快速傅里葉變換

第4章快速傅里葉變換

4.1引言4.2直接計算DFT的問題及改進(jìn)的途徑4.3按時間抽?。―IT）的基2-FFT算法4.4按頻率抽取（DIF）的基2-FFT算法4.5N為復(fù)合數(shù)的FFT算法4.6線性調(diào)頻Z變換（Chirp-Z變換）算法4.7利用FFT分析時域連續(xù)信號頻譜4.8FFT的其他應(yīng)用14.1引言

DFT實現(xiàn)了時域序列的頻域離散化,因此在數(shù)字信號處理中用途很廣。但是DFT的計算量太大，不適于實時處理，所以沒有得到真正的運用?？焖俑道锶~變換(FFT)就是為了縮短DFT運算時間而產(chǎn)生的,運算時間一般可縮短一二個數(shù)量級。FFT并不是一種新的變換,而是DFT的一種快速算法。24.2直接計算DFT的問題及改進(jìn)的途徑

直接計算DFT的運算量問題k=0,1,…,N-1設(shè)x(n)為N點有限長序列，其DFT為

通常x(n)和WNnk都是復(fù)數(shù)，因此一個X(k)需要N次復(fù)數(shù)乘法和N-1次復(fù)數(shù)加法完成整個DFT運算則需要N2次復(fù)數(shù)乘法及N(N-1)次復(fù)數(shù)加法由于DFT的運算次數(shù)與N2成正比,N較大時,運算量非?？捎^3[例]對一幅N×N點的二維圖像進(jìn)行DFT變換，當(dāng)N=1024時,直接計算DFT所需復(fù)乘次數(shù)為1012次，用每秒可做10萬次復(fù)數(shù)乘法的計算機(jī)計算需要近3000小時改善途徑

把長序列的DFT分解成短序列的DFT運算利用系數(shù)WＮnk的特性

對稱性

周期性

可約性

其它44.3按時間抽取（DIT）的基-2FFT算法

設(shè)序列x(n)長度為N，且滿足N=2M，M為正整數(shù)。按n的奇偶把x(n)分解為兩個N/2點的子序列：

FFT分為兩大類:按時間抽取法(DecimationInTime)和按頻率抽取法(DecimationInFrequency),本節(jié)先介紹第一種算法算法原理

一個N點DFT的分解5將DFT[x

(n)]分解為DFT[x1(r)]與DFT[x2(r)]的線性組合代入

6重寫DFT(X1(k)與X2(k)分別是x1(r)及x2(r)的N/2點DFT)

上式為X(k)的前一半值,而后一半值可表示為7化簡得到8上式將N點DFT分解為兩個N/2點的DFT運算，運算過程如下圖示時間抽取法蝶形運算流圖分解后運算工作量節(jié)省了近一半將X(k)表達(dá)式為前后兩部分,重寫如下9N點DF鞠T的一轟次時杜域抽攪取分澡解過廉程見匯下圖怎（N=8）10兩個N/2點DF盼T的分稻解N點DFT分解X1(k)的分侍解由于N=2M仍是籃偶數(shù)策，可譽以把您每個N/2脾點子葬序列棍再進(jìn)蛋行分謠解11N/2點DFT分解X1(k)分解流圖示12X2(k)的分裂解圖葡示13N點DF種T的第覺二次深時域霉抽取透分解熱圖（N=8）14N點DF嚇T的第睜二次盜時域魂抽取僵分解旗圖（N=8）15上式槳不需竟要乘較法,掘類雪似可妻求出X4(k)，X5(k)，X6(k)四個N/4點DF復(fù)T的計言算X3(k)的分撤解16完整險的N=8景DI瘋T-槐FF各T運算娃流圖由于出輸入代序列斤在時論域上率進(jìn)行潤奇偶斷分解何，故仇稱為樹“按時振間抽們?nèi)》ā盢=2M點的另FF鑒T共崖進(jìn)行M級運庸算，嫁每級額由N/2哪個蝶趣形運扮算組從成17DI瞇T-諸FF奏T算掩法與認(rèn)直接乏計算滾DF每T運下算量蛇的比點較直接打計算DFT與FF墊T算法烤的計竟算量憲之比勾為N越大襲，F(xiàn)殖FT街的優(yōu)咽點越劉為明參顯上例荷中：種從30形00撒h--衣-2m18按時印間抽添取的哲FF王T算混法的嬌特點1.擺原煎位運珠算（肅同址識運算辨）定義：利用屢同一勺存貯眠單元帶存貯撿蝶形城運算手輸入轟、輸岡出數(shù)記據(jù)的邁方法DI悅T-公FF舟T的運雜算規(guī)蛇律同一抱級中殲，每忍個蝶密形的毅兩個蚊輸入敢數(shù)據(jù)摩只對擋計算接本蝶拖形有醉用，各可采捕用原假位運肥算，立則全旺部運處算過遼程只俯需要N個存洋儲單向元192.柴倒碑位序萍規(guī)律雖（N=2M）輸入輸序列寺的排扇序為N的二進(jìn)狡制倒惑位序筆，輸出漁序列窗則為穗自然順序N＝8時的輸入輸出值203.候蝶臉形運收算兩品節(jié)點項的“座距離殊”對N=2M點FF站T，當(dāng)輸籠入為右倒位咳序，甩輸竄出為貼正常順序臉時，悟其第m級運澆算，顧每個拋蝶形釣的兩繞節(jié)點斤“距勁離”調(diào)為2m-1x(0)X(0)x(4)X(1)－10NWx(2)X(2)x(6)X(3)－10NW0NW2NW－1－1x(1)X(4)x(5)X(5)－10NWx(3)X(6)x(7)X(7)－10NW0NW2NW－1－10NW1NW2NW3NW－1－1－1－1x(0),x(1)x(0),x(2)x(0),x(4)21按時嘩間抽參取的呀FF掏T算哪法的更其他磨形式豆流圖對于漸任何石流圖達(dá)，只伯要保唉持各繩節(jié)點彎所連碰的支尺路及圓傳輸秘系數(shù)悲不變剪，則破不論太節(jié)點絮位置閃怎么擴(kuò)排列衫所得勵流圖哭總是鋸等效凡的將左蒙圖x(4楊)與x(1悼)畢,x(6直)與x(3妻)對綿調(diào)22時間安抽取敢、酒輸入達(dá)自然愛順序旁、剩輸出境倒位莊序的FF贊T流圖葡特點數(shù)據(jù)妄存放顧的方遙式不肚同取用惹系數(shù)私的順女序不宮同234.搭4解按頻更率抽府取（貞DI尿F）釘?shù)幕鶑N-炕2枕FF愚T算脫法算法猾原理將長裕度為N=2M的序遙列x(n)前啄后對檔半分連開,枕其N點D獻(xiàn)FT籍可表相示為k=0,1,…,N-1統(tǒng)一半求和愿區(qū)間24按k的奇稻偶可未將X(k)分為堪兩部酷分:偶數(shù)

奇數(shù)

式中k=0,1,…,N-1k取偶簽數(shù)時x(n)前骨后兩陡部分習(xí)和的N/2購點D磁FT25k取奇刪數(shù)時x(n)前除后兩基部分帝差再吳乘以WNn后的N/2崇點D軋F(tuán)T

k取偶數(shù)時令代入上式26上式表明,X(k)按k的奇支偶分戶為兩快組,其偶(奇)數(shù)組土是x1(n)，x2(n)的N/2點DF言T.x1(n),x2(n)與x(n)間的關(guān)系店也可多用下磨面蝶析形運站算流捧圖表乒示式中得到27按頻夫率抽柳取的N點DF翻T第一光次分蛇解(N=8)式中28與D胳IT遺-F瓣FT繼一樣科，由哭于N/2叫仍為陳偶數(shù)低，繼念續(xù)將唱每個N/2蝦點D蔑FT登輸出效再分挺解為宣偶數(shù)彼組與哪奇數(shù)累組,覽直到竄第M次（N=2M）按頻伸率抽躍取完豈整的N點DF彼T運算欣流圖(N=8)29DI非F-鍋FF尾T與末DI江T-中FF悉T的色聯(lián)系DI繼F的基舅本蝶明形與DI共T的基通本蝶越形互栽為轉(zhuǎn)敗置DIT蝶形運算流圖DIF蝶形運算流圖30兩種FF執(zhí)T運算睬方法莊等價DI形T-父FF救TDI蠟F-遼FF結(jié)T31ID向FT醋的高僻效算香法FF保T算鞏法同晶樣可煩以用濁于ID慮FT，稱惜為快佛速傅土里葉殘反變粱換(IF線FT)比較岡DF盆T和完ID侄FT洗的運益算公扔式:32左圖彩為在損DI透F-她FF完T流酬圖上燈改動棒后，素得到洗的D號IT肅-I陪FF薯T運調(diào)算流詳圖33ID遼FT