勾股定理是幾何學(xué)中的明珠，充滿著魅力．千百年來，人們對(duì)它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者．向常春在1994年構(gòu)造發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的證法．證法如下：把兩個(gè)全等的直角三角形（Rt△ACB?Rt△DAE）如圖1放置，∠DAB=∠B=90°，AC⊥DE點(diǎn)E在邊AC上，現(xiàn)設(shè)Rt△ACB兩直角邊長(zhǎng)分別為CB=a、CA=b，斜邊長(zhǎng)為AB=c，請(qǐng)用a、b、c分別表示出梯形ABCD、四邊形AECD、△EBC的面積，再探究這三個(gè)圖形面積之間的關(guān)系，可得到勾股定理（1）請(qǐng)根據(jù)上述圖形的面積關(guān)系證明勾股定理（2）如圖2，鐵路上A、B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距40千米，CD為兩個(gè)村莊（看作直線上的兩點(diǎn)），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分別為A、B，AD=25千米，BC=16千米，則兩個(gè)村莊的距離為千米．（3）在（2）的背景下，若AB=40千米，AD=25千米，BC=16千米，要在AB上建造一個(gè)供應(yīng)站P，使得PC=PD，請(qǐng)用尺規(guī)作圖在圖2中作出P點(diǎn)的位置并求出AP的距離．（4）借助上面的思考過程，當(dāng)1<x<11時(shí)，求代數(shù)式x2【答案】（1）見解析；（2）41千米；（3）見解析，AP=123180千米；（4【分析】（1）根據(jù)三角形的面積和梯形的面積就可表示出；（2）連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，根據(jù)AD⊥AB，BC⊥AB得到BC=AE，CE=AB，從而得到DE=AD-AE=25-16=9千米，利用勾股定理求得CD兩地之間的距離．（3）連接CD，作CD的垂直平分線角AB于P，P即為所求；設(shè)AP=x千米，則BP=（40-x）千米，分別在Rt△APD和Rt△BPC中，利用勾股定理表示出CP和PD，然后通過PC=PD建立方程，解方程即可．（4）根據(jù)軸對(duì)稱-最短路線的求法作圖，然后根據(jù)勾股定理即可求出．【詳解】（1）S梯形ABCD=12他們滿足的關(guān)系式為：12a證畢；（2）如圖2①，連接CD，作CE⊥AD于點(diǎn)E，∵AD⊥AB，BC⊥AB，∴BC=AE，CE=AB，∴DE=AD-AE=25-16=9千米，∴CD=D∴兩個(gè)村莊相距41千米．故答案為：41千米．（3）如圖2②所示：設(shè)AP=x千米，則BP=40-x在Rt△ADP中，DP在Rt△BPC中，CP∵PC=PD，∴x2解得x=1231即AP=1231故答案為AP=1231（4）x=先作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，過點(diǎn)F作EF⊥AD于E，即：DF就是代數(shù)式x-12代數(shù)式x-12+4+11-x2+9的幾何意義是線段AB上一點(diǎn)到D，C的距離之和，而它的最小值就是點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)F和點(diǎn)D的連線與線段AB的交點(diǎn)就是它取最小值時(shí)的點(diǎn)，從而構(gòu)造出了以令x-1=a，x=a+1則原式=最小值為5故答案為55【點(diǎn)睛】本題考查了用數(shù)形結(jié)合來證明勾股定理，勾股定理的應(yīng)用，軸對(duì)稱-最短路線問題以及線段的垂直平分線等，證明勾股定理常用的方法是利用面積證明，本題鍛煉了同學(xué)們數(shù)形結(jié)合的思想方法．5．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國(guó)家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國(guó)古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國(guó)漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請(qǐng)從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為S1、S2，直角三角形面積為S3，請(qǐng)判斷S1、S2【答案】(1)①見解析；②29(2)3(3)S【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：a2+b2=c2=17，（2）根據(jù)題意得：a2（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（S1+S【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即c2=1在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即(a+b)2=c在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即12(a+b)(a+b)=1②在圖1中：a2+b圖2中大正方形的面積為：a+b2∵b-a2=5，∴17-2ab=5，2ab=12，∴a+b2∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：a2如圖4：即有：S1=a2，∴S1如圖5：S1=12π∵18∴S1如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正△XYZ的邊長(zhǎng)為u，過頂點(diǎn)x作XV⊥YZ，V為垂足，如圖，在正△XYZ中，有∠Y=60°，XZ=XY=YZ=u，∵XV⊥YZ，∴YV=VZ=12YZ=∴在Rt△XYV中，有XV=∴正△XYZ的面積為：S=1∴S1=12×a×∵3∴S1∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足S1+S故答案為：3；（3）關(guān)系：S1以a為直徑的半圓面積為：12以b為直徑的半圓面積為：12以c為直徑的半圓面積為：12三角形的面積為：S3∴S1即：S1結(jié)合（1）的結(jié)論：a∴S1【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．必考點(diǎn)5必考點(diǎn)5立體幾何中求最短路徑1．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，一長(zhǎng)方體木塊長(zhǎng)AB=6，寬BC=5，高BB1=2，一直螞蟻從木塊點(diǎn)A處，沿木塊表面爬行到點(diǎn)C1位置最短路徑的長(zhǎng)度為（A．89 B．85 C．125 D．80【答案】B【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分別分析．【詳解】解：如圖將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段AC①如圖1，∵AB=6，BC=5，BB1∴在Rt△ACC1中，AC=AB+BC=11，∴AC②如圖2，∵AB=6，BC=5，BB1∴B1∴BC∴AC②如圖3，∵AB=6，BC=5，BB1∴A1B1∴AC∵125>∴螞蟻所行路程的最小值為85．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．2．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期中）愛動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲時(shí)遇到下面的問題：已知，如圖一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm無蓋的正方體鐵盒，小明通過遙控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上爬行3cm，最后在沿內(nèi)壁面正方形ABCD上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁BC的中點(diǎn)M，甲蟲所走的最短路程是______cm【答案】16【分析】將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點(diǎn)N，此時(shí)AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ【詳解】如圖，將正方形ABCD沿著CD翻折得到正方形A'B'CD，過點(diǎn)M在正方形ABCD內(nèi)部作MM'⊥BC，使MM'=3cm，連接QM，過M'作M'N⊥A'B'于點(diǎn)N，則四邊形MM'NB'是矩形，四邊形PQMM'∴M'N'=MB'，PM'=QM，B'N=MM'，∠A'NM'=90°，此時(shí)AP+PQ+QM=A'P+PQ+PM'=A'M'+PQ最小，∵點(diǎn)M是BC中點(diǎn)，∴CM=12∴M'N=MB'=12cm，A'N=A'B'-B'N=5cm，在Rt△A'M'N中，A'M'=A'N∴A'M'+PQ=16cm，故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查最短路徑問題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，軸對(duì)稱性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是將立體圖形中的最短距離轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度進(jìn)行計(jì)算．3．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為3，寬為2，高為4，點(diǎn)B在棱上，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離為1，一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B，需要爬行的最短路程是______．【答案】5【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體側(cè)面展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與前面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖1：∵長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=42+3把長(zhǎng)方體的右側(cè)表面剪開與上面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2：∵長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=22+52把長(zhǎng)方體的上表面剪開與后面這個(gè)側(cè)面所在的平面形成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖3：∵長(zhǎng)方體的寬為2，高為4，點(diǎn)B離點(diǎn)C的距離是1，∴AB=62+12=∵5<29<37，∴螞蟻爬行的最短距離是5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開?最短路徑問題，根據(jù)題意畫出長(zhǎng)方體的側(cè)面展開圖，根據(jù)勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，圓柱底面半徑為2πcm，高為9cm，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B【答案】15【分析】要求圓柱體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將圓柱體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．【詳解】解：圓柱體的展開圖如圖所示：用一棉線從A順著圓柱側(cè)面繞3圈到B的運(yùn)動(dòng)最短路線是：AC→CD→DB；即在圓柱體的展開圖長(zhǎng)方形中，將長(zhǎng)方形平均分成3個(gè)小長(zhǎng)方形，A沿著3個(gè)長(zhǎng)方形的對(duì)角線運(yùn)動(dòng)到B的路線最短；∵圓柱底面半徑為2∴長(zhǎng)方形的寬即是圓柱體的底面周長(zhǎng)：2π×2又∵圓柱高為9cm∴小長(zhǎng)方形的一條邊長(zhǎng)是3cm根據(jù)勾股定理求得AC=CD=DB=3∴AC+CD+DB=15(cm故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面展開--路徑最短問題．圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)長(zhǎng)方形，此長(zhǎng)方形的寬等于圓柱底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的高．本題就是把圓柱的側(cè)面展開成長(zhǎng)方形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．5．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶南開中學(xué)?？计谀┰谝粋€(gè)長(zhǎng)6+22米，寬為4米的長(zhǎng)方形草地上，如圖推放著一根三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬AD，木塊的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，一只螞蟻從點(diǎn)A處到C處需要走的最短路程是___________【答案】2【分析】根據(jù)幾何體的展開圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短計(jì)算．【詳解】解：因?yàn)槟緣K的主視圖的高是2米的等腰直角三角形，所以等腰直角三角形的腰為2，斜邊長(zhǎng)為22將木塊展開如下，所以AB=6+22所以AC=A故答案為：229【點(diǎn)睛】本題考查了幾何體的展開圖中計(jì)算最短距離，熟練掌握幾何展開圖是解題的關(guān)鍵．6．（2022秋·江蘇·八年級(jí)期末）如圖①，長(zhǎng)方體長(zhǎng)AB為8cm，寬BC為6cm，高BF為4cm．在該長(zhǎng)體的表面上，螞蟻怎樣爬行路徑最短？(1)螞蟻從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)G，且經(jīng)過棱EF上一點(diǎn)，畫出其最短路徑的平面圖，并標(biāo)出它的長(zhǎng)．(2)設(shè)該長(zhǎng)方體上底面對(duì)角線EG、FH相交于點(diǎn)O（如圖②），則OE＝OF＝OG＝OH＝5cm．①螞蟻從點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑的長(zhǎng)為cm；②當(dāng)點(diǎn)P在BC邊上，設(shè)BP長(zhǎng)為acm，求螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長(zhǎng)（用含a的代數(shù)式表示）．【答案】(1)見解析(2)①65；②a2-6a+73（【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形，利用勾股定理求出AG即可；（2）①畫出平面圖形，過點(diǎn)O作OK⊥BG于K，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得KG＝KF＝12FG=3cm，然后利用勾股定理求出OK和②畫出平面圖形，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，則OM⊥FG，垂足為N，利用勾股定理求出ON，可得OM＝4＋4＝8cm，根據(jù)BP＝acm可得PM＝3-acm或P′M＝a-3cm，分別求出OP和OP′可得答案．【詳解】（1）解：最短路徑為AG，如圖，∵AB＝8cm，BF＝4cm，F(xiàn)G＝BC＝6cm，∴BG＝10cm，∴其最短路徑AG＝AB2（2）①平面圖如圖，過點(diǎn)O作OK⊥BG于K，∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，∴KG＝KF＝12FG=3∴OK＝OF2-KF2=52-3∴點(diǎn)B爬行到點(diǎn)O的最短路徑BO＝BK2故答案為：65；②平面圖如圖，過點(diǎn)O作OM⊥BC于M，則OM⊥FG，垂足為N，∵OE＝OF＝OG＝OH＝5cm，F(xiàn)G＝BC＝6cm，∴FN＝GN＝12FG=3cm，且BM＝CM＝∴ON＝OF2∵FG∥BC，BF＝4cm，NM⊥BC，由平行線間的距離處處相等可得NM＝4cm，∴OM＝4＋4＝8cm，∵BP＝acm，∴PM＝3-acm或P′M＝a-3cm，∴OP＝PM2+OOP′＝PM'2∴螞蟻從點(diǎn)P爬行到點(diǎn)O的最短路的長(zhǎng)為a2-6a+73（【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，能夠根據(jù)題意畫出平面圖形是解答本題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)6必考點(diǎn)6勾股定理的實(shí)際應(yīng)用1．（2022春·廣東東莞·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一只小鳥從小樹頂飛到大樹頂上，它飛行的最短路程是________．【答案】13m##13米【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，構(gòu)造直角三角形，用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖所示，過D點(diǎn)作DE⊥AB，垂足為E，∵AB=13，CD=8，∴AE=AB-BE=AB-CD=13-8=5，∴在Rt△ADE中，DE=BC=12∴AD∴AD=13（負(fù)值舍去），∴小鳥飛行的最短路程為13m故答案為：13m【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，正確畫出圖形作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·浙江紹興·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，A、B兩塊試驗(yàn)田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到A、B；乙方案；過點(diǎn)C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到AB所在直線上的H處，再從H分別向A、B進(jìn)行修筑．（1）請(qǐng)判斷△ABC的形狀（要求寫出推理過程）；（2）兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請(qǐng)通過計(jì)算說明．【答案】（1）△ABC是直角三角形，理由見解析；（2）（2）甲方案所修的水渠較短；理由見解析【分析】（1）由勾股定理的逆定理即可得出△ABC是直角三角形；（2）由△ABC的面積求出CH，得出AC+BC＜CH+AH+BH，即可得出結(jié)果．【詳解】解：（1）△ABC是直角三角形；理由如下：∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；（2）甲方案所修的水渠較短；理由如下：∵△ABC是直角三角形，∴△ABC的面積＝12AB?CH＝12AC?BC∴CH＝AC?BCAB=160×120∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m），∴AC+BC＜CH+AH+BH，∴甲方案所修的水渠較短．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、勾股定理的逆定理、三角形面積的計(jì)算；熟練掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理證出△ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．3．（2022秋·重慶·八年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且∠QPN=30°，在A處有一所中學(xué)，AP=120米，此時(shí)有一輛消防車在公路MN上沿PN方向以每秒5米的速度行駛，假設(shè)消防車行駛時(shí)周圍100米以內(nèi)有噪音影響．（1）學(xué)校是否會(huì)受到影響？請(qǐng)說明理由．（2）如果受到影響，則影響時(shí)間是多長(zhǎng)？【答案】（1）學(xué)校受到噪音影響，理由見解析；（2）32秒【分析】（1）過點(diǎn)A作AB⊥MN于B，根據(jù)在直角三角形中，30度角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半，得到AB=12PA=60m，由于這個(gè)距離小于100m，所以可判斷拖拉機(jī)在公路MN（2）以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于C、D，再根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=CD=80m，則CD=2BC=160m，根據(jù)速度公式計(jì)算出拖拉機(jī)在線段CD上行駛所需要的時(shí)間．【詳解】解：（1）學(xué)校受到噪音影響．理由如下：作AB⊥MN于B，如圖，∵PA=120m，∠QPN=30°，∴AB=1而60m<100m，∴消防車在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校受到噪音影響；（2）以點(diǎn)A為圓心，100m為半徑作⊙A交MN于C、D，如圖，∵AB⊥CD，在Rt△ABC中，AC=100m，AB=60m，CB=A同理，DB=80m∴CD=2BC=160m，∵拖拉機(jī)的速度5m/s，∴拖拉機(jī)在線段CD上行駛所需要的時(shí)間為：1605∴學(xué)校受影響的時(shí)間為32秒．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用、含30度的直角三角形三邊的關(guān)系以及路程與速度之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)淖鞒鲚o助線，構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵．4．（2022秋·陜西西安·八年級(jí)西安市第八十五中學(xué)?？计谥校締栴}探究】(1)如圖①，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn),請(qǐng)?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=12AE(2)如圖②，點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求12AM+MC【問題解決】(3)如圖③，A、B兩地相距600km,AC是筆直地沿東西方向向兩邊延伸的一條鐵路，點(diǎn)B到AC的最短距離為360km．今計(jì)劃在鐵路線AC上修一個(gè)中轉(zhuǎn)站M，再在BM間修一條筆直的公路。如果同樣的物資在每千米公路上的運(yùn)費(fèi)是鐵路上的兩倍。那么，為使通過鐵路由A到M再通過公路由M到B的總運(yùn)費(fèi)達(dá)到最小值，請(qǐng)確定中轉(zhuǎn)站M的位置,并求出AM的長(zhǎng)．(結(jié)果保留根號(hào))【答案】（1）詳見解析；（2）3；（3）AM=(480?1203)km【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=30°，得出EF=12AE（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線上時(shí)，此時(shí)12AM+MC（3）作BD⊥AC，垂足為點(diǎn)D，在AC異于點(diǎn)B的一側(cè)作∠CAN=30°，作BF⊥AN，垂足為點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求，在Rt△ABD中，求出AD的長(zhǎng)，在Rt△MBD中，得出MD的長(zhǎng)，即可得出答案．【詳解】解：(1)如圖①，作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求。理由如下：∵點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn)，∴∠BAD=30°，∵EF⊥AB，∴EF=12AE(2)如圖②,作CN⊥AB,垂足為點(diǎn)N,交AD于點(diǎn)M,此時(shí)12AM+MC最小，最小為CN∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正△ABC，∴CN=BCsin60°=2×32=∴MN+CM=12AM+MC=3即12AM+MC的最小值為(3)如圖③,作BD⊥AC,垂足為點(diǎn)D,在AC異于點(diǎn)B的一側(cè)作∠CAN=300作BF⊥AN，垂足為點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)M，點(diǎn)M即為所求。在Rt△ABD中,AD=AB在Rt△MBD中,∠MBD=∠MAF=30°,得MD=BDtan30°=1203(km)所以AM=(480?1203)km【點(diǎn)睛】此題主要考查了正三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．5．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為某街心公園的平面圖，經(jīng)測(cè)量AB=BC=AD=100米，CD=1003米，且∠B=90°（1）求∠DAB的度數(shù)；（2）若BA為公園的車輛進(jìn)出口道路（道路的寬度忽略不計(jì)），工作人員想要在點(diǎn)D處安裝一個(gè)監(jiān)控裝置來監(jiān)控道路BA的車輛通行情況，已知攝像頭能監(jiān)控的最大范圍為周圍的100米（包含100米），求被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為多少？【答案】（1）135°；（2）被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為1002米【分析】（1）易得∠CAB=45°，由勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后由勾股定理的逆定理，得到△ACD是直角三角形，則∠CAD=90°，即可得到答案；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，然后作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得到DF=DA=100，則只要求出AF的長(zhǎng)度，即可得到答案.【詳解】解：（1）∵AB=BC=AD=100，∠B=90°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AC=1002+∵CD=1003在△ACD中，有AD∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD=90°，∴∠DAB=90°+45°=135°；（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，然后作點(diǎn)A關(guān)于DE的對(duì)稱點(diǎn)F，連接DF，如圖：由軸對(duì)稱的性質(zhì)，得DF=DA=100，AE=EF，由（1）知，∠BAD=135°，∴∠DAE=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，即AE=DE，在Rt△ADE中，有AE解得：AE=502∴AF=1002∴被監(jiān)控到的道路長(zhǎng)度為1002米【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識(shí)，正確利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和勾股定理求出所需邊的長(zhǎng)度，從而進(jìn)行計(jì)算.6．（2022秋·陜西寶雞·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心，在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，此時(shí)某臺(tái)風(fēng)中心在海域B處，在沿海城市A的正南方向240千米，其中心風(fēng)力為12級(jí)，每遠(yuǎn)離臺(tái)風(fēng)中心25千米，臺(tái)風(fēng)就會(huì)減弱一級(jí)，如圖所示，該臺(tái)風(fēng)中心正以20千米/時(shí)的速度沿BC方向移動(dòng)．已知AD⊥BC且AD=12AB，且臺(tái)風(fēng)中心的風(fēng)力不變，若城市所受風(fēng)力達(dá)到或超過4（1）A城市是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響？請(qǐng)說明理由．（2）若會(huì)受到臺(tái)風(fēng)影響，那么臺(tái)風(fēng)影響該城市的持續(xù)時(shí)間有多長(zhǎng)？（3）該城市受到臺(tái)風(fēng)影響的最大風(fēng)力為幾級(jí)？【答案】（1）該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．（2）臺(tái)風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間16小時(shí)（3）該城市受到這次臺(tái)風(fēng)最大風(fēng)力為7.2級(jí)．【分析】（1）求是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響，其實(shí)就是求A到BC的距離是否大于臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑，如果大于，則不受影響，反之則受影響．如果過A作AD⊥BC于D，AD就是所求的線段．（2）以A為圓心，臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑為半徑，所得圓與BC有兩個(gè)交點(diǎn)E、F，E即開始影響，F(xiàn)是結(jié)束影響，求出EF長(zhǎng)度再除以臺(tái)風(fēng)速度即為影響持續(xù)時(shí)間．（3）風(fēng)力最大時(shí)，臺(tái)風(fēng)中心應(yīng)該位于D點(diǎn)，然后根據(jù)題目給出的條件判斷出時(shí)幾級(jí)風(fēng)．【詳解】解：（1）該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．理由是：如圖，過A作AD⊥BC于D．在Rt△ABD中，∵∠ABD=30°，AB=240，∴AD=12AB=120∵城市受到的風(fēng)力達(dá)到或超過四級(jí)，則稱受臺(tái)風(fēng)影響，∴受臺(tái)風(fēng)影響范圍的半徑為25×（12-4）=200．∵120＜200，∴該城市會(huì)受到這次臺(tái)風(fēng)的影響．（2）如圖以A為圓心，200為半徑作⊙A交BC于E、F．則AE=AF=200，ED=FD．∴臺(tái)風(fēng)影響該市持續(xù)的路程為：EF=2DF=2AF2∴臺(tái)風(fēng)影響該市的持續(xù)時(shí)間t=320÷20=16（小時(shí)）．（3）∵AD距臺(tái)風(fēng)中心最近，∴該城市受到這次臺(tái)風(fēng)最大風(fēng)力為：12-（120÷25）=7.2（級(jí)）．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成我們熟悉的幾何圖形是解題的關(guān)鍵．必考點(diǎn)7必考點(diǎn)7勾股定理與全等綜合1．（1）如圖1，在△ABC中，AB=5，AC=3，AD為BC邊上的中線．求中線AD的取值范圍；（提示：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE）（2）如圖2，在△ABC中，∠A=90°，D是BC邊的中點(diǎn)，∠EDF=90°，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE（3）如圖3，四邊形ABCD中，∠A=90°，∠D=120°，E為AD中點(diǎn)，F(xiàn)、G分別邊AB、CD上，且EF⊥EG，若AF=4，DG=23，求GF【答案】（1）1<AD<4；（2）見解析；（3）2【分析】（1）延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，證明△EDB≌△ADCSAS，得到BE=AC，利用三角形的三邊關(guān)系，求出AE的取值范圍，進(jìn)而求出AD（2）延長(zhǎng)FD至G，使DG=DF，連接EG，BG，推出EF=EG，證明△BDG≌△CDF，得到CF=BG，推出∠EBG=90°，利用勾股定理，即可得證；（3）延長(zhǎng)FE至P，使EP=FE，連接DP，PG，得到△FAE≌△PDESAS，推出FG=PG，延長(zhǎng)PD，過G作GH⊥PD于H，得到△GHD為含30°角的直角三角形，求出GH，DH的長(zhǎng)，再利用勾股定理，求出PG【詳解】解：（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使DE=AD，連接BE，∵AD為BC邊上的中線，∴BD=CD，∵∠BDE=∠ADC，∴△EDB≌△ADCSAS∴BE=AC=3，△ABE中，AB=5，∴AB-BE<AE<AB+BE，即5-3<AE<5+3，∴2<AE<8，∵AE=2AD，∴1<AD<4，（2）證明：如圖2，延長(zhǎng)FD至G，使DG=DF，連接EG，BG，∵∠EDF=90°，∴ED是FG的垂直平分線，∴EF=EG，由（1）同理得：△BDG≌△CDFSAS∴∠C=∠DBG，CF=BG，∵∠A=90°，∴∠EBC+∠C=90°，∴∠EBC+∠DBG=90°，∴EG∴BE（3）解：如圖3，延長(zhǎng)FE至P，使EP=FE，連接DP，PG，同理得：△FAE≌△PDESAS∴PD=AF=4，∠PDE=∠A=90°，∵FE⊥EG，F(xiàn)E=EP，∴FG=PG，延長(zhǎng)PD，過G作GH⊥PD于H，∵∠EDG=120°，∠EDH=90°，∴∠GDH=30°，∵DG=23∴GH=12DG=∴PH=PD+DH=7，∴PG=P∴GF=PG=213【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理．熟練掌握倍長(zhǎng)中線法，證明三角形全等，是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知△ACB和△ECF中，∠ACB=∠ECF=90°，AC=BC，CE=CF，連接AE.BF交于點(diǎn)O．(1)求證：△ACE≌△BCF；(2)求∠AOB的度數(shù)；(3)連接BE，AF，求證BE【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ACE≌△BCF即可．（2）設(shè)EC交BF于點(diǎn)K，利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）連接BE，利用勾股定理解決問題即可．【詳解】（1）證明：∵∠ACB=∠ECF=90°，∴∠ACB+∠BOE=∠ECF+∠BOE，即：∠ACE=∠BCF，∵CA=CB，CE=CF，∴△ACE≌△BCFSAS（2）解：設(shè)EC交BF于點(diǎn)K．∴△ACE≌△BCF，∴∠OEK=∠KFC，∵∠CFK+∠CKF=90°，∠CKF=∠OKE，∴∠OEK+∠OKE=90°，∴∠EOK=90°，∴∠AOB=90°．（3）證明：連接BE．∵∠BOE=∠AOF=90°，∴BE2=O∵2A∴BE【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考?？碱}型．3．已知△ABC中，AB＝AC．（1）如圖1，在△ADE中，AD＝AE，點(diǎn)D在線段BC上，∠DAE＝∠BAC=90°，連接CE，請(qǐng)寫出：①BD和CE之間的位置和數(shù)量關(guān)系為、；②BD、CD和AE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）如圖2，在△ADE中，AD＝AE，連接BE、CE，若∠DAE＝∠BAC＝60°，CE⊥AD于點(diǎn)F，AE＝4，AC＝7，求線段BE的長(zhǎng)；（3）如圖3，點(diǎn)D是等邊△ABC外一點(diǎn)，∠ADC＝75°，若CD＝3，AD=2，則BD的長(zhǎng)為，請(qǐng)簡(jiǎn)要寫出解答過程．【分析】（1）①利用全等三角形的判定定理證明△ABD≌△ACE，再由全等三角形的性質(zhì)得到BD=CE，∠B=∠ACE，從而得到結(jié)論；②結(jié)合①的結(jié)論及勾股定理得到CD2+C（2）連接BD，利用全等三角形的判定與性質(zhì)定理證得BD=CE，∠ADB=∠AEC，再證明△ADE是等邊三角形求得∠BDE=90°，結(jié)合已知條件及勾股定理求出CE長(zhǎng)，再由勾股定理計(jì)算BE長(zhǎng)即可；（3）以AD為邊作等邊△ADM，過點(diǎn)M作MN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，利用全等三角形的判定與性質(zhì)定理證得BD=CM，再說明△DMN為等腰直角三角形，最后利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）①∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC，即∠CAE=∠BAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠B=∠ACE，又∵∠BAC=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE；②由①知∠BCE=90°，BD=CE，∴在Rt△DCE中，CD又∵在Rt△ADE中，DE∴CD∴CD故答案為：①BD⊥CE，BD=CE；②CD（2）如圖，連接BD，∵∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠DAE+∠DAC＝∠BAC+∠DAC，即∠CAE=∠BAD，又∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∠ADB=∠AEC，∵AD=AE，∠DAE=60°，∴△ADE是等邊三角形，∴AE=DE，∠DEA=∠ADE=60°，∵CE⊥AD，∴∠AEC=∠ADB=12∠DEA=30°∴∠BDE=90°，∵AE=4，AC=7，∴在Rt△AEF中，AF=12AE=2在Rt△ACF中，CF=A∴CE=BD=23∴在Rt△BDE中，BE=D（3）如圖，以AD為邊作等邊△ADM，過點(diǎn)M作MN⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，則AD=AM=DM=2，∠DAM=∠ADM=60°，∵等邊△ABC，∴∠BAC=∠DAM=60°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAM+∠CAD，即∠BAD=∠CAM，又∵AB=AC，AD=AM，∴△ABD≌△ACM，∴BD=CM，∵∠ADC＝75°，∴∠MDN=180°－∠ADC－∠ADM=180°－75°－60°=45°，∴∠DMN=∠MDN=45°，∴MN=DN，即△DMN為等腰直角三角形，∴DM∴MN=DN=1，∴CN=DN+CD=1+3=4，∴在Rt△CMN中，CM=M∴BD=17【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握各性質(zhì)及判定定理進(jìn)行推理論證是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，△ACB和△ECD都是等