第十三章 二推理與證明

推理與證明山東省臨沂一中高三數(shù)學(xué)組推理推理與證明合情推理證明演繹推理類比推理歸納推理三段論數(shù)學(xué)歸納法分析法反證法綜合法直接證明間接證明由因?qū)Ч孪氪笄疤?、小前提、結(jié)論驗(yàn)初值、證遞推、結(jié)論反設(shè)、歸謬、定論執(zhí)果索因1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用．2.了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理．3.了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異．一、合情推理與演繹推理二、直接證明與間接證明三、數(shù)學(xué)歸納法1.了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點(diǎn)．2.了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點(diǎn)．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.

推理與證明是新課標(biāo)增加的內(nèi)容，旨在培養(yǎng)學(xué)生的觀察、猜測(cè)和創(chuàng)新的能力,自2007年新課改第一次高考以來,推理與證明一直是高考關(guān)注的對(duì)象,歸納推理和類比推理的題目時(shí)常出現(xiàn),且類比推理的題目占多數(shù),考查形式為填空題.主要以三種方式出現(xiàn):1.以填空題形式考查合情推理(歸納與類比)．2.以選擇題形式考查信息給予題．3.與數(shù)列等大題相結(jié)合，考查推理證明能力,難度不大，但相當(dāng)有新意，而且?？汲Ｐ?能達(dá)到考查能力的目的，應(yīng)該引起我們的重視.4.從近幾年的考題分析，可以發(fā)現(xiàn)，使用分析法、綜合法證明的題目稍多一些，雖然反證法證題體現(xiàn)的較少，但反證法是數(shù)學(xué)證明的重要方法．從具體問題出發(fā)觀察、分析、比較、聯(lián)想歸納、類比提出猜想歸納推理類比推理1.合情推理主要包括_________和___________.合情推理的過程(1)歸納推理：由某類事物的________具有某些特征,推出該類事物的__________都具有這些特征的推理,或者由__________概括出__________的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).簡(jiǎn)言之,歸納推理是由____到____、由個(gè)別到_____的推理.歸納推理的基本模式:___________________________,部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論部分整體一般結(jié)論:_______________________.?d∈M，d也具有某屬性a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性兩類對(duì)象一類對(duì)象另一類對(duì)象特殊到特殊(2)類比推理：由________具有某些類似特征和其中_______的某些已知特征，推出___________也具有這些特征的推理稱為類比推理(簡(jiǎn)稱類比),簡(jiǎn)言之，類比推理是由___________的推理.(a,b,c,d與a′,b′,c′,d′相似或相同)類比推理的基本模式:A:具有屬性a,b,c,d；B:_________________;具有屬性a′,b′,c′結(jié)論:B具有屬性d′.從_______的原理出發(fā),推出某個(gè)__________的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理.簡(jiǎn)言之，演繹推理是由_____到_______的推理.一般性一般特殊特殊情況下2.演繹推理：(1)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷.(2)“三段論”可以表示為①大前提：M是P；②小前提：S是M；③結(jié)論：S是P.(3)數(shù)學(xué)問題的證明主要通過演繹推理來進(jìn)行.3.直接證明(1)綜合法

①定義：利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的___________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論______，這種證明方法叫做綜合法.

②框圖表示:(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示要證明的結(jié)論).推理論證成立3.直接征證明(2刊)分析院法①定義：從__錦__散__險(xiǎn)__夠__點(diǎn)__毀__出發(fā)秀，逐搞步尋非求使千它成比立的__耳__其__特__刊_，直何至最裙后，膀把要途證明疑的結(jié)效論歸境結(jié)為槽判定凈一個(gè)別明顯肆成立楚的條輕件(已知鏟條件虹、定薪理、她定義慨、公具理等)為止府．這最種證網(wǎng)明方粗法叫腦做分秋析法景．②框圖蓬表示:要證頌明的膀結(jié)論充分它條件得到冷一個(gè)還明顯朗成立城的條詳件內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的___________,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論______.從要____________出發(fā),逐步尋求使它成立___________,直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因框圖表示文字語(yǔ)言因?yàn)椤浴蛴伞谩C…只需證…即證…推理貫論證成立證明去的結(jié)尼論充分傍條件4.間接捎證明(1扒)反證訊法：假設(shè)班原命需題__書__痛__毀__針,經(jīng)過雁正確堡的推叛理,最后蹦得出__辣__巴__繞,因此有說明平假設(shè)悠錯(cuò)誤,從而探證明腥了原仔命題讀成立瞞，這清樣的貞證明翅方法落叫做渡反證根法．不成加立矛盾(2)適宜昨使用針反證軌法的裁情況:①結(jié)論吧以否漢定形嘗式出毒現(xiàn)；②結(jié)昆論以社“緣瑞至多…,”館,爪“至少…”形式伴出現(xiàn)寶；③唯喜一性道、存尚在性垮問題;④結(jié)論遙的反臺(tái)面比撕原結(jié)昂論更魄具體醒更容老易研隔究的店命題.用反蠻證法當(dāng)在歸全謬中就所導(dǎo)戀出的盾矛盾默可以籍是與禁題設(shè)閱矛盾,與假類設(shè)矛蝴盾,與已造知定捉義、襯公理晚、定離理矛祥盾，率自相鍛矛盾仿等.反證衡法證涂題步深驟:①反設(shè)殺②歸釘謬③扎存真.(1假)歸納明法由一真系列秒有限立的特澆殊事卵例得他出__罪__表__滾__的推男理方脾法叫夾歸納必法.根據(jù)挪推理非過程型中考吃查的折對(duì)象膊是涉四及事御物的全體畝或部椅分可分巨為__主__缺__進(jìn)_歸納下法和__雜__珠__舟__禿_歸納天法.一般貌結(jié)論完全不完稼全5．?dāng)?shù)嬌學(xué)歸牌納法(2烘)數(shù)學(xué)煙歸納獸法對(duì)某葬些與某正整暖數(shù)有仇關(guān)的得數(shù)學(xué)罩命題潮常采魄用下蔽面的墻方法夠來證迷明它貌們的換正確液性：亡先證粱明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí),命題明成立莊；然云后假下設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，k≥n0)時(shí)，載命題蹤蝶成立椒；證穴明當(dāng)n＝k＋1時(shí)，沉命題紙也成澡立，殼這種箭證明榆方法予叫做__購(gòu)__眉__匠__蒼__溉__駱__聾.數(shù)學(xué)酷歸納販法(3身)用數(shù)南學(xué)歸事納法巨證明臥一個(gè)慨與正吊整數(shù)n有關(guān)災(zāi)的命焰題時(shí),其步繡驟為吳：①__剪__堪__房誠(chéng)__糞__：證閱明當(dāng)n取第悟一個(gè)忙值n0(n0∈N*)時(shí)命枯題成昏立；②__苗__叉__割__呆__：假憤設(shè)n＝k(k∈N*,k≥n0)時(shí)命迫題成它立，嬸證明較當(dāng)n＝k＋1時(shí)命異題成思立．③歸納事結(jié)論:由①②得出單結(jié)論映．歸納愛奠基歸納己遞推先歸女納推誦理(依據(jù)些特殊梨情形)猜想咸出一雅般結(jié)撕論,再用湊數(shù)學(xué)刊歸納價(jià)法證梨明猜勉想結(jié)僻論的散正確勢(shì)性.一般沒地,數(shù)學(xué)探研究便與發(fā)弓現(xiàn)往息往包盡括兩凳個(gè)要尊素--手-發(fā)現(xiàn)揮結(jié)論正與證減明結(jié)俊論(兩者是通常偷交織傲在一粗起),發(fā)現(xiàn)增結(jié)論源往往舊通過均合情肆推理,結(jié)論禽的正漠確性沙需要正通過跡邏輯隸證明藥來確辨認(rèn).④“歸納——猜想——證明”問題文的證網(wǎng)法⑤數(shù)學(xué)提歸納緒法的陣應(yīng)用?。簩?duì)于掃由歸郵納法碗得到珍的某詳些與幼自然斯數(shù)有盾關(guān)的砌數(shù)陸學(xué)伶命浪題,我們繳常采夜用數(shù)學(xué)村歸納趙法來證筒明它慌們的堂正確固性:1)恒等奶式2)整除財(cái)性3)不等脊式計(jì)江算、舌猜想哀、證項(xiàng)明4)不等借式5)幾何綠方面6)三角胳方面合情欣推理柔是地廁球上最美途麗的毯思維挖花朵健之一月!【例1】(2多01醉0·山東)觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(co勤sx)′＝－si云nx，由怠歸納慚推理犁可得墊：若寬定義涉在R上的課函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)貧函數(shù)亦，則g(－x)＝()A．f(x)英B．－f(x)昨C．g(x)禾D．－g(x)解:由所騎給函址數(shù)及醉其導(dǎo)繭數(shù)知,偶函步數(shù)的部導(dǎo)函瞎數(shù)為復(fù)奇函始數(shù).因此脅當(dāng)f(x)是偶規(guī)函數(shù)令時(shí)，存其導(dǎo)怨函數(shù)汪應(yīng)為妨奇函廚數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．D題型租一歸納著推理【題后高拓展】歸納元推理震的一憐般步償驟是蟲：(1桐)通過化觀察拉個(gè)別鋸事物尖發(fā)現(xiàn)崖某些窩相同酬的性劣質(zhì)；(2逮)從已所知的動(dòng)相同對(duì)性質(zhì)以中推楊出一麻個(gè)明境確表仙述的滑一般寸性命拳題．一般燦情況耐下，近歸納踩的個(gè)從別事跡物越如多，騎越具翼有代技表性綢，推拌廣的貪一般捉性結(jié)識(shí)論也群就越吊可靠謙．【思維腥點(diǎn)撥】歸納紫總結(jié)碧時(shí)，般看等鈴號(hào)左兄邊式婆子的蜜變化剝規(guī)律柜，右立邊結(jié)圍果的武特點(diǎn)欄，根圣據(jù)以運(yùn)上規(guī)法律寫挨出第型五個(gè)稻等式偏，注班意行殃數(shù)、字項(xiàng)數(shù)漠及其姿變化考規(guī)律納是解莖答本職題的姜關(guān)鍵康．【2茅】(20曠12休·江西)觀察稠下列稼各式梁：a＋b＝1,a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11晴,吐…，則a10＋b10＝()A．28響B(tài)．76油C．12弟3圣D．19兆9等式臥右面竿的數(shù)揉構(gòu)成補(bǔ)一個(gè)嘉數(shù)列1,英3愧,交4,字7萄,脹11畫,醒…,即an＋an＋1＝an＋2,a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝12灶3，故槽選C.C【3稀】（20耍09團(tuán)·湖北型）古希輩臘人晝常用幣小石艱子在繳沙灘衡上擺瘋成各致種形狀來溉研究的數(shù)，抹例如：他們碗研究書過圖1中的1，3，6，10，…，由出于這宴些數(shù)雄能夠怒表示檔成三秧角形米，將東其稱幻玉為三音角形楚數(shù);類似模地,稱圖2中的1，4，9，16…這樣童的數(shù)帽成為央正方默形數(shù).下列殊數(shù)中此既是盛三角屑形數(shù)目又是夫正方玻形數(shù)施的是(明)A.肉28伍9B.膀10懲24C.寶12火25D.捉13冰78C三角刻形數(shù)逗構(gòu)成煎的數(shù)蠟列通知項(xiàng)正方定形數(shù)責(zé)構(gòu)成路的數(shù)開列通優(yōu)項(xiàng)bn=n2.【4扇】考察森下列賞一組聰不等棒式：23+53>22·5豆+2默·52,24+54>23·5壩+2匆·53,25+55>23·52+22·53,……橫.將上鬧述不玩等式遙在左痰右兩塘端仍嶺為兩定項(xiàng)和遭的情擠況下尸加以章推廣,使以胸上的凈不等至式成蓮為推侮廣不俘等式脅的特?zé)?則推課廣的驗(yàn)不等迎式可憐以是__穿__俗__優(yōu)__掀__尊__蒙__恥__岡__陷__農(nóng)__望__液__事__蟲__起_.所以灶命題宮成立副．AA.M(4唯5,遭14古)B.M(4響5,風(fēng)24癢)C.M(4開6,形14文)D.M(4礦6,音15枝)【7則】把偶料數(shù)數(shù)莫列{2n}的各粘項(xiàng)從啦小到腹大依摔次排評(píng)成如怎圖所飄示的啊三角侍形數(shù)汁表,記M(r,t)表示僵該表喬中第r行的芒第t個(gè)數(shù),則表纏中的具數(shù)20泉08對(duì)應(yīng)池于(填)由1+堪2+喜3+…+n=1緞00駁4，得因?yàn)?4環(huán)×4岡5=蛾19且80胸,45溝×4次6=腹20別70柏.所以20齒08為第45行的衣數(shù),又10濾04－99首0=趟14由.即20屑08為第14個(gè)數(shù).【8】(2埋01塌0·浙江)設(shè)n≥2，n∈N，(2x＋)n－(3x＋)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，將|ak|(安0≤k≤n)的最麥小值坡記為Tn，則T2＝0，T3＝，T4＝0，T5＝,…,Tn，其中Tn＝題型捏二類比太推理1．類絞比可揪以是疑形式臟上的餡類比鬧，用怒于發(fā)殊現(xiàn)新號(hào)的結(jié)串論；喬也可項(xiàng)以是索方法巧上的株類比屑，用匆于尋愧找求對(duì)解途研徑．2．常括見的運(yùn)類比妹有平敗面?唉空間荷；等退差數(shù)沖列?舉等比言數(shù)列夢(mèng)；實(shí)取數(shù)?充復(fù)數(shù)捧；向織量數(shù)欠量積絕?實(shí)克數(shù)積眉等．偶類比廢是一里種合饅情推閉理，權(quán)結(jié)論導(dǎo)不一醬定為獻(xiàn)真，風(fēng)需驗(yàn)霞證或百證明雷．3．類查比推兆理能高有效問地考釀查考盞生分栽析問摟題和蜻解決府問題遲的能翠力，噸是高秩考中布?？蓟觐}型旬．因刪此，柏在平替時(shí)學(xué)抗習(xí)中爭(zhēng)要加顯強(qiáng)訓(xùn)拉練．【1柱】(2垂00淘9·浙江)設(shè)等賊差數(shù)搬列{an}的前n項(xiàng)和斑為Sn,則S4,S8－S4,S12－S8,S16－S12成等袋差數(shù)慕列.類比隔以上喉結(jié)論,有：懇設(shè)等聰比數(shù)僵列{bn}的前n項(xiàng)積例為Tn,則此題貿(mào)是一吼個(gè)數(shù)外列與壓類比般推理說結(jié)合光的問壺題,既考謀查了等數(shù)列盼中等唐差數(shù)盞列和旬等比旨數(shù)列削的知名識(shí),也考辭查了混通過捕已知殃條件杏進(jìn)行仰類比悲推理苦的方讓法和俊能力.成等核比數(shù)駕列.∵f(x)=掀si淹nx在區(qū)楚間(0皆,π詢)上是炎凸蚊函數(shù),且A,B,C∈(啦0,顆π)克,題型【7盞】BCCAC①合情謹(jǐn)推理層包括成歸納辰推理朝與類察比推從理：兩歸急納推壟理是背由特家殊到黎一般信，類蛋比推湯理是蹈由特番殊到過特殊.②證明剖包括憂直接明證明酷和間撈接證澇明：窗直勇接證駕明主魯要有賄綜合彩法、英分析纖法等去；間磚接證鬧明主僚要是卷反證茂法.③數(shù)學(xué)控歸納杯法是鞏一種獲完全搜歸納株的證監(jiān)明方轟法,它適累用于侍與正越整數(shù)栗有關(guān)員的數(shù)短學(xué)命柄題的朗證明.本節(jié)暖要注芳重三耽維空錄間與纏二維妨平面孝的類戴比(如三跟角形罰與三舉棱錐錄、四程邊形沃與四撕棱柱階、長(zhǎng)負(fù)度與校面積樣、表隱面積愚與體占積等)、代魂數(shù)運(yùn)隱算與樣向量捐的類招比、湖等差患數(shù)列秧與等騰比數(shù)洪列的裙類比傲、橢喂圓與明雙曲勿線的核類比也等．墊學(xué)好裹這一嶄節(jié),不僅拳可以懶培養(yǎng)蛙學(xué)生毫運(yùn)用鼓合情巴推理虧去猜托測(cè)和泄發(fā)現(xiàn)望一些翠新的傅結(jié)論醋的能描力，鑼還可謙以幫院我們童在日少常的劈燕學(xué)習(xí)型中達(dá)鳴到事槍半功抄倍的顧效果狹！預(yù)祝連各位災(zāi)同學(xué)帶，20議13高考毛取得訴好成嫂績(jī)!善于煤觀察吐勤于癥思考呆敢于惱猜想蔥的人常常回會(huì)冒蹲出創(chuàng)商造的渴靈感收火花例1.求證:證明必：不等猶式顯窩然成岸立.若ac+bd≤0津,故要鎮(zhèn)證只需敲證故只毛需證即證亦即掘證而上康述不鏟等式唐顯然勞成立.所以導(dǎo)原不貍等式席成立.證明:假設(shè)椒直線ME與BN共面灣，則AB?平面MB馬EN，且擾平面MB集EN∩DC委EF=EN，由已鴨知，葡兩正貨方形倡不共珍面，園故AB?平面DC襪EF.又AB∥CD，所第以AB∥平面DC涼EF，所以AB∥EN.又AB∥CD∥EF，所以EN∥EF．這與思已知EN∩EF蠅=E矛盾聾，所以ME與BN不共育面,它們暖是異趨面直警線.【例3】(2標(biāo)00斥9·遼寧)如