高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)及公式

高中文科數(shù)學(xué)公式及知識點(diǎn)速記

一、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)

1、函數(shù)的單調(diào)性

(1)設(shè)X、xe[a,b],x<x那么

1212

/(x)-/(x)<0o/(X)在句上是增函數(shù)；

12

f(x)-于(x)〉0o/(X)在[a,切上是減函數(shù).

12

(2)設(shè)函數(shù)y=/(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若尸。)>0,則〃尤)為增函數(shù);若/'(x)<0,則/(x)為減

函數(shù).

2、函數(shù)的奇偶性

對于定義域內(nèi)任意的x,都有/(—x)=/(x),則”x)是偶函數(shù)；

對于定義域內(nèi)任意的x,都有/(-x)=-/(x),則/(x)是奇函數(shù)。

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱。

3、函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義

0

函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)是曲線y=f(x)在P(x，/(x))處的切線的斜率f'(x),相應(yīng)的切線方

0000

程是y-y=f'(x)(x-x).

000

b4QC—1戶b4QC—Z?2+]

*二次函數(shù)：(1)頂點(diǎn)坐標(biāo)為(一丁,一---);(2)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(一丁，——)

la4ala4a

4、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

①C'=0；@(x?)'=nx"-i.③(sinx)'=cosx；④(cosx)'=—sinx；

⑤3)=axIna；⑥?r>=e.r；⑦(logx)'=——；⑧(lnx),=l

。xlnax

5、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

uwv—uv

(1)(M±v)'=M'±V.(2)(?v),=uv+uv.(3)(一)’=--------0*0).

VV2

6、會用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間、極值、最值

7、求函數(shù)y=/G)的極值的方法是：解方程尸(x)=().當(dāng)/6)=0時(shí)：

0

(1)如果在無附近的左側(cè)/'(x)〉0,右側(cè)/'(x)<0,那么/G)是極大值；

00

⑵如果在x附近的左側(cè)/Q)<o,右側(cè)/G)〉o,那么/G)是極小值.

00

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)

分?jǐn)?shù)指數(shù)累

(1)ari=4Jam,且〃>1).

_以11

(2)=——-__(a>0,m,n€N*,且?guī)住?).

山風(fēng)

Cln

根式的性質(zhì)

(1)當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，疝=a.

Ia,a20

當(dāng)〃為偶數(shù)時(shí)，.

-a,a<()

有理指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

第1頁(共10頁)

(1)ar-as=ar+s(a>0,r,s&Q).

(2)(a，)，=a”(a>0,r,SG。).

(3)(ab)r-arbr(a>0,b>0,re0).

注：若a>0,p是一個(gè)無理數(shù)，則加表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)霖的運(yùn)算性質(zhì)，對于無理數(shù)

指數(shù)早都適用.

.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式：logN=b=ai，=N(a>U,aKl,N>0)

logN

.對數(shù)的換底公式：logN=「f—(a>(),且arl,加>0,且機(jī)。1,N>0).

a102a

對數(shù)恒等式：aiog.N=N(a>0,且awl,N>0).

Yl

推論logbn=_log2(。>0,且。。1,N〉0).

常見的函數(shù)圖象

y=iogax

0<a<1

01

-2

ax2+bx+c

二、三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量

8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin20+cos20=1,tan0二.

COS0

9、正弦、余弦的誘導(dǎo)公式(奇變偶不變，符號看象限)

依士。的正弦、余弦，等于a的同名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時(shí)該函數(shù)的符號；

,71

匕1+,±。的正弦、余弦，等于a的余名函數(shù)，前面加上把a(bǔ)看成銳角時(shí)該函數(shù)的符號。

(l)sin(2kTi+a)=sina,cos(2kn+a)=cosa,tan(2k兀+a)=tanaQez)

(2)sinG+a)=-sina,cos(兀+a)=-cosa,tan(K+a)=tana

(3)sin(-a)=-since?cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana

(4)sin(兀-a)=sina,cosG-a)=-cosa,tan(K-a)=-tana

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限.

(5)sin(￡-aj=cosa,cos^.-aj=sina(6)sin^~+=cosarcos(￡+a]=-sina

口訣：正弦與余弦互換，符號看象限.

10、和角與差角公式

sin(a±P)=sinacosP±cosasinP；

cos(a±p)=cosacos。,sinasin。；

第2頁(共10頁)

tana±tanP

tan(a±3)=

tanatanP

11、二倍角公式

sin2a=sinacosa.

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.

2tana

tan2a

l-tan2a

八1八1+cos2a

2cos2a=l+cos2a,cos2a=---------

公式變形：,2

81l-cos2a

2sin2a=l-cos2a,sin2a=---------：

2

12、函數(shù)y=sin（3x+（p）的圖象變換

①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=sin（x+（p）的圖象：再將函數(shù)y=sin（x+（p）

的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的,倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)丫=5出（（0x+中）的圖象：

CO

再將函數(shù)丁=5出（（0%+中）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

y=Asin（3x+（p）的圖象.

②數(shù)y=sinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的_L倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

CO

y=sino）x的圖象；再將函數(shù)y=sincox的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移四個(gè)單位長度，得到函數(shù)

y=sin（（ox+（p）的圖象；再將函數(shù)y=sin（a）x+（p）的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的A倍

（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)〉=人5詁（（0%+甲）的圖象.

13.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):

y=sinxy=cosxy=tanx

iik

yy

￥2n

圖象\JyJ

01viyx0

T、一

[xXHA兀+],kGz|

定義域RR

[-1,1]

值域R

當(dāng)x=2kTi+—(fcez)當(dāng)x=24兀（k￡Z）時(shí)，

最值白2既無最大值也無最小值

第3頁（共10頁）

時(shí),y=1；當(dāng)y=1；當(dāng)x=2攵冗+71

maxmax

X=2加一三QeZ）時(shí)，y=-l.

2min

QeZ）時(shí),y=-l.

min

周期性2兀2K71

奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2kn--,2kn+—

_22.

在L女兀—兀，2攵兀］（女￡Z）上是增

f.71吟

aeZ）上是增函數(shù)；在在左?！?/p>

函數(shù)；在女九，2攵兀+兀］k22；

單調(diào)性

兼兀+$2m+言_Qez）上是增函數(shù).

QeZ）上是減函數(shù).

QeZ）上是減函數(shù).

對稱中心（山,0）G￡Z）對稱中兀+3,0）QeZ）

對稱中心（虧,0）Qgz）

對稱性對稱軸x=斤兀+=（后ez）

2對稱軸％=也（左￡Z）

無對稱軸

14、輔助角公式

______b

y=asinx+bcosx=7a2+Z72sin（x+（p）其中tan（p=—

a

15.正弦定理：=_='_^=二：7=27?（1?為乙45。外接圓的半徑）.

sinAsinBsmC

=a=2/?sinA,b=2/?sinB,c=2/?sinCoa:b:c=sinA:sinB:sinC

16.余弦定理

“2=匕2+c2-2bccosA；Z?2=c2+。2—2cacos3；C2=<72+。2-2abcosC.

17.面積定理

（1）S=-ah=Lh=—ch（h>h、h分別表示a、b、c邊上的高）.

2“262cahc

（2）S=sinC=LesinA=leasin8

222

18、三角形內(nèi)角和定理

在aABC中，有A+8+C=7lU>C=兀一（A+8）

<=>￡=--AZL￡<Z>2C=2K-2（A+B）.

222

19、％與區(qū)的數(shù)量積（或內(nèi)積）

a-b=\a\-\b\cos0

第4頁（共io頁）

20、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

⑴設(shè)A(X,y),B(無，y),則A￡j=O8-Q4=(x-x,y-y).

11222121

(2)設(shè)a=(x,y),3=(x,y),則a%=xx+yy.

1122________1212

⑶設(shè)九(X,y),則M卜Jx2+y2

21、兩向量的夾角公式

設(shè)i=(x,y),1=(x,y),且石wO,則

1122

na-bxxy/.r.、、

cos。-———r-="/B=(d=(x,y),Z?=(x,y)).

I4I?I》IJx；+yi?"24-yi1122

22、向量的平行與垂―

設(shè)4=(x,y),5=(x,y),且Bw0

I122

Tffi

allbob=haoxy—xy=0.

1221

aJ_h(aw。)=a?B=0oxx+yy=0.

1212

*平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)設(shè)。=&,y),石二(x,y),則4+萬=(x+x,y+y).

1I221212

(2)設(shè)乙=(x,y),B=(x,y),貝IJ4-5=(x-X,y-y).

11221212

⑶設(shè)A(x,y),B(X,y)，則血=。月一改=(x-x,y-y).

11222121

(4)設(shè)4=(x,y),九wR,則九4二(九蒼九y).

⑸設(shè)4《“）33匕），則/公凸+4”

三'數(shù)列

23、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系

s,n=\

。?、。(數(shù)列伍}的前n項(xiàng)的和為s=a+a+...+o).

ns—s>2〃〃i2”

nn-\

24、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

a=a+(〃-l)d=dn+a-d(neN*)；

n11

25、等差數(shù)列其前n項(xiàng)和公式為

n(a+Q)=w+〃(〃—Dd=1+C)〃.

1n

2?22i2

26、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

a=aq“-i=—.q"(nGN*)；

n1q

27、等比數(shù)列前n項(xiàng)的和公式為

-H--------,q#l

s={\-q或

n

na,q=\na,q=\

四、不等久ii

28、三上之，不。必須滿足一正（羽y都是正數(shù)）、二定（外是定值或者x+y是定值）、三相等（x二y

第5頁（共10頁）

時(shí)等號成立)才可以使用該不等式)

(1)若積孫是定值〃，則當(dāng)x=y時(shí)和x+y有最小值2,萬；

(2)若和x+y是定值S,則當(dāng)X=y時(shí)積孫有最大值：S2.

五、解析幾何

29、直線的五種方程

(1)點(diǎn)斜式^k(x-x)(直線/過點(diǎn)<(4乂)，且斜率為左).

(2)斜截式)，=&+匕(b為土線/在y軸上而截描.

V—VX—X

(3)兩點(diǎn)式^^=-~ij-(y#y)(P(x,y)、P(x,y)(x)).

y-yx-X1211122212

212I

X￥

(4)截距式—+3=1(。、〃分別為直線的橫、縱截距，。、人工0)

ab

(5)一般式++C=0(其中A、B不同時(shí)為0).

30、兩條直線的平行和垂直

若/:y=kx-\-b,I\y=kx-\-b

111222

①/11/ok=k、b手b

12I212，

②/1/0kk=-l.

1212

31、平面兩點(diǎn)間的距離公式

d=」(x—x)2+(y-y)2(A(X,y),B(x,y)).

A,8V2121II22

32、點(diǎn)到直線的距離

?^++|

d=—?平_—(點(diǎn)P(x,y),直線/：Ar+8y+C=0).

{A2+B200

33、圓的三種方程

(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-a)2+(y-b)2=r2.

(2)圓的一般方程x2+yi+Dx+Ey+F=0(￡)2+￡2-4F>0).

x=a+rcosQ

(3)圓的參數(shù)方程<

y=Z?+rsin0

*點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)P(x,y)與圓(%-。)2+()-。)2=r2的位置關(guān)系有三種

00

若d=J(a-x)2+g_y)2,則點(diǎn)P在圓外；。=ro點(diǎn)P在圓上；d<r=點(diǎn)P在圓內(nèi).

V00

34、直線與圓的位置關(guān)系

直線Ax+By+C=0與圓(x—a"+(y-b)i=/2的位置關(guān)系有三種：

d>ro相離=△<()；

d=r<=>相切o△=0；

d<r=相交0△>0.弦長=2j「2-d2

\Aa+Bb+C\

其中d=11.

JA2+82

35、橢圓、雙曲線、拋物線的圖形、定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)______

X2y2cI^2'(x=acos0

橢圓：一+7-=1(。>6>0),。2-c2=62,離心率e==J1-—<1,參數(shù)方程是〈,.?.

a2p2ay<72[y=osinb

%2V2Ch

雙曲線：---=l(a>0,b>0),C2—。2=匕2,離心率e=->l,漸近線方程是y=±tx.

a2b2aa

第6頁(共10頁)

拋物線：>2=2px,焦點(diǎn)（搭,0）,準(zhǔn)線％=一搭。拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離.

36、雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

%2y2%2V2A

（1）若雙曲線方程為———二=In漸近線方程：——J=00y=±2x.

。2b2。2枚a

（2）若漸近線方程為y=±，ot±J=0n雙曲線可設(shè)為三一=二=九?

aaba2bz

"V2Y2y2

（3）若雙曲線與二一二=1有公共漸近線，可設(shè)為二一二=九（九〉0,焦點(diǎn)在X軸上，入<0,

。21）2。2b2

焦點(diǎn)在y軸上）.

37、拋物線），2=2px的焦半徑公式

拋物線V=2Px（p>0）焦半徑IPF\=x+￡.（拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離等于它到準(zhǔn)線的距離。）

<>2

38、過拋物線焦點(diǎn)的弦長|AB|=X]+：+x,+：=+x,+p.

六、立體幾何

39.證明直線與直線的平行的思考途徑42.證明直線與直線的垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn)；（1）轉(zhuǎn)化為相交垂直；

（2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直；

（3）轉(zhuǎn)化為線面平行；（3）轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；

（4）轉(zhuǎn)化為線面垂直；（4）轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.

（5）轉(zhuǎn)化為面面平行.43.證明直線與平面垂直的思考途徑

40.證明直線與平面的平行的思考途徑（1）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；

（1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn)；（2）轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直

（2）轉(zhuǎn)化為線線平行；（3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；

（3）轉(zhuǎn)化為面面平行.（4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。

41.證明平面與平面平行的思考途徑44.證明平面與平面的垂直的思考途徑

（1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn);（1）轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;

（2）轉(zhuǎn)化為線面平行;（2）轉(zhuǎn)化為線面垂直;

（3）轉(zhuǎn)化為線面垂直.

45、柱體、椎體、球體的側(cè)面積、表面積、體積計(jì)算公式

圓柱側(cè)面積=2汽"，表面積=2?！?2冗

rsi-Wt/rm^xn7lf/#=工n?！?兀-2

圓椎側(cè)面積二心〃，表面積二

V=為7（S是柱體的底面積、力是柱體的高）.

柱體3

v（S是錐體的底面積、〃是錐體的高）.

椎體3

4

球的半徑是R,則其體積丫=?兀A"其表面積s=4兀7?2.

46、若點(diǎn)A（x,y,z）,點(diǎn)B（x,y,z）,則"=1AB1=JAB.AB=J（X-x）2+（y-y>+Q-zg

11I222A,BV212121

47、點(diǎn)到平面距離的計(jì)算（定義法、等體積法）

48、直棱柱、正棱柱、長方體、正方體的性質(zhì)：側(cè)棱平行且相等，與底面垂直。

正棱錐的性質(zhì)：側(cè)棱相等，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心。

第7頁（共10頁）

七'概率統(tǒng)計(jì)

49、平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

x+尢+???X|

平均數(shù)：x=」~二----一方差：S2=一[（》-x）2+（x-X）2+…（x-x）2]

nn12”

rj2ZZ-

標(biāo)準(zhǔn)差：S=J-[（X-X）2+（x-x）2+…（x-X）2j

Vn12n

50、回歸直線方程（了解即可）

Z(x-x)(y_y)Zxy-nx~y

iiii

h-1，--------------

y-a+bx,其中<X(x-4.經(jīng)過㈠，y）點(diǎn)。

i

i=[i=l

a=y-bx

n{ac-bd)2

51、獨(dú)立性檢驗(yàn)Kt（了解即可）

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

52、古典概型的計(jì)算（必須要用列舉法、列表法、樹狀圖的方法把所有基本事件表示出來，不重復(fù)、不遺

漏）

八、復(fù)數(shù)

53、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算

a+bi_(a+bi)(c-di)_(ac+bd)+(be-ad)i

c+di(c+di)(c-di)C2+J2

54>復(fù)數(shù)z=a+/i的模lzl=la+4l=J〃2+》2.

55>復(fù)數(shù)的相等：a+bi=c+di=a=c,b=d.(a,b,c,deR)

56、復(fù)數(shù)Z=a+沅的模(或絕對值)Izl=la+應(yīng)l=〃2+6.

57、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則

(1)(a+bi)+(c+di)=(a+c)+S+d)i；

(2)(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；

⑶(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(be+ad)i；

ac+bdbe-ad?八、

(4)(a+Oi)+(c+di)=---------+---------i(c+力w0).

C2+d2C2+d2

58、復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律

對于任何z,z,zeC,有

123

交換律：n?z=Z?Z.

1221

結(jié)合律：(z-z)-z=z?z).

123I23

分配律：z，(z+z)=z，z+z,z

1231213

九、參數(shù)方程、極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)

PCOS0=XP2—X2+）”

''[psin0=y|tan0=2（X^0）

.x

十、命題、充要條件

充要條件（記P表示條件，q表示結(jié)論）

第8頁（共10頁）

(i)充分條件：若pnq,則，是g充分條件.

(2)必要條件：若qnp,則P是4必要條件.

(3)充要條件：若pnq,且qnp,則，是4充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.

56.真值表逆命題

若q則P

Pq非Pp或qp且q

真真假真真

［否

真假假真假

假真真真假

逆否命題

假假真假

假若1q則］P

十一、直線與平面的位置關(guān)系

空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

三個(gè)公理：

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)

(2)公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

(3)公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。

空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

北而有線J相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

L平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。

2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)

4注意點(diǎn)：

①a'與b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與0的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn)0一般取在兩直

線中的一條上；

?n

②兩條異面直線所成的角0G(。，—>;

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a，b；

④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

(1)直線在平面內(nèi)一一有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

(2)直線與平面相交一一有且只有一個(gè)公共點(diǎn)

(3)直線在平面平行一一沒有公共點(diǎn)

直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

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直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。

平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

2、判斷兩平面平行的方法有三種：__________

(1)用定義；Y“1.

(2)判定定理；........卜

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。

直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線匕妝吉站雨行q

簡記為：線面平行則線線平行?！骸?

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。-J.

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)々/笠,/

直線與平面垂直的判定/

1、定義：如果直線L與平面a內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面a互相垂直，記作L，a,

直線L叫做平面a的垂線，平面a叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂

足。

2、判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A__________

梭］P

BL.-----

2、二面角的記法：二面角aT-B或a-AB-B

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

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高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

1.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B、C

中元素各表示什么？

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題.

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=《1x2-2x-3=。},B={xlax=l}

若BuA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

(答：o,3)

3o注意下列性質(zhì)：

(1)集合《，a,……，a}的所有子集的個(gè)數(shù)是2”；

12n

(2)若A±BoAnB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

c(AUB)=(CA)n(cB),c(AnB)=9A\J(CB)

uuuuuu

4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？(排除法、間接法)

如：已知關(guān)于x的不等式上史＜0的解集為M,若3eM且5金M,求實(shí)數(shù)a

x2-a

的取值范圍。

a?3—5

(V3eM,?,?<0

3d=>ae1,25))

a?5-5L

?.?5史M,Z------^-^>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”(v),“且”(人)和

“非”(「).

若p/xq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6o命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假.

7O對映射的概念了解嗎?映射f：A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對

應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射?

（一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象.）

8.函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？

（定義域、對應(yīng)法則、值域）

9。求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?

Jx(4-x)

例：函數(shù)y=的定義域是___________

igG-3>

（答:（0,2）LlQ，3）U（3,4））

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f（x）的定義域是L,blb>-a>0,則函數(shù)F（x）=f（x）+f（-x）的定

義域是.

（答：L,—al

11.求一個(gè)函數(shù)的解析式或一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，注明函數(shù)的定義域了嗎?

如：fC/x+1）=」+x,求f（x）.

令t=Jx+1,貝!JtNO

.*.x=t2-1

??f(t)—et2-i+12—1

2

/.f(x)=ea-i+x2-1G>0)

12o反函數(shù)存在的條件是什么？

(----對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解x；②互換x、y；③注明定義域)

Pi+xG>o)

如：求函數(shù)f(x)=](、的反函數(shù)

-X2lx<07

x-1(x>1)

(答：f-l(X)=L(\)

-'-x(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,aeA,beC,則f(a)=bof-i(b)=a

/.f-i[f(a)]=f-i(b)=a,ftf-i(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x),則y=f[(p(x)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f[(p(x)]為增函數(shù)，否則f[(p(x)]為減函數(shù)。)

如：求y=log(-X2+2x>勺單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)u=-X2+2x,由u>0則0<x<2

且log]UJ,u=-G-1)2+h如圖：

3

當(dāng)X￡（0,1]時(shí),,uT,又logui,??.yj

2

當(dāng)xE[1,2）時(shí)，uJ,又loguJ,AyT

2

）

15o如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f<x)N0則f(x)為增函數(shù)。(在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f<x)<0呢？

如：已知a>0,函數(shù)f(x)=X3-ax在L,+8)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

值是()

A.0Bo1Co2D.3

(令f，(x)=3x2-a=3x+Wx-5>0

由已知f(x)在［1,+oo)上為增函數(shù)，則g41，即a?3

，a的最大值為3)

16o函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立of(x)為奇函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

4

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)

偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn)，則f(0)=0o

如：若f(x)="2'+a-2為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)a=

2*+1--------

(???f(x)為奇函數(shù)，xeR,XOeR,/.f(0)=0

即20+a-2=0,Aa=1)

2。+1

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,1)時(shí)，f(x)=——,

4x+1

求f(x)在Qi,1)上的解析式。

(令xeQl,0),則一xw(O,1),f(-x)=—

4-x+1

又f(x)為奇函數(shù)，...f(x)=-2f=_2、

4-x+1l+4x

2xXG(—1,0)

又f(0)=0,，f(x)=<4x+1X=0)

2*.xe(f),1)

14x+1

170你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實(shí)數(shù)T(THO),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù),T是一個(gè)周期.)

如：若f(x+a)=-f(x),則

(答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個(gè)周期)

又如:若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)