第11講函數(shù)的奇偶性

第11講函數(shù)的奇偶性1．了解函數(shù)奇偶性的含義，了解奇函數(shù)、偶函數(shù)的圖象的對稱性；2．會用定義判斷函數(shù)的奇偶性；3．會依據(jù)函數(shù)的奇偶性進行簡單的應(yīng)用。一、函數(shù)奇偶性的定義1、奇函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱2、偶函數(shù)：如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱。偶函數(shù)的性質(zhì)：，可避免討論．二、判斷函數(shù)奇偶性的常用方法1、定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點對稱，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點對稱的，再判斷與之一是否相等.2、驗證法：在判斷與的關(guān)系時，只需驗證=0及是否成立.3、圖象法：奇（偶）函數(shù)等價于它的圖象關(guān)于原點（軸）對稱.4、性質(zhì)法：兩個奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù).5、分段函數(shù)奇偶性的判斷判斷分段函數(shù)的奇偶性時，通常利用定義法判斷.分段函數(shù)不是幾個函數(shù)，而是一個函數(shù).因此其判斷方法也是先考查函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，然后判斷與的關(guān)系.首先要特別注意與的范圍，然后將它代入相應(yīng)段的函數(shù)表達式中，與對應(yīng)不同的表達式，而它們的結(jié)果按奇偶函數(shù)的定義進行比較.三、定義法判斷函數(shù)奇偶性判斷與的關(guān)系時，也可以使用如下結(jié)論：如果或，則函數(shù)為偶函數(shù)；如果或，則函數(shù)為奇函數(shù)．四、利用函數(shù)奇偶性求分段函數(shù)解析式的步驟第一步：設(shè)出所求區(qū)間上的任意；第二步：將所求區(qū)間內(nèi)的轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間內(nèi)；第三步：利用函數(shù)奇偶性的定義得出所求區(qū)間的解析式。五、利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值得方法1、如果定義函參數(shù)，由定義域關(guān)于原點對稱列等式求解；2、如果解析式含參數(shù)（1）通過偶函數(shù)的定義或奇函數(shù)的定義列等式求解；（2）通過代入定義域內(nèi)的特殊值列等式求解；（3）對于在處有定義的奇函數(shù)，利用求解?？键c一：判斷函數(shù)的奇偶性例1．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】對于A：y=5x的定義域為R，單調(diào)遞增，f（﹣x）=﹣5x，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，故A正確；對于B：的定義域為{x|x≠0}，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，f（x）在（﹣∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減，故B錯誤；對于C：y=4x2的定義域為R，f（﹣x）=4x2，所以f（﹣x）=f（x），所以f（x）為偶函數(shù)，f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，（0，+∞）上單調(diào)遞增，故C錯誤；對于D：的定義域為R，，所以f（﹣x）=﹣f（x），所以f（x）為奇函數(shù)，f（x）在（﹣∞，+∞）上單調(diào)遞減，故D錯誤，故選：A.【變式訓(xùn)練1】函數(shù)的奇偶性是（）A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既奇又偶函數(shù)【答案】B【解析】的定義域為，關(guān)于原點對稱，.故為偶函數(shù).故選：B.【變式訓(xùn)練2】對于兩個定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)和在它們的公共定義域內(nèi)，下列說法中正確的是（）A．若和都是奇函數(shù)，則是奇函數(shù)B．若和都是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)C．若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則是偶函數(shù)D．若和都是奇函數(shù)，則不一定是奇函數(shù)【答案】B【解析】對于A，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為和都是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是偶函數(shù)，故B正確；對于C，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，因為和都是奇函數(shù)，所以，，令，則，所以是奇函數(shù)，故D錯誤.故選：B考點二：利用奇偶性求函數(shù)值例2．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A．1B．－1C．5D．－5【答案】B【解析】根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)可知；而，所以，所以.故選：B【變式訓(xùn)練】已知是上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因為是上的偶函數(shù)，所以，所以關(guān)于對稱，當(dāng)時，，所以.故選：C.考點三：利用奇偶性求參數(shù)例3．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】若函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，整理得，故，解得.故選：B.【變式訓(xùn)練】若函數(shù)為奇函數(shù)，則__．【答案】【解析】因為函數(shù)的定義域為，且函數(shù)為奇函數(shù)，所以，，解得.故答案為：.考點四：利用奇偶性求解析式例4．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A．B．C．D．【答案】B【解析】當(dāng)時，，則，又因為是偶函數(shù)，所以.故選：B.【變式訓(xùn)練】已知是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，的表達式為_________．【答案】/【解析】是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，所以當(dāng)時，的表達式為.故答案為：1．函數(shù)的圖像關(guān)于（）A．軸對稱B．直線對稱C．坐標(biāo)原點對稱D．直線対稱【答案】C【解析】因為定義域為，且，所以為奇函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.故選：C2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的函數(shù)是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對選項A：關(guān)于對稱，不是偶函數(shù)，排除；對選項B：定義域為，.函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，滿足；對選項C：定義域為，是奇函數(shù)，排除；對選項D：當(dāng)，單調(diào)遞增，排除.故選：B.3．下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）A．，B．C．D．，【答案】D【解析】函數(shù)，，定義域不關(guān)于原點對稱，不具有奇偶性，A選項錯誤；函數(shù)，，，，函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項錯誤；函數(shù)，定義域為R，，函數(shù)是奇函數(shù)，C選項錯誤；函數(shù)，，定義域關(guān)于原點對稱，，函數(shù)為偶函數(shù)，D選項正確．故選：D4．已知偶函數(shù)，當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)，則，，又為偶函數(shù)，∴當(dāng)x<0時，.故選：D5．已知函數(shù)是偶函數(shù)，且其定義域為，則（）A．，b＝0B．C．D．，【答案】B【解析】因為偶函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以，由偶函數(shù)定義得，所以，即，所以，故.故選：B.6．若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A．B．C．D．1【答案】A【解析】由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，所以，化簡得恒成立，所以，即,經(jīng)驗證，定義域關(guān)于原點對稱，且滿足，故；故選:A．7．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解析式是_______．【答案】【解析】由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)得；當(dāng)時，，∴．綜上，；故答案為：.8．已知函數(shù)其中a，b為常數(shù)，若求_________.【答案】【解析】；故答案為：9．定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，（k為常數(shù)），則______．【答案】-4【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，，解得，則當(dāng)時，，.故答案為：-4.10．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù),則__．【答案】3【解析】因為是定義在上的偶函數(shù),所以,解得,由得,即,則,故．故答案為:31．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，B不是；對于C，函數(shù)的定義域為R，，是偶函數(shù)，C是；對于D，函數(shù)的定義域為R，，不是偶函數(shù)，D不是.故選：C2．己知是定義在上的奇函數(shù)，且，則的值為（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】因為，所以令，則，因為，，所以，令，則.故選：D.3．已知是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則（）A．4B．C．7D．【答案】A【解析】當(dāng)時，，因為是上的奇函數(shù)，所以，所以.故選：A.4．函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象上有一點，則函數(shù)的圖象必過點（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)的定義域為D，因為函數(shù)是奇函數(shù)，，所以，且，所以函數(shù)的圖象必過點.故選：C.5．（多選）設(shè)函數(shù)的定義域都為R，且是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是偶函數(shù)【答案】CD【解析】因為函數(shù)的定義域都為R，所以各選項中函數(shù)的定義域也為R，關(guān)于原點對稱，因為是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，所以，對于A，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故B錯誤；對于C，因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，故C正確；對于D，因為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，故D正確.故選：CD.6．（多選）下列判斷正確的是（）A．是偶函數(shù)B．是奇函數(shù)C．是奇函數(shù)D．是非奇非偶函數(shù)【答案】BC【解析】對于A，由且，得，則的定義域不關(guān)于原點對稱，所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯誤;對于B，函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，當(dāng)x>0時，，，當(dāng)x<0時，也有，所以為奇函數(shù)，故B正確;對于C，由且，得，即，的定義域關(guān)于原點對稱，此時，所以既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故C正確;對于D，由且，得且x≠0，的定義域關(guān)于原點對稱，因為，，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故D錯誤.故選:BC.7．“a＝0”是“是偶函數(shù)”的______條件．（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”或“既非充分又非必要”）【答案】充要【解析】由是偶函數(shù)，可得，經(jīng)檢驗符合題意，則“a＝0”是“是偶函數(shù)”的充要條件故答案為：充要8．若函數(shù)是奇函數(shù)，則實數(shù)a的值為___________.【答案】1【解析】若是奇函數(shù)，則有.當(dāng)時，，則，又當(dāng)時，，所以，由，得，解得a=1.故答案為：1.9．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則時，的解析式為_