排隊(duì)論及其模型

關(guān)于排隊(duì)論及其模型1第1頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三2排隊(duì)論排隊(duì)論(queuingtheory)也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論(RandomServiceSystemTheory)，是為研究和解決具有擁擠現(xiàn)象的問題而發(fā)展起來的一門應(yīng)用數(shù)學(xué)的分支。具體地說，它是在研究各種排隊(duì)系統(tǒng)概率規(guī)律性的基礎(chǔ)上，解決相應(yīng)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)設(shè)計(jì)和最優(yōu)控制問題。第2頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三3排隊(duì)論

排隊(duì)論是1909年由丹麥工程師愛爾朗(A.K．Erlang)在研究電活系統(tǒng)時(shí)創(chuàng)立的，幾十年來排隊(duì)論的應(yīng)用領(lǐng)域越來越廣泛，理論也日漸完善。特別是自二十世紀(jì)60年代以來，由于計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，更為排隊(duì)論的應(yīng)用開拓了寬闊的前景。第3頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三4排隊(duì)論排隊(duì)論(queuingtheory)

研究?jī)?nèi)容包括三個(gè)部分：

(1)排隊(duì)系統(tǒng)的性態(tài)問題

(2)排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)化問題

(3)排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷問題性態(tài)問題，即研究各種排隊(duì)系統(tǒng)的概率規(guī)律性，主要研究隊(duì)長(zhǎng)分布、等待時(shí)間分布和忙期分布等。最優(yōu)化，又分靜態(tài)最優(yōu)和動(dòng)態(tài)最優(yōu)，前者指最優(yōu)設(shè)計(jì)，后者指現(xiàn)有排隊(duì)系統(tǒng)的最優(yōu)運(yùn)營(yíng)。統(tǒng)計(jì)推斷，即判斷一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)符合哪種模型，以便根據(jù)排隊(duì)理論進(jìn)行研究。解排隊(duì)問題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行的效率，估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)的最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是否合理，研究設(shè)計(jì)改進(jìn)措施等。第4頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三5排隊(duì)論

第1節(jié)基本概念第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第3節(jié)單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第4節(jié)多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第5節(jié)一般服務(wù)時(shí)間M/G/1模型第6節(jié)經(jīng)濟(jì)分析——系統(tǒng)的最優(yōu)化第7節(jié)分析排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)模擬法第5頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三6第1節(jié)基本概念1.1排隊(duì)過程的一般表示1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組織和特征1.3排隊(duì)模型的分類1.4排隊(duì)問題的求解第6頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三7

不同的顧客與服務(wù)組成了各式各樣的服務(wù)系統(tǒng)。顧客為了得到某種服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)、若不能立即獲得服務(wù)而又允許排隊(duì)等待，則加入隊(duì)列排隊(duì)等待接受服務(wù)，然后服務(wù)臺(tái)按一定規(guī)則從隊(duì)列中選擇顧客進(jìn)行服務(wù)，獲得服務(wù)的顧客立即離開系統(tǒng)。1.1排隊(duì)過程的一般表示第7頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三81.1排隊(duì)過程的一般表示各個(gè)顧客由顧客源(總體)出發(fā)，到達(dá)服務(wù)機(jī)構(gòu)(服務(wù)臺(tái)、服務(wù)員)前排隊(duì)等候接受服務(wù)，服務(wù)完成后離開。排隊(duì)結(jié)構(gòu)指隊(duì)列的數(shù)目和排列方式，排隊(duì)規(guī)則和服務(wù)規(guī)則是說明顧客在排隊(duì)系統(tǒng)中按怎樣的規(guī)則、次序接受服務(wù)的。排隊(duì)過程的一般模型第8頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三91.1排隊(duì)過程的一般表示到達(dá)的顧客要求服務(wù)內(nèi)容服務(wù)機(jī)構(gòu)1.不能運(yùn)轉(zhuǎn)的機(jī)器2.修理技工3.病人4.電話呼喚5.文件稿6.提貨單7.到達(dá)機(jī)場(chǎng)上空的飛機(jī)8.駛?cè)敫劭诘呢洿?.上游河水進(jìn)入水庫10.進(jìn)入我方陣地的敵機(jī)修理領(lǐng)取修配零件診斷或動(dòng)手術(shù)通話打字提取存貨降落裝(卸)貨裝(卸)放水，調(diào)整水位我方高射炮進(jìn)行射擊修理技工發(fā)放修配零件的管理員醫(yī)生(或包括手術(shù)臺(tái))交換臺(tái)打字員倉(cāng)庫管理員跑道貨碼頭(泊位)水閘管理員我方高射炮形形色色的排隊(duì)系統(tǒng)第9頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三10

實(shí)際的排隊(duì)系統(tǒng)雖然千差萬別，但是它們有以下的共同特征：

(1)有請(qǐng)求服務(wù)的人或物——顧客；

(2)有為顧客服務(wù)的人或物，即服務(wù)員或服務(wù)臺(tái)；

(3)顧客到達(dá)系統(tǒng)的時(shí)刻是隨機(jī)的，為每一位顧客提供服務(wù)的時(shí)間是隨機(jī)的，因而整個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)也是隨機(jī)的。排隊(duì)系統(tǒng)的這種隨機(jī)性造成某個(gè)階段顧客排隊(duì)較長(zhǎng)，而另外一些時(shí)候服務(wù)員(臺(tái))又空閑無事。1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征第10頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三111.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)系統(tǒng)由三個(gè)基本部分組成：①輸入過程②排隊(duì)規(guī)則③服務(wù)機(jī)構(gòu)第11頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三121.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征輸入過程輸入即指顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)。輸入過程是指要求服務(wù)的顧客是按怎樣的規(guī)律到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的過程，有時(shí)也把它稱為顧客流。一般可以從以下幾個(gè)方面來描述—個(gè)輸入過程(1)顧客的總體數(shù)，又稱顧客源、輸入源。這是指顧客的來源。顧客源可以是有限的，也可以是無限的。例如，到售票處購(gòu)票的顧客總數(shù)可以認(rèn)為是無限的，而某個(gè)工廠因故障待修的機(jī)床則是有限的。第12頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三131.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征輸入過程(2)顧客到來的方式。這是描述顧客是怎樣來到系統(tǒng)的，他們是單個(gè)到達(dá)，還是成批到達(dá)。病人到醫(yī)院看病是顧客單個(gè)到達(dá)的例子。在庫存問題中如將生產(chǎn)器材進(jìn)貨或產(chǎn)品入庫看作是顧客，那么這種顧客則是成批到達(dá)的。第13頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三141.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征輸入過程(3)顧客流的概率分布，或稱相繼顧客到達(dá)的時(shí)間間隔的分布。這是求解排隊(duì)系統(tǒng)有關(guān)運(yùn)行指標(biāo)問題時(shí)，首先需要確定的指標(biāo)。這也可以理解為在一定的時(shí)間間隔內(nèi)到達(dá)K個(gè)顧客(K=1、2、)的概率是多大。顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間可以是確定型的，也可以是隨機(jī)型的。顧客流的概率分布一般有定長(zhǎng)分布、二項(xiàng)分布、泊松流(最簡(jiǎn)單流)、愛爾朗分布等若干種。第14頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三151.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征輸入過程(4)顧客的到達(dá)可以是相互獨(dú)立的。(5)輸入過程可以是平穩(wěn)的，或稱對(duì)時(shí)間是齊次的，即描述相繼到達(dá)的間隔時(shí)間分布和所含參數(shù)(如期望值、方差等)都是與時(shí)間無關(guān)的。第15頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三161.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

這是指服務(wù)臺(tái)從隊(duì)列中選取顧客進(jìn)行服務(wù)的順序。一般可以分為損失制、等待制和混合制等3大類。(1)損失制。這是指如果顧客到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都已被先來的顧客占用，那么他們就自動(dòng)離開系統(tǒng)永不再來。典型例子是，如電話拔號(hào)后出現(xiàn)忙音，顧客不愿等待而自動(dòng)掛斷電話，如要再打，就需重新拔號(hào)，這種服務(wù)規(guī)則即為損失制。

第16頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三171.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

(2)等待制。這是指當(dāng)顧客來到系統(tǒng)時(shí)，所有服務(wù)臺(tái)都不空，顧客加入排隊(duì)行列等待服務(wù)。例如，排隊(duì)等待售票，故障設(shè)備等待維修等。

對(duì)于等待制，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以采用下列各種規(guī)則：先到先服務(wù)(FCFS)后到先服務(wù)(LCFS)隨機(jī)服務(wù)(RS)有優(yōu)先權(quán)的服務(wù)第17頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三181.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

(2)等待制。

對(duì)于等待制，為顧客進(jìn)行服務(wù)的次序可以采用下列各種規(guī)則：①先到先服務(wù)。按顧客到達(dá)的先后順序?qū)︻櫩瓦M(jìn)行服務(wù)，這是最普遍的情形。②后到先服務(wù)。倉(cāng)庫中迭放的鋼材，后迭放上去的都先被領(lǐng)走，就屬于這種情況。③隨機(jī)服務(wù)。即當(dāng)服務(wù)臺(tái)空閑時(shí)，不按照排隊(duì)序列而隨意指定某個(gè)顧客去接受服務(wù)，如電話交換臺(tái)接通呼叫電話就是一例。④優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如老人、兒童先進(jìn)車站；危重病員先就診；遇到重要數(shù)據(jù)需要處理計(jì)算機(jī)立即中斷其他數(shù)據(jù)的處理等，均屬于此種服務(wù)規(guī)則。第18頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三191.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

(3)混合制．這是等待制與損失制相結(jié)合的一種服務(wù)規(guī)則，一般是指允許排隊(duì)，但又不允許隊(duì)列無限長(zhǎng)下去。具體說來，大致有三種：①隊(duì)長(zhǎng)有限。當(dāng)排隊(duì)等待服務(wù)的顧客人數(shù)超過規(guī)定數(shù)量時(shí)，后來的顧客就自動(dòng)離去，另求服務(wù)，即系統(tǒng)的等待空間是有限的。例如最多只能容納K個(gè)顧客在系統(tǒng)中，當(dāng)新顧客到達(dá)時(shí)，若系統(tǒng)中的顧客數(shù)(又稱為隊(duì)長(zhǎng))小于K，則可進(jìn)入系統(tǒng)排隊(duì)或接受服務(wù)；否則，便離開系統(tǒng)，并不再回來。如水庫的庫容是有限的，旅館的床位是有限的。第19頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三201.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

(3)混合制①隊(duì)長(zhǎng)有限。②等待時(shí)間有限。即顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間不超過某一給定的長(zhǎng)度T，當(dāng)?shù)却龝r(shí)間超過T時(shí)，顧客將自動(dòng)離去，并不再回來。如易損壞的電子元器件的庫存問題，超過一定存儲(chǔ)時(shí)間的元器件被自動(dòng)認(rèn)為失效。又如顧客到飯館就餐，等了一定時(shí)間后不愿再等而自動(dòng)離去另找飯店用餐。第20頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三211.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則

(3)混合制①隊(duì)長(zhǎng)有限。②等待時(shí)間有限。③逗留時(shí)間(等待時(shí)間與服務(wù)時(shí)間之和)有限。例如用高射炮射擊敵機(jī)，當(dāng)敵機(jī)飛越高射炮射擊有效區(qū)域的時(shí)間為t時(shí)，若在這個(gè)時(shí)間內(nèi)未被擊落，也就不可能再被擊落了。

不難注意到，損失制和等待制可看成是混合制的特殊情形，如記s為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，則當(dāng)K=s時(shí)，混合制即成為損失制；當(dāng)K=∞時(shí)，混合制即成為等待制。第21頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三221.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征排隊(duì)規(guī)則（續(xù)）從允許排隊(duì)的空間看隊(duì)列可以排在具體的處所，也可以是抽象的。排隊(duì)空間可以有限，也可以無限。從排隊(duì)的隊(duì)列數(shù)目看，可以是單列，也可以是多列。在多列的情形，各列間的顧客有的可以互相轉(zhuǎn)移，有的不能。有的排隊(duì)顧客因等候時(shí)間過長(zhǎng)而中途退出，有的不能退出，必須堅(jiān)持到被服務(wù)為止。第22頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三231.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征服務(wù)機(jī)構(gòu)

(服務(wù)臺(tái)情況)服務(wù)臺(tái)可以從以下3方面來描述：(1)服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式。服務(wù)機(jī)構(gòu)可以沒有服務(wù)員，也可以有一個(gè)或多個(gè)服務(wù)員(服務(wù)臺(tái)、通道、窗口等)。從數(shù)量上說，服務(wù)臺(tái)有單服務(wù)臺(tái)和多服務(wù)臺(tái)之分。在有多個(gè)服務(wù)臺(tái)的情形中，可以是平行排列的，也可以是前后排列的，或混合排列的。第23頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三241.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征服務(wù)機(jī)構(gòu)

(服務(wù)臺(tái)情況)服務(wù)臺(tái)可以從以下3方面來描述：(1)服務(wù)臺(tái)數(shù)量及構(gòu)成形式。從構(gòu)成形式上看，服務(wù)臺(tái)有：

①單隊(duì)——單服務(wù)臺(tái)式；如(a)圖②單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式；如(c)圖③多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并聯(lián)式；如(b)圖④單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)串聯(lián)式；如(d)圖⑤單隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式；⑥多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)并串聯(lián)混合式等等。服務(wù)臺(tái)的各種排列方式第24頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三25單隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)并聯(lián)的排隊(duì)系統(tǒng)S個(gè)隊(duì)列——S個(gè)服務(wù)臺(tái)的并聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征第25頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三26單隊(duì)——多個(gè)服務(wù)臺(tái)的串聯(lián)排隊(duì)系統(tǒng)

多隊(duì)——多服務(wù)臺(tái)混聯(lián)、網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)1.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征第26頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三271.2排隊(duì)系統(tǒng)的組成和特征服務(wù)機(jī)構(gòu)

(服務(wù)臺(tái)情況)(2)服務(wù)方式。這是指在某一時(shí)刻接受服務(wù)的顧客數(shù)，它有單個(gè)服務(wù)和成批服務(wù)兩種。如公共汽車一次就可裝載一批乘客就屬于成批服務(wù)。(3)服務(wù)時(shí)間的分布。服務(wù)時(shí)間可分為確定型和隨機(jī)型。一般來說，在多數(shù)情況下，對(duì)每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間是一隨機(jī)變量，其概率分布有定長(zhǎng)分布、負(fù)指數(shù)分布、K級(jí)愛爾良分布、一般分布(所有顧客的服務(wù)時(shí)間都是獨(dú)立同分布的)等等。服務(wù)時(shí)間的分布通常假定是平穩(wěn)的。第27頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三281.3排隊(duì)模型的分類排隊(duì)模型分類方法——D.G.Kendall，1953構(gòu)成排隊(duì)模型的三個(gè)主要特征指標(biāo)(1)相繼顧客到達(dá)間隔時(shí)間的分布；(2)服務(wù)時(shí)間的分布；(3)服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)。根據(jù)這三個(gè)特征對(duì)排隊(duì)模型進(jìn)行分類的Kendall記號(hào)：

X/Y/ZX：表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間的分布；Y：表示服務(wù)時(shí)間的分布；Z：并列的服務(wù)臺(tái)的數(shù)目。第28頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三291.3排隊(duì)模型的分類表示相繼到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間的各種分布符號(hào)M——負(fù)指數(shù)分布(M是Markov的字頭，因?yàn)樨?fù)指數(shù)分布具有無記憶性，即Markov性)D——確定型(deterministic)Ek——k階愛爾朗(erlang)分布GI——一般相互獨(dú)立(generalindependent)的時(shí)間間隔的分布G——一般(general)服務(wù)時(shí)間的分布第29頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三301.3排隊(duì)模型的分類Kendall符號(hào)的擴(kuò)充

X/Y/Z/A/B/C其中前三項(xiàng)的意義不變，后三項(xiàng)的意義分別是：A：系統(tǒng)容量限制N，或稱等待空間容量。如系統(tǒng)有N個(gè)等待位子，則0<N

<∞。當(dāng)N

=0時(shí)，說明系統(tǒng)不允許等待，即為損失制。N

=∞時(shí)為等待制系統(tǒng)，此時(shí)∞般省略不寫。N為有限整數(shù)時(shí)，表示為混合制系統(tǒng)。B：顧客源數(shù)目m。分有限與無限兩種，∞表示顧客源無限，此時(shí)一般∞也可省略不寫。C：服務(wù)規(guī)則，如先到先服務(wù)(FCFS)，后到后服務(wù)(LCFS)，優(yōu)先權(quán)服務(wù)(PR)等。第30頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三311.3排隊(duì)模型的分類Kendall符號(hào)的擴(kuò)充

X/Y/Z/A/B/C

某些情況下，排隊(duì)問題僅用上述表達(dá)形式中的前3個(gè)、4個(gè)、5個(gè)符號(hào)。如不特別說明則均理解為系統(tǒng)等待空間容量無限；顧客源無限，先到先服務(wù)，單個(gè)服務(wù)的等待制系統(tǒng)。約定：如略去后三項(xiàng)，即指X/Y/Z/∞/∞/FCFS的情形。例如：某排隊(duì)問題為M／M／S／∞／∞／FCFS／，則表示顧客到達(dá)間隔時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布(泊松流)；服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布；有s(s＞1)個(gè)服務(wù)臺(tái)；系統(tǒng)等待空間容量無限(等待制)；顧客源無限，采用先到先服務(wù)規(guī)則。第31頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三321.4排隊(duì)問題的求解首先需要確定屬于哪種排隊(duì)模型，其中顧客到達(dá)的間隔時(shí)間分布和服務(wù)時(shí)間的分布需要實(shí)測(cè)的數(shù)據(jù)來確定確定用以判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，求出這些數(shù)量指標(biāo)的概率分布或特征數(shù)第32頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三331.4排隊(duì)問題的求解用于描述排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的基本數(shù)量指標(biāo)

(1)隊(duì)長(zhǎng)：系統(tǒng)中的顧客數(shù)，是排隊(duì)等待的顧客數(shù)與正在接受服務(wù)的顧客數(shù)之和，期望值記作Ls；

排隊(duì)長(zhǎng)（隊(duì)列長(zhǎng)）：系統(tǒng)中排隊(duì)等待服務(wù)的顧客數(shù)，期望值記作Lq；

隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)一般都是隨機(jī)變量。我們希望能確定它們的分布，或至少能確定它們的平均值(即平均隊(duì)長(zhǎng)和平均排隊(duì)長(zhǎng))及有關(guān)的矩(如方差等)。隊(duì)長(zhǎng)的分布是顧客和服務(wù)員都關(guān)心的，特別是對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)人員來說，如果能知道隊(duì)長(zhǎng)的分布，就能確定隊(duì)長(zhǎng)超過某個(gè)數(shù)的概率，從而確定合理的等待空間。第33頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三341.4排隊(duì)問題的求解用于描述排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的基本數(shù)量指標(biāo)

(2)逗留時(shí)間：顧客在系統(tǒng)中的停留時(shí)間，從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他接受服務(wù)完成止這段時(shí)間，期望值記作Ws；是隨機(jī)變量，也是顧客最關(guān)心的指標(biāo)之一。

等待時(shí)間：顧客在系統(tǒng)中排隊(duì)等待的時(shí)間，從顧客到達(dá)時(shí)刻起到他開始接受服務(wù)止這段時(shí)間，期望值記作Wq，是隨機(jī)變量，也是顧客最關(guān)心的指標(biāo)，因?yàn)轭櫩屯ǔＯＭ却龝r(shí)間越短越好。［逗留時(shí)間］＝［等待時(shí)間］＋［服務(wù)時(shí)間］

對(duì)這兩個(gè)指標(biāo)的研究當(dāng)然是希望能確定它們的分布，或至少能知道顧客的平均等待時(shí)間和平均逗留時(shí)間。第34頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三351.4排隊(duì)問題的求解用于描述排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行狀況的基本數(shù)量指標(biāo)

(3)

忙期：指從顧客到達(dá)空閑服務(wù)機(jī)構(gòu)起，到服務(wù)機(jī)構(gòu)再次為空閑止的時(shí)間長(zhǎng)度，即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)忙的時(shí)間。這是個(gè)隨機(jī)變量，是服務(wù)員最為關(guān)心的指標(biāo)，因?yàn)樗P(guān)系到服務(wù)員的服務(wù)強(qiáng)度。閑期：即服務(wù)機(jī)構(gòu)連續(xù)保持空閑的時(shí)間。在排隊(duì)系統(tǒng)中，忙期和閑期總是交替出現(xiàn)的。其他一些指標(biāo)，如在損失制或系統(tǒng)容量有限的情況下，由于顧客被拒絕，而使服務(wù)系統(tǒng)受到損失的顧客損失率及服務(wù)強(qiáng)度等第35頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三361.4排隊(duì)問題的求解系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布系統(tǒng)的狀態(tài)即指系統(tǒng)中的顧客數(shù)，它的可能取值是：(1)隊(duì)長(zhǎng)沒有限制時(shí)，n=0，1，2，…(2)隊(duì)長(zhǎng)有限制、最大數(shù)為N時(shí)，n=0，1，2，…，N(3)即時(shí)制且服務(wù)臺(tái)個(gè)數(shù)為c時(shí)，n=0，1，2，…，c系統(tǒng)處于這些狀態(tài)的概率一般是隨時(shí)間t變化的，所以在時(shí)刻t、系統(tǒng)狀態(tài)為n的概率可以用Pn(t)表示。第36頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三371.4排隊(duì)問題的求解求狀態(tài)概率Pn(t)的方法：

建立含Pn(t)的關(guān)系式，該關(guān)系式一般是包含Pn(t)的微分差分方程(關(guān)于t的微分方程，關(guān)于n的差分方程)。該方程的解稱為瞬態(tài)(或稱過渡狀態(tài))(transientstate)解。它的極限稱為穩(wěn)態(tài)(steadystate)解，或稱統(tǒng)計(jì)平衡狀態(tài)(statisticalequilibriumstate)解。第37頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三381.4排隊(duì)問題的求解穩(wěn)態(tài)解的物理意義當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)行了無限長(zhǎng)時(shí)間后，初始(t=0)狀態(tài)的概率分布(Pn(0)，n≥0)的影響將消失，系統(tǒng)狀態(tài)的概率分布不再隨時(shí)間而變化。在實(shí)際應(yīng)用中，大多數(shù)系統(tǒng)會(huì)很快趨于穩(wěn)態(tài)，而無需等到t→∞以后。求穩(wěn)態(tài)概率Pn時(shí)，不需要求t→∞時(shí)Pn(t)的極限，而只需令導(dǎo)數(shù)P’n(t)=0即可。第38頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三391.4排隊(duì)問題的求解

上面給出的這些數(shù)量指標(biāo)一般都是和系統(tǒng)運(yùn)行的時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量，求這些隨機(jī)變量的瞬時(shí)分布一般是很困難的。為了分析上的簡(jiǎn)便，并注意到相當(dāng)一部分排隊(duì)系統(tǒng)在運(yùn)行了一定時(shí)間后，都會(huì)趨于一個(gè)平衡狀態(tài)(或稱平穩(wěn)狀態(tài))。在平衡狀態(tài)下，隊(duì)長(zhǎng)的分布、等待時(shí)間的分布和忙期的分布都和系統(tǒng)所處的時(shí)刻無關(guān)，而且系統(tǒng)的初始狀態(tài)的影響也會(huì)消失。因此，本章中將主要討論與系統(tǒng)所處時(shí)刻無關(guān)的性質(zhì)，即統(tǒng)計(jì)平衡性質(zhì)。第39頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三40排隊(duì)論

第1節(jié)基本概念第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第3節(jié)單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第4節(jié)多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第5節(jié)一般服務(wù)時(shí)間M/G/1模型第6節(jié)經(jīng)濟(jì)分析——系統(tǒng)的最優(yōu)化第7節(jié)分析排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)模擬法第40頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三412.1到達(dá)間隔的分布2.1.1經(jīng)驗(yàn)分布（定長(zhǎng)輸入）2.1.2普阿松流（泊松流）2.1.3愛爾朗分布2.2服務(wù)時(shí)間的分布2.2.1經(jīng)驗(yàn)分布（定長(zhǎng)分布）2.2.2負(fù)指數(shù)分布2.2.3愛爾朗分布第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第41頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三422.1.1經(jīng)驗(yàn)分布例1

大連港大港區(qū)1979年載貨500噸以上船舶到達(dá)(不包括定期到達(dá)的船舶)逐日記錄見書上表12-2。將表12-2整理成船舶到達(dá)數(shù)的分布表。可以計(jì)算出：平均到達(dá)率=到達(dá)總數(shù)/總天數(shù)=1271/365=3.48(艘/天)船舶到達(dá)數(shù)n頻數(shù)頻率(%)0120.0331430.1182640.1753740.2034710.1955490.1346260.0717190.052840.011920.00510以上10.003合計(jì)3651.000第42頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三432.1.1經(jīng)驗(yàn)分布以τi表示第i號(hào)顧客到達(dá)的時(shí)刻，以si表示對(duì)它的服務(wù)時(shí)間，這樣可算出相繼到達(dá)的間隔時(shí)間ti(ti=τi+1-τi)和排隊(duì)等待時(shí)間wi，它們的關(guān)系如下：實(shí)際中測(cè)定相繼到達(dá)時(shí)間間隔的方法相繼到達(dá)時(shí)間間隔等待時(shí)間第43頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三442.1.1經(jīng)驗(yàn)分布例2

某服務(wù)機(jī)構(gòu)是單服務(wù)臺(tái)，先到先服務(wù)，對(duì)41個(gè)顧客記錄到達(dá)時(shí)刻τ和服務(wù)時(shí)間s(單位為分鐘)如表12-4。在表中以第1號(hào)顧客到達(dá)時(shí)刻為0，對(duì)所有顧客的全部服務(wù)時(shí)間為127分鐘。將原始記錄整理成下表。到達(dá)間隔/分鐘次數(shù)162103846536272819110以上1合計(jì)40服務(wù)時(shí)間/分鐘次數(shù)1102103745546271819以上1合計(jì)41第44頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三452.1.1經(jīng)驗(yàn)分布例2平均間隔時(shí)間=142/40=3.55(分鐘/人)平均到達(dá)率=41/142=0.28(人/分鐘)平均服務(wù)時(shí)間=127/41=3.12(分鐘/人)平均服務(wù)率=41/127=0.32(人/分鐘)第45頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三46普阿松流，又稱為泊松流、Poisson過程、最簡(jiǎn)單流，是排隊(duì)論中一種常用來描述顧客到達(dá)規(guī)律的特殊的隨機(jī)過程。2.1.2普阿松流（泊松流）第46頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三472.1.2普阿松流（泊松流）設(shè)表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)的顧客數(shù)令表示在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有個(gè)顧客到達(dá)的概率，即當(dāng)滿足下列三個(gè)條件時(shí)，我們說顧客的到達(dá)形成泊松流。(1)在不相重疊的時(shí)間區(qū)間內(nèi)顧客到達(dá)數(shù)是相互獨(dú)立的，即無后效性。通俗地說就是以前到達(dá)的顧客情況，對(duì)以后顧客的到來沒有影響。否則就是關(guān)聯(lián)的。(2)平穩(wěn)性。又稱作輸入過程是平穩(wěn)的，對(duì)充分小的，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率與t無關(guān)，而與區(qū)間長(zhǎng)度成正比，即

其中，當(dāng)時(shí)，是關(guān)于的高階無窮小。

進(jìn)一步地，在長(zhǎng)度為t的時(shí)段內(nèi)恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率僅與時(shí)段長(zhǎng)度有關(guān)，而與時(shí)段起點(diǎn)無關(guān)。即對(duì)任意∈(0,∞)，在(,+t]或(0,t)內(nèi)恰好到達(dá)k個(gè)顧客的概率相等：(3)單個(gè)性又稱普通性。對(duì)于充分小的，在時(shí)間區(qū)間內(nèi)有2個(gè)或2個(gè)以上顧客到達(dá)的概率極小，以至于可以忽略，即

第47頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三48當(dāng)顧客到達(dá)為泊松流時(shí)，研究顧客到達(dá)數(shù)n的概率分布。由條件(2)，總可以取時(shí)間由0算起，并簡(jiǎn)記由條件(2)和(3)，容易推得在區(qū)間內(nèi)沒有顧客到達(dá)的概率

將區(qū)間分成兩個(gè)互不重疊的區(qū)間和。則到達(dá)總數(shù)n分別出現(xiàn)在這兩個(gè)區(qū)間和上，有下列(A)(B)(C)三種情況：概率個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)概率個(gè)數(shù)區(qū)間情況2.1.2普阿松流（泊松流）第48頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三492.1.2普阿松流（泊松流）在內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客應(yīng)是表中(A)(B)(C)三種互不相容的情況之一，所以概率應(yīng)是表中三個(gè)概率之和(各合為一項(xiàng))令，得下列方程，并注意到初始條件，則有當(dāng)n=0時(shí)，沒有(B)，(C)兩種情況，所以得第49頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三50解(12-5)式和(12-6)式，得

表示長(zhǎng)為t的時(shí)間區(qū)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客（即N(t)=n）的概率，由(12-7)式得隨機(jī)變量服從泊松分布。結(jié)論：當(dāng)顧客到達(dá)為泊松流時(shí)，在長(zhǎng)度為t的時(shí)間內(nèi)到達(dá)n個(gè)顧客的概率Pn(t)服從泊松分布!!它的數(shù)學(xué)期望和方差分別是2.1.2普阿松流（泊松流）相等！特別地，t=1時(shí)，E[N(1)]=λ

，因此λ表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)第50頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三51

是指相繼顧客到達(dá)時(shí)間間隔T相互獨(dú)立，其分布密度為

其中，k為非負(fù)整數(shù)。

2.1.3愛爾朗分布愛爾朗分布第51頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三522.1.3愛爾朗分布設(shè)是k個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，服從相同參數(shù)的負(fù)指數(shù)分布，那么的概率密度是稱T服從k階愛爾朗分布，其均值和方差分別為可以證明如下結(jié)論。第52頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三532.1.3愛爾朗分布愛爾朗分布的意義當(dāng)k=1時(shí)，愛爾朗分布化為負(fù)指數(shù)分布，可看成是一種完全隨機(jī)的分布；當(dāng)k增大時(shí)，愛爾朗分布的圖形逐漸變?yōu)閷?duì)稱的；當(dāng)k≥30時(shí)愛爾朗分布近似于正態(tài)分布；k→∞時(shí)，Var［T］→0，這時(shí)愛爾朗分布化為確定型分布。一般k階愛爾朗分布可看成完全隨機(jī)與完全確定的中間型，能對(duì)現(xiàn)實(shí)世界提供更為廣泛的適應(yīng)性。第53頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三542.1.3愛爾朗分布可以證明，在參數(shù)為的泊松輸人中，對(duì)任意的j與k,設(shè)第j與第j+k個(gè)顧客之間的到達(dá)間隔為。則隨機(jī)變量Tk的分布必遵從參數(shù)為的愛爾朗分布，其分布密度為：

例如：

某排隊(duì)系統(tǒng)有并聯(lián)的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，顧客流為泊松流，規(guī)定第i,K+i,2K+i…個(gè)顧客排入第i號(hào)臺(tái)(i=1,2,…,K)，則第K臺(tái)所獲得的顧客流，即為愛爾朗輸入流，其他各臺(tái)，從它的第一個(gè)顧客到達(dá)以后開始所獲得的流也為愛爾朗輸入流。第54頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三552.1到達(dá)間隔的分布2.1.1經(jīng)驗(yàn)分布（定長(zhǎng)輸入）2.1.2普阿松流（泊松流）2.1.3愛爾朗分布2.2服務(wù)時(shí)間的分布2.2.1經(jīng)驗(yàn)分布（定長(zhǎng)分布）2.2.2負(fù)指數(shù)分布2.2.3愛爾朗分布第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第55頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三562.2服務(wù)時(shí)間的分布

2.2.1服務(wù)時(shí)間的定長(zhǎng)分布。每一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間都是常數(shù)，此時(shí)服務(wù)時(shí)間t的分布函數(shù)為：

第56頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三572.2.2服務(wù)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布如果隨機(jī)變量T的概率密度是則稱T服從負(fù)指數(shù)分布。它的分布函數(shù)是數(shù)學(xué)期望為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為

負(fù)指數(shù)分布的定義第57頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三58服務(wù)時(shí)間v的分布對(duì)顧客的服務(wù)時(shí)間，也就是在忙期相繼離開系統(tǒng)的兩顧客的間隔時(shí)間，有時(shí)也服從負(fù)指數(shù)分布。設(shè)它的分布函數(shù)和密度分別是其中表示單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)，稱為平均服務(wù)率，表示對(duì)顧客的平均服務(wù)時(shí)間。2.2.2服務(wù)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布第58頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三59負(fù)指數(shù)分布的性質(zhì)(1)由條件概率公式容易證明該性質(zhì)稱為無記憶性或馬爾柯夫性。若T表示排隊(duì)系統(tǒng)中顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間，該性質(zhì)說明：一個(gè)顧客到來所需的時(shí)間與過去一個(gè)顧客到來所需時(shí)間s無關(guān)，也就是說該顧客是隨機(jī)地到達(dá)。(2)當(dāng)輸入過程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T（注意T是隨機(jī)變量）必然服從負(fù)指數(shù)分布。這是因?yàn)閷?duì)于泊松流，在區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率是又可表示為

根據(jù)（12.10）即得顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T必然服從負(fù)指數(shù)分布。2.2.2服務(wù)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布第59頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三60(2)當(dāng)輸入過程是泊松流時(shí)，那么顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T（注意T是隨機(jī)變量）必然服從負(fù)指數(shù)分布。這是因?yàn)閷?duì)于泊松流，在區(qū)間內(nèi)至少有1個(gè)顧客到達(dá)的概率是又可表示為

根據(jù)（12.10）即得顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間T必然服從負(fù)指數(shù)分布。上述內(nèi)容還可以用如下表達(dá)！

對(duì)于泊松流，其相繼顧客到達(dá)時(shí)間間隔i，i=1,2,…是相互獨(dú)立同分布的，其分布函數(shù)為負(fù)指數(shù)分布：

2.2.2服務(wù)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布第60頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三61顧客相繼到達(dá)的間隔時(shí)間獨(dú)立且為同負(fù)指數(shù)分布(密度函數(shù)為)，與輸入過程為泊松流(參數(shù)為λ)是等價(jià)的。對(duì)于泊松流，λ表示單位時(shí)間平均到達(dá)的顧客數(shù)，1/λ表示相繼顧客到達(dá)平均間隔時(shí)間。

相繼到達(dá)時(shí)間間隔為負(fù)指數(shù)分布與到達(dá)為泊松流的等價(jià)性2.2.2服務(wù)時(shí)間的負(fù)指數(shù)分布第61頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三62

愛爾朗分布。即每個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的愛爾朗分布。其密度函數(shù)為

其中>0為一常數(shù)，此種的平均服務(wù)時(shí)間為：

K=1時(shí)愛爾朗分布化歸為負(fù)指數(shù)分布當(dāng)K→∞時(shí)，得到長(zhǎng)度為1/的定長(zhǎng)服務(wù)。例子：串列的k個(gè)服務(wù)臺(tái)，每臺(tái)服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布(參數(shù)kμ)，那么一顧客走完這k個(gè)服務(wù)臺(tái)總共所需要服務(wù)時(shí)間就服從k階愛爾朗分布。2.2.3服務(wù)時(shí)間的愛爾朗分布第62頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三63第1節(jié)基本概念第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第3節(jié)單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第4節(jié)多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第5節(jié)一般服務(wù)時(shí)間M/G/1模型第6節(jié)經(jīng)濟(jì)分析——系統(tǒng)的最優(yōu)化第7節(jié)分析排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)模擬法排隊(duì)論

第63頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三64排隊(duì)論

排隊(duì)論研究的首要問題是排隊(duì)系統(tǒng)主要數(shù)量指標(biāo)的概率規(guī)律，即研究系統(tǒng)的整體性質(zhì)，然后進(jìn)一步研究系統(tǒng)的優(yōu)化問題。與這兩個(gè)問題相關(guān)的還包括排隊(duì)系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)推斷問題。

(1)通過研究主要數(shù)量指標(biāo)在瞬時(shí)或平穩(wěn)狀態(tài)下的概率分布及其數(shù)字特征，了解系統(tǒng)運(yùn)行的基本特征。

(2)統(tǒng)計(jì)推斷問題，建立適當(dāng)?shù)呐抨?duì)模型是排隊(duì)論研究的第一步，建立模型過程中經(jīng)常會(huì)碰到如下問題：檢驗(yàn)系統(tǒng)是否達(dá)到平穩(wěn)狀態(tài)；檢驗(yàn)顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的相互獨(dú)立性；確定服務(wù)時(shí)間的分布及有關(guān)參數(shù)等。第64頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三65(3)系統(tǒng)優(yōu)化問題，又稱為系統(tǒng)控制問題或系統(tǒng)運(yùn)營(yíng)問題，其基本目的是使系統(tǒng)處于最優(yōu)或最合理的狀態(tài)。系統(tǒng)優(yōu)化問題包括最優(yōu)設(shè)計(jì)問題和最優(yōu)運(yùn)營(yíng)問題，其內(nèi)容很多，有最少費(fèi)用問題、服務(wù)率的控制問題、服務(wù)臺(tái)的開關(guān)策略、顧客(或服務(wù))根據(jù)優(yōu)先權(quán)的最優(yōu)排序等方面的問題。對(duì)于一般的排隊(duì)系統(tǒng)運(yùn)行情況的分析，通常是在給定輸入與服務(wù)條件下，通過求解系統(tǒng)狀態(tài)為n(有n個(gè)顧客)的概率Pn(t)，再進(jìn)行計(jì)算其主要的運(yùn)行指標(biāo)：排隊(duì)論

第65頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三66①系統(tǒng)中顧客數(shù)(隊(duì)長(zhǎng))的期望值L或Ls；②排隊(duì)等待的顧客數(shù)(排隊(duì)長(zhǎng))的期望值Lq；③顧客在系統(tǒng)中全部時(shí)間(逗留時(shí)間)的期望值W或Ws；④顧客排隊(duì)等待時(shí)間的期望值Wq。

排隊(duì)系統(tǒng)中，由于顧客到達(dá)分布和服務(wù)時(shí)間分布是多種多樣的，加之服務(wù)臺(tái)數(shù)。顧客源有限無限，排隊(duì)容量有限無限等的不同組合，就會(huì)有不勝枚舉的不同排隊(duì)模型，若對(duì)所有排隊(duì)模型都進(jìn)行分析與計(jì)算，不但十分繁雜而且也沒有必要。下面擬分析幾種常見排隊(duì)系統(tǒng)模型。排隊(duì)論

第66頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三673.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)3.2系統(tǒng)容量有限的情況(M/M/1/N/∞)3.3顧客源有限的情形(M/M/1/∞/m)第3節(jié)單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析本節(jié)討論輸入過程服從普阿松分布過程、服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布單服務(wù)臺(tái)的排隊(duì)系統(tǒng)。第67頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三68標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(1)輸入過程——顧客源是無限的，顧客單個(gè)到來，相互獨(dú)立，一定時(shí)間內(nèi)的到達(dá)數(shù)服從泊松分布，到達(dá)過程是平穩(wěn)的。(2)排隊(duì)規(guī)則——單隊(duì)，且對(duì)隊(duì)長(zhǎng)沒有限制，先到先服務(wù)。(3)服務(wù)機(jī)構(gòu)——單服務(wù)臺(tái)，各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布。此外，還假定到達(dá)間隔時(shí)間和服務(wù)時(shí)間是相互獨(dú)立的。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)即已知條件：

λ：顧客進(jìn)入系統(tǒng)的平均速度，即單位時(shí)間到達(dá)的顧客數(shù)。

μ：顧客離開系統(tǒng)的平均速度，即單位時(shí)間能被服務(wù)完成的顧客數(shù)。第68頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三69首先要求出：系統(tǒng)在任意時(shí)刻t的狀態(tài)為n(即系統(tǒng)中有n個(gè)顧客)的概率，它決定了系統(tǒng)運(yùn)行的特征。因已知到達(dá)規(guī)律服從參數(shù)為的泊松過程，服務(wù)時(shí)間服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布，所以在時(shí)間區(qū)間內(nèi)分為：(1)有1個(gè)顧客到達(dá)的概率為沒有顧客到達(dá)的概率就是(2)當(dāng)有顧客在接受服務(wù)時(shí)，1個(gè)顧客被服務(wù)完了(離去)的概率是，沒有離去的概率就是。(3)多于一個(gè)顧客的到達(dá)或離去的概率是，可以忽略。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第69頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三703.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)在時(shí)刻，系統(tǒng)中有n個(gè)顧客(n＞0)存在下列四種情況(到達(dá)或離去是2個(gè)以上的沒列入)：○表示發(fā)生(1個(gè))；×表示沒有發(fā)生。n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)離去到達(dá)在時(shí)刻顧客數(shù)在區(qū)間在時(shí)刻t顧客數(shù)情況第70頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三71第71頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三72這四種情況是互不相容的，所以應(yīng)是這四項(xiàng)之和，即即令，得關(guān)于的微分差分方程3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)所有的高階無窮小和并第72頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三73當(dāng)，則只有上表中(A)(B)情況，且方式(A)中無離去的概率為1，即同理求得它們的概率分別是情況(A)情況(B)情況(C)情況(D)n○○n(D)n×○n-1(C)n○×n+1(B)n××n(A)離去到達(dá)在時(shí)刻顧客數(shù)在區(qū)間在時(shí)刻t顧客數(shù)情況3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第73頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三74研究穩(wěn)態(tài)的情況。這時(shí)與時(shí)間t無關(guān)，可寫成，它的導(dǎo)數(shù)為0。由(12-15)式和(12-16)式可得這是關(guān)于的差分方程，它表明了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系：狀態(tài)0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1的轉(zhuǎn)移率為，狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0的轉(zhuǎn)移率為。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)這種系統(tǒng)狀態(tài)(n)隨時(shí)間變化的過程就是生滅過程（BirthandDeathProcess）。方程(12-15)、(12-16)解是瞬態(tài)解，無法應(yīng)用。第74頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三753.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)對(duì)狀態(tài)0必須滿足以下平衡方程同樣對(duì)任何的狀態(tài)，可得如(12-18)所示的平衡方程。由(12-17)式可得將它代入(12-18)式，令，得到同理依次推得今設(shè)(否則隊(duì)列將排至無限遠(yuǎn))，又由概率的性質(zhì)知將的關(guān)系代入，得到第75頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三76對(duì)ρ的實(shí)際意義的解釋?duì)眩溅?μ，是平均到達(dá)率與平均服務(wù)率之比，即在相同時(shí)區(qū)內(nèi)顧客到達(dá)的平均數(shù)與被服務(wù)的平均數(shù)之比。若將ρ表示為ρ＝(1/μ)/(1/λ)，它是一個(gè)顧客的服務(wù)時(shí)間與到達(dá)間隔時(shí)間之比，稱ρ為服務(wù)強(qiáng)度(trafficintensity)，或話務(wù)強(qiáng)度。由(12-19)式可知，ρ=1-P0，它刻畫了服務(wù)機(jī)構(gòu)的繁忙程度，所以ρ又稱為服務(wù)機(jī)構(gòu)的利用率。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)系統(tǒng)處于空閑狀態(tài)的概率：系統(tǒng)處于繁忙狀態(tài)的概率：第76頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三77根據(jù)平穩(wěn)分布，求排隊(duì)系統(tǒng)的有關(guān)運(yùn)行指標(biāo)(1)系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)（平均隊(duì)長(zhǎng)）

或 (2)在隊(duì)列中等待的平均顧客數(shù)

3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)期望第77頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三78顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間W(為一個(gè)隨機(jī)變量)在M/M/1情形下，服從參數(shù)為的負(fù)指數(shù)分布①，即

分布函數(shù)概率密度

于是，得到(3)

在系統(tǒng)中顧客逗留時(shí)間的期望值

(4)

在隊(duì)列中顧客等待時(shí)間的期望值

3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)平均逗留時(shí)間減去平均服務(wù)時(shí)間。第78頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三79將以上結(jié)果歸納如下：

它們的相互關(guān)系如下：

上式稱為L(zhǎng)ittle公式。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第79頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三803.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)Ls,Lq,λ

,Ws,Wq之間的關(guān)系：幾何解釋：穩(wěn)態(tài)時(shí)，一個(gè)顧客，進(jìn)入系統(tǒng)后，每單位時(shí)間，平均到達(dá)λ顧客。

λλλλλ進(jìn)入時(shí)刻離開時(shí)刻總時(shí)間Ws

隊(duì)長(zhǎng)Ls由時(shí)間段內(nèi)個(gè)λ組成的Ls=λWs同理：Lq=λWq

Ws=Wq+（1/μ）-------Ws與Wq只相差一段平均服務(wù)時(shí)間1/μ

第80頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三81例1：考慮一個(gè)鐵路列車編組站。設(shè)待編列車到達(dá)時(shí)間間隔服從負(fù)指數(shù)分布，平均每小時(shí)到達(dá)2列；服務(wù)臺(tái)是編組站，編組時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每20分鐘可編一組。已知編組站上共有2股道，當(dāng)均被占用時(shí)，不能接車，再來的列車只能停在站外或前方站。求在平衡狀態(tài)下系統(tǒng)中列車的平均數(shù)；每一列車的平均逗留時(shí)間；等待編組的列車平均數(shù)。如果列車因站中2股道均被占用而停在站外或前方站時(shí)，每列車每小時(shí)費(fèi)用為a元，求每天由于列車在站外等待而造成的損失。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第81頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三82解：本例可看成一個(gè)M/M/1/排隊(duì)問題，其中=2，=3，=/=2/3<1系統(tǒng)中列車的平均數(shù)L=/(1-)=(2/3)/(1-2/3)=2（列）列車在系統(tǒng)中的平均停留時(shí)間W=L/=2/2=1（小時(shí)）系統(tǒng)中等待編組的列車平均數(shù)Lq=L-=2-2/3=4/3（列）列車在系統(tǒng)中的平均等待編組時(shí)間

Wq=Lq/=(4/3)/(1/2)=2/3（小時(shí)）3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第82頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三83記列車平均延誤（由于站內(nèi)2股道均被占用而不能進(jìn)站）時(shí)間為W0則W0=WP{N>2}=W{1-P0-P1-P2}=W{1-(l-)-(l-)1-(l-)2}=1*3=

3=(2/3)3=0.296（小時(shí)）故每天列車由于等待而支出的平均費(fèi)用E=24W0a=24*2*0.296*a=14.2a元3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第83頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三84例2：某修理店只有一位修理工，來修理的顧客到達(dá)過程為Poisson流，平均每小時(shí)4人；修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需要6分鐘。試求：修理店空閑的概率；店內(nèi)恰有3位顧客的概率；店內(nèi)至少有一位顧客的概率；在店內(nèi)平均顧客數(shù)；每位在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；等待服務(wù)的平均顧客數(shù)；每位顧客平均等待服務(wù)時(shí)間；顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過10分鐘的概率。3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第84頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三85解：本例可看成一個(gè)M/M/1/排隊(duì)問題，其中=4，=1/0.1=10(人/小時(shí)），=/=2/5<1修理店內(nèi)空閑的概率P0=1-=(1-2/5)=0.6店內(nèi)恰有3個(gè)顧客的概率P3=3(1-)=(2/5)3(1-2/5)=0.0383.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第85頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三86店內(nèi)至少有1位顧客的概率P{N1}=1-P0=1-

(1-)==2/5=0.4在店內(nèi)平均顧客數(shù)L=/(1-)=(2/5)/(1-2/5)=0.67(人）每位顧客在店內(nèi)平均逗留時(shí)間W=L/=0.67/4=10分鐘3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第86頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三87等待服務(wù)的平均顧客數(shù)Lq=L-=0.67-2/5=0.27(人)每個(gè)顧客平均等待服務(wù)時(shí)間Wq=Lq/=0.27/4=0.0675小時(shí)

=4分鐘3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第87頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三88顧客在店內(nèi)等待時(shí)間超過10分鐘的概率P{T>10}=e-10(1/6-1/15)=e-1=0.3677P{T>t}=e-(-)tt=10分鐘,=10人/小時(shí)=10/60=1/6=4人/小時(shí)=4/60=1/153.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第88頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三89例3

某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)病人來診和完成手術(shù)時(shí)間的記錄，任意抽查了100個(gè)工作小時(shí)，每小時(shí)來就診的病人數(shù)n的出現(xiàn)次數(shù)如下表所示；又任意抽查了100個(gè)完成手術(shù)的病歷，所用時(shí)間v(單位：小時(shí))出現(xiàn)的次數(shù)如下表所示。到達(dá)的病人數(shù)n出現(xiàn)人數(shù)0101282316410566以上1合計(jì)100為病人完成手術(shù)時(shí)間v(小時(shí))出現(xiàn)人數(shù)0.0~0.2380.2~0.4250.4~0.6170.6~0.890.8~1.061.0~1.251.2以上0合計(jì)1003.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第89頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三90(1)每小時(shí)病人平均到達(dá)率(人/小時(shí))

每次手術(shù)平均時(shí)間(小時(shí)/人)

每小時(shí)完成手術(shù)人數(shù)(平均服務(wù)率)(人/小時(shí))(2)取，，可以通過統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法，認(rèn)為病人到達(dá)數(shù)服從參數(shù)為2.1的泊松分布，手術(shù)時(shí)間服從參數(shù)為2.5的負(fù)指數(shù)分布。(3)說明服務(wù)機(jī)構(gòu)(手術(shù)室)有84%的時(shí)間是繁忙的，有16%的時(shí)間是空閑的。(4)依次代入(12-21)式，算出各指標(biāo)：在病房中病人數(shù)(期望值) (人)排隊(duì)等待病人數(shù)(期望值) (人)病人在病房中逗留時(shí)間(期望值) (小時(shí))病人排隊(duì)等待時(shí)間(期望值) (小時(shí))3.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型(M/M/1/∞/∞)第90頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三91如果系統(tǒng)的最大容量為N，對(duì)于單服務(wù)臺(tái)的情形，排隊(duì)等待的顧客最多為N-1，在某時(shí)刻一顧客到達(dá)時(shí)，如系統(tǒng)中已有N個(gè)顧客，那么這個(gè)顧客就被拒絕進(jìn)入系統(tǒng)。當(dāng)N=1時(shí)為即時(shí)制的情形；當(dāng)N→∞時(shí)為容量無限制的情形。3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第91頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三92泊松輸入—負(fù)指數(shù)分布服務(wù)的排隊(duì)系統(tǒng)的一般決策過程：①根據(jù)已知條件繪制狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖；②依據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移速度圖寫出各穩(wěn)態(tài)概率之間的關(guān)系；③求出P0

及

Pn；④計(jì)算各項(xiàng)數(shù)量運(yùn)行指標(biāo)；⑤用系統(tǒng)運(yùn)行指標(biāo)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行優(yōu)化。3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第92頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三933.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)穩(wěn)態(tài)情形下各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系圖狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程

∴第93頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三943.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)穩(wěn)態(tài)情形下各狀態(tài)間概率強(qiáng)度的轉(zhuǎn)換關(guān)系圖狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程

其中(12-23a)也可寫成，則有第94頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三953.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)

由

N∑(λ/μ)nP0=1n=0

NP0=1/[∑(λ/μ)n]=

n=0(1-λ/μ)/

[(1-(λ/μ)N+1]λμ

1/(N+1)λ=μ

Pn=1/(N+1)λ=μ

(1-λ/μ)(λ/μ)n/[(1-(λ/μ)N+1]λμ

第95頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三96M/M/1/N/∞排隊(duì)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)：(1)隊(duì)長(zhǎng)(期望值)(2)隊(duì)列長(zhǎng)(期望值)(3)顧客逗留時(shí)間(期望值)(4)顧客等待時(shí)間(期望值)(5)有效到達(dá)率3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)令，得到第96頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三97(ρ≠1,n≤N)∴(1)平均隊(duì)長(zhǎng)Ls：(ρ≠1)試證ρ=1時(shí),Ls=N/23.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第97頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三98

???M/M/1/N/∞排隊(duì)系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)：(1)隊(duì)長(zhǎng)(期望值)(2)隊(duì)列長(zhǎng)(期望值)(3)顧客逗留時(shí)間(期望值)(4)顧客等待時(shí)間(期望值)(5)有效到達(dá)率3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)令，得到返回P98第98頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三99(2)有效到達(dá)率λe

系統(tǒng)容量有限，當(dāng)滿員（n=N）時(shí)，顧客將被拒絕，實(shí)際的顧客到達(dá)率與λ不一樣，還可驗(yàn)證：∴

此種情況的公式與前類似,只有Ls不同,λe與λ不同。求λe必須先求得P0或PN才行。有效到達(dá)率為λe

可以證明：Ls3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第99頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三100M/M/1/N/∞排隊(duì)系統(tǒng)各項(xiàng)指標(biāo)的歸納(當(dāng)時(shí))：3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第100頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三101例2．某單人理發(fā)館共有六把椅子接待顧客排隊(duì)，無座時(shí)將離去，顧客平均到達(dá)率為3人/h，理發(fā)時(shí)間平均為15分鐘，求：(1)求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率;(2)求需要等待的顧客數(shù)的期望值;(3)求有效到達(dá)率;(4)求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平均值;(5)在可能到來的顧客中，有百分之幾不等待就離開？3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第101頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三102(1)求某一顧客到達(dá)就能理發(fā)的概率:(2)求需要等待的顧客數(shù)的期望值:(3)求有效到達(dá)率:(4)求一顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間和排隊(duì)時(shí)間平均值:3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第102頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三103P0=0.27780P1=0.20836P2=0.15627P3=0.11720=0.9629=96.29%1-0.9629=3.71%

P4=0.08790P5=0.06593P6=0.04944(5)在可能到來的顧客中，有百分之幾不等待就離開？顧客為何不等待就離去？因?yàn)橄到y(tǒng)已經(jīng)滿員3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)故拒絕的概率為3.71%第103頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三104例4

某單人理發(fā)館為等待的顧客準(zhǔn)備了6把椅子，當(dāng)6把椅子都坐滿時(shí)，再來的顧客將不進(jìn)店而離開。顧客的平均到達(dá)率為3人/小時(shí)，理發(fā)平均需要15分鐘。則系統(tǒng)的容量為N=6+1=7，人/小時(shí)，人/小時(shí)。(1)某顧客一到達(dá)就能理發(fā)的概率(2)需要等待的顧客數(shù)的期望值

(3)有效到達(dá)率

(人/小時(shí))(4)一顧客在理發(fā)館內(nèi)逗留的期望時(shí)間

(小時(shí))(分鐘)3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第104頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三105(5)在可能到來的顧客中不等待就離開的概率這也是理發(fā)館的損失率。人/小時(shí)人/小時(shí)有限隊(duì)長(zhǎng)2.111.390.730.480.2783.7無限隊(duì)長(zhǎng)32.251.00.750.250以本例為例，比較隊(duì)長(zhǎng)為有限和無限的情形：3.2系統(tǒng)的容量有限制的情況(M/M/1/N/∞)第105頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三106背景設(shè)有m臺(tái)機(jī)器(顧客總體)，機(jī)器因故障停機(jī)表示“到達(dá)”，待修的機(jī)器形成隊(duì)列，修理工人是服務(wù)員，本節(jié)討論單服務(wù)員的情形。顧客總體雖只有m個(gè)，但每個(gè)顧客到來并經(jīng)過服務(wù)后，仍回到原來總體，所以仍然可以再到來。如在機(jī)器故障問題中，同一臺(tái)機(jī)器出了故障(到來)并經(jīng)修好(服務(wù)完了)仍可再出故障，形成循環(huán)。模型符號(hào)中的∞表示對(duì)系統(tǒng)的容量沒有限制，但實(shí)際上它不會(huì)超過m，所以可寫成(M/M/1/m/m)。3.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)第106頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三107設(shè)每個(gè)顧客的到達(dá)率相同，均為λ

(這里λ的含義是單臺(tái)機(jī)器在單位時(shí)間里發(fā)生故障的概率或平均次數(shù))；設(shè)系統(tǒng)內(nèi)顧客數(shù)為L(zhǎng)s，則系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為mLs，所以系統(tǒng)的有效到達(dá)率為

λe=λ(mLs)(12-26)考慮穩(wěn)態(tài)情況下狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移率由狀態(tài)0轉(zhuǎn)移到狀態(tài)1：每臺(tái)設(shè)備由正常狀態(tài)轉(zhuǎn)移為故障狀態(tài)的轉(zhuǎn)移率為λP0，m臺(tái)設(shè)備由無故障狀態(tài)轉(zhuǎn)移為有一臺(tái)設(shè)備(不論哪一臺(tái))發(fā)生故障的轉(zhuǎn)移率為mλP0。由狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)0：其狀態(tài)轉(zhuǎn)移率為μP1。所以，狀態(tài)0時(shí)有平衡方程為：

mλP0=μP13.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)第107頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三108各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移差分方程解得(注意到因而不要求）系統(tǒng)的各項(xiàng)指標(biāo)為3.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)第108頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三109例5

某車間有5臺(tái)機(jī)器，每臺(tái)機(jī)器的連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均連續(xù)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間15分鐘，有一個(gè)修理工，每次修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每次12分鐘。求：(1)修理工空閑的概率；(2)五臺(tái)機(jī)器都出故障的概率；(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)；(4)等待修理的平均臺(tái)數(shù)；(5)平均停工時(shí)間；(6)平均等待修理時(shí)間；(7)評(píng)價(jià)這些結(jié)果。3.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)第109頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三110解：

(1)(2)五臺(tái)機(jī)器都出現(xiàn)故障的概率(3)出故障的平均臺(tái)數(shù)(臺(tái))(4)等待修理的平均臺(tái)數(shù)

(臺(tái))(5)平均停工時(shí)間

(分鐘)(6)平均等待修理時(shí)間(分鐘)(7)機(jī)器停工時(shí)間過長(zhǎng)，修理工幾乎沒有空閑時(shí)間，應(yīng)當(dāng)提高服務(wù)率減少修理時(shí)間或增加修理工人。3.3顧客源為有限的情形(M/M/1/∞/m)第110頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三111第1節(jié)基本概念第2節(jié)到達(dá)間隔的分布和服務(wù)時(shí)間的分布第3節(jié)單服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第4節(jié)多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第5節(jié)一般服務(wù)時(shí)間M/G/1模型第6節(jié)經(jīng)濟(jì)分析——系統(tǒng)的最優(yōu)化第7節(jié)分析排隊(duì)系統(tǒng)的隨機(jī)模擬法排隊(duì)論

第111頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三112本節(jié)討論單隊(duì)、并列的多服務(wù)臺(tái)（服務(wù)臺(tái)數(shù)為c）的情形。4.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型4.2M/M/c型系統(tǒng)和c個(gè)M/M/1型系統(tǒng)的比較4.3系統(tǒng)容量有限的情形（M/M/c/N/）4.4顧客源有限的情形（M/M/c//m）第4節(jié)多服務(wù)臺(tái)負(fù)指數(shù)分布排隊(duì)系統(tǒng)的分析第112頁，講稿共171頁，2023年5月2日，星期三1134.1標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型標(biāo)準(zhǔn)的M/M/c模型各種特征的規(guī)定與標(biāo)準(zhǔn)的M/M/1模型的規(guī)定相同。各服務(wù)臺(tái)工作是相互獨(dú)立的(不搞協(xié)作)，且平均服務(wù)率相同。整個(gè)服務(wù)機(jī)構(gòu)的平均服務(wù)率為