方陣的特征值與特征向量

第四章矩陣的特征值第一節(jié)矩陣的特征值與特征向量第二節(jié)相似矩陣與對角化第三節(jié)實對稱矩陣的特征值與特征向量2009.7.224-1-1第一節(jié)方陣的特征值與特征向量特征值與特征向量的概念特征值與特征向量的性質(zhì)2009.7.224-1-2一、特征值與特征向量的概念定義成立,(1)設(shè)A為n階矩陣,如果存在數(shù)λ和n維非零向量x,使Ax=λx那么稱數(shù)λ為矩陣A的特征值,而稱向量x為矩陣A屬于特征值λ的特征向量.方陣的特征值與特征向量3說明1.特征向量x≠0,特征向量是方陣A屬于特征值λ2.n階方陣A的特征值是齊次線性方程組(A-λE)x=0有非零解的λ值,即滿足方程|A-λE|=0的λ值均是矩陣A的特征值.的向量.方陣的特征值與特征向量4的特征方程.是以λ為未知數(shù)的一元n次方程,稱|A-λE|=0為A記f(λ)=|A-λE|,它是λ

的n次多項式,稱其為方陣A特征多項式方陣的特征值與特征向量54.n階方陣A=(aij)的特征值λ1,λ2,…,

λn又稱矩陣A的特征根.若λ0是特征方程的k重特征根,則稱λ方陣A的k重特征根特征值與特征向量的求法1.求方陣A=(aij)的特征方程|A-λE|=0的值λ1,λ2,…,λn2.對于方陣A=(aij)的特征值λ0,求屬于該特征值的特征向量方陣的特征值與特征向量6例1解A的特征多項式得A的特征值λ1=-2,λ2=4當(dāng)λ1=-2時,有(A+2E)x=0,即求A的特征值與特征向量.其中方陣的特征值與特征向量7解之得,5x1=-x2.矩陣A屬于λ1=-2的全部特征向量k1(1,-5)T于是相應(yīng)的特征向量可取p1=(1,-5)T當(dāng)λ2=4時,有(A-4E)x=0,即解之得,x1=x2.矩陣A屬于λ2=4的全部特征向量k2(1,1)T于是相應(yīng)的特征向量可取p2=(1,1)T方陣的特征值與特征向量8例2解A的特征多項式得A的特征值λ1=2,λ2=λ3=1當(dāng)λ1=2時,有(A-2E)x=0求A的特征值與特征向量.其中方陣的特征值與特征向量9解之挖得,x1=x2=0富,x3為任愿意實得數(shù)矩陣A屬于λ1=2壤的全組部特順征向狼量于是跨相應(yīng)良的特濾征向恥量可萍取p1=(破0,辮0,功1)Tk1p1=k1(0夜,0奔,1夏)Tk1≠0抗為任粥意實拍數(shù)方陣的特征值與特征向量10解之援得,x1=-x3,x2=-榮2x3矩陣A屬于λ2=λ3=1敏的全郵部特翠征向丘量于是顧相應(yīng)裝的特寶征向波量可傾取p1=(粗-1謝,-醋2,抽1)T當(dāng)λ2=λ3=1蒜時,臥有(A-E)x=0k2p2=k2(-靈1,握-2融,1軌)Tk2≠0珍為任幕意實抄數(shù)方陣的特征值與特征向量11例3求A的特犁征值俱與特方征向潔量．解A的特圣征多解項式得A的特鴉征值λ1=-誘1,λ2=λ3=2當(dāng)λ1=-吃1時件,有船(A+E)x=0方陣的特征值與特征向量12解之貝得,x2=0圓,x1=x3為任茄意實謝數(shù)矩陣A屬于λ1=-吐1的賢全部窩特征轎向量于是嚴(yán)相應(yīng)粘的特踏征向筋量可棚取p1=(臥1,哭0,蕩1)Tk1p1=k1(1蚊,0束,1慎)Tk1≠0墨為任鄉(xiāng)豐意實爛數(shù)方陣的特征值與特征向量13解之脊得阿-料4x1+x2+x3=0矩陣A屬于λ2=λ3=2雞的全刊部特扇征向曉量于是帳相應(yīng)迅的特執(zhí)征向絡(luò)量可刮取p2=(真0,嚷1,袍-1翠)T,p3=(胃1,惠0,維4)T當(dāng)λ2=λ3=2撇時,朵有(A-2E)x=0k2p2+k3p3=k2(0處,1諒,-品1)T+k3(1察,0華,4匆)Tk2k3≠0難為任墓意實夸數(shù)方陣的特征值與特征向量14例4n階方宵陣A為奇饑異矩朗陣的迫充要促條件焦是A有一個特造征值臥等于梢0.證明必要背性若A為奇糞異矩困陣,爐則|A|=獎0,澡于是以有|0I-A|=墳(-嚇1)n|A|=萍0,故0耐是A濃的一徒個特靈征值涂.若0躬是A賠的一溜個特繪征值晉,其缺相應(yīng)撞的特供征向搭量x,充分燃性由定騾義知Ax=0x=0旅,因特形征向她量x≠0,臘要使殖齊次悼線性亂方程申組Ax=0有非零戀解,求則需郵要|A|=停0,竹即A為奇泛異.方陣的特征值與特征向量15例5證明幟若λ是矩難陣A的特劉征值坡,x是A唐的屬芽于證明再繼侮續(xù)施師行上刺述步巷驟m-2驚次,央就得λ的特夕征向歌量,捷則有(1喊)λm是Am的特著征值屆(m是任押意常械數(shù))故λm是Am的特映征值浪,且x是Am屬于λm的特割征向量喇.(2豬)當(dāng)辨|A|≠0寄時,伶則λ-1是A-1的特顧征值冬.方陣的特征值與特征向量16故λ-1是A-1的特職征值芬,且x是A-1屬于λ-1的特偏征向擺量.(2坡)若男|A|≠0搏時,酬則A可逆哲,于名是知A的特傻征值λ≠羞0.方陣的特征值與特征向量17二、之特征胞值和隊特征吉向量塌的性及質(zhì)方陣的特征值與特征向量性質(zhì)趨1設(shè)λ0是A的特肉征值亡,則kλ0是kA的特旁征值證明若λ0是A的特貸征值微,鍛則x≠0于是kλ0是kA的特內(nèi)征值宰.18方陣的特征值與特征向量性質(zhì)播2設(shè)λ0是A的特伐征值殿,且精|A|≠0日,則λ-1是A-1的證明見例馬5特征筆值19方陣的特征值與特征向量性質(zhì)汗3n階方蕩陣A與其少轉(zhuǎn)置禿矩陣AT有相捏同的率特征浸值.證明故A與AT有相偶同的懇特征倡值.20性質(zhì)湖4n階方啞陣A=(aij),如果(1周)有一哨個成幟立,獵則A的所有特幣征值λk(k=1,孫2,…,毛n)的模壘|λk|<牢1.證明只需危證A的任啄意特舅征值λ的模初|λ|<彩1即騎可.設(shè)A的屬躁于λ的特鬧征向螞量為x,于魚是有方陣的特征值與特征向量21既有蘇|λ|<遙1,拌再由λ的任朵意性爸知類似姻證明漁(2咬).方陣的特征值與特征向量22性質(zhì)凈5設(shè)λ1,λ2,…,λm為方慕陣A的m個特瓣征值,量,潔如果λ1,λ2,…,λm各不飄相同孩,則x1,x2,…,xmx1,x2,…,xm分別葡為方淚陣A的與銜之相腦應(yīng)的特征滋向證明利用奴數(shù)學(xué)跪歸納輔法證奇明當(dāng)k=1挪時,蘿結(jié)論滑顯然進(jìn)成立聽.假設(shè)k=m-1煮時,淹結(jié)論雅成立號,那農(nóng)么當(dāng)k=m時,狐有線性腹無關(guān)斧.方陣的特征值與特征向量23用A左乘(1立)有用λm左乘(1宮)有(3喜)-錢(2鴿)有因λ1,λ2,…,λm-1各不嬌相同溝,且x1,x2,…,xm-1線性則k1=k2=…=km-1=0,充代入賣(1臥)式籠得km=0.于是x1,x2,…xm線性焰無關(guān)炊.無關(guān)文,方陣的特征值與特征向量24性質(zhì)秘6設(shè)n階方捉陣A的全駕部特塵征值λ1,λ2,…,λn,則有把(1惰)λ1+λ2+…+λn=a11+a22+…+ann證明略.即A的所煤有特辛征值抬的和胃等于胞A的妨主對核角線歲元素抽之和苦;方陣的特征值與特征向量(2撐)λ1?λ2?…?λn=|忌A|A的所阿有特巷征值炎的積坡等于禾A的頂行列棋式值腥.25例6λ2=睛2,震求x值和A的另絡(luò)一特碗征值解利用宋上述稿性質(zhì)咱6,報知而|A|岸=x+2薯,于對是解暮得λ3=3鞋,x=4方陣的特征值與特征向量已知A有特征劃值λ1=1尺,λ1+λ2+λ3=1+x+1λ1?λ2?λ3=|雜A|26注意1.匯屬于將不同卷特征玩值的王特征舌向量臂是線兩性無北關(guān)的甚．2.代屬于測同一誤特征嬸值的岡特征羊向量狀的非烘零線故性組磚合仍