安徽省皖南八校2023屆高三三模數(shù)學(xué)試卷_第1頁
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2023屆“皖南八?!备呷谌未舐?lián)考數(shù)學(xué)一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求.1.已知集合,,則集合的非空真子集的個數(shù)為()A.14 B.15 C.30 D.622.已知復(fù)數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.給出下列四個命題,其中正確命題為()A.“,”的否定是“,” B.“”是“”的必要不充分條件C.,,使得D.“”是“”的充分不必要條件4.如圖,用M,,三類不同的元件連接成一個系統(tǒng),當M正常工作且,至少有一個正常工作時,系統(tǒng)正常工作,已知M,,正常工作的概率依次是,,,已知在系統(tǒng)正常工作的前提下,則只有M和正常工作的概率是()A. B. C. D.5.勒洛三角形是一種典型的定寬曲線,以等邊三角形每個頂點為圓心,以邊長為半徑,在另兩個頂點間作一段圓弧,三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形.在如圖所示的勒洛三角形中,已知,P為弧AC上的一點,且,則的值為()A. B. C. D.6.已知函數(shù),則下列結(jié)論正確的有()A.的最小正周期為 B.直線是圖象的一條對稱軸C.在上單調(diào)遞增 D.若在區(qū)間上的最大值為1,則7.已知是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于點對稱,當時,,若方程的所有根的和為6,則實數(shù)k的取值范圍是()A. B. C. D.8.已知函數(shù),若對任意的恒成立,則的最大值是()A. B. C. D.二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.在某市高三年級舉行的一次模擬考試中,某學(xué)科共有20000人參加考試.為了了解本次考試學(xué)生成績情況,從中抽取了部分學(xué)生的成績(成績均為正整數(shù),滿分為100分)作為樣本進行統(tǒng)計,樣本容量為n,按照,,,,的分組作出頻率分布直方圖如圖所示.其中,成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16.則下列結(jié)論正確的是()A.圖中 B.樣本容量C.估計該市全體學(xué)生成績的平均分為70.6分D.該市要對成績前25%的學(xué)生授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號,則授予“優(yōu)秀學(xué)生”稱號的學(xué)生考試成績大約至少為77.25分10.已知正實數(shù)a,b,c滿足,當取最小值時,下列說法正確的是()A. B.C.的最大值為1 D.的最小值為11.已知正方體棱長為4,M為棱上的動點,平面,則下列說法正確的是()A.若N為中點,當最小時,B.當點M與點重合時,若平面截正方體所得截面圖形的面積越大,則其周長就越大C.直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為D.當點M與點C重合時,四面體內(nèi)切球表面積為12.已知拋物線的焦點為F,準線為l,A,B是C上異于點O的兩點(O為坐標原點)則下列說法正確的是()A.若A、F、B三點共線,則的最小值為2B.若,則的面積為C.若,則直線AB過定點D.若,過AB的中點D作于點E,則的最小值為1三、填空題:共4小題,每小題5分,共20分.13.函數(shù)的值域是______.14.某企業(yè)五一放假4天,安排甲、乙、丙、丁四人值班,每人只值班一天.已知甲不安排在第一天,乙不安排在最后一天,則不同的安排種數(shù)為______.15.過雙曲線右焦點F的直線l與雙曲線C的一條漸近線垂直,垂足為點A,O為坐標原點,若的角平分線與x軸交于點M,且點M到OA與AF的距離都為,則雙曲線C的離心率為______.16.已知四面體ABCD的四個頂點都在球O的球面上,是邊長為2的等邊三角形,外接圓的圓心為.若四面體ABCD的體積最大時,,則球O的半徑為______;若,點E為AC的中點,且,則球O的表面積為______.(本題第一空2分,第二空3分)四、解答題:共6小題,共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽,是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽.卡塔爾世界杯后,某校為了激發(fā)學(xué)生對足球的興趣,組建了足球社團.足球社團為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān),隨機抽取了男、女同學(xué)各100名進行調(diào)查,統(tǒng)計得出的數(shù)據(jù)如下表:喜歡足球不喜歡足球合計男生50女生25合計(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表,試根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,分析該校學(xué)生喜歡足球與性別是否有關(guān).(2)社團指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點球,已知男生進球的概率為,女生進球的概率為,每人踢球一次,假設(shè)各人踢球相互獨立,求3人進球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.附:,.0.0500.0100.0013.8416.63510.82818.(12分)已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.(1)求角C;(2)設(shè)BC的中點為D,且,求的取值范圍.19.(12)分在數(shù)列中,,且對任意的,都有.在等差數(shù)列中,前n項和為,,.(1)求數(shù)列和的通項公式;(2)設(shè),求數(shù)列的前n項和.20.(12分)如圖,在三棱錐中,為直角三角形,,的邊長為4的等邊三角形,,.(1)求證:平面平面ABC;(2)求二面角的余弦值.21.(12分)如圖,橢圓的左、右焦點分別為,,點A,B,C分別為橢圓的左、右頂點和上頂點,O為坐標原點,過點的直線l交橢圓于E,F(xiàn)兩點,線段的中點為.點P是上在第一象限內(nèi)的動點,直線AP與直線BC相交于點Q,直線CP與x軸相交于點M.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)的面積為,的面積為,求的值.22.(12分)若對任意的實數(shù)k,b,函數(shù)與直線總相切,則稱函數(shù)為“恒切函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)是否為“恒切函數(shù)”;(2)若函數(shù)是“恒切函數(shù)”,求證:.2023屆“皖南八?!备呷谌未舐?lián)考·數(shù)學(xué)參考答案、解析及評分細則1.D 由題意得,集合,則集合,所以集合的非空真子集的個數(shù)為.故選D.2.D 由得,∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為第四象限.故選D.3.C 對于A,由全稱命題的否定知該命題的否定為,,A錯誤;對于B,“”是“”的既不充分又不必要條件,B錯誤;對于C,取,則,C正確;對于D,“”是“”的充要條件,D錯誤.故選C.4.C 設(shè)事件A為系統(tǒng)正常工作,事件B為只有M和正常工作,因為并聯(lián)元件、能正常工作的概率為,所以,又因為,所以.故選C.5.C 如圖所示,以B為坐標原點,直線BC為x軸,過點B且垂直于BC的直線為y軸,建立平面直角坐標系,,且,,所以,,所以.故選C.6.D ,所以的最小正周期為,A錯誤;因為,,所以直線不是圖象的一條對稱軸,B錯誤;當時,在,而函數(shù)在上不單調(diào),C錯誤;當時,,因為在區(qū)間上的最大值為1,即,所以,解得,D正確.故選D.7.A 方程的根轉(zhuǎn)化為和的圖象的公共點的橫坐標,因為兩個圖象均關(guān)于點對稱,要使所有根的和為6,則兩個圖象有且只有3個公共點.作出和的圖象如圖所示.當時,只需直線與圓相切,可得;當時,只需直線與圓相切,可得.故k的取值范圍是.故選A.8.B ,,當時,恒成立,則單調(diào)遞減,,顯然不恒成立,當時,時,,函數(shù)單調(diào)遞減;時,,函數(shù)單調(diào)遞增,∴,∵恒成立,∴,∴,令,,,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,∴.故選B.9.ACD 對于A,因為,解得,故A正確;對于B,因為成績落在區(qū)間內(nèi)的人數(shù)為16,所以樣本容量,故B錯誤;對于C,學(xué)生成績平均分為,故C正確;對于D,因為,解得,所以大約成績至少為77.25分的學(xué)生能得到此稱號,故D正確.故選ACD.10.AC ,當且僅當,即時等號成立,此時,故A正確,B錯誤;,當時,的最大值為1,C正確;無最小值,D錯誤.故選AC.11.ACD 對于A,矩形與正方形展開成一個平面(如圖所示),若最小,則A、M、N三點共線,因為,所以,所以,即,故A正確;對于B,當點M與點重合時,連接、、、、,(如圖所示),在正方體中,平面ABCD,平面ABCD,所以,又因為,且,所以平面,又平面,所以,同理可證,因為,所以平面,易知是邊長為的等邊三角形,其面積為,周長為;設(shè)E、F、Q、N,G,H分別為,、,,,的中點,易知六邊形EFQNGH是邊長為的正方形,且平面平面,正六邊形EFQNGH的周長為,面積為,則的面積小于正六邊形EFQNGH的面積,它們的周長相等,即B錯誤;對于C,以點D為坐標原點,DA、DC、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系,則,,設(shè),因為平面,所以是平面的一個法向量,且,,,所以直線AB與平面所成角的正弦值的取值范圍為,則直線AB與平面所成角的余弦值的取值范圍為,故C正確;對于D,當點M與點C重合時,四面體即為為正四面體,棱長,由正四面體的性質(zhì)可得,其內(nèi)切球半徑,所以表面積為,故D正確.故選ACD.12.ABD 對于A,經(jīng)分析可知,當直線AB垂直于y軸時,取最小值,且為2,A正確;由拋物線的定義可知,,解得,故,故,所以的面積為,B正確;設(shè),,直線AB的方程為,將直線AB的方程代入,得.由,得,即,所以,,故直線,恒過定點,C錯誤;過點A作于點,過點B作于點,設(shè),,所以,因為,所以,的最小值為1,D正確.故選ABD.13. 當時,滿足,當時,由,所以函數(shù)的值域為.14.14 ①若甲安排在最后一天,則不同的安排數(shù)為;②若甲不安排在最后一天,則不同的安排數(shù)為.綜上,不同的安排種數(shù)為14.15. 如圖所示,設(shè)點A在第一象限,由題意可知,其中d為點到漸近線的距離,,所以,過點M分別作于點N,于點T,又因為于點A,所以四邊形MTAN為正方形,所以,所以,又因為,所以,,所以,所以,所以.16. 若四面體ABCD的體積最大時,點B在過O和的直徑上,,,設(shè)球O的半徑為r,則在中,,解得.設(shè)的外接圓的半徑R,由題可得,解得.如圖,取AC的中點E,連接DE并延長DE交圓于點F.連接BE,BF,由得,則..在中,,所以在中,由余弦定理得,可得,結(jié)合圖形可得圓.連接,過點O作BF的垂線,垂足為點G.連接BO,四面體ABCD外接球的半徑解得.所以球O的半徑.四面體ABCD外接球的表面積為.17.解:(1)列聯(lián)表如下:喜歡籃球不喜歡籃球合計男生5050100女生2575100合計75125200零假設(shè)為:該校學(xué)生喜歡籃球與性別無關(guān).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),經(jīng)計算得到,∴根據(jù)小概率值的獨立性檢驗,我們推斷不成立,即認為該校學(xué)生喜歡籃球與性別有關(guān).(2)3人進球總次數(shù)的所有可能取值為0,1,2,3.,,,.∴的分布列如下:0123P∴的數(shù)學(xué)期望:.18.解:(1)中,,由正弦定理得,.所以,即,所以;又,所以,所以,所以,又因為,所以,即;(2)設(shè),則中,由可知,由正弦定理及可得,所以,,所以,由可知,,,所以.19.解:(1)由得時,.又,滿足,所以.設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則,解得,所以;(2),,①,②兩式相減得,所以.20.(1)(方法一)證明:如圖,分別取AC,AB的中點D,E,連接PD,DE,PE,則.因為,,所以,.因為是邊長為4的等邊三角形,所以,,在中,,,在中,,所以,所以,因為,點E為AB的中點,所以,又,,平面ABC,所以平面ABC,因為平面PAB,所以平面平面ABC.(方法二)證明:如圖,分別取AC,AB的中點D,E,連接PD,PE,DE,則.因為,所以,,因為是等邊三角形,所以,因為,,平面PDE,所以平面PDE,又平面PDE,所以,因為,點E為AB的中點,所以,又,AC,平面ABC,所以平面ABC,因為平面PAB,所以平面平面ABC.(2)解:以點C為原點,直線CA,CB分別為x,y軸,過點C且與PE平行的直線為z軸,建立空間直角坐標系,如圖所示,則,,,,,,,.設(shè)平面PBC的一個法向量為,則,即取,則.設(shè)平面PAB的一個法向量為,則,即取,則.設(shè)二面角的平面角為,所以.21.解:(1)因為線段的中點為在y軸上,O為的中點,所以軸,即軸,設(shè),,,代入橢圓的方程得,,又,所以,即,所以,解得,所以橢圓的方程為.(2)(方法一)證明:設(shè),由題意可得,,所以直線BC的方程的截距式為,即為.因為,所以直線AP的方程為.聯(lián)立得即;直線CP的方程為:,即,當時,,即,所以,又因為,所以,,所以,得證.(方法二)證明:由題意可得,,所以直線BC的方程的截距式為,即為.設(shè)直

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