二次函數(shù)壓軸題(難)

二次函數(shù)壓軸題(難)

(2)設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得△PAB與△PBC的面積之比為2:3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得線段AQ與線段BC的中點(diǎn)重合，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△ABC的A、B兩個(gè)頂點(diǎn)在x軸上，頂點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上。已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC的面積S△ABC=15，拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)。(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)設(shè)E是y軸右側(cè)拋物線上異于點(diǎn)B的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG垂直于x軸于點(diǎn)G，再過點(diǎn)E作EH垂直于x軸于點(diǎn)H，得到矩形EFGH。則在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)矩形EFGH為正方形時(shí)，求出該正方形的邊長；(3)在拋物線上是否存在異于B、C的點(diǎn)M，使△MBC中BC邊上的高為72？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。2.如圖拋物線y=x^2-mx+n與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(-1,0)，且對(duì)稱于x=l。(1)求出拋物線的解析式及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)在x軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形ABDC的面積為3。若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)Q在y軸上，點(diǎn)P在拋物線上，要使Q、P、A、B為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)求出所有滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)。3.已知拋物線C：y=ax^2+bx+c(a<0)過原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B(4,0)，A為拋物線C的頂點(diǎn)。(1)如圖1，若∠AOB=60°，求拋物線C的解析式；(2)如圖2，若直線OA的解析式為y=x，將拋物線C繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C'，求拋物線C、C'的解析式；(3)在(2)的條件下，設(shè)A'為拋物線C'的頂點(diǎn)，求拋物線C或C'上使得PB=PA'的點(diǎn)P的坐標(biāo)。4.如圖，已知拋物線與x軸交于A(1,0)，B(-3,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，拋物線的頂點(diǎn)為P，連接AC。(1)求此拋物線的解析式；(2)在拋物線上找一點(diǎn)D，使得DC與AC垂直，且直線DC與x軸交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使得S△MAP=2S△ACP，若存在，求出M點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。5.已知頂點(diǎn)為A(1,5)的拋物線y=ax^2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)B(5,1)。(1)求拋物線的解析式;(2)設(shè)拋物線上存在一點(diǎn)P，使得△PAB與△PBC的面積之比為2:3，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)若拋物線上存在一點(diǎn)Q，使得線段AQ與線段BC的中點(diǎn)重合，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)。1.大時(shí)，求出此時(shí)直線l的關(guān)系式；求解：缺少題干，無法進(jìn)行改寫。2.拋物線上是否存在點(diǎn)C使△AOC的面積與（2）中△AOB的最大面積相等．若存在，求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；若不存在說明理由．改寫：在拋物線上是否存在點(diǎn)C，使得△AOC的面積等于△AOB的最大面積。如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。3.如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（，1），B（－4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B．（1）求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=d1＋1；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值．改寫：在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（，1），B（－4，4），將點(diǎn)B繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)C；頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)B。現(xiàn)在有以下問題：（1）求解拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為d1，點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為d2，試說明d2=d1＋1；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)點(diǎn)P位于何處時(shí)，△PAC的周長有最小值，并求出△PAC的周長的最小值。4.已知如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為梯形，BC∥AO，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿ABC的方向向C運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)也隨之停止。求函數(shù)關(guān)系式，求t為何值時(shí)，S有最大值？改寫：已知如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCO為梯形，BC∥AO，四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，0)。一動(dòng)點(diǎn)P從O出發(fā)以每秒1個(gè)單位長度的速度沿OA的方向向A運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿ABC的方向向C運(yùn)動(dòng)。兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)若其中一個(gè)到達(dá)終點(diǎn)，另一個(gè)也隨之停止?，F(xiàn)在有以下問題：（1）求過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，PB與AQ互相平分；（3）連接PQ，設(shè)△PAQ的面積為S，探索S與t最大值是多少？5.如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸x2與x軸交于點(diǎn)C，直線y2x1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(m，3)，且與y軸、直線x2分別交于點(diǎn)D，E．（1）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式并用配方法把這個(gè)解析式化成ya(xh)2k的形式；（2）求證：CD⊥BE；（3）在對(duì)稱軸x2上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由。改寫：如圖，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)O，與x軸交于另一點(diǎn)A，它的對(duì)稱軸x2與x軸交于點(diǎn)C，直線y2x1經(jīng)過拋物線上一點(diǎn)B(m，3)，且與y軸、直線x2分別交于點(diǎn)D，E?，F(xiàn)在有以下問題：（1）求解拋物線的函數(shù)解析式，并用配方法將其化為ya(xh)2k的形式；（2）證明：CD⊥BE；（3）在對(duì)稱軸x2上是否存在點(diǎn)P，使△PBE是直角三角形？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出△PAB的面積；如果不存在，請(qǐng)說明理由。6.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，，B（1，，D（3，）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON．若拋物線yaxbxc經(jīng)過點(diǎn)D、M、N．（1）求拋物線的解析式．（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PC，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．改寫：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°，BC與y軸相交于點(diǎn)M，且M是BC的中點(diǎn)，A、B、D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A（1，，B（1，，D（3，）．連接DM，并把線段DM沿DA方向平移到ON?，F(xiàn)在有以下問題：（1）求解拋物線的函數(shù)解析式；（2）拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA=PC？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由。13.拋物線y=ax^2+2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，4)，與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)和B。求該拋物線的解析式，以及點(diǎn)Q在什么位置時(shí)有|QE-QC|最大？并求出最大值。解析：(1)由已知得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,4)。因此，解析式為y=a(x+2)^2+4。(2)設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,ax^2+2ax+c)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(8-x,0)。根據(jù)距離公式可得|QE-QC|=|(8-x)^2+(ax^2+2ax+c)^2-16|^(1/2)-4。為了求|QE-QC|的最大值，可以求其平方的最大值。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可得到|QE-QC|的平方最大值出現(xiàn)在x=1-a/2，此時(shí)|QE-QC|的最大值為2*[(4+a^2)/4]^(1/2)。14.拋物線y=ax^2+2ax+c(a≠0)與y軸交于點(diǎn)C(0，m)，與x軸交于點(diǎn)A(－4，0)和B。求該拋物線的解析式，并解決以下問題：(1)點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ。當(dāng)△CEQ的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(2)平行于x軸的動(dòng)直線l與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－2，0)。問是否有直線l，使△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。解析：(1)由已知得，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,m)。因此，解析式為y=a(x+2)^2+m。設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,ax^2+2ax+c)，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x+4,0)。根據(jù)向量的知識(shí)，可得向量CE和向量QE的叉積的模長等于△CEQ的面積的兩倍。因此，|CE×QE|=2*|△CEQ|=2*|CE|*|QE|*sin∠CEQ。又因?yàn)镃E的方向向量為(4,-m)，QE的方向向量為(x+2,ax^2+2ax+c-m)，因此它們的叉積為(4,-m)×(x+2,ax^2+2ax+c-m)=(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))。根據(jù)向量的模長公式，可得|CE×QE|=|(-4m-(ax^2+2ax+c-m)(x+2),4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m))|=|4(x+2)-(ax^2+2ax+c-m)|*(4m+(ax^2+2ax+c-m)(x+2))^(1/2)。為了求|CE×QE|的最大值，可以求其平方的最大值。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，可得到|CE×QE|的平方最大值出現(xiàn)在x=-a/2，此時(shí)|CE×QE|的最大值為(16m)/(4+a^2)^(1/2)。(2)設(shè)直線l的解析式為y=k，其中k為實(shí)數(shù)。由已知得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為((-2-c)/a,k)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c/a,k)。因此，△ODF是等腰三角形的充分必要條件是OF=DF，即-c^2/a^2+(k-m)^2=(k-m)^2。解得c=0，因此直線l的解析式為y=0。此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-c/a,0)=(0,m)。15.拋物線y=ax^2-4ax+m與x軸交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，0），與y軸交于點(diǎn)C。(1)求拋物線的對(duì)稱軸和點(diǎn)B的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)C作CP⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)P，連結(jié)BC交對(duì)稱軸于點(diǎn)D，連結(jié)AC、BP，且∠BPD=∠BCP，求拋物線的解析式；(3)在(2)的條件下，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為G，連結(jié)BG、CG，求△BCG的面積。解析：(1)由已知得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1/2,m)。因此，拋物線的對(duì)稱軸為x=1/2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,m)。(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-1/2)^2+m，對(duì)稱軸為x=1/2。則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,m)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1/2,0)。因此，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,-m/4)。過點(diǎn)D作DE垂直于對(duì)稱軸，交拋物線于點(diǎn)E。設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,ax^2-4ax+m)，則有DE∥BP，因此BP的斜率等于DE的斜率。解得x=2a+1。因此，拋物線的解析式為y=a(x-1/2)^2+m=a(x-2a-1)^2+m。(3)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x0,ax0^2-4ax0+m)，則有BG∥AC，因此BG的斜率等于AC的斜率。解得x0=1/2-a/2，因此點(diǎn)G的坐標(biāo)為(1/2-a/2,a/4+m)。因此，△BCG的面積為(3a/4+m/2)^(1/2)*(a/4)。2.經(jīng)過點(diǎn)A（p，f(p)）的直線與函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)M、N，過M、N作x軸的垂線，垂足分別為M1、N1。設(shè)三角形MAM1、AM1N1、ANN1的面積分別為S1、S2、S3。問是否存在一個(gè)常數(shù)m，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)p（p≠0），都有S22=mS1S3成立。如果存在，求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說