數(shù)學(xué)物理方程第章

數(shù)學(xué)物理方程任課教師：李棟航空學(xué)院流體系翼型葉柵空氣動力學(xué)重點實驗室中樓303室Tel：88460290定義:

主要是指從物理學(xué)及其他各門自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)中所產(chǎn)生的偏微分方程(有時也包括積分方程、微分積分方程等),例如特點:

反映了有關(guān)的未知變量關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。范疇:

連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、電磁學(xué)、量子力學(xué)等方面的基本方程都屬于數(shù)學(xué)物理方程的范圍。數(shù)學(xué)物理方程“一切科學(xué)的理論，總是從實踐中來，又回到實踐中去，接受檢驗，指導(dǎo)實踐，同時在實踐中豐富和發(fā)展自己?！?/p>

力學(xué)問題弦線振動問題流體運動、彈性體振動、熱傳導(dǎo)、電磁作用、原子核-電子作用、化學(xué)反應(yīng)偏微分方程（基本規(guī)律）偏微分方程（基本規(guī)律）求解數(shù)學(xué)物理方程定解問題預(yù)測自然現(xiàn)象變化（氣象預(yù)報等）各種工程設(shè)計（機械強度計算等）物理問題數(shù)學(xué)問題（方程）求解的方法分離變量法特殊函數(shù)邊界與初始泛定方程與定解條件數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)物理方程偏微分方程理論偏微分方程理論新課題、新方法自然現(xiàn)象實際問題歷史悠久對象、內(nèi)容、方法純粹數(shù)學(xué)泛函分析復(fù)變函數(shù)微分幾何計算數(shù)學(xué)多樣復(fù)雜解決問題的工具純粹數(shù)學(xué)、分支自然科學(xué)、技術(shù)科學(xué)數(shù)學(xué)物理方程分支課程概覽二、熱傳導(dǎo)方程（拋物型）三、調(diào)和方程（橢圓型）四、二階方程的分類總結(jié)五、一階偏微分方程組七、偏微分方程的數(shù)值解一、波動方程（雙曲型）1.方程導(dǎo)出、定解條件2.初值問題求解3.初邊值問題求解第一章波動方程物理背景：波的傳播和彈性體振動?！?-1一維波動方程的導(dǎo)出、定解條件首先，考察下面的物理問題：

給定一根兩端固定的拉緊的均勻柔軟的弦線，設(shè)其長度為l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動，求弦上各點的運動規(guī)律。基本假設(shè)：1.弦是均勻的，弦的截面直徑與長度相比可以忽略。弦可以視為一條曲線，線密度為常數(shù)。2.弦在某平面內(nèi)作微小橫振動。弦的位置始終在一直線段附近，弦上各點在同一平面內(nèi)垂直于該直線的方向上作微小振動?；疽?guī)律：牛頓第二定律F=m*a沖量定理F?t=m*(v1-v2)3.

弦是柔軟的，它在形變時不抵抗彎曲。弦上各質(zhì)點的張力方向與弦的切線方向一致，而弦的伸長變形與張力的關(guān)系服從虎克定律。F?t=m*a*?t用u(x,t)表示弦點在時刻t沿垂直于x軸的位移。由基本假設(shè)2可知，與1相比可以忽略不計，所以因此，可以認為弦在振動過程中并未伸長，即可認為張力大小與時間無關(guān)

T(x,t)T(x)（2）由于弦只在x軸的垂直方向作橫振動，所以水平方向的合力為零，即由基本假設(shè)2可知，，所以因此，弦的張力大小與空間變量x無關(guān)，可以把弦線的張力T(x)在x軸方向的分量看成常數(shù)Ｔ。（1）任取一弦段(x,x+Δx)，它的弧長為

（3）對于拾圖中普選取煎的弦段壓而言割，張溉力在x軸垂愛直方向魂上的何合力貓為：在時填間段(t蒸,磨t+隙Δt匹)內(nèi)該合力英產(chǎn)生絲式的沖革量為：（4）另一判方面玩，在屢時間鉛段(t液,考t+映Δt摩)內(nèi)弦段(x晝,早x+堂Δx醒)的動量拼變化為：（5）因此窩，根柳據(jù)沖量捉定理，得撫到：從而退有進一焦步由Δt，Δx的任鐮意性，有假定拐有垂碧直于x軸方向逢的外破力存心在，并設(shè)其線密始度為F(振x,編t)，則弦段(x姨,絞x+曾Δx馳)上的勿外力毯為：它在訪時間僻段(t喘,憶t+遣Δt爺)內(nèi)的僑沖量柱為：于是女有：進一棍步由Δt，Δx的任經(jīng)意性，有下攻面的弦振樂動方鑄程（一維源波動花方程）：二維培波動除方程初（如甲薄膜寸振動明）三維園波動營方程惰（如開電磁忽波、聲波框的傳滅播）弦振晶動方拴程描蒜述的柄是弦隊作微租小橫先振動夜時的隔位移狀函數(shù)u(寒x,豆t升)所應(yīng)攤滿足薦的一繩般性造規(guī)律綠。僅貼僅利痕用它遇并不淡能完鐵全確抖定一其條弦猜的具滅體運縣動狀盲況。掌這是預(yù)因為瘋弦的坐運動島還與昆其初劍始狀均態(tài)以征及邊圣界所平處的舉狀況滲有關(guān)賓系。在前紅面的袍推導(dǎo)累中，煎弦的糕兩端嘗被固濫定在x=些0和x=因l兩點唉，即u(擴0,閉t訓(xùn))=咽0，u(雁l,現(xiàn)t堅)=白0，這兩越個等罷式稱型為邊界聯(lián)條件。此辮外，掠設(shè)弦課在初渡始時羊刻t=程0時的債位置曠和速成度為這兩膀個等屆式稱業(yè)為初始勤條件。邊孝界條本件和承初始襲條件繭總稱迷為定解扯條件。把泉微分抖方程訓(xùn)和定且解條抗件結(jié)悠合起成來，覺就得默到了迷與實挖際問劇題相簽對應(yīng)材的定薯解問晝題。2.定解筍條件對于母弦振郊動方光程而儀言，添與上與述定匙解條任件結(jié)淘合后圣，其被定解互問題?？梢詨好枋鑫臑椋阂诟饏^(qū)域上（摩見右茫上圖娃）求林上述芒定解視問題抖的解堵，就疏是要求棍這樣急的連催續(xù)函酒數(shù)u(途x,刷t麗)，它蓄在區(qū)債域0<滴x<愁l,租t>堆0中滿跟足波鄙動方砌程(1擁.1符9)；在x軸上芝的區(qū)袍間[0,津l]上滿虹足初抬始條均件(1彩.2聚0)；并遮在邊方界x=鋪0和x=嚴l上滿升足邊畢界條則件(1狡.2稼1)和(1華.2嗚2)。一般割稱形歸如(1緣瑞.2瘡1)和(1案.2凈2)的邊礎(chǔ)界條蠅件為第一哄類邊佛界條惹件，也貓叫狄利傳克雷（Di疑ri吉ch吃le侮t）邊鈔界條廁件。弦振云動方扁程的煎邊界曲條件隙通常處還可略以有寨以下蠶兩種乓：（a）設(shè)區(qū)弦的膜一端幟（x=慎0）處御于自追由狀窗態(tài)，封即可潑以在餃垂直希于x軸的咐直線覺上自頌由滑底動，乘且未明受到些垂直項方向腎的外難力。筆由于菌在邊消界右辱端的疫張力隙的垂涂直方糟向分詳量是于是該邊界床處應(yīng)棍有考慮新更一榜般的彩情況務(wù)，上爸述邊雄界條狠件可烘以寫箭為（b）弦卡的一威端（x=護l）處片于固跑定在成伸縮朗符合牲胡克戰(zhàn)定律都的彈禽性支傷承上董，如營果支漆承的廢初始榴位置純?yōu)椋╱=名0），梁那么緞在端過點的u值表鎖示支素承的譯伸長螺量，雜于是這種優(yōu)邊界鋤條件放稱為第二且類邊遵界條斧件，又嗽稱諾依磨曼（Ne斯um矮an庸n）邊閑界條頑件數(shù)學(xué)誼上，鑄可以伴考慮液更一跨般的疫情況形，上效述邊校界條無件寫慣為（第三抗類邊山界條忠件）偏微饑分方懲程的杰分類分類更依據(jù)：階數(shù)、線性病性質(zhì)、齊次頭性。階：偏排微分救方程塌所含謙有的膽未知琴函數(shù)樓最高捷階導(dǎo)胞數(shù)的蠶階數(shù)線性抵方程：方切程對琴于未賤知函棋數(shù)及篩其各旱階導(dǎo)固數(shù)總爽體來猴說是獎線性效的。方程巡壽（1）,（2）,（3）擬線左性方水程：方吼程對熊未知郵函數(shù)盒的最疫高階柔導(dǎo)數(shù)璃總體膏來說何是線牛性的延。方程陣（4）,（5）完全欣非線詞性方轎程：方宅程對鏡未知艷函數(shù)賠的最光高階刷導(dǎo)數(shù)盜不是待線性鍋的。方程障（6）齊次創(chuàng)性：以帳方程喝（1）為蠶例，等函數(shù)f評(x途,y滑,z富,t省)與未澇知函數(shù)無驚關(guān)（后自由運項）填，若判該項場恒為驚零，耀則該方程收為齊醋次方珠程。弊反之丈，為匙非齊迷次方但程。邊界攪條件伙和初格始條丙件也兩有齊生次和雜非齊忙次之卡分。3.定解妻問題魄適定場性概政念解的存在倉性：定蹲解問快題的型解是芒否一步定存神在？解的唯一能性：定廈解問味題的崇解是兼否只俊有一慘個？解的穩(wěn)定導(dǎo)性：當(dāng)句定解益條件票或自昨由項攝作很切小的狼變化施時，屋問題慈的解股是否直也作尖很小我的變耕化？定解挺問題噴的存誤在性椅、唯恨一性蔥和穩(wěn)伸定性愈統(tǒng)稱犯為定貍解問鵝題的適定吩性。如亮果一班個定擁解問炮題的程解是泊存在禁的，欲唯一戶的，鍛而且柿是穩(wěn)穗定的鹿，我義們就傷稱這份個問旁題是恒適定沿的，瓦即認截為這絕樣的偏定解補問題洞的提告法是塵合適凡的。除了廚研究青定解若問題最的適喝定性榆外，狐數(shù)理為方程妙中還宮經(jīng)常單研究商的問捆題包俘括：岔解的匙正則獎性（磁光滑拌性）兄、解唱的漸熔近性左（包嫂括衰佛減性餅）和肝定解每問題鍛的求滋解方疾法（玩精確氣解、共漸近巾解、鞋數(shù)值坊解）善等。定解野問題垮的提杯法是剩否合休適？§1例-2達朗豆貝爾逼（d’煙Al釣em席be構(gòu)rt）公航式、炮波的詳傳播1.疊加箭原理從本并節(jié)開雅始我肢們討仿論弦影振動艙方程嗎的各鋼類定典解問固題。殖先介鳥紹疊挖加原匪理。在物裂理學(xué)攜研究苗中經(jīng)粗常出捕現(xiàn)這慮樣的把現(xiàn)象負：幾拐種不懸同原俯因的劉綜合悟所產(chǎn)游生的汁效果繁等于沉這些折不同挨原因臘單獨儉（假醉設(shè)其莫他原京因不劃存在全）產(chǎn)泛生的門效果風(fēng)的累軍加。現(xiàn)這就掩是疊竿加原火理。士它對偶于用線性嫁方程和線性向定解拾條件描述序的物劇理現(xiàn)回象來丑說，放都是墓成立遼的。例如周：若u1(x池,徐t)是方笨程的解磁，而u2(x膊,壩t)是方相程的解圓，則趨對于恩任意勾的常顆數(shù)C1、C2，函塔數(shù)是方咱程的解濕。典型爛例子夸：聲毅學(xué)中饒把弦滑線振志動時鄙所發(fā)洞出的勿復(fù)雜址的聲腥音分普解成陣各種鉗單音穩(wěn)的疊逐加。2.弦振稼動方房誠程的槐達朗甲貝爾日解法為了鏡考察渠波動喘方程纖的定浴解問壘題，虜先從苦最簡攤單的驕情形董入手虛，即離首先烈考察編邊界雖的影南響可涉以忽兄略不馬計的愛情況寧。如準果所必考察殘的物康體（喚弦線淋）長寧度很摘長，離而我海們所腿關(guān)注柔的又摩只是淡在較短淡時間鴨內(nèi)且距離砍邊界趴較遠的一姐段范策圍中批的運赤動情斃況，燙那么身邊界斜條件離的影才響就偏可以巖忽略匆，并脈不妨電把所軍考察米的物牛體的算長度藏視為彈無限觸長。詞這樣濁的情牽況下搞，定替解問先題歸爆結(jié)為伴如下邪形式至：在這栽個定武解問孕題中倚，定蝕解條件件只忙有初拜始條景件，譜故通倡常稱供為初值伶問題(也稱柯西抵（Ca亮uc辱hy）問魔題）。掃相應(yīng)叨地，賢前一侵節(jié)中些的定解解問唉題(1絕.1學(xué)9)遭~紙(1陽.2沸2)由于嘆既有風(fēng)初始宗條件躬，又藏有邊臉界條易件，飽故稱童為初邊防值問艇題或混合聯(lián)問題。方程(2蛛.5留)中的敬自由辯項f(確x,繡t)是由耗于外誕力作摟用產(chǎn)逗生的銷，因頓此方事程(2摩.5坊)中f(澇x,塔t)恒為綱零的情麥況對拒應(yīng)于執(zhí)自由冷振動識；f(強x,符t)不為狡零的情嚴況對掀應(yīng)于至強迫兵振動爛。下面盛，我導(dǎo)們求職解上這述初對值問遞題。假首先毒注意趨到微事分方輔程及旨定解呆條件墾都是麥線性項的。腦對于而這種每定解陶問題升，同缸樣存局在疊設(shè)加原伴理，沫即若u1(x記,煙t)和u2(x發(fā),界t)分別碰是下促述初鍵值問頑題和的解孩，那顧么u=加u1(x州,況t)+u2(x君,冊t)就一栗定是物原初拔值問拆題(2鉤.5難)、(2溫.6置)的解曬。這批樣求換解初值鉛問題(2牌.5渴)、(2亭.6治)就轉(zhuǎn)毛化為錘分別褲求解因齊次門方程皆帶非宮齊次悶邊界馳條件突的初建值問米題(I)和非紫齊次吃方程所帶齊跑次初神始條我件的璃初值塞問題(II)單獨勾初始耀振動雕狀態(tài)亭對振紙動過爐程的凡影響壺。單獨夫考慮中外力苗因素笨對振鄉(xiāng)豐動過違程的昆影響答。首先金，考賠察初賢值問吐題(I)，它事可以淘通過自變屑量變謙換的方川法求壇解。引入酷新自軋變量折：ξ=哲x-離at，η=充x+個at，有類似等地，代回或原來糠的自榜變量礦，得斧通解膝為u(黃x,品t)骨=F路(x脆-a接t)+G(亮x+蔽at爽)（2.患14）從而叫，得堡到其通錦解為u(ξ,斬η)=F(ξ)+G(η)，其脂中，F(xiàn)和G是任鹽意可問微分護的單專變量診函數(shù)竹。利用尺這個綁通解穿表達羞式，援就可迷以利爛用初階始條袍件(2蒜.8串)來決漠定函鉛數(shù)F和G，進享而求授出初廢值問霞題(I)的解爪。把秩上述慘通解他表達醫(yī)式代啦入初始蕉條件(2壁.8囑)，得邁到：(2幕.1窩6)式是波一個久簡單災(zāi)的常匪微分多方程記，求畝解它渴得到由(2屋.1洞5)和(2妄.1稠7)式聯(lián)聾立求薄解可騙以得充出函敢數(shù)F和G把它芽們代勸入方斜程(2制.7絹)的通解炒表達呆式(2沾.1威4)就得虧到了初值商問題(I)的解這個散公式(2梁.1窗9)稱為升達朗壤貝爾請公式枝。從夕以上傾推導(dǎo)遲過程吸可以潑看出田：如創(chuàng)果初葬值問但題(I)有解怎，則視解一島定可壯以根筑據(jù)初掛始條糕件由達朗叼貝爾看公式勇表達幸出來揚，因各此該腿問題清的解喚是唯一的。同時瓜，若豈函數(shù)φ(橡x)在求俊解區(qū)論域內(nèi)磨具有椒二階仆連續(xù)術(shù)偏導(dǎo)哪數(shù)，ψ(叛x)在求領(lǐng)解區(qū)掘域內(nèi)影具有垃一階影連續(xù)姿偏導(dǎo)仗數(shù)，喘那么抬可以悔驗證攏公式(2舌.1蜂9)給出找的的滑確是行初值津問題(I)的解士。存在舞性另外社，初值宴問題(I)的解粗關(guān)于義初始蠻條件赤的連鮮續(xù)依效賴性旱也可挎以很陳容易坊地從達朗余貝爾純公式民中看軋出。穩(wěn)定債性定理2.缺1設(shè)，那商么初榆值問倒題(2剝.7驗),憶(2倦.8童)存在濾唯一誕的解u(x,t)，它接由達月朗貝扔爾公漠式(2講.1程9)給出絮。如右勢圖所軍示，煎在t=溉0時，?(婦x,順0)西=F豎(x季)，它薄對應(yīng)址于初劣始振鋒動狀足態(tài)（匪弦在刊初始湊時刻漂各點旨位移部狀態(tài)該）。擱經(jīng)過糕時刻t0后，?(堤x,喜t0)=來F(災(zāi)x-揮at0)，在(x躲,u摘)平面滿上緩，它侮相當(dāng)午于原啞來的摩圖形頃向右芒平移泄了一歡段距平離at0。這轟說明脂振動妄的波竟形以緊常速及度a向右繞傳播聞。因睛此，壘齊次惱波動約方程娛的形無如F(乓x-舟at諷)的解澆所描怒述的本運動悄規(guī)律概稱為右傳蛾播波，同霧樣形爐如G(層x+紋at役)的解利稱為左傳頭播波。并教且，襪我們際知道汗了方估程(2塘.5解)中的徑常數(shù)a實際鋪上表述示了候波動博的傳播謝速度。（供行波評法）3.傳播繭波由前稠文中禾推導(dǎo)邁可見宵，自綿由振互動情貿(mào)況下洞的波熊動方仆程的解萍可以珍表示權(quán)為形汁如F(醬x-彼at覺)和G(評x+腫at緩)的兩宣個函喇?dāng)?shù)的頭和。鏟由此眉可以鏈特別爪清楚誦地看待出波釘動傳演播的屬性質(zhì)判?？疾?(愚x,銷t)趙=F學(xué)(x果-a舉t)匪(稅a>廉0)，顯偷然它犯是齊妻次波腳動方型程的轎解。屬給出誰不同殃的t值就邁可以波看出窄作一繡維振額動的央物體售在各坦個時川刻的稅相應(yīng)壓位置拋。自己尖思考爛、討計論4.依賴暢區(qū)間瓶、決呆定區(qū)帆域和公影響恥區(qū)域從達牽朗貝犁爾公界式立吉即可書以看使出，耐初值材問題(I)的解搭在上車半平藏面(t>私0)上點(x,適t)處的倍值u(輕x,計t)由初萄始資屬料φ(該x)和ψ(禿x)在x軸的區(qū)間[x-釣at，x+穩(wěn)at]上的叼值所愧唯一肅確定,而與φ(棒x)和ψ(郊x)在該張區(qū)間佩以外悔的值女無關(guān)回。這妥個區(qū)蔥間稱臨為點(x,謀t)的依賴混區(qū)間。對初地始軸t=漿0上的克一個珍區(qū)間[x1材,x集2]，過鐵點x1作斜冒率為1/a的直師線x=石x1+at，過陸點x2作斜除率為-1學(xué)/a的直圾線x=錢x2憂-a敗t，它科們和潤區(qū)間[x1闖,x趟2]一起讓構(gòu)成尖一個券三角峽形區(qū)鵲域。彎顯然消，這客個三淚角形利區(qū)域括內(nèi)任切意一憲點的河依賴艱區(qū)間翼都在洲區(qū)間[x1筑,x蹄2]內(nèi)部蓮，因哈此，勤解在犯此三恢角形孔區(qū)域員內(nèi)部盾的數(shù)棋值完芬全由故區(qū)間[x1宮,x做2]上的陶初始販條件珠決定賞，與神該區(qū)稠間外敞的初克始條贏件無燒關(guān)。怎這個附三角勿形區(qū)農(nóng)域稱扎為區(qū)蓬間[x1夠,x忠2]的決定遙區(qū)域。另一桐方面存，如閑果在潔初始之時刻t=肝0，初結(jié)始資樣料φ(肚x)和ψ(仰x)的值疑在區(qū)蓋間[x1,x2]上有堂變動(初始騙擾動)。那蔑么，咱經(jīng)過莖時間t后該箭擾動巡壽所影真響到菊的范范圍就猛由不完等式所限灰定，誦而在棍此范走圍外胖的區(qū)霜域則滿感受肯不到傘區(qū)間[x1,x2]上初吵始影覆響。摔在(x,述t)平面大上，釋上式宿所表暮示的惑區(qū)域(如下漆圖所車示)稱為晝區(qū)間[x1,x2]的影殊響區(qū)駁域。跪區(qū)間[x1,x2]上的猶初始竹條件涉只能賠對上哄述區(qū)染間的弊影響蝕區(qū)域棕中初狂值問走題(I)的解u(詠x,誤t)產(chǎn)生騾影響鄰，而依不會撫影響依到此翻區(qū)域喜外的u(臣x,幟t)的數(shù)擱值。文特別懲地，響如果教區(qū)間[x1,x2]收縮議為一刺點，麻那么勻就得依到了陰點的影響贈區(qū)域。在前浴面的些討論兔中，談我們歐看到喝在(x,與t)平面通上斜陵率為1/a的直袖線x=膚x0-a怖t和x=凈x0+a窗t對波控動方企程的竿研究糖起著劍重要念作用鉛，它昂們稱靜為波廟動方蓮程的特征身線。我妻們看場到，濱擾動壁實際增上沿梯特征擱線傳原播。襯擾動誘以有鍵限速育率傳宏播，屯是弦朋振動泄方程各的一跟個重喚要特肌點。例題：利壓用行氣波法濤來討西論一字端固傘定的搶半無駕界弦拆的自姻由振凈動問鈔題為了攜求解住此問艘題，域我們謠可以反設(shè)想鞠在x=旁0的左闖側(cè)仍禽然有造弦存蝴在,只是歉在振壺動過檔程中x=療0點始瘦終不稻動。延問題割于是灰轉(zhuǎn)化掀為：典如何慈將x>0上已端知的內(nèi)初始挨函數(shù)呢延拓譜為整笛個直犯線-∞<x犯<+∞上的妙函數(shù)甜，并等使得頭用延睬拓后尼的函袋數(shù)作皇初值盯的柯聰西問沫題的柜解在x=嫌0點恒克為零反。記Φ(催x)及Ψ(輔x)是由φ(x士)和ψ(飯x)分別籮延拓禿而得困到的勉函數(shù)剪。由掠達朗需貝爾蜜公式任，以Φ(菜x)及Ψ(藍x)為初艦值的竹柯西途問題療的解菜為要使U(峰x,娛t)在x=勾0點恒桂為零他，就纖應(yīng)當(dāng)提成立為此臺只需趟要將φ(炊x)和ψ(染x)分別址作奇逗延拓粗就可岡以滿百足上奸式，閱也就耗是說抵，令于是晉將上策面定富義的Φ(烏x)及Ψ(趕x)的表儀達式晃代入(2磁.2綱5)式即結(jié)得到瓣問題芝的解(2債.2捏6)(2飛.2芳7)(2純.2椒8)5.齊次趴化原蔬理現(xiàn)在遠我們級考察檢強迫絨振動凍情形陡的初兼值問附題為了乏求解巖此問毫題，艘我們犯可以既利用尤下述毫的齊桃次化艙原理云，把碑非齊綠次方聲程的掏求解公問題盈轉(zhuǎn)化但為相蜂應(yīng)的奮齊次嘉方程絡(luò)的問兵題來佳解決姥，這租樣就屬可以華直接警利用志前面壺關(guān)于戲齊次煙方程辮的結(jié)桿果。由弦扛振動燦方程神的推市導(dǎo)過熱程來洽看，馳自由帥項f(均x,娃t)勁=珠F(沙x,嘗t)麗/ρ表示遍時刻t時在x處單紛位質(zhì)午量受秒到的蘇外力免，而?u/拴?t表示鄉(xiāng)豐速度師。如域果我浴們把示一個跨時間并段[0,園t]劃分云成若前干小屑的時賢段?tj=tj+猜1-tj(j襲=1鴉,2矛,…,l舊)，在賄每一蹄個小樸的時浴段?tj中，f(絹x,妨t)可以思看作坑與時晴間無養(yǎng)關(guān)，切從而桑以f(識x,乘tj)來表信示。牲于是誘在時掘段?tj中自找由項鹽所產(chǎn)險生的唯速度夢改變?nèi)ち繛閒(索x,魂tj)?tj。如果寶把這招個速梳度改海變量至看作旱在時享刻t=tj時的銹初始暑速度聽，它開所產(chǎn)嗓生的瞞振動雹可以挽由下沖面的館齊次集方程附的初別值問施題描青述：將其圾解記歌為?(x,郊t;鏡tj,?tj)，按生照疊晨加原厚理，自由撞項f(贏x,膽t)所產(chǎn)的生的乳效果象可以遺看成索無數(shù)豎個這史種瞬抬時作夢用的館疊加誤，這統(tǒng)樣定瀉解問優(yōu)題(II)的解u(沒x,督t)應(yīng)表訊示為由于(2避.3玩1)為線加性方服程，慘所以?(x,混t;聰tj,?tj)與?tj成正圖比，況即如連果記W(x,鬼t;岸τ)為如村下齊獲次方闊程的飯定解怒問題禮的解那么攝有?(x,劣t;潔tj,?tj)=粱?tjW(x,朱t;站tj)成立鈴。于瓦是定滑解問臘題(II)的解艇可以違表示怖為(2區(qū).3羨2)于是椅我們億可以康得到跳如下及的齊次攝化原澆理：若W(x,謊t;華τ)是初某值問挖題(2鄉(xiāng)豐.3恢3)的解(其中τ是參詞數(shù))，則摟初值屯問題(II)的解然可以絕表示忠為為了大寫出W(x,蒸t;傾τ)的具幕體表模達式闖，在廁初值段問題(2映.3匹3)中作藝變換t’奪=t膛-τ,于是有利用達朗聰貝爾賣公式內(nèi)求出墾上述放初值技問題(I)的解將為(2瓶.3僑4)(2舞.3球6)再代擱入(2步.3博4)式就眉得到址初值貴問題(II)的解區(qū)域G為(ξ,跟τ)平面綱上過拒點(x,片t)向下缺作兩全特征惑線與ξ軸所攏夾的蝴三角勇形區(qū)刃域，岔見右址圖。上面碑我們披通過傍對物帶理模滲型的候分析夸，應(yīng)埋用疊掛加原頓理，瘡得出堅了定描解問題(II)的解溫的表駐達式尺。它影究竟勾是否笨確實篇為定淺解問鳴題(II)的解盲，還蔑需要攪按照血解的價定義殘進行冰數(shù)學(xué)耍上的罷驗證鬼?！?憲-3初邊脈值問統(tǒng)題的顏分離米變量吊法本節(jié)涼進一拜步考孝察波稿動方帳程的速初邊亡值問垮題，斃并介踢紹一究種常的用的逗解法—分離究變量蚊法。移首先斃考察頁波動皂方程央的初暈邊值非問題菠：利用涼疊加邪原理功，上哨述初洋邊值像問題僚可以席分解魔為下采面兩節(jié)個初羽邊值攝問題絨：對于脅問題(Ⅰ車)我們爐設(shè)想覆先求迅出足怕夠多叫的變煌量分旁離形煮式的構(gòu)非平嫌凡(即不杠恒為貞零)的特斤解u(漠x,情t)該=X繪(x說)T章(t暗)，然蝦后把蜜這些蘆特解稅疊加偶得到黑問題布的最嗎終解以下販我們亮詳細耐介紹組如何秩運用踢這一濟思想唱求解源初邊玻值問墾題：1.分離鉛變量第法與上抬一節(jié)捷中一憂樣，窗關(guān)鍵漫是求麻解問墾題(Ⅰ奮)，因得為問間題(Ⅱ訓(xùn))可以漂運用戀齊次四化原犯理歸礎(chǔ)結(jié)為問題(Ⅰ自)的求萬解。問題(Ⅰ啞)描述掌了兩肢端固職定的宮弦作趟自由四振動連的物叢理過信程。滲從物圓理學(xué)衫中我僚們知妻道：孔弦振豈動發(fā)徐出的教聲音洋可以捉分解促為各緣瑞種不查同頻雕率的河單音徐的疊濫加，裳對于幟每種闊單音評，振凈動時躍波形眠均為盒正弦插曲線發(fā)，其爆振幅波依賴割于時霸間t，即蓬每個付單音流可以排表示巨成聯(lián)的縣形式坑。這痕種形忘式的鞠特點機是：u(斜x,閉t)中變躍量x和t被分敞離出均來了伸。(3蠻.5熊)(3脅.6叮)將u(線x,蘋t)夫=X襯(x添)T歡(t關(guān))帶入光方程(3縮慧.4襯)，得妥到：將上包式分庫離變值量，棚有：在(3牛.8序)式中祥，左跑邊僅趟是t的函朝數(shù)，吼右邊鏡僅是x的函騰數(shù)，狐左右配兩端摩要相維等，狗只有衡等于贏同一悠個常箏數(shù)才展可能徹。記目這個當(dāng)常數(shù)個為-λ(其值故待定)，就轟得到?。哼@樣地方程(3斑.8臘)就被階分離搏為兩寬個?？⒎痔糠匠虥?，可遞以通霜過求歷解這蛛兩個遵方程嗓來決壟定X(退x)和T(配t)，從舊而得賊到方排程(3伸.4醉)的特絲式解X(類x)墓T(影t)。為祝了使狗此解握是滿倉足齊衣次邊續(xù)界條嶺件的關(guān)非平墻凡解饒，就發(fā)必須股找出峰方程(3謊.1姨0)的滿追足邊漢界條駐件X(錢0)楊=0，X(咐l)焰=0的非抹平凡蝦解。簽由常挺微分喝方程賓理論拋可知染，方歪程(3漁.1而0)的通掙解隨λ>崗0,忽λ供=0以及λ<處0而不謹同，礎(chǔ)下面掉分以我上三愛種情詳況討摟論。情況A當(dāng)λ<紗0時，馳方程(3葵.1偉0)的通耍解為要使鞭它滿煤足邊謊界條襯件X(墓0)帶=0和X(麻l)撤=0，就巡壽必有從而謹推知C1=C2=0。故煩在λ<真0的情耳況下夾不可殃能得切到非惱平凡共解。(齊次號線性唐代數(shù)霞方程偶組系屑數(shù)行依列式囑不為蜓零)情況B當(dāng)λ=租0時，匹方程(3比.1獵0)的通幸解為要使冷它滿警足邊耗界條獸件X(凱0)芝=0和X(匙l)曠=0，X(攜x)也必恒為敏零。情況C當(dāng)λ>跪0時，吳方程(3界.1套0)的通顏解為要使媽此解鄭滿足總邊界窄條件X(飼0)跟=0，則C1=0。再檔由X(匹l)然=0，可率知為了蜓使C2≠0，就摟必須且有,于是可可以宋確定λ的取黃值為這樣搬就找佛到了可一族柳非零白解：數(shù)學(xué)糞上，育稱(3棄.1矛3)右端職的函賤數(shù)為搬常微政分方已程(3居.1途0)滿足轟邊界狼條件X(莊0)忠=0和X(準l)泊=0的固有誕函數(shù)（或特征姐函數(shù)），謙而λ=求k2π2/l2稱為驅(qū)相應(yīng)合的固有饞值或特征乒值。將固味有值λk帶入方程(3魂.9樂)中，可悉求得幅其通酸解為上式中Ak，Bk為任問意待宏定常借數(shù)。這腰樣我舉們就少得到蠟了方好程(3菊.4劫)滿足若邊界訴條件u(嘴0,嚼t)竿=0和u(急l,闊t)符=0的分豪離變某量形臨式的但特解:現(xiàn)在層我們撇設(shè)法曲作出辛這種船特解盞的適令當(dāng)?shù)呢浘€性地組合螞，以館得出堅初邊稍值問總題(Ⅰ窯)的解拾。也泰就是幸說，毛要確沙定出恨常數(shù)Ak和Bk使?jié)M足允初始纏條件(3鑄.1蜜4)在(3橡.1齊5)式中楊的級國數(shù)可婦以逐唐項求籮導(dǎo)時伯，我教們得默到：結(jié)合刊初始乓條件粘，應(yīng)獸有將由(3牢.1協(xié)6)式表鑒示的Ak，Bk代入(3秒.1某5)式中圈，就兩得到了用盡級數(shù)話形式懲表示尋的初錄邊值掩問題(Ⅰ視)的解麗。觀察層發(fā)現(xiàn)Ak和Bkkπ近a/忽l分別局是φ(寧x)和ψ(窄x)在區(qū)仗間[0,土l]上正娛弦展耗開的供傅立納葉級軋數(shù)的征系數(shù)替，即前面真的推材導(dǎo)說草明了中初邊疲值問悄題(Ⅰ臥)如果閃有解疊，那考么它的解歸可以徒表示奇為(3井.1碎5)式的知級數(shù)想形式忍，現(xiàn)裹在的貓問題恰是：白什么文條件疏下，初邊繭值問巷題(Ⅰ的)的解食一定拋存在抄？定理3.窩1：若函庫數(shù)φ(鍵x)在求姥解區(qū)揪域內(nèi)插具有舒三階余連續(xù)埋偏導(dǎo)厘數(shù)，ψ(滴x)在求遺解區(qū)薄域內(nèi)揚具有尚二階講連續(xù)餡偏導(dǎo)泊數(shù)，擠并且則弦芹振動碑方程郊的初觀邊值充問題(Ⅰ末)的解販是存佳在的怠，它記可以掉由級季數(shù)(3糊.1睡5)給出業(yè)，Ak和Bk由(3核.1帖6)式確貿(mào)定。片通常波我們羅稱(3必.1盜7)式為相容本性條揀件。如果φ(安x)和ψ(氏x)不滿骨足以少上定壟理的朽條件淹，我往們可嘆以把φ(杰x)和ψ(喘x)看成業(yè)函數(shù)適列的平枕均收等斂極草限，民當(dāng)n很大誕時，輪因為慕方程王和邊宅界條先件都稈已滿盆足，盤初始窯條件趨也近連似得局到了飲滿足諒，由葡此可惡以把un(x裝,t恭)看成朱問題娛的近由似解。2.解的枯物理傷意義由級呼數(shù)(3冤.1崇5)可知村，初利邊值愧問題(Ⅰ稱)的解豬是的疊潤加，很上式虎又可拍以寫太成物理抗上，Nk稱為伯波的振幅，θk稱為濾波的初相誤位，ωk稱為圓頻沖率，它功只與志弦本費身的蒸性質(zhì)辱有關(guān)散，因引此也漏稱為固有世頻率。于是(3機.1那9)代表答這樣鏈的振走動波希：在魔所考諷慮的伶弦上金各點寨均以講同一是頻率鄰作簡修諧振兔動；概它們顏的相伐位相當(dāng)同，獅而振撫幅依燒賴于擱點x的位驚置。僅弦上高位于x＝ml待/k（m＝0，1，…，k）處的