第05講等式與不等式的性質(zhì)（3種題型）（原卷版）

第05講等式與不等式的性質(zhì)（3種題型）【知識梳理】一．等式與不等式的性質(zhì)1．不等式的基本性質(zhì)（1）對于任意兩個實數(shù)a，b，有且只有以下三種情況之一成立：①a＞b?a﹣b＞0；②a＜b?a﹣b＜0；③a＝b?a﹣b＝0．（2）不等式的基本性質(zhì)①對稱性：a＞b?b＜a；②傳遞性：a＞b，b＞c?a＞c；③可加性：a＞b?a+c＞b+c．④同向可加性：a＞b，c＞d?a+c＞b+d；⑤可積性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?ac＜bc；⑥同向整數(shù)可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd；⑦平方法則：a＞b＞0?an＞bn（n∈N，且n＞1）；⑧開方法則：a＞b＞0?（n∈N，且n＞1）．二．不等關(guān)系與不等式【不等關(guān)系與不等式】不等關(guān)系就是不相等的關(guān)系，如2和3不相等，是相對于相等關(guān)系來說的，比如與就是相等關(guān)系．而不等式就包含兩層意思，第一層包含了不相等的關(guān)系，第二層也就意味著它是個式子，比方說a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①對任意的a，b，有a＞b?a﹣b＞0；a＝b?a﹣b＝0；a＜b?a﹣b＜0，這三條性質(zhì)是做差比較法的依據(jù)．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推論：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．【例題講解】例1：解不等式：sinx≥．解：∵sinx≥，∴2kπ+≤x≤2kπ+（k∈Z），∴不等式sinx≥的解集為{x|2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z}．這個題很典型，考查了不等式和三角函數(shù)的相關(guān)知識，也體現(xiàn)了一般不等式喜歡與函數(shù)聯(lián)結(jié)的特點，這個題只要去找到滿足要求的定義域即可，先找一個周期的，然后加上所以周期就是最后的解．例2：當ab＞0時，a＞b?．證明：由ab＞0，知＞0．又∵a＞b，∴a＞b，即；若，則∴a＞b．這個例題就是上面定理的一個簡單應(yīng)用，像這種判斷型的題，如果要判斷它是錯的，直接舉個反例即可，這種技巧在選擇題上用的最廣．三、一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系其實可以用一個式子來表達，即當ax2+bx+c＝0（a≠0）有解時，不妨設(shè)它的解為x1，x2，那么這個方程可以寫成ax2﹣a（x1+x2）x+ax1?x2＝0．即x2﹣（x1+x2）x+x1?x2＝0．它表示根與系數(shù)有如下關(guān)系：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．【例題解析】例：利用根與系數(shù)的關(guān)系求出二次項系數(shù)為1的一元二次方程，使它的兩根分別是方程x2﹣3x+1＝0兩根的平方．解：方程x2﹣3x+1＝0中，∵a＝1，b＝﹣3，c＝1，∴△＝9﹣4＝5＞0，即方程有兩個不相等的實數(shù)根，設(shè)方程兩根分別為x1，x2，∴x1+x2＝3，x1x2＝1，∴（x1+x2）2＝x12+x22+2x1x2，即9＝x12+x22+2，∴x12+x22＝7，又x12x22＝（x1x2）2＝1，且所求方程二次項系數(shù)為1，則所求方程為x2﹣7x+1＝0．這個題基本上是套用定理，唯一注意的是x1+x2與x1?x2可以變換，不管是變成加還是減還是倒數(shù)，都可以應(yīng)用上面的公式（韋達定理）．【考點分析】首先申明，這是必考點．一般都是在解析幾何里面，通過聯(lián)立方程，求出兩交點的橫坐標與系數(shù)的關(guān)系，然后通過這個關(guān)系去求距離，或者斜率的積等等．所以在復習的時候要結(jié)合解析幾何一同復習效果更佳．【考點剖析】一．等式與不等式的性質(zhì)（共7小題）1．（2022秋?普陀區(qū)校級期末）若a，b，c∈R，a＞b，則下列不等式成立的是（）A． B． C．a(chǎn)2＞b2 D．a(chǎn)|c|＞b|c|2．（2022秋?徐匯區(qū)期末）如果a＜0＜b，那么下列不等式中正確的是（）A．﹣ B．a(chǎn)2＜b2 C．a(chǎn)3＜b3 D．a(chǎn)b＞b23．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知a＞b＞c＞0，以下不等關(guān)系不一定成立的是（）A．a(chǎn)c3＞bc3 B．ca+b＞cb+c C．lg（a﹣b）＜lg（a﹣c） D．＞4．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）已知實數(shù)a＞b，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．a(chǎn)2＞b2 C． D．2a＞2b5．（2022秋?崇明區(qū)期末）已知a＞0＞b，則下列不等式一定成立的是（）A． B．|a|＜|b| C．a(chǎn)2＜﹣ab D．6．（2022秋?浦東新區(qū)期末）設(shè)a、b、c、d是實數(shù)，則下列命題為真命題的是．①如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d；②如果a≠b，且c≠d，那么ac≠bd；③如果a＞b＞0，那么；④如果（a﹣b）2+（b﹣c）2≤0，那么a＝b＝c．7．（2022秋?金山區(qū)校級期末）已知實數(shù)x、y滿足﹣2≤x≤3，，則x﹣2y的取值范圍為．二．不等關(guān)系與不等式（共9小題）8．（2022秋?金山區(qū)期末）已知a＞b，其中a，b∈R，則下列不等式一定成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．﹣a＞﹣b C． D．|a|＞|b|9．（2022秋?松江區(qū)校級期末）已知a＜0，b＜﹣1，則下列正確的是（）A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a10．（2022秋?普陀區(qū)校級期末）已知非零實數(shù)a，b滿足a＞b，則下列不等式成立的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B． C．a(chǎn)2b＞ab2 D．11．（2022秋?閔行區(qū)校級期末）已知實數(shù)a、b、x滿足a＝x2+1，b＝x，則a與b的大小關(guān)系是ab．12．（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）設(shè)a，b，c∈R，那么下列表述中正確的是（）A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a＞b，則ac＞bc C．若a＞b，則ac2＞bc2 D．若a＞b，則a﹣c＞b﹣c13．（2022秋?閔行區(qū)期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式中成立的是（）A． B． C．a(chǎn)2＞ab D．a(chǎn)2＜b214．（2022秋?閔行區(qū)期末）已知a是正實數(shù)，若a3＞aπ，則a的取值范圍是．15．（2023春?寶山區(qū)期末）如果a＜b＜0，那么下列式子中一定成立的是（）A．a(chǎn)2＞ab B．a(chǎn)2＜b2 C． D．16．（2022秋?長寧區(qū)期末）如果a＜b＜0，那么下列不等式中不成立的是（）A．a(chǎn)b＜a2 B． C．b2＜a2 D．三．一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）17．（2022秋?徐匯區(qū)期末）已知方程x2+x﹣1＝0的兩個根為x1、x2，則|x1﹣x2|＝．18．（2022秋?崇明區(qū)期末）已知方程x2+x﹣2＝0的兩個根為x1，x2，則＝．19．（2022秋?奉賢區(qū)校級期末）若方程x2+x﹣3＝0的兩個實數(shù)根為x1，x2，則xx2+x1x＝．20．（2022秋?普陀區(qū)校級期末）已知是方程x2﹣4x+c＝0（c∈R）的一個根，則該方程的另一個根為．21．（2022秋?長寧區(qū)期末）已知方程x2+x﹣3＝0的兩根為x1，x2，則x1x2＝．22．（2022秋?浦東新區(qū)期末）已知一元二次方程x2+x﹣3a＝0（a＞0）的兩個實根為x1、x2，則x12x2+x22x1＝．23．（2022秋?閔行區(qū)期末）已知一元二次方程x2﹣nx+5＝0的兩個實根分別為x1、x2，且，則實數(shù)n的值為．24．（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的兩個實根分別為x1，x2，則＝.（結(jié)果表示成含m的表達式）【過關(guān)檢測】一、填空題1．（2022秋·上海松江·高一統(tǒng)考期末）設(shè)、為實數(shù)，比較兩式的值的大小：_______（用符號或=填入劃線部分）．2．（2023春·上海寶山·高一?？茧A段練習）一元二次方程的兩個實根為，則______．3．（2022·上海·高一專題練習）關(guān)于的不等式，當時的解集為__________.4．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）不等式的解為_____________．5．（2022·上海·高一專題練習）關(guān)于x的不等式的解集是___________.6．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）關(guān)于x的不等式的解集是___________.7．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習）若，則的取值范圍是______．8．（2022秋·上海靜安·高一上海市回民中學?？计谥校┮阎辉畏匠痰膬蓚€實根分別為，則以和為根的一元二次方程可以是________.9．（2020秋·上海浦東新·高一上海市進才中學?？茧A段練習）已知一元二次方程的兩根為和，的兩根為和，則所有可能的值所組成的集合為___________．10．（2023秋·上海寶山·高一上海市吳淞中學校考期末）已知一元二次方程的兩個實根為，則____11．（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習）若，，則以為根的一元二次方程可以是_____．12．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習）已知，方程的解集為______.二、單選題13．（2023春·上海嘉定·高一統(tǒng)考階段練習）已知、，且，則（

）A． B．C． D．14．（2023秋·上海閔行·高一統(tǒng)考期末）如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．15．（2023秋·上海徐匯·高一上海市西南位育中學?？计谀┫铝忻}是真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則16．（2023秋·上海徐匯·高一統(tǒng)考期末）如果，那么下列不等式中成立的是（

）A． B． C． D．三、解答題17．（2022·上?！じ咭粚ｎ}練習）設(shè)，．（1）證明：介于與之間；（2）判斷，哪個更接近于，并說明理由．18．（2021秋·上海浦東新·高一上海師大附中?？茧A段練習）已知，比較與的大小.19．（2022秋·上海浦東新·高一?？茧A段練習）用作差法比較與的大小.