第01練平面向量及其應(yīng)用（15種題型過關(guān)練能力提升練拓展練）

第01練平面對量及其應(yīng)用〔15種題型過關(guān)練+力量提升練+拓展練〕1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長度等于1個單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運算向量運算定義法那么(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實數(shù)λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個實數(shù)λ，使得b＝λa．4．平面對量根本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底．5．平面對量的坐標運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標的求法①假設(shè)向量的起點是坐標原點，那么終點坐標即為向量的坐標；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(〔x2－x1〕2＋〔y2－y1〕2)．6．平面對量共線的坐標表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：兩個非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，那么∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，那么0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：假設(shè)θ＝0°，那么a與b同向；假設(shè)θ＝180°，那么a與b反向；假設(shè)θ＝90°，那么a與b垂直．8．平面對量的數(shù)量積定義設(shè)兩個非零向量a，b的夾角為θ，那么|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面對量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0<常用結(jié)論>1．五個特殊向量(1)要留意0與0的區(qū)分，0是一個實數(shù)，0是一個向量，且|0|＝0.(2)單位向量有很多個，它們大小相等，但方向不肯定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同始終線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個常用結(jié)論(1)一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量的起點指向最終一個向量的終點的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特殊地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)假設(shè)P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)任意一點，那么eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)假設(shè)A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點，那么eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點G(如下圖)，易知G為△ABC的重心，那么有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)假設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，那么A，B，C三點共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關(guān)注三點(1)基底e1，e2必需是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)假如對于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(1)假設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，那么a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，由于x2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.(2)推斷三點是否共線，先求每兩點對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進行判定．5．兩個結(jié)論(1)P為線段AB的中點，假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么P點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)△ABC的頂點A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC的重心G的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面對量數(shù)量積運算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.一．向量的概念與向量的?！补?小題〕1．〔2023春?蘇州期中〕在如下圖的半圓中，AB為直徑，O為圓心，點C為半圓上一點且∠OCB＝15°，，那么等于〔〕A． B． C． D．【分析】由題意可知，在△BOC中，OB＝OC＝，∠COB＝150°，利用余弦定理可求出BC2，再在Rt△ABC中利用勾股定理求解即可．【解答】解：連接AC，∵AB為直徑，∴∠ACB＝90°，在△BOC中，OB＝OC＝，∠OCB＝15°，∴∠OBC＝15°，∠COB＝150°，由余弦定理可得，BC2＝OB2+OC2﹣2OB?OC?cos∠COB＝2+2﹣2×＝4+2，在Rt△ABC中，＝＝＝﹣1，即＝﹣1．應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查了余弦定理的應(yīng)用，屬于根底題．2．〔2023春?盱眙縣期中〕設(shè)點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，假設(shè)＝4，，那么＝2．【分析】依據(jù)兩個向量的和與差的模長相等，得到以和為鄰邊的平行四邊形是一個矩形，依據(jù)矩形的對角線相等且相互平分，得到要求的向量的模長．【解答】解：∵，∴以和為鄰邊的平行四邊形是一個矩形，依據(jù)矩形的對角線相等且相互平分，∴＝＝4×＝2，故答案為：2【點評】此題考查向量的模，是一個根底題，此題解題的關(guān)鍵是看清向量的和與差的模長組成一個矩形，依據(jù)矩形的性質(zhì)解題，留意應(yīng)用平面幾何中的內(nèi)容．二．向量相等與共線〔共2小題〕3．〔2023春?鼓樓區(qū)校級期中〕設(shè)，都是非零向量，以下四個條件中，使得成立的條件是〔〕A． B． C． D．∥且【分析】利用向量共線的充要條件，求等式的充要條件，進而可利用命題充要條件的定義得其充分條件．【解答】解：??與共線且同向?且λ＞0，應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查了向量共線的充要條件，命題的充分和必要性，屬根底題．4．〔2023春?棲霞區(qū)校級期中〕向量，不共線，向量，且，那么λ的值為〔〕A．1 B．﹣1 C．±1 D．2【分析】利用向量共線定理列出方程組，求解即可．【解答】解：∵向量，不共線，向量，且，∴λ+＝t〔+λ〕，∴，∴λ＝±1．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了向量共線定理，屬于根底題．三．向量的加法〔共1小題〕5．〔2022秋?海安市期末〕設(shè)G為△ABC的重心，那么＝〔〕A．0 B． C． D．【分析】依據(jù)條件，結(jié)合重心的定義，以及向量的運算，即可求解．【解答】解：G為△ABC重心，，那么．應(yīng)選：B．【點評】此題主要考查重心的定義，以及向量的運算，屬于根底題．四．向量的減法〔共1小題〕6．〔2018春?張家港市校級期末〕〔﹣〕﹣〔﹣〕＝．【分析】依據(jù)向量減法的幾何意義即可進行化簡．【解答】解：．【點評】此題考查了向量減法的幾何意義，考查了計算力量，屬于根底題．五．向量的三角形法那么〔共1小題〕7．〔2018春?衢州期中〕P是△ABC所在平面上一點，滿意||﹣||＝0，那么△ABC的外形是〔〕A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【分析】依據(jù)平面對量的線性運算與模長公式，可以得出?＝0，即⊥，△ABC是直角三角形．【解答】解：P是△ABC所在平面上一點，且||﹣||＝0，∴||﹣|〔﹣〕+〔﹣〕|＝0，即||＝|+|，∴|﹣|＝|+|，兩邊平方并化簡得?＝0，∴⊥，∴∠A＝90°，那么△ABC是直角三角形．應(yīng)選：B．【點評】此題考查了平面對量的線性運算與數(shù)量積運算問題，也考查了模長公式應(yīng)用問題，是根底題．六．向量加減混合運算〔共1小題〕8．〔2022春?玄武區(qū)校級期中〕化簡＝〔〕A． B． C． D．【分析】進行向量的加法和減法的運算即可．【解答】解：原式＝．應(yīng)選：B．【點評】此題考查了向量的加法和減法的運算，考查了計算力量，屬于根底題．七．兩向量的和或差的模的最值〔共1小題〕9．〔2022?高郵市開學(xué)〕向量，，那么的最小值為〔〕A．2 B． C．1 D．【分析】利用向量坐標運算，得＝，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可解．【解答】解：向量，，那么＝〔〕，那么＝，當時，有最小值1，應(yīng)選：C．【點評】此題考查向量的坐標運算以及二次函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題．八．向量數(shù)乘和線性運算〔共2小題〕10．〔2022春?鐘樓區(qū)校級月考〕如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，過點O的直線與AB，AD所在直線分別交于點M，N，滿意＝m，＝n〔m＞0，n＞0〕，假設(shè)mn＝，那么的值為〔〕A． B． C． D．【分析】利用平面對量根本定理可得＝，由O，M，N三點共線，可得，結(jié)合mn＝即可求出m，n的值，從而求出結(jié)果．【解答】解：＝＝＝，∵O，M，N三點共線，∴，即m+＝2，又mn＝，聯(lián)立解得m＝，n＝，∴＝＝，應(yīng)選：B．【點評】此題主要考查了平面對量根本定理，考查了三點共線的性質(zhì)，屬于中檔題．11．〔2022春?響水縣校級期中〕點G是△ABC的重心，點M，N分別在AB，AC上，且滿意，其中x+y＝1．假設(shè)，那么△AMN與△ABC的面積之比為．【分析】用，表示出，求出x，y，得出M，N的位置，從而得出答案．【解答】解：設(shè)BC的中點為D，那么＝＝，又，即＝，∴＝+，∴x＝，又x+y＝1，∴y＝，∴＝，即＝，＝＝．故答案為：．【點評】此題考查了平面對量根本定理，考查了方程思想和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．九．平面對量數(shù)量積的含義與物理意義〔共3小題〕12．〔2023?臨沂一?！诚蛄浚瑵M意?＝10，且＝〔﹣3，4〕，那么在上的投影向量為〔〕A．〔﹣6，8〕 B．〔6，﹣8〕 C．〔﹣，〕 D．〔，﹣〕【分析】依據(jù)投影向量的定義計算即可．【解答】解：由于?＝10，且＝〔﹣3，4〕，所以在上的投影向量||cos＜，＞＝〔?〕＝10×＝〔﹣，〕．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了投影向量的定義與計算問題，是根底題．13．〔2023春?棲霞區(qū)校級期中〕如圖，在直角梯形ABCD中，，，AB＝5，AD＝3，CD＝2，那么＝22．【分析】說明，利用平面對量的根本定理，化簡求解即可．【解答】解：由于在直角梯形ABCD中，，，AB＝5，AD＝3，CD＝2，所以，由于直角梯形ABCD，所以AB⊥AD，故，所以＝，＝＝＝＝＝＝．故答案為：22．【點評】此題考查平面對量的數(shù)量積的求法與應(yīng)用，是根底題．14．〔2023春?淮陰區(qū)期中〕A〔1，1〕，B〔﹣3，4〕，P〔﹣1，﹣2〕，直線l經(jīng)過A，B兩點，我們把向量以及與它平行的非零向量都稱為直線l的方向向量，把與直線l垂直的向量稱為直線l的法向量，那么向量在直線l的法向量上的投影向量的模就是點P到直線l的距離．〔1〕求直線l的一個法向量；〔2〕運用上述方法，求點P到直線l的距離．【分析】〔1〕利用新定義求解直線的法向量即可．〔2〕求解向量，利用投影向量的模求解點P到直線l的距離．【解答】解：〔1〕＝〔﹣4，3〕，與垂直的向量為：〔3，4〕，所以直線l的一個法向量＝〔3，4〕．〔2〕A〔1，1〕，B〔﹣3，4〕，P〔﹣1，﹣2〕，＝〔2，3〕，點P到直線l的距離d，即＝＝．【點評】此題考查向量的應(yīng)用，距離的求法，是根底題．一十．平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算〔共1小題〕15．〔2023春?常熟市校級期中〕如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝5，G為△ABC重心，P為線段BG上一點，那么的最大值為20，假設(shè)M、N分別是邊BC、BA的中點，那么的取值范圍是．【分析】依據(jù)余弦定理求出，進而得出，依據(jù)條件設(shè)，然后可用分別表示出，然后進行數(shù)量積的運算即可得出，配方即可求出的最大值；依據(jù)條件得出，由前面知，然后進行數(shù)量積的運算及λ的范圍即可求出的取值范圍．【解答】解：在△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝5，∴＝，∴＝，∵G為△ABC重心，P為線段BG上一點，設(shè)，0≤λ≤1，∴＝＝＝＝＝＝，∴λ＝0時，取最大值20；依據(jù)前面，，0≤λ≤1，且M、N分別是邊BC、BA的中點，∴，∴＝＝＝，∵0≤λ≤1，∴，∴的取值范圍為．故答案為：20，．【點評】此題考查了向量加法和減法、數(shù)乘的幾何意義，共線向量根本定理，向量數(shù)量積的運算及計算公式，向量的數(shù)乘運算，三角形重心的性質(zhì)，向量加法的平行四邊形法那么，配方求二次函數(shù)最值的方法，考查了計算力量，屬于中檔題．一十一．平面對量的正交分解及坐標表示〔共2小題〕16．〔2021春?宜興市期中〕分別以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的全部有向線段能表示的不同向量有〔〕A．4個 B．6個 C．8個 D．12個【分析】可畫出圖形，然后寫出以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的全部有向線段能表示的不同向量，然后即可得出正確的選項．【解答】解：如圖，以正方形ABCD的四個頂點為起點與終點的全部有向線段能表示的不同向量為：，共8個．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了相等向量的定義，向量的幾何意義，考查了計算力量，屬于根底題．17．〔2019秋?啟東市校級月考〕的方向與x軸的正向所成的角為120°，且，那么的坐標為〔﹣1，〕或〔﹣1，﹣〕．【分析】依據(jù)題意畫出向量，利用三角函數(shù)的定義求得對應(yīng)點的坐標即可．【解答】解：向量的方向與x軸的正向所成的角為120°，且||＝2，如下圖，向量的終點為A或B，由三角函數(shù)的定義，可得A〔﹣1，〕，B〔﹣1，﹣〕；所以的坐標為〔﹣1，〕或〔﹣1，﹣〕．故答案為：〔﹣1，〕或〔﹣1，﹣〕．【點評】此題考查了平面對量的坐標求法問題，是根底題．一十二．平面對量的坐標運算〔共2小題〕18．〔2023春?南通期中〕點A〔﹣1，1〕，B〔2，﹣1〕，假設(shè)直線AB上的點D滿意，那么D點坐標為〔〕A．〔，0〕 B．〔0，〕 C．〔1，〕 D．〔5，﹣3〕【分析】依據(jù)題意，設(shè)D〔x，y〕，分析可得B為AD的中點，由中點坐標公式計算可得答案．【解答】解：依據(jù)題意，設(shè)D〔x，y〕，又由點A〔﹣1，1〕，B〔2，﹣1〕，且，即B為AD的中點，那么有，解可得：x＝5，y＝﹣3，即D點坐標為〔5，﹣3〕．應(yīng)選：D．【點評】此題考查平面對量的坐標計算，涉及向量的數(shù)乘運算，屬于根底題．19．〔2023春?棲霞區(qū)校級期中〕＝〔2，3〕，2+＝〔6，2〕，那么＝〔〕A．〔2，﹣4〕 B．〔﹣2，4〕 C． D．【分析】依據(jù)向量的運算直接可得的坐標．【解答】解：設(shè)＝〔x，y〕，那么2+＝2〔2，3〕+〔x，y〕＝〔4+x，6+y〕，由得4+x＝6，6+y＝2，那么x＝2，y＝﹣4，那么＝〔2，﹣4〕．應(yīng)選：A．【點評】此題考查向量的運算，屬于根底題．一十三．平面對量共線〔平行〕的坐標表示〔共2小題〕20．〔2023春?淮陰區(qū)期中〕向量，，假設(shè)，那么實數(shù)x＝〔〕A． B． C． D．0【分析】直接利用平面對量共線的坐標表示列式計算．【解答】解：∵向量＝〔x，1〕，＝〔3，x〕，∥，∴x2＝3，解得x＝±，應(yīng)選：C．【點評】此題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于根底題．21．〔2023春?常州期中〕非零向量與向量共線，那么cosθ的值為〔〕A． B． C． D．【分析】依據(jù)條件，結(jié)合向量平行的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)的二倍角公式，即可求解．【解答】解：非零向量與向量共線，那么，即，解得，故cosθ＝．應(yīng)選：D．【點評】此題主要考查向量平行的性質(zhì)，以及余弦函數(shù)的二倍角公式，屬于根底題．一十四．數(shù)量積表示兩個向量的夾角〔共2小題〕22．〔2023春?淮安期中〕是夾角為60°的兩個單位向量，設(shè)向量，那么與的夾角為〔〕A． B． C． D．【分析】由數(shù)量積的定義求得?，再由向量的模的公式和性質(zhì)，求得?，||，||，結(jié)合夾角公式可得所求值．【解答】解：由是夾角為60°的兩個單位向量，可得?＝1×1×＝，向量，可得?＝﹣62+22+?＝﹣6+2+＝﹣，||＝＝＝，||＝＝＝，那么與的夾角θ的余弦值為＝＝﹣，由于夾角θ∈[0，π]，可得θ＝．應(yīng)選：C．【點評】此題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，以及夾角的求法，考查轉(zhuǎn)化思想和運算力量，屬于中檔題．23．〔2023春?如東縣期中〕向量＝〔﹣4，2〕，＝〔1，﹣4〕．〔1〕假設(shè)〔﹣3b〕⊥〔λ+b〕，求λ的值；〔2〕假設(shè)＝〔3μ﹣2，﹣μ〕，向量與的夾角為銳角，求μ的取值范圍．【分析】〔1〕依據(jù)〔﹣3〕⊥〔λ+〕，有〔﹣3〕?〔λ+〕＝0，可得λ的值；〔2〕+與的夾角為銳角，那么〔+〕?＞0，且+與的夾角不能為0°，再求出μ的取值范圍．【解答】解：〔1〕假設(shè)〔﹣3〕⊥〔λ+〕，那么〔﹣3〕?〔λ+〕＝0，∴λ+〔1﹣3λ〕?﹣3＝0，∵＝〔﹣4，2〕，＝〔1，﹣4〕，∴＝20，＝17，?＝﹣4﹣8＝﹣12，∴20λ﹣12〔1﹣3λ〕﹣3×17＝0，∴λ＝；〔2〕向量+與的夾角為銳角，那么〔+〕?＞0，∵＝〔﹣4，2〕，＝〔1，﹣4〕，∴+＝〔﹣3，﹣2〕，又＝〔3μ﹣2，﹣μ〕，∴﹣3〔3μ﹣2〕+2μ＞0，∴μ＜，又當+與的夾角為0°不符題意，∴3μ≠﹣2〔3μ﹣2〕，∴μ≠，那么μ的取值范圍為〔﹣∞，〕∪〔，〕．【點評】此題考查向量的線性運算，考查向量的夾角，向量的垂直，屬于根底題．一十五．數(shù)量積推斷兩個平面對量的垂直關(guān)系〔共2小題〕24．〔2023春?南京期中〕向量，假設(shè)，那么m＝〔〕A．6 B．﹣6 C． D．【分析】依據(jù)條件，結(jié)合向量垂直的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：向量，，那么﹣4m+6＝0，解得m＝．應(yīng)選：D．【點評】此題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于根底題．25．〔2023春?秦淮區(qū)校級期中〕平面對量＝〔2，﹣1〕，＝〔m，2〕，且⊥，那么|+|＝．【分析】由題意利用兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，求得m的值，可得+的坐標，從而求得它的模．【解答】解：∵平面對量＝〔2，﹣1〕，＝〔m，2〕，且⊥，∴＝2m﹣2＝0，∴m＝1，∴+＝〔3，1〕，那么|+|＝＝，故答案為：．【點評】此題主要考查兩個向量垂直的性質(zhì)，兩個向量的數(shù)量積公式，屬于根底題．一．選擇題〔共6小題〕1．〔2023春?如東縣期中〕在△ABC中，D，E分別為邊AB，AC上一點，且AB＝3DB，AE＝2EC，CD與BE交于F，假設(shè)，那么〔m，n〕為〔〕A． B． C． D．【分析】利用平面對量的根本定理可得，D、E分別為AB，AC的三等分點，將分別用兩個線性運算表示，對應(yīng)系數(shù)相等，即可求出答案．【解答】解：設(shè)，，∵＝＝＝，又∵＝＝，∴?，代入得：，應(yīng)選：B．【點評】此題考查的平面對量的根本定理，需要代設(shè)系數(shù)，屬于中檔題．2．〔2022秋?無錫期末〕在平行四邊形ABCD中，＝，＝，||＝2，||＝2，那么?＝〔〕A．﹣9 B．﹣6 C．6 D．9【分析】由三角形的余弦定理和向量的加減運算和數(shù)量積的性質(zhì)，化簡整理，可得所求值．【解答】解：設(shè)AD＝x，AB＝y(tǒng)，∠ADC＝∠ABF＝α，由＝，＝，可得DE＝y(tǒng)，BF＝x，在△ADE中，AE2＝AD2+DE2﹣2AD?DE?cosα，即有x2+y2﹣2x?ycosα＝4，①在△ABF中，AF2＝AB2+BF2﹣2AB?BF?cosα，可得y2+x2﹣2y?xcosα＝12，②②﹣①可得y2﹣x2＝8，化為y2﹣x2＝9，那么?＝〔+〕?〔﹣〕＝2﹣2＝x2﹣y2＝﹣9．應(yīng)選：A．【點評】此題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)，以及三角形的余弦定理的運用，考查方程思想和運算力量，屬于中檔題．3．〔2023春?海安市校級月考〕騎自行車是一種能有效改善心肺功能的耐力性有氧運動，深受群眾寵愛，如圖是某一自行車的平面結(jié)構(gòu)示意圖，圖中的圓A〔前輪〕，圓D〔后輪〕的半徑均為，△ABE，△BEC，△ECD均是邊長為4的等邊三角形．設(shè)點P為后輪上的一點，那么在騎行該自行車的過程中，的最大值為〔〕A． B．12 C． D．36【分析】建立直角坐標系，可得，設(shè)，表示出，再由三角函數(shù)的性質(zhì)得解．【解答】解：建立如下圖的平面直角坐標系，那么，圓D的方程為x2+y2＝3，那么可設(shè)，所以，所以，所以的最大值為．應(yīng)選：A．【點評】此題考查平面對量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的圖象及性質(zhì)，考查運算求解力量，屬于中檔題．4．〔2023春?如東縣期中〕正三角形ABC的邊長為3，點D在邊AB上，且，三角形ABC的外接圓的一條弦MN過點D，點P為邊BC上的動點，當弦MN的長度最短時，的取值范圍是〔〕A．[﹣1，5] B．[﹣1，7] C．[0，2] D．[1，5]【分析】設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，結(jié)合垂徑定理和正弦定理，可得MN＝2，再由極化恒等式推出?＝2﹣2，于是問題轉(zhuǎn)化為求||的取值范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)學(xué)問與余弦定理，即可得解．【解答】解：設(shè)O為△ABC外接圓的圓心，由于，所以O(shè)D＝AC＝1，當弦MN的長度最短時，MN⊥OD，在△ABC中，由正弦定理知，外接圓半徑R＝＝＝，即OM＝，所以MN＝2MD＝2＝2＝2，由于〔+〕2＝〔﹣〕2+4?，即〔2〕2＝2+4?，所以?＝2﹣2＝2﹣?＝2﹣2，由于點P為線段BC上的動點，所以當點P與點Q重合〔DQ⊥BC〕時，||min＝|DQ|＝|BD|sin60°＝2×＝；當點P與點C重合時，||max＝|CD|，在△BCD中，由余弦定理知，|CD|2＝|BC|2+|BD|2﹣2|BC|?|BD|cos∠ABC＝9+4﹣2×3×2×＝7，所以||max＝|CD|＝，綜上，||∈[，]，所以?＝2﹣2∈[1，5]．應(yīng)選：D．【點評】此題考查平面對量在幾何中的應(yīng)用，嫻熟把握平面對量數(shù)量積的運算法那么，正弦定理，余弦定理是解題的關(guān)鍵，考查規(guī)律推理力量和運算力量，屬于中檔題．5．〔2023春?海陵區(qū)校級期中〕平面對量，，，對任意實數(shù)x，y都有，成立．假設(shè)，那么的最大值是〔〕A． B． C． D．【分析】由題意畫出圖形，知B，C在以MA為直徑的圓上，過O作OD∥AC，交MC于E，交圓于D，在OD上的射影最長為|ED|，?〔﹣〕＝＝|DE|?|AC|，設(shè)∠AMC＝θ，那么|AC|＝sinθ，|OE|＝sinθ，可得|DE|＝﹣|OE|＝﹣sinθ，代入?〔﹣〕＝|DE|?|AC|．整理后利用二次函數(shù)求最值．【解答】解：如圖，設(shè)，，，假設(shè)對任意實數(shù)x，y都有|﹣x|≥|﹣|，|﹣y|≥|﹣|成立，那么B，C在以MA為直徑的圓上，過O作OD∥AC，交MC于E，交圓于D，在OD上的射影最長為|ED|，?〔﹣〕＝＝|DE|?|AC|，設(shè)∠AMC＝θ，那么|AC|＝sinθ，|OE|＝sinθ，|DE|＝﹣|OE|＝﹣sinθ，∴?〔﹣〕＝2sinθ〔1﹣sinθ〕＝﹣sin2θ+sinθ，那么當sinθ＝時，?〔﹣〕有最大值為．應(yīng)選：B．【點評】此題考查平面對量的數(shù)量積運算，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．6．〔2023春?鎮(zhèn)江期中〕△ABC中，D，E分別為線段AB，BC上的點，直線AE，CD交于點P，且滿意，那么的值為〔〕A． B． C． D．【分析】可畫出圖形，可設(shè)，依據(jù)D，P，C三點共線，A，P，E三點共線即可求出k＝，，然后可設(shè)S△BPD＝x，S△BPE＝y(tǒng)，S△ABC＝z，然后可得出，解出x，y，然后即可求出的值．【解答】解：如圖，設(shè)，且D，P，C三點共線，A，P，E三點共線，∴＝，＝，且，∴，，解得，∴，∴S△ABE＝，，設(shè)S△BPD＝x，S△BPE＝y(tǒng)，S△ABC＝z，那么，∴，解得，∴．應(yīng)選：C．【點評】此題考查了共線向量根本定理，三點共線的充要條件，平面對量根本定理，三角形的面積公式，考查了計算力量，屬于難題．二．多項選擇題〔共3小題〕〔多項選擇〕7．〔2023春?如東縣期中〕“奔馳定理〞因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面對量中一個特別美麗的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心〔重心、內(nèi)心、外心、垂心〕有著神奇的關(guān)聯(lián)．它的詳細內(nèi)容是：M是△ABC內(nèi)一點，△BMC，△AMC，△AMB的面積分別為SA，SB，SC，且．以下命題正確的有〔〕A．假設(shè)SA：SB：SC＝1：1：1，那么M為△ABC的重心 B．假設(shè)M為△ABC的內(nèi)心，那么 C．假設(shè)∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，M為△ABC的外心，那么 D．假設(shè)M為△ABC的垂心，，那么【分析】對A，取BC的中點D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進而即可推斷A；對B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，從而可用r表示出SA，SB，SC，再結(jié)合奔馳定理即可推斷B；對C，設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，依據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得∠BMC＝90°，∠AMC＝120°，∠AMB＝150°，從而可用R表示出SA，SB，SC，進而即可推斷C；對D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，依據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)MD＝x，MF＝y(tǒng)，那么AM＝3x，BM＝2y，代入即可求解cos∠AMB，進而即可推斷D．【解答】解：對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，由SA：SB：SC＝1：1：1，那么，所以，所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F(xiàn)分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以M為△ABC的重心，故A正確；對于B，由M為△ABC的內(nèi)心，那么可設(shè)內(nèi)切圓半徑為r，那么有，，，所以，即，故B正確；對于C，由M為△ABC的外心，那么可設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由于∠BAC＝45°，∠ABC＝60°，那么有∠BMC＝2∠BAC＝90°，∠AMC＝2∠ABC＝120°，∠AMB＝2∠ACB＝150°，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，由M為△ABC的垂心，，那么SA：SB：SC＝3：4：5，又S△ABC＝SA+SB+SC，那么，，設(shè)MD＝x，MF＝y(tǒng)，那么AM＝3x，BM＝2y，所以，即3x2＝2y2，所以，所以，故D正確；應(yīng)選：ABD．【點評】此題主要考查了平面對量的數(shù)量積運算，考查了三角形的重心、內(nèi)心、外心和垂心的性質(zhì)，屬于中檔題．〔多項選擇〕8．〔2023春?丹陽市期中〕以下說法中正確的選項是〔〕A．在△ABC中，，，，假設(shè)，那么△ABC為銳角三角形 B．非零向量和滿意，||＝|+|＝2，那么 C．，，且與的夾角為銳角，那么實數(shù)λ的取值范圍是 D．在△ABC中，假設(shè)，那么△AOC與△AOB的面積之比為【分析】利用向量的數(shù)量積推斷角的大小，推斷A的正誤；利用向量的模的運算法那么求解推斷B的正誤；利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解λ的范圍推斷C的正誤；通過向量關(guān)系，轉(zhuǎn)化求解三角形的面積的比值，推斷D的正確即可．【解答】解：對于A，在△ABC中，，，，假設(shè)，說明C是銳角，不能推斷B、A的大小，所以推斷△ABC為銳角三角形是不正確的，所以A不正確；對于B，非零向量和滿意，||＝|+|＝2，可得2+＝4，可得＝﹣1，＝1+1+4＝6，所以，所以B正確；對于C，由于，，且與的夾角為銳角，所以＞0，且與不共線，所以?〔〕＝〔1，2〕?〔1+λ，2+λ〕＝1+λ+4+2λ＞0，所以λ＞?，當與共線時，2〔1+λ〕＝2+λ，解得λ＝0，所以λ的取值范圍為λ＞?且λ≠0，所以C不正確；對于D，△ABC中，，所以2〔〕＝﹣3〔〕，分別取AC、BC的中點D，E，連接OD、OE和AE，那么2＝﹣3，所以＝，所以＝，所以＝．又由于＝，所以＝．同理，所以，所以＝，所以D正確．應(yīng)選：BD．【點評】此題考查了向量在幾何中的應(yīng)用問題，以及向量的數(shù)量積的應(yīng)用，模的運算法那么的應(yīng)用，是中檔題．〔多項選擇〕9．〔2023春?鼓樓區(qū)校級月考〕如圖，直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的一個定點，點A到l1，l2的距離分別為1，2．點B是直線l2上一個動點，過點A作AC⊥AB，交直線l1于點，那么〔〕A． B．△GAB面積的最小值是 C． D．存在最小值【分析】依據(jù)題意建立適宜的直角坐標系，設(shè)出C〔m，3〕，B，G坐標，依據(jù)AC⊥AB及即可找到三個點的坐標關(guān)系，分別寫出即可推斷A；取AB中點為F，連接CF，依據(jù)，可得G，C，F(xiàn)三點共線，且G為CF靠近F的三等分點，即可找到△GAB面積與△ABC面積之間比例關(guān)系，進而建立△GAB面積等式，依據(jù)根本不等式即可推斷B，求出，再依據(jù)根本不等式可推斷C；寫出進行化簡，依據(jù)m的范圍即可得的最值狀況．【解答】解：設(shè)AB中點為F，連接CF，以D為原點，DB，DE方向分別為x，y軸建立如下圖直角坐標系：所以A〔0，2〕，E〔0，3〕，設(shè)C〔m，3〕，B〔n，0〕，G〔x，y〕，m，n，x，y∈R，且m，n≠0，所以，由于AC⊥AB，所以，即mn﹣2＝0，故，即，所以，，由于，所以，由于，故，選項A正確；由于，所以，即＝﹣2，所以G，C，F(xiàn)三點共線，且G為CF靠近F的三等分點，所以＝，當且僅當，即m＝±1時取等，所以選項B正確；由于，所以＝，當且僅當，即時取等，故，選項C正確：由于，所以＝．由于m∈R且m≠0，所以m2＞0，記，可知f〔x〕單調(diào)遞增，沒有最值，即沒有最值，應(yīng)選項D錯誤．應(yīng)選：ABC．【點評】此題考查了平面對量數(shù)量積的性質(zhì)以及平面對量在平面幾何中的應(yīng)用，屬于較難題目．三．填空題〔共7小題〕10．〔2023春?蘇州期中〕依據(jù)畢達哥拉斯定理，以直角三角形的三條邊為邊長作正方形，從斜邊上作出的正方形的面積正好等于在兩直角邊作出的正方形面積之和．現(xiàn)在對直角三角形CDE按上述操作作圖后，得如下圖的圖形．假設(shè)，那么x+y＝．【分析】建立平面直角坐標系，標出各個點的坐標，利用平面對量的坐標運算即可得解．【解答】解：如圖，以A為原點，分別以為x，y軸建立平面直角坐標系：設(shè)正方形ABCD的邊長為2a，那么正方形DEHI的邊長為，正方形EFGC邊長為a，可知A〔0，0〕，B〔2a，0〕，D〔0，2a〕，，那么，，即，又，∴，即，即，化簡得．故答案為：．【點評】此題主要考查了平面對量的坐標運算，考查了解析法的應(yīng)用，屬于中檔題．11．〔2023春?雨花臺區(qū)校級期中〕設(shè)x、y∈R，假設(shè)向量，，滿意，，，且向量與相互平行，那么的最小值為．【分析】可求出，依據(jù)與平行可得出y＝3﹣x，從而得出，依據(jù)進行數(shù)量積的坐標運算即可求出最小值．【解答】解：，且與相互平行，∴x﹣2﹣〔1﹣y〕＝0，∴y＝3﹣x，∴，∴+〔7﹣2x〕2＝5x2﹣20x+65＝5〔x﹣2〕2+45≥45，∴，∴的最小值為．故答案為：．【點評】此題考查了平行向量的坐標關(guān)系，向量坐標的減法和數(shù)量積的運算，向量數(shù)量積的計算公式，配方求二次函數(shù)最值的方法，考查了計算力量，屬于中檔題．12．〔2023春?常州月考〕窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，正八邊形ABCDEFGH中，假設(shè)〔λ，μ∈R〕，那么λ+μ的值為；假設(shè)正八邊形ABCDEFGH的邊長為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動點，那么的最小值為．【分析】對第一空，建系，依據(jù)向量坐標運算，建立方程，即可求解；對其次空，分別延長GH與BA交于點I，那么依據(jù)向量數(shù)量積的幾何定義與向量投影的概念可得：的最小值為﹣|AB|×|AI|，再計算即可得解．【解答】解：對第一空，建系如圖，設(shè)正八面體的中心O到頂點的距離為1，那么A〔0，﹣1〕，E〔0，1〕，C〔1，0〕，F(xiàn)〔cos，sin〕，即F〔，〕，∴，，，又，∴〔0，2〕＝λ〔1，1〕+μ〔，+1〕，∴，解得，∴λ+μ＝＝；對其次空，如圖，分別延長GH與BA交于點I，那么依據(jù)向量數(shù)量積的幾何定義與向量投影的概念可得：的最小值為﹣|AB|×|AI|，又|AB|＝|AH|＝2，三角形HIA為等腰直角三角形，∴|AI|＝，∴的最小值為﹣|AB|×|AI|＝．故答案為：；．【點評】此題考查坐標法的應(yīng)用，向量數(shù)量積的幾何定義與向量投影的概念，方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題．13．〔2021春?江陰市校級月考〕如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，假設(shè)點E為邊CD上的動點，那么的取值范圍是．【分析】如圖，以D為坐標原點，建立平面直角坐標系，設(shè)，依題意可得，結(jié)合y的取值范圍即可得解．【解答】解：如圖，以D為坐標原點，建立平面直角坐標系，連接AC，由題意知，∠CAD＝∠CAB＝60°，∠ACD＝∠ACB＝30°，∴，設(shè)，那么，∴，當時，取得最大值3，當時，取得最小值．故答案為：．【點評】此題考查平面對量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是將平面問題坐標化，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．14．〔2023春?海安市校級月考〕17世紀法國數(shù)學(xué)家費馬在給伴侶的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的好玩問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小，現(xiàn)已證明：在△ABC中，假設(shè)三個內(nèi)角均小于120°，那么當點P滿意∠APB＝∠APC＝∠BPC＝120°時，點P到三角形三個頂點的距離之和最小，點P被人們稱為費馬點．依據(jù)以上學(xué)問，為平面內(nèi)任意一個向量，和是平面內(nèi)兩個相互垂直的向量，且，那么的最小值是．【分析】建立直角坐標系，將向量求模問題轉(zhuǎn)化為費馬點問題．【解答】解：以為x軸，為y軸，建立直角坐標系如以下圖，設(shè)，那么，∴，∴表示平面內(nèi)點〔x，y〕到〔0，3〕，〔2，0〕，〔﹣2，0〕三點的距離之和，由費馬點知：當點P〔x，y〕與三頂點A，B，C構(gòu)成的三角形ABC為費馬點時最小，將三角形ABC放在坐標系中如以下圖：現(xiàn)在先證明△ABC的三個內(nèi)角均小于120°：∵，∴由余弦定理可得：，t同理可得cos∠ABC＝cos∠ACB＝＞0，∴△ABC為銳角三角形，滿意費馬點的條件，∵△ABC是等腰三角形，點P在底邊BC的對稱軸y軸上，又∠BPC＝120°，∴∠PCB＝30°，∴，即，又，∴，∴∠BPA＝120°，同理可證得∠CPA＝120°，∴此時點是費馬點，且P到三個頂點A，B，C的距離之和為：，即的最小值為．故答案為：．【點評】此題主要考查向量模的運算，余弦定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解力量，屬于難題．15．〔2022春?宿遷月考〕在Rt△ABC中，|AB|＝3，|AC|＝4，P是斜邊BC上一動點，點Q滿意|PQ|＝2，且．假設(shè)點Q在邊BC所在的直線上，那么m+n的值為1；m+n的最大值為．【分析】依據(jù)共線定理推論即得；建立直角坐標系，寫出直線BC的方程，依據(jù)方程設(shè)點P坐標，結(jié)合條件可得Q的軌跡方程，進而設(shè)出點Q坐標，依據(jù)表示出m+n然后利用三角函數(shù)的性質(zhì)即得．【解答】解：由于，假設(shè)點Q在邊BC所在的直線上，那么m+n＝1；以A為坐標原點，AB所在直線為x軸，AC所在直線為y軸建立平面直角坐標系，那么A〔0，0〕，B〔3，0〕，C〔0，4〕，得直線BC的方程為，那么可設(shè)，其中0≤t≤3，由|PQ|＝2，得點Q在以點P為圓心，2為半徑的圓上，可設(shè)，由，，，由于，所以，所以，即，那么〔其中〕，所以，即，故m+n的最大值為．故答案為：1；．【點評】此題主要考查平面對量的根本定理，屬于難題．16．〔2023春?常熟市期中〕如圖，△ABC中，AB＝8，AC＝7，BC＝5，G為△ABC重心，P為線段BG上一點，那么的最大值為20，M、N分別是邊BC、BA的中點，那么的取值范圍是[﹣22，﹣]．【分析】延長BG交AC于F，由G為△ABC重心，得F為AC的中點，那么，設(shè)，可得0，分別把用基底＜＞表示，再由數(shù)量積的運算結(jié)合二次函數(shù)求最值可得的最大值；由一次函數(shù)的單調(diào)性可得的取值范圍．【解答】解：延長BG交AC于F，∵G為△ABC重心，∴F為AC的中點，那么，設(shè)，P為線段BG上一點，∴0，∵G為△ABC的重心，∴BG：BF＝2：3，＝＝，＝＝．∴＝＝＝＝×××cos∠ABC﹣×〔1﹣〕×〔64+25〕＝×8×5×﹣89×〔〕＝．其對稱軸方程為k＝1＞，∴當k＝0時，的最大值為20；＝＝＝?＝[+]＝[+﹣]＝×[×64+8×5×]＝×〔〕．∵0≤k≤，∴0，那么﹣22≤×〔﹣44〕．∴的取值范圍是[﹣22，﹣]．故答案為：20；[﹣22，﹣]．【點評】此題考查平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查運算求解力量，屬難題．四．解答題〔共7小題〕17．〔2022春?邗江區(qū)期中〕正六邊形ABCDEF的邊長為1，〔1〕當點M滿意_____時，；〔注：無需寫過程，填上你認為正確的一種條件即可，不必考慮全部可能的狀況〕〔2〕假設(shè)點N為線段AE〔含端點〕上的動點，且滿意，求m+n的取值范圍；〔3〕假設(shè)點H是正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，求的取值范圍．【分析】〔1〕依據(jù)題意，建立坐標系，設(shè)M〔x，y〕，所以，，依據(jù)，可得M為直線AD上的任意一點即可．〔2〕建系，設(shè)，由可得：，利用a的取值范圍，最終可得m+n的取值范圍，〔3〕設(shè)H〔x，y〕，由于點H是正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，那么，進而，利用x的取值范圍即可求解．【解答】解：〔1〕建系如圖，那么由于，設(shè)M〔x，y〕，所以，，又由于，所以，，可得，又由于，所以，直線，所以，M為直線AD上的任意一點即可〔答案不唯一〕．故答案為：〔答案不唯一〕，〔2〕建系如圖，那么，設(shè)，由，可得：，所以，解得，所以．〔3〕設(shè)H〔x，y〕，由于點H是正六邊形ABCDEF內(nèi)或其邊界上的一點，那么，那么．【點評】此題考查平面對量的數(shù)量積運算，考查同學(xué)的運算力量，屬于難題．18．〔2022春?西湖區(qū)校級期中〕在平面對量中有如下定理：非零向量，，假設(shè)，那么x1x2+y1y2＝0．〔1〕拓展到空間，類比上述定理，非零向量，，假設(shè)，那么_______．〔請在空格處填上你認為正確的結(jié)論〕〔2〕假設(shè)非零向量，，，且，利用〔1〕的結(jié)論求當k為何值時，cos〔β﹣γ〕分別取到最大、最小值？【分析】〔1〕拓展到空間，類比上述定理，可得x1x2+y1y2+z1z2＝0．〔2〕由，得kcosβ+〔2﹣k〕cosγ＝﹣cosα；由，得ksinβ+〔2﹣k〕sinγ＝﹣sinα，推導(dǎo)出cos〔β﹣γ〕＝1+，解得，由此能求出結(jié)果．【解答】解：〔1〕非零向量，，假設(shè)，那么x1x2+y1y2＝0．拓展到空間，類比上述定理，非零向量，，，那么x1x2+y1y2+z1z2＝0．〔2〕∵，∴cosα+kcosβ+〔2﹣k〕cosγ＝0?kcosβ+〔2﹣k〕cosγ＝﹣cosα①又∵，∴sinα+ksinβ+〔2﹣k〕sinγ＝0?ksinβ+〔2﹣k〕sinγ＝﹣sinα②∴①2+②2，得到k2+〔2﹣k〕2+2k〔2﹣k〕〔cosβcosγ+sinβsinγ〕＝1∴2k2﹣4k+4+2k〔2﹣k〕cos〔β﹣γ〕＝1，假設(shè)k＝0或2，此方程無解，∴2k〔2﹣k〕≠0，即k≠2且k≠4，∴，∵cos〔β﹣γ〕∈[﹣1，1]，∴，又，∴，解得，當k＝1時，〔k﹣1〕2﹣1最小，此時cos〔β﹣γ〕最大，cos〔β﹣γ〕＝﹣任意角的余弦最小為﹣1，當cos〔β﹣γ〕＝﹣1即，此時或，綜上：當k＝1時，cos〔β﹣γ〕有最大值﹣0.5；當或時，cos〔β﹣γ〕有最大值﹣1．【點評】此題考查向量垂直、余弦函數(shù)的性質(zhì)等根底學(xué)問，考查運算求解力量，是中檔題．19．〔2022春?常州期末〕向量＝〔2，﹣1〕，＝〔1，x〕．〔Ⅰ〕假設(shè)⊥〔+〕，求||的值；〔Ⅱ〕假設(shè)+2＝〔4，﹣7〕，求向量與夾角的大?。痉治觥俊睮〕由向量的加法和向量垂直的條件：數(shù)量積為0，可得x＝7，再由向量的模的公式計算即可得到所求；〔Ⅱ〕運用向量的加法運算，可得x＝﹣3，再由向量的夾角公式cos＜，＞＝，計算即可得到所求夾角．【解答】解：〔I〕依題意可得，+＝〔3，﹣1+x〕，由⊥〔+〕，可得，?〔+〕＝0，即6+1﹣x＝0，解得x＝7，即＝〔1，7〕，所以；〔Ⅱ〕依題意+2＝〔4，2x﹣1〕＝〔4，﹣7〕，可得x