數(shù)學思想方法

數(shù)學思想方法摘要:數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，在教學過程中滲透數(shù)學思想方法，能提高教學效果，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

關鍵詞:數(shù)學思想；數(shù)學方法；數(shù)學教學

數(shù)學教學有數(shù)學知識的教學和數(shù)學思想方法的教學。而數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，是學生形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學生良好的數(shù)學觀念和創(chuàng)新思維的載體，在教學中我們必須重視數(shù)學思想方法的滲透教學。

一、數(shù)學思想方法的定義

數(shù)學思想是對數(shù)學知識、方法、規(guī)律的一種本質認識；數(shù)學方法是解決數(shù)學問題的策略和程序，是數(shù)學思想的具體反映；數(shù)學知識是數(shù)學思想方法的載體，數(shù)學思想較之于數(shù)學基礎知識及常用數(shù)學方法又處于更高層次，它來源于數(shù)學基礎知識及常用的數(shù)學方法，在運用數(shù)學基礎知識及方法處理數(shù)學問題時，具有指導性的地位。對于學習者來說，運用數(shù)學方法解決問題的過程就是感性認識不斷積累的過程，當這種積累達到一定程度就會產(chǎn)生飛躍，從而上升為數(shù)學思想，一旦數(shù)學思想形成之后，便對數(shù)學方法起著指導作用。因此，人們通常將數(shù)學思想與方法看成一個整體概念——數(shù)學思想方法。

二、高中階段應滲透的主要數(shù)學思想方法

1.分類討論的思想方法

在解答某些數(shù)學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論法。分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數(shù)學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，所以在高考試題中占有重要的位置。案例1.已知函數(shù)為大于零的常數(shù)。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（1）若函數(shù)內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）求函數(shù)在區(qū)間[1，2]上的最小值。解：（1）由已知，得上恒成立，即上恒成立 又當（2）當時， 在（1，2）上恒成立，這時在[1，2]上為增函數(shù) 當在（1，2）上恒成立，這時在[1，2]上為減函數(shù) 當時，令 又 綜上，在[1，2]上的最小值為 ①當 ②當時，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ③當2.數(shù)形結合的思想方法

數(shù)形結合是一個數(shù)學思想方法，包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)輔形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：或者是借助形的生動和直觀性來闡明數(shù)之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的，比如應用函數(shù)的圖像來直觀地說明函數(shù)的性質；或者是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。恩格斯曾說過：“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌?shù)形結合就是根據(jù)數(shù)學問題的條件和結論之間的內(nèi)在聯(lián)系，既分析其代數(shù)意義，又揭示其幾何直觀，使數(shù)量關的精確刻畫與空間形式的直觀形象巧妙、和諧地結合在一起，充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決?！皵?shù)”與“形”是一對矛盾，宇宙間萬物無不是“數(shù)”和“形”的矛盾的統(tǒng)一。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休。數(shù)形結合的思想，其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖像結合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在運用數(shù)形結合思想分析和解決問題時，要注意三點：第一要徹底明白一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對數(shù)學題目中的條件和結論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當設參、合理用參，建立關系，由數(shù)思形，以形想數(shù)，做好數(shù)形轉化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍。案例2.已知函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖象相切，記（1）求實數(shù)b的值及函數(shù)F（x）的極值；（2）若關于x的方程F（x）=k恰有三個不等的實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍。解：（1）依題意，令，得列表如下：－1+0－0+↗極大值↘極小值0↗從上表可知處取得極小值．（2）由（1）可知函數(shù)作函數(shù)的圖象，當?shù)膱D象與函數(shù)的圖象有三個交點時，關于x的方程3.函數(shù)與方程的思想方法所謂函數(shù)的思想，就是用運動和變化的觀點、集合對應的思想，去分析和研究數(shù)學問題中的數(shù)量關系，建立函數(shù)關系或構造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像和性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決，函數(shù)思想是對函數(shù)概念的本質認識，用于指導解題就是要善于利用函數(shù)知識或函數(shù)觀點去觀察分析處理問題。

所謂方程的思想就是分析數(shù)學問題中變量間的等量關系，建立方程或方程組，或者構造方程，通過解方程（組），或者運用方程的性質去分析轉化問題使問題獲得解決，方程思想是對方程概念的本質認識，用于指導解題就是利用方程或方程觀點觀察處理問題。函數(shù)思想與方程思想是密不可分的，可以相互轉化的。

函數(shù)和方程的思想是最重要和最常用的數(shù)學思想，它貫穿于整個高中教學中，中學數(shù)學中的初等函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列以及解析幾何都可以歸結為函數(shù)，尤其是導數(shù)的引入為函數(shù)的研究增添了新的工具．因此，在數(shù)學教學中注重函數(shù)與方程的思想是相當重要的．在高考中，函數(shù)與方程的思想也是作為思想方法的重點來考查的，使用選擇題和填空題考查函數(shù)與方程思想的基本運算，而在解答題中，則從更深的層次，在知識的網(wǎng)絡的交匯處，從思想方法與相關能力相綜合的角度進行深入考查。案例3.（1）求的取值范圍。（2）若(z－x)－4(x－y)(y－z)＝0,求證：x、y、z成等差數(shù)列。解：（1）設，則，構造二次函數(shù)，由圖可知：即點評：該題通過三角換元構造了二次函數(shù)，最終求得最值。（2）分析：題設正好是判別式b－4ac＝0的形式，因此構造一個一元二次方程求解。證明：當x＝y(tǒng)時，可得x＝z，∴x、y、z成等差數(shù)列；當x≠y時，設方程(x－y)t－(z－x)t＋(y－z)＝0，由△＝0得t1＝t2，并易知t＝1是方程的根?！鄑1t2＝＝1，即2y＝x＋z，∴x、y、z成等差數(shù)列。點評：題設條件具備或經(jīng)變形整理后具備x1＋x2＝a，x1x2＝b的形式，則利用根與系數(shù)的關系構造方程；具備b－4ac0或b－4ac0的形式，可利用根的判別式構造一元二次方程。4．分類與整合思想在解某些數(shù)學問題時，我們常常會遇到這樣一種情況：解到某一步之后，發(fā)現(xiàn)問題的發(fā)展是按照不同的方向進行的．當被研究的問題包含了多種情況時，就必須抓住主導問題發(fā)展方向的主要因素，在其變化范圍內(nèi)，根據(jù)問題的不同發(fā)展方向，劃分為若干部分分別研究．這里集中體現(xiàn)的是由大化小，由整體化為部分，由一般化為特殊的解決問題的方法，其研究的基本方向是“分”，但分類解決問題之后，還必須把它們整合在一起，這種“合—分—合”的解決問題的思想，就是分類與整合思想．案例4.已知函數(shù)f(x)＝|x|＋|x－1|＋|x－2|.(1)寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)設g(x)＝－x＋bx，若對任意的x1，x2∈[－1,4]，f(x1)g(x2)恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【分析】(1)根據(jù)絕對值的概念，通過把實數(shù)集分割為四個子集，在各個子集上，函數(shù)解析式就可以去掉絕對值符號，轉化為一般的一次函數(shù)，通過研究各個段上的函數(shù)單調(diào)性，把其整合為整個函數(shù)的單調(diào)性；(2)問題等價于在區(qū)間[－1,4]上，函數(shù)f(x)的最小值大于或者等于函數(shù)g(x)的最大值，根據(jù)函數(shù)g(x)的對稱軸和單調(diào)性分類求解g(x)的最大值，通過最值的不等式，得出各個情況的結果，最后整合為一個整體結論．解：(1)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋3，x≤0，,－x＋3，0<x≤1，,x＋1，1<x≤2，,3x－3，x>2.))由于這個函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，在(－∞，0]和(0,1]上，函數(shù)是單調(diào)遞減的，在(1,2]，(2，＋∞)上，函數(shù)是單調(diào)遞增的，在x＝1處圖象連續(xù)．所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1]，單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)．(2)由(1)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,4]上的x＝1處取得最小值，即f(x)min＝f(1)＝2.當eq\f(b,2)－1，即b-2時，函數(shù)g(x)在[－1,4]上單調(diào)遞減，其最大值為g(－1)＝－1－b.由2－1－b得b－3.故此時－3b－2；當－1<eq\f(b,2)<4，即－2<b<8時，函數(shù)g(x)在x＝eq\f(b,2)處取得最大值，其最大值為g（）=.由2得－2eq\r(2)b2eq\r(2).故此時－2<b2eq\r(2)；當eq\f(b,2)4，即b8時，函數(shù)g(x)在[－1,4]上單調(diào)遞增，其最大值為g(4)＝－16＋4b.由2－16＋4b，得beq\f(9,2).故此時b無解．綜上所述，b的取值范圍是[－3,2eq\r(2)].5.化歸與轉化思想在解決一個問題時人們的眼光并不落在結論上，而是去尋覓、追溯一些熟知的結果，由此將問題化難為易，化繁為簡，化大為小，各個擊破，達到最終解決問題的目的，這種解決問題的思想就是化歸與轉化思想.案例5.(1)已知函數(shù)f(x)＝x3＋2x2－ax＋1.若函數(shù)g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是________．(2)若拋物線y＝＋4ax＋3－4a，y＝＋(a－1)x＋a2，y=＋2ax－2a中至少有一條與x軸相交，則實數(shù)a的取值范圍是________．【分析】(1)很顯然，函數(shù)g(x)是二次函數(shù)，二次函數(shù)在一個開區(qū)間上存在零點，情況是很復雜的，但這個二次函數(shù)可以把參數(shù)分離出來，這樣就把問題轉化為求一個具體的函數(shù)的值域；(2)至少有一條與x軸相交情況，包括七種情況，直接求解比較困難，從其反面考慮．(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)，7))(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪[－1，＋∞)解：(1)g(x)＝f′(x)＝3＋4x－a，g(x)＝f′(x)在區(qū)間(－1,1)上存在零點，等價于3x2＋4x＝a在區(qū)間(－1,1)上有解，等價于a的取