概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì).課件

主講人

馬玉林山東財(cái)政學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的一門(mén)數(shù)學(xué)學(xué)科，其理論方法與數(shù)學(xué)其它分支相互交叉、滲透，已經(jīng)成為許多自然科學(xué)、社會(huì)與經(jīng)濟(jì)科學(xué)、管理學(xué)科等重要的理論工具.在經(jīng)濟(jì)學(xué)和管理學(xué)中，經(jīng)常會(huì)碰到如抽樣調(diào)查、預(yù)測(cè)、決策一類問(wèn)題，在這些問(wèn)題中我們研究的對(duì)象往往具有隨機(jī)性.因此概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)在經(jīng)濟(jì)和管理中有著廣泛的應(yīng)用.課程簡(jiǎn)介

本課程是經(jīng)濟(jì)類、管理類各專業(yè)的一門(mén)重要的基礎(chǔ)理論課，通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，能掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本思想和方法，培養(yǎng)運(yùn)用概率論的知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力，能以“統(tǒng)計(jì)思想”去思考和用“統(tǒng)計(jì)方法”去處理遇到的隨機(jī)數(shù)據(jù)，從而作出正確的統(tǒng)計(jì)推斷.通過(guò)學(xué)習(xí)本課程，使學(xué)生對(duì)于實(shí)際生活中的隨機(jī)性產(chǎn)生敏感、培養(yǎng)概率統(tǒng)計(jì)直覺(jué)能力，更重要的是能綜合利用所學(xué)知識(shí)分析和解決一些工作和生活中的實(shí)際問(wèn)題.概率論部分側(cè)重于理論探討，共包括七章內(nèi)容.第一章介紹概率論的基本概念，建立一系列定理和公式，尋求解決統(tǒng)計(jì)和隨機(jī)過(guò)程問(wèn)題的方法.其中包括隨機(jī)事件和概率、條件概率與全概率公式、事件的獨(dú)立性等；第二章引進(jìn)隨機(jī)變量的概念，研究隨機(jī)變量的概率分布以及隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差等數(shù)字特征.第三章講述隨機(jī)向量的概念，研究隨機(jī)變量的概率分布以及隨機(jī)向量的數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)等；第四章是概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的連接界面，介紹大數(shù)定律和中心極限定理等；主要內(nèi)容數(shù)理統(tǒng)計(jì)則是以概率論作為理論基礎(chǔ)，研究如何有效地收集整理和分析受隨機(jī)影響的數(shù)據(jù)，并作出統(tǒng)計(jì)推斷、預(yù)測(cè)或者決策.包括兩章內(nèi)容：第五章介紹數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念，有統(tǒng)計(jì)量、抽樣分布等；第六章講述了總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì)方法及評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)；第七章主要講述單正態(tài)總體的假設(shè)檢驗(yàn).概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課程特點(diǎn)1、靈活性強(qiáng)3、繼承性強(qiáng)學(xué)習(xí)前具備的基本知識(shí)排列組合微積分課程安排與考試情況每周4學(xué)時(shí)，共安排了64學(xué)時(shí)，4學(xué)分。授課學(xué)時(shí)：60~62復(fù)習(xí)與答疑：4~2成績(jī)平時(shí)成績(jī)（出席、作業(yè)）和期中成績(jī)：各10%期末考試成績(jī)：80%基本要求2、應(yīng)用性強(qiáng)：與生活實(shí)際聯(lián)系密切概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史17世紀(jì)，正當(dāng)研究必然性事件的數(shù)理關(guān)系獲得較大發(fā)展的時(shí)候，一個(gè)研究偶然事件數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)分支開(kāi)始出現(xiàn)，這就是概率論．早在16世紀(jì)，賭博中的偶然現(xiàn)象就開(kāi)始引起人們的注意．?dāng)?shù)學(xué)家卡丹諾(Cardano)首先覺(jué)察到，賭博輸贏雖然是偶然的，但較大的賭博次數(shù)會(huì)呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,卡丹諾為此還寫(xiě)了一本《論賭博》的小冊(cè)子，書(shū)中計(jì)算了擲兩顆骰子或三顆骰子時(shí)，在一切可能的方法中有多少方法得到某一點(diǎn)數(shù)．據(jù)說(shuō)，曾與卡丹諾在三次方程發(fā)明權(quán)上發(fā)生爭(zhēng)論的塔爾塔里亞，也曾做過(guò)類似的實(shí)驗(yàn)．促使概率論產(chǎn)生的強(qiáng)大動(dòng)力來(lái)自社會(huì)實(shí)踐．首先是保險(xiǎn)事業(yè)．文藝復(fù)興后，隨著航海事業(yè)的發(fā)展，意大利開(kāi)始出現(xiàn)海上保險(xiǎn)業(yè)務(wù)．16世紀(jì)末，在歐洲不少國(guó)家已把保險(xiǎn)業(yè)務(wù)擴(kuò)大到其它工商業(yè)上，保險(xiǎn)的對(duì)象都是偶然性事件．為了保證保險(xiǎn)公司贏利，又使參加保險(xiǎn)的人愿意參加保險(xiǎn)，就需要根據(jù)對(duì)大量偶然現(xiàn)象規(guī)律性的分析，去創(chuàng)立保險(xiǎn)的一般理論．于是，一種專門(mén)適用于分析偶然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)工具也就成為十分必要了．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史不過(guò)，概率論基礎(chǔ)并不是在上述實(shí)際問(wèn)題的材料上形成的．因?yàn)檫@些問(wèn)題的大量隨機(jī)現(xiàn)象，常被許多錯(cuò)綜復(fù)雜的因素所干擾，它使難以呈“自然的隨機(jī)狀態(tài)”．因此必須從簡(jiǎn)單的材料來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，這種材料就是所謂的“隨機(jī)博弈”．在近代概率論創(chuàng)立之前，人們正是通過(guò)對(duì)這種隨機(jī)博弈現(xiàn)象的分析,注意到了它的一些特性,比如“多次實(shí)驗(yàn)中的頻率穩(wěn)定性”等，然后經(jīng)加工提煉而形成了概率論.荷蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家惠更斯（Huygens）于1657年發(fā)表了關(guān)于概率論的早期著作《論賭博中的計(jì)算》．在此期間，法國(guó)的費(fèi)爾馬（Fermat）與帕斯卡（Pascal）也在相互通信中探討了隨機(jī)博弈現(xiàn)象中所出現(xiàn)的概率論的基本定理和法則．惠更斯等人的工作建立了概率和數(shù)學(xué)期望等主要概念，找出了它們的基本性質(zhì)和演算方法，從而塑造了概率論的雛形．概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)發(fā)展簡(jiǎn)史18世紀(jì)是概率論的正式形成和發(fā)展時(shí)期．1713年，貝努利（Bernoulli）的名著《推想的藝術(shù)》發(fā)表．在這部著作中，貝努利明確指出了概率論最重要的定律之一――“大數(shù)定律”，并且給出了證明，這使以往建立在經(jīng)驗(yàn)之上的頻率穩(wěn)定性推測(cè)理論化了，從此概率論從對(duì)特殊問(wèn)題的求解，發(fā)展到了一般的理論概括．繼貝努利之后，法國(guó)數(shù)學(xué)家棣謨佛（AbrahamdeMoiver）于1781年發(fā)表了《機(jī)遇原理》．書(shū)中提出了概率乘法法則，以及“正態(tài)分”和“正態(tài)分布律”的概念，為概率論的“中心極限定理”的建立奠定了基礎(chǔ)．1706年法國(guó)數(shù)學(xué)家蒲豐（ComtedeBuffon）的《偶然性的算術(shù)試驗(yàn)》完成，他把概率和幾何結(jié)合起來(lái)，開(kāi)始了幾何概率的研究，他提出的“蒲豐問(wèn)題”就是采取概率的方法來(lái)求圓周率π的嘗試．通過(guò)貝努利和棣謨佛的努力，使數(shù)學(xué)方法有效地應(yīng)用于概率研究之中，這就把概率論的特殊發(fā)展同數(shù)學(xué)的一般發(fā)展聯(lián)系起來(lái)，使概率論一開(kāi)始就成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支．概率慨論與爺數(shù)理桌統(tǒng)計(jì)些發(fā)展砍簡(jiǎn)史19叔世紀(jì)菊概率園論朝嫌著建遭立完氏整的供理論雹體系菊和更情廣泛娘的應(yīng)箭用方虛向發(fā)玩展．表其中猛為之善作出擦較大訓(xùn)貢獻(xiàn)斜的有猴：法狡國(guó)數(shù)迷學(xué)家圓拉普演拉斯倘（L胃ap擔(dān)la儉ce舍），束德國(guó)谷數(shù)學(xué)逆家高則斯（比Ga留us桌s）低，英繡國(guó)物陸理學(xué)乎家、犁數(shù)學(xué)棗家麥雷克斯悶韋（助Ma么xw禿el借l）很，美灘國(guó)數(shù)莖學(xué)家因、物孝理學(xué)克家吉慌布斯會(huì)（G疾ib糊bs局）等捉．概斗率論使的廣環(huán)泛應(yīng)彎用，泡使它幫于1除8和閑19排兩個(gè)奪世紀(jì)載成為雞熱門(mén)賠學(xué)科狼，幾奶乎所肌有的燙科學(xué)勢(shì)領(lǐng)域副，包鉆括神抖學(xué)等雪社會(huì)顫科學(xué)貴都企溪圖借考助于紛概率需論去設(shè)解決鴉問(wèn)題蝴，這良在一往定程豬度上仁造成奔了“歷濫用味”的暖情況銷，因要此到醒19腐世紀(jì)季后半柜期時(shí)廳，人碼們不校得不絲式重新調(diào)對(duì)概狹率進(jìn)規(guī)行檢腸查，菊為它虜?shù)於ㄍ喂藤|(zhì)的邏游輯基秧礎(chǔ)，沉使它耳成為臟一門(mén)們強(qiáng)有折力的莊學(xué)科畝．19公17帥年蘇稱聯(lián)科貍學(xué)家情伯恩蔬斯坦溪首先異給出深了概剛率論床的公稻理體吉系．禾19坊33旱年柯璃爾莫營(yíng)哥洛蕉夫又誤以更茄完整車的形勸式提井出了砍概率同論的爐公理穗結(jié)構(gòu)而，從農(nóng)此，簡(jiǎn)更現(xiàn)困代意萌義上鹽的完獄整的躍概率責(zé)論臻掀于完譯成．概率賣統(tǒng)計(jì)習(xí)與金科融學(xué)菜的關(guān)您系現(xiàn)代指金融君理論弱伴隨妖著金爺融市漸場(chǎng)的譜發(fā)展涉大量騎應(yīng)用仿概率趴統(tǒng)計(jì)會(huì)，這乖是經(jīng)搶濟(jì)數(shù)店學(xué)化僚的最潔大成央就，奧從而馳出現(xiàn)唯了一常個(gè)全塊新的偶學(xué)科芹—-卻金融混數(shù)學(xué)驢。金慌融數(shù)生學(xué)是熊以概卷率統(tǒng)校計(jì)和性泛函蚊分析畫(huà)為基調(diào)礎(chǔ)，銀以隨攔機(jī)分趟析和惹鞅理槐論為鮮核心僚，主嘩要研攜究風(fēng)兵險(xiǎn)資綱產(chǎn)（凳包括惜衍生芽金融忠產(chǎn)品孝和金讓融工正具）粗的定東價(jià)、醋避險(xiǎn)目和最凳優(yōu)投霸資消貍費(fèi)策等略的通選擇均。近東二十晉幾年瞞來(lái)，筆金融計(jì)數(shù)學(xué)伯不僅箏對(duì)金隆融工睡具的姓創(chuàng)新粥和對(duì)搜金融補(bǔ)市場(chǎng)連的有侍效運(yùn)毅作產(chǎn)毒生直牧接的仙影響蒙，而核且對(duì)米公司雖的投斬資決蓄策和役對(duì)研笨究開(kāi)漿發(fā)項(xiàng)所目的播評(píng)估吊（如勻?qū)嵨锼狡跈?quán)唯）以淚及在飲金融際機(jī)構(gòu)營(yíng)的風(fēng)微險(xiǎn)管矩理中注得到曉廣泛態(tài)應(yīng)用繼。現(xiàn)拋在對(duì)潮它的蔥研究梨方興躍未艾邀,2統(tǒng)1世徹紀(jì)肯斜定是策它進(jìn)狼一步遙蓬勃蘭發(fā)展鉆的時(shí)密代。概率艙統(tǒng)計(jì)慚與金誘融學(xué)堆的關(guān)猜系金融倦數(shù)學(xué)銀的歷疲史可根以追災(zāi)溯到裝19志00錫年法易國(guó)數(shù)斥學(xué)家香巴謝廣利耶羅(屈L?零Ba抹ch列el艱ie射r)覺(jué)的博烏士論亭文—王“投業(yè)機(jī)的純理論厲”(鋤Th肚eo扭ry后of脊S銀pe歸cu絹la嘴ti慨on藏)，血這宣禿告了攜金融胞數(shù)學(xué)刊的誕陰生。粗在文咬中他春首次良用布旺朗運(yùn)出動(dòng)來(lái)籠描述志股票星價(jià)格本的變貞化，茅他認(rèn)它為在菠資本耕市場(chǎng)應(yīng)中有護(hù)買有井賣,橡買害者看設(shè)漲、藥賣者葛看跌瘦,授其價(jià)革格的巨波動(dòng)蘋(píng)是布顛朗運(yùn)爭(zhēng)動(dòng)(塔Br止ow穗ni拐an冷M顧ot睬io葛n)藥其延統(tǒng)計(jì)食分布蜜是正自態(tài)分閱布,精這態(tài)要比零愛(ài)因吃斯坦刷19辭05中年研滑究布怒朗運(yùn)炕動(dòng)早小5年泛。然而她，巴盞謝利惹耶的枝工作管沒(méi)有善引起倉(cāng)金融專學(xué)界姥的重犧視達(dá)蛇50聚多年孟。2摔0世承紀(jì)5隆0年份代初季，薩暫繆爾渡森（狐Pa木ul斜A.街Sa額mu立el鋸so割n）由通過(guò)華統(tǒng)計(jì)蘇學(xué)家泡薩維誼奇（吉L?固J.駛Sa竊va恒ge蹄）重夜新發(fā)曾現(xiàn)了候巴謝膨利耶令的工伴作，灶這標(biāo)答志了梯現(xiàn)代簡(jiǎn)金融秘學(xué)的泛開(kāi)始鞋?，F(xiàn)厚代金扶融學(xué)然隨后沖經(jīng)歷窗了兩踢次主敗要的饞革命撒，第進(jìn)一次慢是在飽19斧52改年。概率置統(tǒng)計(jì)兵與金辰融學(xué)火的關(guān)質(zhì)系那年抄，馬純爾柯幼維茨然（H艘.M冤ar證ko喘wi屯tz越,1銅95那2）淺發(fā)表勁了他爬的博昨士論迷文，斯提出擁了“尤資產(chǎn)拾組合醋選擇站的均伶值方上差理籌論”飽（m納ea糟n-狗va言ri忘an起ce忌t嚷he房誠(chéng)or維y練of狂p貧or兄tf膚ol殃io慌s鏡el決ec蛙ti續(xù)on杏）.百它的豬意義盤(pán)是將挑原來(lái)磚人們攔期望低尋找襪“最塘好”循股票甲的想況法引戴導(dǎo)到稅對(duì)風(fēng)效險(xiǎn)和秒收益織的量躬化和頭平衡綱的理箱解上嶄來(lái)。犯給定須風(fēng)險(xiǎn)熄水平熊極大辦化期鑰望收幅益，燦或者魯給定叨收益臟水平帥極小塘化風(fēng)宵險(xiǎn)，除這就溉是上永述“籃均值章方差悼理論?！钡拟徶饕S思想必，我包們可埋以將猴它看頃成是襖一個(gè)勇帶約救束的故最優(yōu)腸化問(wèn)錄題。餓稍后墳，夏食普（度W.余F.擱Sh禁ar損pe壤,1攀96料4）障和林暴特納雕（J演.L殊in餅tn芝er埋,1找96鋪5）卸進(jìn)一玩步拓普展了謙馬爾鋼柯維宵茨的柏工作率，提岔出了服“資亦本資鋤產(chǎn)定型價(jià)模歷型”茅（c直ap破it嶄al僵a鼠ss茄et秤p防ri威ci諷ng債m疏od沾el橫,簡(jiǎn)斤稱C捏AP錯(cuò)M）巴。它透的要團(tuán)點(diǎn)是群確定通每一劇個(gè)股葛票和召整個(gè)泄市場(chǎng)濕的相臉關(guān)性賄，于豎是，主對(duì)于疫上述橫最優(yōu)鉗化問(wèn)位題，嗽每個(gè)寶股票鈴的持垃有量冒可以跨由該圣股票佳的平涂均回輸報(bào)率筐和該鳳股票廚與市芹場(chǎng)的箏相關(guān)訴系數(shù)惜來(lái)確循定。概率春統(tǒng)計(jì)延與金匠融學(xué)故的關(guān)反系值得較一提配的是巖20層世紀(jì)畜60焦年代歲的另回一個(gè)恥有影嗽響的針工作鵝是薩洗繆爾豆森（饒Sa孝mu母el固so殺n,蠢19贈(zèng)65柴）和干法馬害（E扛.F圍am蠶a，答1伴96美5）奧的“憑市場(chǎng)箏有效片性假旬設(shè)”兵（e滅ff幕ic看ie戀nt痰m側(cè)ar啟ke君t塘hy烘po頁(yè)th增es頭is塑）,黑這本叢質(zhì)上丘是對(duì)胳于市妻場(chǎng)完魔備性配的某輛種描決述。鬧他們釘證明林，在簡(jiǎn)一個(gè)憶運(yùn)作頭正常蛾的市蹲場(chǎng)中秋，資末本價(jià)每格過(guò)嚇程是兵一個(gè)碗（下測(cè)）鞅它，換蚊句話阿說(shuō)，雀將來(lái)喘的收削益狀遼況實(shí)值際上圈是不圖可測(cè)悠的，脖這項(xiàng)沃工作湯實(shí)際械上為各第二課次革例命做捧了鋪們墊。斧費(fèi)希給爾（鐘Fi步sh導(dǎo)er膨）和涂洛里離（l籌or強(qiáng)ie宿）利退用1卻92怒0年送中期淋倒1梅96簽0年煌中期唱的歷憂史數(shù)高據(jù)檢倍測(cè)了聞“市析場(chǎng)有的效性逐假設(shè)鍋”。踐他們愈的結(jié)栗果表搜明，熱在這董段時(shí)年間里冠，隨臺(tái)機(jī)的未選擇胖股票臘并且箏持有是，其猛平均酬回報(bào)乘率為肌每年盾9.猛4％宴，它蕉要比虹一般葵的專啞業(yè)經(jīng)慰紀(jì)人蛙為他混們的演顧客德運(yùn)作慎所獲焦得的腫贏利屬來(lái)得富高。概率鳴統(tǒng)計(jì)部與金砌融學(xué)肚的關(guān)恨系金融坑數(shù)學(xué)歇的第遭二次鳥(niǎo)革命鑒發(fā)生黎在1殲97枝3年鼠。那之年，啦費(fèi)希塵爾?薄布萊肢克和拐邁倫惜?斯聞科爾洪斯（緞F.忠Bl綢ac淚k榜an型d足M.微Sc蒜ho散le后s,坐19香73蛙）蝦發(fā)表呀了著泰名的翠Bl政ac扁k-夏sc納ho張le噸s公眾式，昏給出途了歐浴式期資權(quán)定嚷價(jià)的結(jié)顯示而表達(dá)煩式。租默頓私和斯撤科爾辦斯在筐紀(jì)念踩布萊咬克的攝一篇激文章頭（M歪er爺to倦n施an群d案sc腳ho懲le依s,綱19邀95滴）中憲敘述引了當(dāng)瘡年布來(lái)萊克炸和斯毯科爾礎(chǔ)斯的吹文章幕被接拋受的瓦困難傾程度置，其扁原因炮是他江們的驚工作霜超前踩了那菜個(gè)時(shí)鉛代。不久稼，默誤頓獲災(zāi)得了雁另一匙種推堤導(dǎo)方螞法，炕并且兔給以夕了推鉤廣。悲19饞79鳴年，趴考克壩斯、稿羅斯淚和魯灑賓斯簽坦（與Co引x,斃Ro商ss莖,a緞nd榜R紹ub繳in毅st尋ei便n,撈19目79洋）發(fā)肯表了暈二叉爪樹(shù)模幟型；嘆同時(shí)鏡哈里劈燕森和克克雷秒普斯悔（H部ar塞ri貧so缸n帖an冷d若Kr巨ep辨s）甚提出塞了多蔬時(shí)段姻的鞅查方法填和套魂利。分19詢81刷年，牌哈里覆森和卻普利梁斯卡臘（H芒ar秧ri歌so父n拼an靜d日Pl就is漢ka葉,1勒98騾1）活提出熊了等射價(jià)鞅掘測(cè)度槐（這輕與“逗市場(chǎng)膠有效臟性假刻設(shè)”公有密樣切的脈關(guān)系求）。膊這些除工作鏈本質(zhì)陪上是袍為了誕風(fēng)險(xiǎn)休管理驕這個(gè)嶺主題滲服務(wù)岸的。概率蛇論在雅金融巾數(shù)學(xué)佳中最竟新的撿理論材發(fā)展1、魯鞅理秧論現(xiàn)代擔(dān)金融司理論港最新毫的研哨究成絨果是蛙鞅理販論的嘴引入跡。在桐市場(chǎng)肅是有雀效的招假定典下,軟證匆券的責(zé)價(jià)格御可以妻等價(jià)女于一妄個(gè)鞅屠隨機(jī)擺過(guò)程斥。由脖Ka勢(shì)ra炮tz梯as媽和冠Sh情re筍ve趨等睛人倡轉(zhuǎn)導(dǎo)的觸鞅方民法直牢接把鴿鞅理統(tǒng)論引波入到緣瑞現(xiàn)代匆金融層理論未中，蜓利用欄等價(jià)悔鞅測(cè)付度的享概念緒研究埋衍生甲證券盛的定成價(jià)問(wèn)賢題,衡得到?jīng)龅慕Y(jié)盟果不辰僅能猶深刻被揭示擱金融嘴市場(chǎng)渣的運(yùn)賭行規(guī)遮律,胡而且及可以枯提供藏一套扎有效冊(cè)的算棋法,錢(qián)求解苦復(fù)雜賓的衍勇生金尤融產(chǎn)鍛品的榆定價(jià)雹與風(fēng)缺險(xiǎn)管鏈理問(wèn)棋題。劉利用濃鞅理甘論研庸究金顫融理蔽論的臨另一房誠(chéng)個(gè)好拜處是窮它能添夠較旦好地執(zhí)解決耍金融伯市場(chǎng)碑不完上備時(shí)烘的衍皺生證注券定商價(jià)問(wèn)趴題，譯從而甩使現(xiàn)鍋代金黃融理隸論取秩得了撤突破版性的卷進(jìn)展巴。目毅前基農(nóng)于鞅浸方法妥的衍礙生證敏券定子價(jià)理舉論在亮現(xiàn)代鉆金融鉆理論選中占楚主導(dǎo)別地位覺(jué),但瓜在國(guó)趨內(nèi)還辦是一鵲個(gè)空志白。概率讀論在制金融咸數(shù)學(xué)牽中最凳新的頸理論患發(fā)展2、拒最憂列停時(shí)慈理論最優(yōu)誕停時(shí)油理論碰是概稱率論坐中一既個(gè)具綱有很桶強(qiáng)應(yīng)赴用背蔑景的筋領(lǐng)域舅,他鑒的蓬債勃發(fā)桶展是代60等年襲代以南后的吩事?？嘟鼛坠?利在國(guó)不內(nèi)也撞有一組些學(xué)匪者開(kāi)西始熱組心這比一領(lǐng)胳域的珍研究段,而采且取簡(jiǎn)得了伶可喜羨的成罪果運(yùn)副用最幟優(yōu)停滾時(shí)理垮論研柳究了配具有碗固定磨交易顆費(fèi)用株的證碼券投哨資決練策問(wèn)乖題,孩給出吹了具弟有二使個(gè)風(fēng)先險(xiǎn)證竄券的扇投資渡決策澡問(wèn)題次一種谷簡(jiǎn)化泥算法溝。在命國(guó)內(nèi)飼有關(guān)矩這方猜面的掛研究但尚不敲多見(jiàn)才，相斥信運(yùn)轟用最愈優(yōu)停翅時(shí)理扇論來(lái)優(yōu)研究懂投資胞決策避問(wèn)題逼和風(fēng)就險(xiǎn)最晌小化位問(wèn)題鋸會(huì)有郵更大處的進(jìn)獎(jiǎng)?wù)埂Ｙ€徒譜們最內(nèi)關(guān)心卸的就忍是：澤如何拌在賭屑博中娘不輸示！概率旗的起長(zhǎng)源—析—都佳是骰投子惹斧的“紅禍”三四績(jī)百年忍前在掀歐洲取許多垮國(guó)家阻，貴淹族之認(rèn)間盛禿行賭右博，擲色唉子（送又名罰骰子合）是漢他們哲常用擊的一染種賭火博方綢式。如同乓時(shí)擲森兩顆督骰子乓，則超點(diǎn)數(shù)浙之和誤為9緣瑞與點(diǎn)魚(yú)數(shù)之昆和為斧10揪，押在恨哪個(gè)糧點(diǎn)數(shù)糖上贏刮的機(jī)雖會(huì)較腦大？234567345678456789567891067891011789101112將一餓枚骰宗子連罩?jǐn)S四任次至悉少出悼現(xiàn)一猛個(gè)六酬點(diǎn)的構(gòu)機(jī)會(huì)比較責(zé)多，萍而同憲時(shí)將枯兩枚暮骰子星擲2是4次謹(jǐn)，至響少出主現(xiàn)一次笨雙六欣的機(jī)惑會(huì)卻球很少胃。德·申梅爾董問(wèn)題度（法遙國(guó)）諸如售此類俯的需預(yù)要計(jì)銜算可枝能性蜻大小插的賭泉博問(wèn)裕題提杠出了耀不少坊，但敬賭徒啄他們?yōu)V自己蝴無(wú)法前給出辱答案“得筋分重問(wèn)漸題”甲、忠乙兩鵝人各波出同瓜樣的隨賭注昏，用奴擲硬幣暈作為梯博奕都手段.每擲尋一次付，若導(dǎo)正面算朝上，魚(yú)甲得掩1酸分峰乙不哨得分急.動(dòng)反時(shí)之，巖乙得陸1分背，甲不駛得分遣.誰(shuí)先多得到駛規(guī)定騾分?jǐn)?shù)干就贏振得全身部賭注午.當(dāng)進(jìn)趣行到耐甲還陡差鳳2分虎乙還虹差3扯分，汗就分別誼達(dá)到屯規(guī)定針?lè)謹(jǐn)?shù)腸時(shí)，執(zhí)發(fā)生績(jī)了意忠外使皆賭局不能尊進(jìn)行慢下去，問(wèn)如區(qū)何公聯(lián)平分疫配賭票注？公元蹄16洲51跑年夏宋天，奧當(dāng)時(shí)靠盛譽(yù)落歐洲脈號(hào)稱憑“神續(xù)童”杏的數(shù)稀學(xué)家帕斯戒卡（箏Pa旋sc講al狐），在旅寸途中侍偶然排遇到嚼了賭遠(yuǎn)徒德·敘美爾，他防對(duì)帕綁斯卡祝大談傾“賭階經(jīng)”其，以助消磨正旅途吉時(shí)光德·隙美爾賭還向錢(qián)帕斯作卡請(qǐng)蔥教一歇個(gè)親位身所避遇的燭“分嚷賭金乎”問(wèn)類題。分賭所金問(wèn)久題甲、任乙二舍人賭鬧技相枕同。龍各出廁賭注超32連個(gè)金筆幣。約定頸：不駐出現(xiàn)常平局傻并且說(shuō)誰(shuí)先寇勝三撥局，敵則誰(shuí)端拿走全部逐64墻個(gè)金恨幣。疼現(xiàn)已紐奉賭了股三局湯，甲億二勝銷一負(fù)撇。此時(shí)堆，因立故要桿終止窯賭博置，問(wèn)癢這6襲4個(gè)廢金幣感要如津何分串，才榆算公炭平？設(shè)想剩繼續(xù)動(dòng)賭兩輔局（飲排除縮慧不分蠶勝負(fù)到的平答局）橫，則結(jié)鍬果無(wú)城非一急下四菜種情嶺況之競(jìng)一：甲甲痛、甲紗乙、頂乙甲濫、乙夫乙因此慰，甲辱、乙松最終欲獲勝?gòu)R可能孤性大窩小之傍比為圖3:禽1。全部歇賭本船應(yīng)按騎這比拾例分援，即叛甲分麥48種個(gè)金桂幣，乙分側(cè)16赤個(gè)金顧幣，母才算攻公正修合理剪。這個(gè)笑例子缺頗給值人以煉啟發(fā)懼，即膠表面界上看在來(lái)簡(jiǎn)洞單自棋然的東西婆，經(jīng)捐過(guò)深掛入一伏層的測(cè)分析膨而揭胞示了緊其不潮合理鞭之處鵲。使概瘦率論倆成為策數(shù)學(xué)椒的一撫個(gè)分題支的娘真正渠奠基凡人是忌瑞士案數(shù)學(xué)銅家J懂.伯輝努利況，而概機(jī)率論仆的飛擦速發(fā)桌展則賀在1繩7世框紀(jì)微陡積分偉學(xué)說(shuō)兔建立超以后鐘.19驗(yàn)33倍年，頃前蘇筐聯(lián)數(shù)桃學(xué)家科爾圣莫戈苦羅夫發(fā)表至了《扛概率湖論的劑基本反概念品》奠命定了傻概率業(yè)論理牲論基都礎(chǔ)，壓使其迷成為街了一折門(mén)嚴(yán)哨格的絹科學(xué)王。An逼dr逗ey胖N嫁ik姻ol稍ae揮vi反chKo扒lm媽og班or紛ov英國(guó)丹生物度學(xué)家純和統(tǒng)舌計(jì)學(xué)詞家k.巖皮爾伐遜在現(xiàn)資代數(shù)景理統(tǒng)少計(jì)的泥建立狼上起踐了重相要作驚用。撒皮爾龜遜的藥工作原是所愉謂“桌大樣堤本統(tǒng)反計(jì)”客的前黎驅(qū)?，F(xiàn)代毀數(shù)理施統(tǒng)計(jì)駱學(xué)作悠為一撈門(mén)獨(dú)或立學(xué)搜科的府奠基蘿人是辱英國(guó)缺數(shù)學(xué)出家,友他也感是另釋一門(mén)考重要逃統(tǒng)計(jì)訓(xùn)分支序假設(shè)睡檢驗(yàn)撥的先蓬驅(qū)之第一，叼他引猶進(jìn)了酸顯著鮮性檢曠驗(yàn)概奸念。法國(guó)攝數(shù)學(xué)技家拉渾普拉大斯(La脾pl江ac些e)說(shuō):“辟生活麥中最俱重要譯的問(wèn)耗題番,志其中齊絕大多數(shù)單在實(shí)框質(zhì)上煙只是鐮概率棍的問(wèn)萌題.喪”英國(guó)題的邏妙輯學(xué)慨家和社經(jīng)濟(jì)外學(xué)家織杰文擾斯曾對(duì)概率毫論大加職贊美凳：“烈概率隊(duì)論是釣生活樸真正的領(lǐng)雕路人孕,帝如果捏沒(méi)有鐘對(duì)概饅率的假某種跪估計(jì)倆,蟻那么我損們就朽寸步和難行邪,鮮無(wú)所反作為鑄.數(shù)理傅統(tǒng)計(jì)昨?qū)W是廉一門(mén)研究顆怎樣虎去有杠效地東收集顆、整理銅和分令析帶顆有隨旋機(jī)性除的數(shù)案據(jù)，牛以對(duì)絞所考疤察的問(wèn)題漏作出殼推斷鋸或預(yù)中測(cè)，鴨直至綱為采梯取一貞定的傻決策和行龍動(dòng)提呀供依澇據(jù)和桂建議屑的數(shù)學(xué)徑分支攏學(xué)科砌.統(tǒng)計(jì)柔方法厘的數(shù)疊學(xué)理值論要徒用到韻很多還近代衫數(shù)學(xué)知識(shí)修，如撕函數(shù)纏論、獻(xiàn)拓?fù)浒磳W(xué)、渴矩陣蛾代數(shù)窩、組未合數(shù)學(xué)等悼等，趟但關(guān)遞系最營(yíng)密切桐的是衡概率宰論，芝故可聰以這樣說(shuō)山：概率臣論是廉?dāng)?shù)理憐統(tǒng)計(jì)膚學(xué)的惡基礎(chǔ)約，數(shù)解理統(tǒng)鋸計(jì)學(xué)是洲概率振論的浸一種冊(cè)應(yīng)用.撥但早是它扮們是把兩個(gè)藏并列的數(shù)適學(xué)分互支學(xué)兇科，衰并無(wú)還從屬?gòu)N關(guān)系內(nèi).第一滾章鈴隨隊(duì)機(jī)事眾件及愧其概雙率在我捷們所盡生活掉的世霉界上燥充滿悼了不紡確定栗性.改從扔存硬幣刑、擲券骰子我和玩摧撲克睬等簡(jiǎn)巾單的煩機(jī)會(huì)約游戲年，到迅復(fù)雜告的社外會(huì)現(xiàn)木象；賭從嬰租兒的網(wǎng)誕生鏈，到義世間速萬(wàn)物祥的繁況衍生絕息；遮從流箭星墜伏落，礙到大估自然湯的千勿變?nèi)f澆化…收…，忽我們達(dá)無(wú)時(shí)堡無(wú)刻胖不面美臨著席不確熱定性持和隨計(jì)機(jī)性雜.引言事實(shí)催上，砍在自辛然界羊存在紛著兩使類現(xiàn)倚象，撒一類日是確定需性現(xiàn)增象，另制一類僵是隨機(jī)拖性現(xiàn)盯象.所謂恥確定熱性現(xiàn)犬象，雙即在價(jià)一定顆條件陡下必令然會(huì)冷發(fā)生序（或掛必然讓不會(huì)博發(fā)生云）的證現(xiàn)象梯，例免如：(1墨)在一至標(biāo)準(zhǔn)棗大氣伏壓下訂，純薦水加盞熱到井10悄0℃若必然套沸騰幸；(2僅)在標(biāo)影準(zhǔn)大贊氣壓枕下，河溫度魄高于卸4℃索的純陰水不蹲會(huì)結(jié)符冰;（3仇）重物熟在高假處必轉(zhuǎn)然下沒(méi)落；（4提）異性父電荷捷必相冬互吸握引.…踐…漲…上述里現(xiàn)象序，我奴們可予以根巡壽據(jù)其糞賴以愧生存沉的條通件，杜事先蹈準(zhǔn)確澇地?cái)噌劧ㄆ淙槲磥?lái)吼的結(jié)佩果，繳稱之換為確定缺性現(xiàn)地象.所謂身非確艦定性協(xié)現(xiàn)象碼，即需在一弄定條逢件下未具有祝多種遼可能的濁結(jié)果嶼，究植竟是戴發(fā)生降那種礎(chǔ)結(jié)果昂事先泰無(wú)法信確定據(jù)的現(xiàn)榜象.例如微：（1忽）擲監(jiān)一顆紀(jì)骰子鋪，出慌現(xiàn)的蘿點(diǎn)數(shù)家可能衣是1攝，2谷，3牢，4團(tuán)，5核，6嫂中的援某一嫌個(gè)；（2驢）保頂險(xiǎn)公翅司的眠年賠怖償金源額；（3惱）從珠某廠祝生產(chǎn)鋪的一故批產(chǎn)受品中怠，任顫意抽勵(lì)取4罵件進(jìn)稍行檢爽驗(yàn)，煌抽到續(xù)的次小品數(shù)縣可能參是0臘，1爆，2暈，3帳或4象.隨機(jī)垃現(xiàn)象結(jié)果戲有可垂能為美:“1野”,崇“2活”,眾“3鉤”,“4飛”,盛“哀5”抵或膝“短6”拌.實(shí)例“拋裙擲一老枚骰具子,北觀察出舍現(xiàn)的免點(diǎn)數(shù)你”.實(shí)例

“用同一門(mén)大炮向同一目標(biāo)發(fā)射同一種炮彈多發(fā),觀察彈落點(diǎn)的情況”.結(jié)果積:“彈落之點(diǎn)可游能會(huì)豈不同”.實(shí)例“從旨一批戰(zhàn)含有表正品念和次壺品的構(gòu)產(chǎn)品壤中任械意抽奶取一圾個(gè)產(chǎn)倉(cāng)品”子.其結(jié)果可能為:

正品

、次品.實(shí)例“一只漂新燈閘泡的醬壽命遇”老可長(zhǎng)通可短撞.上述敗現(xiàn)象似，在勸相同害的可稀控制飄條件她下進(jìn)陽(yáng)行一鄉(xiāng)豐系列轉(zhuǎn)重復(fù)雜的觀揚(yáng)察或菠實(shí)驗(yàn)察，每謹(jǐn)次出己現(xiàn)的禽可能慣結(jié)果爆不止膝一個(gè)耍，而冤在每婦次實(shí)拍驗(yàn)或翁觀察啟之前怠無(wú)法旺預(yù)知宰確切勝的結(jié)偽果，啊呈現(xiàn)狀出偶令然性桃即不麗確定速性，部我們悠稱之量為隨機(jī)燈現(xiàn)象河.隨機(jī)裳現(xiàn)象泄的特謹(jǐn)征：（1休）隨壞機(jī)性無(wú)（偶薯然性在）；（2朵）大察量試懂驗(yàn)的賺條件既下其古結(jié)果匪的發(fā)除生又連具有泊規(guī)律幣性.例如茶，拋興擲一汽枚形顯狀對(duì)滾稱、耗質(zhì)地音均勻緒的硬窯幣一泥次，駁其結(jié)仿果可寸能是亞正面臺(tái)（徽謝花面隸）朝雞上，瓶也可他能是聽(tīng)反面票（數(shù)將字面會(huì)）朝諷上，宵正面武出現(xiàn)豆與否樸，拋扶擲之債前是旅無(wú)法惠確切夢(mèng)地預(yù)寸言的含.但匙多次福重復(fù)您地拋惹擲這蕩枚硬份幣，矩正面從出現(xiàn)巷的次孫數(shù)大法約占權(quán)拋擲歡總次谷數(shù)的散一半動(dòng).這區(qū)種在始大量藥重復(fù)寇實(shí)驗(yàn)劇或觀寺察中冶呈現(xiàn)助出的吼量的泛規(guī)律槳性，襖稱之敞為隨機(jī)任現(xiàn)象充的統(tǒng)繡計(jì)規(guī)痕律性.隨機(jī)弦現(xiàn)象集是偶攏然性黑與必棄然性壁的辯覽證統(tǒng)司一.其偶駐然性身表現(xiàn)如在每例次實(shí)壓驗(yàn)或欠觀察換之前行，不跌能準(zhǔn)客確地疼預(yù)言我發(fā)生本哪種陜結(jié)果波；其銀必然杜性表袖現(xiàn)在熱大量松重復(fù)鏟實(shí)驗(yàn)鼠或觀爹察中當(dāng)，它典的結(jié)灣果呈僵現(xiàn)出園某種導(dǎo)量的儲(chǔ)規(guī)律鋤性.漫即謊隨機(jī)壤現(xiàn)象隙的統(tǒng)您計(jì)規(guī)龜律性竟.“在附表面另上是壩偶然得性起單作用惕的地誰(shuí)方，粱這種似偶然勻性始告終是營(yíng)受內(nèi)勾部的全隱蔽隨著的孝規(guī)律然支配磨的，絞而問(wèn)微題只兵是在遺于發(fā)賞現(xiàn)這酬些規(guī)緞律.檔”兩個(gè)百基本鴉原理§1聲.1拆預(yù)坊備知寸識(shí)例飛行覽在北意京-俱--液天津漸--朝-上仰海-辭--抬廣州債航空臨線上皇的民襯航飛勢(shì)機(jī)，灶要準(zhǔn)沉備多該少種秋不同糧的飛舊機(jī)票留？加法河原理摸和乘太法原溜理是地排列開(kāi)組合掙的基祝礎(chǔ).排列險(xiǎn)組合§1.準(zhǔn)2隨機(jī)假事件隨機(jī)捎事件概率熟論與晌數(shù)理捐統(tǒng)計(jì)介是研傲究隨繭機(jī)現(xiàn)辨象的槽統(tǒng)計(jì)裳規(guī)律財(cái)性的局?jǐn)?shù)學(xué)波學(xué)科孕.為基了對(duì)肅隨機(jī)紀(jì)現(xiàn)象累的規(guī)屢律性溜進(jìn)行優(yōu)研究熟，就軌要對(duì)喝客觀肅事物姑進(jìn)行觀察痛或?qū)嵺`驗(yàn).如，覽觀察頑某種獲商品作的日坑銷量搬，各險(xiǎn)種福膀利彩棚票的窩搖獎(jiǎng)親、某終地區(qū)列夏季媽暴雨瀉的次交數(shù)等擇.對(duì)魯隨機(jī)御現(xiàn)象掛的觀次察或表實(shí)驗(yàn)鉛統(tǒng)稱柿為隨機(jī)拋試驗(yàn)，簡(jiǎn)些稱試驗(yàn).概率粉論中挪所研慰究的銹隨機(jī)昏試驗(yàn)榆具有襯以下惑特點(diǎn)視：（1屢）在可睜控條煩件相顆同的僵前提甩下，乳試驗(yàn)舍可以?shī)剩ɑ蚓茉瓌t直上可號(hào)以）超重復(fù)堆進(jìn)行恭，即重復(fù)狡性；（2浩）每次焦試驗(yàn)蔬的結(jié)哭果具參有多炕種可短能性含，但膝是試?yán)m(xù)驗(yàn)之似前可帶以明負(fù)確試杰驗(yàn)的只所有雹可能禽結(jié)果吵，即明確葵性；（3言）在每省次試輸驗(yàn)之姑前不蒸能準(zhǔn)洗確地貧預(yù)言晉該次德試驗(yàn)痛將會(huì)召出現(xiàn)剪哪一素種結(jié)堅(jiān)果，態(tài)即隨機(jī)拉性.例1桌.2背.1擲一涌顆骰探子，抵觀察昆出現(xiàn)瞎的點(diǎn)窯數(shù)就葵是一外個(gè)隨皆機(jī)試蔽驗(yàn).例拋一蒸枚硬奔幣，恒觀察報(bào)正、虜反面疲出現(xiàn)棉的情腰況也息是一爸個(gè)隨艦機(jī)試濾驗(yàn).在概繪率論災(zāi)中，臣將隨哭機(jī)試西驗(yàn)的內(nèi)結(jié)果酒稱為隨機(jī)別事件，簡(jiǎn)功稱事件.即含，在每慌次隨慣機(jī)試中驗(yàn)中望可能臘出現(xiàn)年也可坊能不熔出現(xiàn)美的結(jié)沫果稱親為隨蹄機(jī)事裹件，統(tǒng)通常金用大遵寫(xiě)拉同丁字云母A,去B,幸C……眠表為示.例如刃，在支擲骰棕子的憐試驗(yàn)燙中，帖“出貪現(xiàn)2點(diǎn)”乖、“哲出現(xiàn)各偶數(shù)穩(wěn)點(diǎn)”蜂，在坡拋硬義幣的搭試驗(yàn)夢(mèng)中，蘋(píng)“正純面朝敵上”擊等都躍是隨唱機(jī)事漸件.基本籮事件楚：隨機(jī)玻試驗(yàn)館中不犬能再脂分解濫的最謎簡(jiǎn)單雙的隨貓機(jī)事召件.油有時(shí)類也用陰小寫(xiě)嘉希臘衛(wèi)字母ω表示賀.如，吧“痰出現(xiàn)盼2點(diǎn)拉”、跡“出途現(xiàn)5雙點(diǎn)”囑等都陸是基位本事綱件.復(fù)合丙事件戒：由若困干個(gè)虛基本脖事件丙組合福而成集的事贈(zèng)件稱弄為復(fù)糧合事祝件.相如球“出塑現(xiàn)偶辯數(shù)點(diǎn)到”事是由勵(lì)“出鬼現(xiàn)2剖點(diǎn)”盟、“暖出現(xiàn)連4點(diǎn)狗”、角“出?，F(xiàn)6鴨點(diǎn)”臥這三括個(gè)基碎本事僻件組摸成的蹲.試驗(yàn)吐中,弦骰子萄“出巧現(xiàn)1豬點(diǎn)”盜,梅“出安現(xiàn)2天點(diǎn)”撇,忌…宣,“幅出現(xiàn)閑6點(diǎn)熔”為狀六個(gè)基本翠事件.

例

拋擲一枚骰子,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).A=“釋出現(xiàn)續(xù)奇數(shù)容點(diǎn)”B=“鋤出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)櫻”C=“餡出現(xiàn)倍不小間于2的點(diǎn)”={妹1,困3,摘5}={藥2,宴4,火6}={平2,畜3,響4,腿5,廁6}樣本癥空間例將一階枚硬諸幣連呆拋3騾次，晉觀察捷正反產(chǎn)面出險(xiǎn)現(xiàn)的錫情況屯，試蠅寫(xiě)出答該隨過(guò)機(jī)試遙驗(yàn)的凡樣本淹空間冒.解用“H”表種示出飄現(xiàn)正坐面，袋“T”表賄示出低現(xiàn)反稀面.帖于是拳，由氏題設(shè)鈔，基惑本事駛件是縣從兩女個(gè)相細(xì)異元乓素H、舌T中，驅(qū)允許拋重復(fù)李地取狡出3個(gè)元抓素的留排列花，而緣瑞所有稈這種肯排列鑰共有孝種可彩能結(jié)槐果，萄所以中，樣鼓本空攀間是注隨機(jī)似試驗(yàn)混的樣魯本空總間是并由試域驗(yàn)的象所有燥基本答事件孫組成叨的集坑合.兔所以距，只橡要根胡據(jù)題幫設(shè)條電件，毛分析撫基本很事件尼的特詠征，軟則樣嚷本空李間為樣本叨空間波可以桐是有盼限集忍，也消可以芬是無(wú)拒限集改.如呀觀察妄“某倚射擊腹手在枯擊中德目標(biāo)決之前愿的射刺擊次紐奉數(shù)”殺的樣涂本空銀間是隨機(jī)森事件村之間使的關(guān)券系與汽運(yùn)算同一疼試驗(yàn)應(yīng)的各撥種事盤(pán)件之叫間的掏幾種語(yǔ)主要嫌關(guān)系違和運(yùn)泰算.1.遠(yuǎn)包含辮關(guān)系2.烏相等惜關(guān)系3.陽(yáng)事件繞的和態(tài)（并絞）4.丸事件門(mén)的積拖（交撕）5.忌事件所的差6.舒互不乳相容頭事件7.診對(duì)立劑事件8.阻完備廁事件量組文氏雁圖在集勝合論伴中，嗽常常脆用“文（詞Ve放nn豬）氏更圖”直觀雷地描汗述集緣瑞合及氣其相爆互關(guān)疲系.開(kāi)可毅以借熊助文悟氏圖撲來(lái)直葬觀地勻描述別一個(gè)薯隨機(jī)尤試驗(yàn)貓以及晶隨機(jī)扯試驗(yàn)島所包偶含的缺隨機(jī)凈事件漸及其喜相互處關(guān)系馬.即藥用平卸面上鑒某一會(huì)方形運(yùn)（或蓄矩形汽、或耀其他傭平面抬圖形伸）區(qū)炕域表白示必走然事?lián)旒醇緲颖揪杩臻g腥，用撇該區(qū)料域上帝的子廉區(qū)域興表示紋隨機(jī)融事件蓬，如粘圖1.包含概關(guān)系若事件A發(fā)生,必然導(dǎo)致B發(fā)生,則稱事件B包含事件A,記作圖示B包含A.BA1.施包含關(guān)系若事播件A包含展事件B,而且仰事件B包含攪事件A,則稱唉事件A與事圍件B相等,記作A=囑B.2.相等民關(guān)系BA圖示A=B.3.事件都的和(并)實(shí)例某種衰產(chǎn)品丹的合打格與嶼否是怒由該暢產(chǎn)品莊的長(zhǎng)基度與直徑液是否奸合格錯(cuò)所決貝定,州因此線“狡產(chǎn)品旬不合糟格”鼻是“輝長(zhǎng)度不合公格”遍與“聲直徑銹不合優(yōu)格”社的并浮.圖示悅事件A與B的并.BA圖示隱事件A與B的積事件