高中數(shù)學-平面向量常用方法歸納

平面向量常用方法歸納

1、基底法

在處理平面向量問題時,有一類是所求的向量模長和夾角是在變化的,我們利用平面向

量的基本定理,選取ー組不共線的且模長和夾角知道的非零向量作為基底,把所求向量都用

所選基底表示來處理問題.

【例1.1］在ハ4BC中,M是8C的中點,A〃=3,8C=10,則

【答案】-16

【解析】方法一:基底法

2

ABAC^\AM+MB]-\AM+MC]^AM+AM\MB+MC+MB-MC^9+0-25^-16

方法二:極化恒等式法

..'?2]-------2I

AB-AC=AM——BC=9---100=-16

44

【例1.2】已知菱形A8C。的邊長為2,?BAD120。,點瓦ド分別在邊BC,OC上,

2

BE=lBC,DF=mDC.若AE?AF1,CE2CF—,則/+m-(

3

D

【答案】C

AB

【解析】方法?:基底法

（AB+25C）（AD+〃皮）=1

AE-AF^l

くつ—yくっ

CECF=（2-l）fiC（//-l）5c=——,

ゝ3ゝ3

—2+4（幾+4）-2丸〃-1

えルー（ス+〃）+1=4

令ス=ノ+〃,>=丸",貝リ原式可化為:

-2+4スー2y=1x=—

■］，解得?,

y-x+1=—3トマ1

..?ス,+〃=—5.

6

方法二:解析法

建立如圖所示直角坐標系,則:

5（2,0）,C。詞,￡>（-1,73）,

又?：BE=2BC,DF=fjDC,易得E（2—/1,みl）,

F（2//-l,73）

AE-AF=4（ス+//）—2ルー2=1,

CECF^2（2+//）-22/z-2=ーー,

下同方法一..?.4+〃=2

6

【練習1.1】已知直角梯形ABC。中,A?！?C,乙4DC=90°,AZ>=2,8C=l,P是腰。。上的

動點，則冋+3方］的最小值為.

【答案】5

【提示】本題仍然推薦基底法和坐標法,可令。P=〃）C,當/1=之時取得最小值5.

【練習1.2】如圖,△ABC是邊長為2月的等邊三角形,P是以C為圓心,半徑為1的圓上

的任意一點,則AP-BP的取值范圍是.

【答案】限⑶

【提示】本題可以使用基底法和極化恒等式兩種方法處理,當然也可以使用解析法處理..

2、平方法

在向量中,遇到和模長有關(guān)的問題,很多時候都可以考慮把相關(guān)式子兩邊同時平方來處

理,并且要靈活運用:向量的平方等于它模長的平方這個規(guī)律,即片=ほ匕

【例2.1】設￡石是兩個非零向量,（）

A.若|a+B|=|a|—|,則a丄お

B.若2丄B,則萬+み|=|￡|ー/|

C.若萬+“ほ|一向,則存在實數(shù)え,使得さ=芯

D.若存在實數(shù)え,使得5=え-,^\a+b\=\a\-\b\

【答案】C

【解析】方法一:平方法

對式子IZ+B1=1ZI一面進行兩邊平方處理,

易得:COSb,り=一1,即向量4與g反向,

而“存在實數(shù)え,使得う=スヌ‘表示向量ス與3共線,

故選項C正確.

方法二:三角不等式

由三角不等式|一向區(qū)|a+B|等號成立的條件是向量。與う反向,

下同方法一.

【例2.2】11.如圖,在△中,ZBAC=-,ハ為AB的中點,P為CD上一點、,且滿足

uuuuuti1IIUD7./Quuu

AP=tAC+-AB,若△ABC的面積為把,則|AP|的最小值為

【答案】V2

ULUUUU1liun

【解析】由AP=/AC+-A3,點ク為A8的中點,易得:

3

―?——?2—?1

AP=tAC+-AD,又?「C、ハ、P三點共線,.」=一,

33

--1—*1—*

...AP=-AC+-AB,

AB+2\AB\\AC\cosA,

1—?—3V3——?

又???5"8。=5丨ん3|1AC|sinA=^-，/.|AB||AC|=6,

,-.|AP|=」叫+|AC『+6>^2\JB\\^C\+6=41,

當且僅當I而|=|AC\=76時取等號.

【練習2.1】設糸ズ為單位向量,非零向量みニE+謔ム丿^N若糸高的夾角為巳則屮的

6\b\

最大值等于.

【答案】2

【提示】平方法轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)最值問題,數(shù)形結(jié)合也可處理.

【練習2.2】設。為兩個非零向量スみ的夾角,已知對任意實數(shù)f,|み+に|的最小值為1

()

A.若。確定,則|￡||唯一確定B.若。確定,則|加唯一確定

C.若|￡|確定,則。唯一確定D.若|す確定,則。唯一確定

【答案】B

【提示】平方法轉(zhuǎn)化成一次二此不等式恒成立問題,或使用數(shù)形結(jié)合方法處理.

3、投影法

平面向量數(shù)量積(點乘)：a-b=\a\\b\cos<a,b>

①我們可以理解成:兩向量的數(shù)量積等于他們各自的模長,乘以它們夾角的余弦值;

②也可以理解成:兩向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模長,乘以另外一個向量在它上面的

投影;

③B在a上的投影是|B|cos

④投影有正有負,正負代表投影的位置.

【例3.1】如圖,四個邊長為1的正方形排成一個大正方形,A8是在正方形的一條邊,

月(i=l,2,…,7)是小正方形的其余各個頂點,則麗?通(i=L2,…,7)的不同值的個數(shù)為

)

A.7B.5

C.3D.1

【答案】C

【解析】而在向量而上的投影有三種情況,

分別是んら、ム[的投影是0,AP],的投影是1,的投影是2,

所以共有三個不同的結(jié)果,故選C.

【例3.2】如圖,在等腰直角ん!80中,=08=1,C為AS上靠近點A的四等分點,過。作

A3的垂線/,P為垂線上任一點,設西=￡,礪=反而=萬,則

p僅ーa)等于()

丄

A.B

2-J

3

C.D.|

2

【答案】A

【提示】投影法

ラ?G二）=OPAB=_j|的.|麗=_：|而ド，

又ンム430是等腰直角三角形,且。4=08=1,

.-.|AB\=42,

.?.建二）=+甌2=_g

【練習3.1】已知る,馬是平面單位向量,且る4=；.若平面向量み滿足5?曷=5?爲=1,則

*--------------

【答案】華

【提示】方法一:投影法

由題意知|耳=!ふ=1,

又?.?み?q=あ-02=1，由向量數(shù)量積的幾何意義,

可知み在［與［上的投影均為!,

又ン1..=3,弋ふ=や

則向量石如圖所示,

由幾何關(guān)系易得I加=孚

方法二:坐標法

建立如圖所示的直角坐標系,設ち=(x,y)

易得:e,=(1,0)，%=ラ,§|，

I乙Z

?：e、?ち=e2%=ヽ,可得:

x=l[x=1

<X氐、，解得:V3,

[22r3

,7,2A/3

?.わ=丁

方法三:數(shù)形結(jié)合

丁,?ク=ム,み=1，

/.|み||q|cos，1冃いII%Icos。ユ=1>0，

a=仇,又‘?ム=一，,?,卜],ら)二—，

.??伍=冬=と或包(舍)

66

代回已知みZ=i,易得|川=竿

【練習3.2】在VABC中,BC=5,G,。分別為VMC的重心和外心,且OG-8C=5,則

VA3C的形狀是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形C,直角三角形D.上述三種情況都有可能

【答案】B

【提示】方法一利用重心和外心的性質(zhì),利用投影的思想來處理。G-8C=5這個條件,方法

二利用基底代換,把條件而?前=5轉(zhuǎn)化為余弦定理形式來判斷/C為鈍角.

4、坐標法

幾何問題代數(shù)化是數(shù)學中比較重要的ー個思想方法,在平面向量中,這個思想在處理很

多問題時比較“直接無腦只要題目中給出了向量之間的夾角就可以考慮使用坐標來處理向

量問題。

【例4.1］如圖,平面內(nèi)有三個向量アX,礪,うで,其中麗與礪的夾角為120。,礪與祀的夾

角為30。，OC在。4與。8內(nèi)部,5.|。4|=2,\OB\=-,\OC\=2y/3,若

2

OC=AOA+pOB（A,則（）

A.2=4,〃=2B.2=マ,〃=ラ

,4“34

C.2=2,〃D.2=5，/z=7

【答案】C

【提示】建立平面直角坐標系,把各個向量坐標化,易知答案為C.

【例4.2】.已知A,B是圓。:ゼ+び2=1上的兩個點,尸是45線段上的動點,當ム4。8的面積

最大時,則あ?麗ース「一的最大值是（）

A.-lB.0C.-D.-

82

【答案】C

【提示】由題意知:SMOB=11OA||OB|sinZAOB,

JT

?.-|OA|=|OB|=1,易知當ク4。8=ー時,厶405面積最大.

2

不妨設單位圓與X軸和y軸正半軸的交點分別為點A、B,

A（1,O）,5（0,1）

易知直線48所在的直線方程為ムB：X+)'T=O,

可設尸(x,-x+1),0<x<l

-----.2

仙）=QAP-AP

=ホ（AO-AP）

=AP-~P0

=-2x~+3x—1

【練習4.1】設Ai，A2,A3,A4是平面上給定的4個不同點,則使ル滔,+"+ル+処=0

成立的點M的個數(shù)為...()

A.0B.1C.2D.4

【答案】B

【提示】坐標化,解出M點坐標只有一組解,故選B.

【練習4.2】平面向量”,0,6滿足Ie1=1,a?e=l,e=2,\a-b\=29則。?わ的最小值為

【答案】-

【提示】建立如圖所示的直角坐標系,

a-e=l,b-e=2利用向量數(shù)量積的幾何意義,

可知向量〉與あ可以看成是終點在ス=1與X=2上自由移動,

\a-b\=2,可知々與あ終點的連線線段長為2,

設a=(l,a),み=(2,わ),有幾何關(guān)系知:b-a±43,

當b=a+y/3時,

=aわ+2=グ+&+2,當a=一走時取得最大值,最小值為之；

24

當b=”8時,

a-b=ab+2^a2-A+2,當a=且時取得最大值,最小值為之.

24

綜上可知,。年的最小值為2.

5、數(shù)形結(jié)合法

在處理一些平面向量的問題時,需要利用圖形,結(jié)合向量的運算法則,綜合分析,來處

理一些動態(tài)變化問題。這類問題主要包含:圓上動點、直線上動點等。

【例5.1】若平面向量反,萬滿足|￡|=1,|萬區(qū)1,且以向量之,ア為鄰邊的平行四邊形的面積

為二,則a與耳的夾角。的取值范圍是.

【答案】［'エ,且］BDc

66"1-----------------アし

A"a

【提示】方法一:

［ーー［

如所示，

圖SABCD=2-SMBD=2--\a\\/3\sin(p=-,

一1

整理得:|/?|sin^9=—,

—*1

?］ガド1,:.sin(p>—,

方法二:

如右圖建立平面直角坐標系,把1向量放在x軸非負半軸,

—1-------

當/?的終點在直線)，=さ上滑動時,可以滿足以向量のタ為A

1/2

鄰邊的平行四邊形的面積為;，'''、、、、、『ク./

0&ゝ

又?」ス區(qū)1，

由幾何關(guān)系知Gび//,學,

【例5.2】己知。,あ是單位向量,ふス=0,若向量c滿足|"-[一同=1,則|2|的取值范圍是

()

A.[V2-1?V2+1]B.[V2-l?V2+2]

C.1,,岳1]D.[1,,夜+2」

【答案】A

【提示】方法一:數(shù)形結(jié)合

由題意知スル是單位向量,日|=|み|=1,

可取x軸和y軸正方向的單位向量分別記為[與ん

|c—aーみ|=1可化為|cーb+み)|=1,

由向量的計算法則,結(jié)合右圖易知:

以々+3的終點(1,1)為圓心,以1為半徑畫一個圓,

則從原點出發(fā)連到該圓上的任意向量都是滿足題意的向量七,

則|:歸卜歷_1,后+1].

方法二:解析法(坐標法)

由題意知],3是單位向量,0冃あ|=1,b

可取イ軸和y軸正方向的單位向量分別記為[與ん0

則a=(1,0),b=(0,1)，設c=(x,y),

???|c_Q_g|=[,.?.(1_1)2+(y-l)2=],

設x-l=cos。,y-l=sin氏0G[0,2^],

.?.x=cos8+l,y=sin6+l,

.-.|c|=^x2+y2=j2V2sinl（9+^j+3,

2五sin[6+7）+3eトー2后,3+2五],

.".|c|G[jE-1,V2+1].

【練習5.1】在AABC中,〃是邊んB上ー定點,滿足兄8=；AB,且對于邊AB上任一點P,

恒有方-Pdと凡瓦留,則（）

A.ZABC=90°B.ZBAC=90°

C.AB=ACD.AC=BC

【答案】D

【提示】本題推薦三種方法,其ー是特殊值排除,其二是構(gòu)造函數(shù)求解，其三是利用極化恒

等式處理,下面針對后兩種情況詳細說明.

方法二:構(gòu)造函數(shù)

取線段A8中點記為E,設|P8|=2|AB|,

:.PBPC=AAB-（AAB+BC）

c--k2------

=^AB+AABBC

令ア（ス）=43ス2+スス80,0</1<1

由題意知/（Z）＞fI}}

所以對稱軸ー空竺=丄

2AB4

整理得:AB.《AB+叫=0,EPABEC^O,

AC=BC.

方法三:極化恒等式

取線段A8與線段8C中點分別記為瓜F,

——?——>21-2

PBPC=PFーーBC,又?：PBPCNRBRC,

可知玲ド丄AB,:.CELAB,:.AC=BC.

【練習5.2］設向量￡ノ1滿足I司=1す=1,73=一"石一Z>=60。,則|み的最大值等于

()

A.2B.A/3C.A/2D.1

【答案】A

【提示】:トーc,み-c)=60。且(a,ホ=120。,所以向量a,み,a-c,み-c內(nèi)接與圓,當c為該圓的

直徑時最大,為2.

【練習5.3】已知向量標,滿足|吊=5,|在1,且|ス4*?,則スみ的最小值為.

25-5而

【答案】

4

【提小】考慮|a-4み|=,因為|a|=5,

以〉終點為圓心,以歷為半徑畫圓,

可知由。的起點連到該圓上的向量為防向量,

由向量數(shù)量積的投影意義易得當品與Z同向時(左側(cè)))(4可取得最小值,

此時スお也取得最小值為25二5亞

當|1-4小〈歷時,|4向的最小值會把拉長,導致話在"投影邊長,此時ノみ>25二5回,

綜上:ス」也取得最小值為ニニ5叵

4

6、三點共線結(jié)論及其推廣

在平面內(nèi),若點。4與。8不共線,對于任意的I有:若反=丸礪+ル礪,ス+〃=1,則A,8,C

三點共線.

①若;1>0,ル〉0,則點C在點A和點8之間,且有|AC|:16cl=〃:ス;

②若ス>O,〃<O,則點C在點A的外側(cè),且有|AC|:16cH川:|ス|；

③若;120,42〇,且把ス+〃=1改為;1+4<1,則點C在AABC內(nèi)部及邊界上.

【例6.1］如圖所示,A,8,C是圓。上的三點,C。的延長線與線段胡的延長線交于圓。外

的一點。,若無=ノ〃函+〃礪,則〃的取值范圍是()，r

A.(O,l)B.(1,-H?)C.(-oo,-l)D.(-1,O)fJ※ん

【答案】D

【提示】因為A、B、ハ三點共線,則存在實數(shù)え、ル使得:

OD=AOA+/uOB?ス+〃=1,

又因為〇、。、ハ三點共線,且點。在圓外,

則有:OC=tOD,re（-1,0）,:.OC=aOA+tjuOB,

又???OC-mOA+nOB,/.m=tAyれ=屮,

/.m+n=t（A+〃）=/￡（一!,0）,

【練習6.1】在平面直角坐標系中,。是坐標原點,兩定點んB滿足網(wǎng)=岡=就礪=2,則

點集仍|麗=疝5+4函|刈+|4區(qū)1,ス,〃€夕｝所表示的區(qū)域的面積是（）

A.20B.20C.40D.473

【答案】D

【提示】由知識點第三條推導可得:點P所表示的區(qū)域范圍是以。點為中心,AB為ー邊,

04與。8為對角線一半的平行四邊形,故面積為4G

ifrQr411

【練習6.2】“、b滿足|a|=フ=,而=7=,若對任意（%,〉）6｛（あ刈"+例=1,孫＞0｝,都

715715

有|x+y|41成立,則の。的最小值為

【答案】-

【提示】方法一：利用結(jié)論

UUU111

設OC=xa+），わ,OC=\,點在單位圓上,

a

?.?町〉〇且|x+y|Wl,.??點。要在圖中陰影部分內(nèi),

即圖中紅色圓弧要在陰影部分內(nèi),

如右圖所示,43與圓。相切于點C時,

此時ユ、ル夾角最大,

通過解三角形算得此時cos。=丄

4

.??。メ的最小值為立

方法二:解析法

平方得64ギ+16ザ+30のか7=15,表示橢圓,滿足-14x+y4l,且孫>0,

數(shù)形結(jié)合,即橢圓夾在兩條平行線之間,聯(lián)立橢圓和直線x+y=l,

化簡為一元二次方程,(80-30a-h)x2+(30：-b-32)x+1=0,

A=(30：-b-32)2-4(80-30：-b)<0,

Qrrつク

解得と4“包4ム,

1515

???二的最小值魅

7、絕對值不等式

絕對值不等式:\\a\-\b\^a+b\<\a\+\b\

①對于非零實數(shù)，左側(cè)等號成立的條件是。與b異號,右側(cè)等號成立的條件是。與b同號;

②對于非零向量,第一個等號成立的條件是「與3反向,第二個等號成立的條件是〉與3同向。

【例題?.1］已知向量〉,b,|?|=1,向=2.若對任意單位向量エ,均有"|+|かe區(qū)后,

則〉ス的最大值是。

【答案】丄

【提示】方法一:

ノ6^a?e|+|かe閆セ+り?e|,

ーTセー2-?2—?-?—*2

（a+bj-e-a+2a-b+b,

又a\=\,Iみ|=2,:.a-b<^

方法二:

由|a-e|+|"e|wj^得:|a||cosq|+網(wǎng)Icos^|<V6

該式子表示向量Z與3在々向量上投影絕對值之和小于等于V6,

由向量運算法則可知,當エ與。+わ共線時取得最大值,

且該最大值為|7+みI，.1a+わ區(qū)后,.,.スレg

【練習7.1】已知向量a,b,Itz|=1,\b\-2,のあ=1,若e為平面內(nèi)任意單位向量,則

\a-e\+\b-e\的最大值是.

【答案】V7

【提示】由例題7.1的方法易得最大值為".

【練習7.2】已知平面上三個不同的單位向量a、み、c滿足のう=反じ=丄,若e為平面內(nèi)的任

意單位向量,則Iス"|+2|ド"|+3|とエ|的最大值為

【答案】V21

【提示】方法一:

如圖構(gòu)造,3=(ー毘,)，み=(0,1)，C=(^,1),

設e=(cos6,sin。),根據(jù)題意,I|+21|+31c??|=

I—cos^~—sin^|+21sin01+31且cos6+丄sin61，要取

2222

得最大,?\|a?e|+2|仮?e|+3|c?e|=2>/3cos^+3sin^<>/21,即最大值為01.

方法二:

由例7」的方法二可知,當"與?！?。±;四個向量某ー個同向時|ス1|+2|ん"|+3|"?"|取得

最大值,

即4a?e|+2|あ?e|+3|c?e|Lax=max{a+2Z?+3c|,|a-￡+3c\,\a+2b-3c|,|a-2^-3c||,

建立如圖所示的坐標系,￡=(—セ」),ろ=(0/),之=(も;)，

則|ス+4+3じ|,|.ー5+32|,0+2わ-3ヌ,日ー2みー32|1={719,73,713,721)

.［ニ］|+2|ルe|+3|c-e|的最大值為ぐ21.

8、極化恒等式

極化恒等式:a-b=^(a+bj-\a-bj

(1)平行四邊形模式:如圖在平行四邊形ABCD中,

則有A6-AO=；［(AC-ク3丿］D________C

b.

AB

（2）在三角形模式中:如圖在んL8。中,M為中點,

，.121------

則有——DB

（3）題目中遇到求兩個共起點（或共終點）的向量的數(shù)量積問題時,可優(yōu)先考慮極化恒等式

是否可行.

【例題8.1］已知△45C是邊長為的正三角形,PQ為AMC外接圓。的一條直徑,M為

\ABC邊上的動點,則PM-MQ的最大值是.

【答案】3

【提示】由極化恒等式得:

■■,■［3212ヽ

PMMQ=-MPMQ=-\MO--PQ，

由題意知:|而|=4,|礪1mhi=1,二一］荻2-:而］43

即兩.詼的最大值為3.

【例題8.2】已知正方形んBCO長為8,BE=反,而=3所,若在正方形邊上恰有6個不同

的點P,使萬?戸戸=ノ,則ス的取值范圍________

【答案】（一1,8）

【解析】以為x軸,84為y軸建立空間直角坐標系,

設P（x,y）,取線段Eド的中點記為0,

由極化恒等式可得:PEPF=PO一一EF

4

整理得:P0=2+17

產(chǎn)點的軌跡方程為:（スー3）2+（ツー4）2=ス+17,

與正方形四條邊有6個交點,則半徑6萬G（4,5）

可得ル€（—1,8）

【練習8」】如圖,在同一平面內(nèi),點P位于兩平行直線いム外部,且P到いム距離分別為

1、3,點M、N分別在い/2上，I兩+而1=8,則麗??麗的最大值為（）

A.15B.12

C.10D.9

【答案】A

【練習8.21在△ABC中,0、E分別是A3、AC的中點,M是直線￡>E上的動點.若△

A8C的面積為!,則MB-MC+BC的最小值為.

【答案】V3

9、等和線

引理:已知不共線的向量A民AC,對于任意向量A。,必存在ー組ス、），使得AO=xAB+yAC,

x+y=l。則8、C、ハ三點共線.

等和線:看到AM=xAB+yAC,可考慮兩邊同時除以x+y得:

----AM=——AB+^—AC,令んV=AM,則有⑷V=，一AB+亠ーAC此

x+yx+yx+yx+y----------------x+yx+y

時有B、C、N三點共線.

【例題9.1］給定兩個長度為1的平面向量力和仍,它們的夾角為90。.如圖所示,點C在

以。為圓心的圓弧A3上運動.^Ot=xO^+yO^,其中x、yeR,則x+y的最大值是

【答案】V2

【解析】由OC=xQ4+yQ3,得:

蘇+丄麗,

OD=----OC,所以。、C、ク三點共線,

%+y

.?.。。=—^。4+一ユ。8,所以A、B、ハ三點共線,

x+yy

.?.x+y=^S,易知|。。|=1,\OD\E—,1,----------

\OD\\_2J/

,x+y寸,利,當C點在弧AB中點時取得最大值V2.

【例題9.2】如圖,在扇形。A3中,乙4。8=60",網(wǎng)=1,C為弧48上的一個動點.若

OC=xOA+yOB,則x+4y的取值范圍是,

【答案】［1,4］

A

【提示】取九=;而,\-OC=xdA+yOB,

!---x---*V---*

—0C=—Q4+—06,

x+4yx+4yx+4y

丄を、」-蘇+上丄を‘

x+4yx+4yx+4y4

------1—?

令0M=-----0C,所以。、M、。三點共線,

x+4y

又???QM=」ー。4+上ー0E,所以A、M、E三點共線,

x+4yx+4y

.?.x+4y=丄2且,因為|OC|=1,由圖易知|0M|e-,1,

\0M\14」

/.x+4ye[1,4].

【練習9.1】已知P是A4BC內(nèi)任一點,且滿足而=x通+yた,八yeR,則シ+2x的取值范

圍是.

【答案】（0,2）

【練習9.2】已知AA3C中,AB=12,AC^IO,。在邊AC的中垂線上（不在直線A3、AC上）,

且滿足AO=xAB+yAC,6x+10y=5,則3C=.

【答案】2庖

強化練習

1、如圖,已知半圓。的直徑AB=4,△OAC是等邊三角形,若點P是邊AC（包含端點A、C）

上的動點,點。在弧8c上,且滿足。。丄。P,則0戶?み。的最小值為.

【答案】2

【解析】因為的=（而ーを）,

所以〇尸.BQ=OP（OQ_麗）=0尸.0@_冰08=_麗?麗,

而。3=ー。4,所以。PBQ=-0P08=0P0A

而萬.礪=|而，礪卜osNR9A表示。戶在。ス上的投影,即點P在點。時,投影最小.

2、在邊長為1的正六邊形/WCDE尸中,記以A為起點,其余頂點為終點的向量分別為I，I

ス,て,ス,若ス與行的夾角記為ル,其中i,ノセ{1,2,3,4,5},且一/,則iZl.cosq的最大

值為

【答案】け

【解析】ル=祈,NC4￡>=ZE4T>=30。,

則|q.|.cos年的最大值是ト3卜cos/CAD=2xj_=6

3、已知平面向量。、6滿足條件:ab=Q,|a|=coscr,|Z?|=sin?,ae（0,三）.若向量

c=/la+ルわ（九,/eR）,且（2ん一ピcos2a+（2卩ー1）旦in2a=：,則|c|的最小值

為

【答案】（

【解析】由題知(2ん一I)2cos2a+(2N—I)2sin2a=§

得3?(2えーI)2cos2a+32(2ル一I)?sin2a=1,根據(jù)cosn6+sin?8=1,

1(cos31

え--------+l

cos3=3(22-1)cosa213cosa

整體換元得=><

sin。=3(2ル-1)sina1(sin6

ル二--+----1-------

2(3sina

而ナ=ガ(2

cosa)+〃2(sina)2,帶入化簡得レ「=—+—cos(^-6r)>----=—

1861869

rI

所以1Cし,=§

4、已知向量。=9〇5%5畝￡),み=g〇5/7ぷI1/?),且￡ータ=(,若向量C滿足，ー。ース=1,則冋

的最大值為

【答案】1+G

【解析】設と夕)」+[y-(sina+sin/?)]=I

nバ+ブ+2=(3x-6y)cosa+(V§x+3))sina=，1^ギ+12ザ$皿3+ガ),可得

=ギ+ザ+24，12八12ザ=&+ザ<1+^/3

5、在平面直角坐標系中,已知向量。=(1,2),。是坐標原點,M是曲線國+2田=2上的動點,

則。。例的取值范圍()

A、[-2,2]B、[-V5,Vs]

C、［一込坐］D、］ー述,以

55J［5

【答案】A

【解析】設則。0A1=x+2y,令イ+2y=f,

可看做y=ー丄x+ユ平移過程中,與曲線有交點時,

截距的最值情形,利用線性規(guī)劃解題

6、已知點A0,-2),8(2,0),P為曲線y=卜一士ザ上任意一點,則福.瓶的取值范圍為

()

A、［1,7］B、［-1,7］

C、［1,3+26］D、［-1,3+2冋

【答案】A

【解析】依題意畫圖,為半個橢圓圖像,］+1=l(yN0)如圖

設P(x,y),則ARA8=x+2y+3,數(shù)形結(jié)合,

令z=x+2y+3,

利用根的判別式求出直線與橢圓上半部分

相切時z的值,

即為最大值,解得為7,最小值在點。處取得為1,

所以范圍是R,7],答案選A

7、已知平面向量レが、2滿足問=1,ルト，=2,且れ=0,則當0“く1時,

|a-AS-(l-2)c|的取值范圍是.

【答案】[72-1,3]

【解析】。月=反。ぐ=デ,同=1,表示以原點為圓心,1為半徑的圓記其終點為A,

ス仮+(1—/1)ご表示〇わ,則ロー花一(1一2)c|=|a-("+(l-2)c)|=|m|其最小值

d-r=丘ー1,Aカ的最大值為3

8、已知圓M:ゼ+(y-1—=1,圓N:ゼ+(y+1)2=1.直線ム、ム分別過圓心M、N,且/[與

圓M相交于A,3兩點,/2與圓N相交于C,。兩點,點P是橢圓J+J=l上任意一點,則

94

PAPB+PCPD的最小值為.

【答案】8

2

【解析】設尸(乂力み，ス=命-1,則麗?麗+前?麗

=PM+PN-2=2(X2+/)G[4.9]

9、設點P在以A為圓心,半徑為1的圓弧BC上運動(包含8、C兩個端點)，4BAC=ダ,

AP=xAB+yAC,x+y+孫的取值范圍為

【答案】［1,3］

【解析】以A為原點,AB為x正半軸建立平面直角坐標系,，厶豆=(1,0),

AC=(一;,^■),設尸(cos。,sin6),0e[0,笄],AP=xAB+yAC=(九ー丄y,*y),

..x——y=cos0,——y=sin”,B|Jy=-----sm”,x=cos，H------smJ,

2233

[r1I01

x+y+^y=cos。+石sin6H——-sin20——cos26+—=2sin(6+—)+—sin(2。-—)+-

3336363

,/y=sin(6+馬和ル=sin(26ー馬均在［0，］上單調(diào)遞增,在に,包］上單調(diào)遞減,

66333

且X=ミ為兩個三角函數(shù)的對稱軸,8=0或-^時,(x+y+孫)min=1，タニエ時,

(x+y+xy)max=3,エス+シ+町的取值范圍為［1,3］.

u=sin(6■1--)

10、過點P(L-2)作圓C:(x-ヨ機)2+けー機+1)2=1(機eR)的切線,切點分別為A、B,則

23

PA?P8的最小值為_____________________

【答案】2血ー3

【解析】設/ACP=e,6e(0,—)，ZACB^IO,CP=------

2cos。

:.PAPB=(PC+CA)(PC+CB)

^PC1+PC-CB+CA-PC+CACB

―\--1-l+cos26=—V-+2COS2^-3>2V2-3,

cos"0cos"0

當溫日等時等號成立.

11、已知。為△ABC的外心,NA3C=《,Bd=ABA+/.tBC,則ス+〃的最大值為

【答案】-

3

【解析】如圖所示,作8D丄AC,OFA.BD,OE±AC,

Bd^ABA+jjBC^BdBb^ABABb+^BCBD,

???曲?同=由+頻量+"好幫，

設外接圓半徑為1,則8。4ヨ,0E=—,即ス+,4一.

223

12、在ム鉆。中,已知麗=2方,尸為線段A。上的一點,且滿足CP=〃zC4+—C3,若AABC

9

的面積為G，ZACB=y,則|函的最小值為

【答案】ク

3

【解析】CP=mCA+-CB=tnCA-v-CD,由共線定理,

93

根=1,由S4ABe=あ可得CA-CB=4,/.CA-CB=2,

CP=(-C4+ーCB)2=(-C4)2+4cB)2+—C4CB>2(-G4)(-CB)+—=—,

39392739279

：.\CP\>-,

3

13、正方形ABC。的邊長為2,對角線AC6O相交于點。,動點P滿足|而卜日,若

AP—mAB4-nAD,其中相,/?wR,則-----的最大值是

2ル+2

【答案】1

【解析】以點A為原點,A民Aの所在直線分別為屬y軸,建立直角坐標系。則

3(2,0),0(0,2),0(1,1)。因為|而卜當,則的軌跡方程為(スー1)2+(ザー1)2=丄

（J7萬ヽ

設Pl+^-cos6>,l+^-sin^,6￠[0,2萬]根據(jù)AP=，〃AB+〃ん。得

ノ

后

0,V2.722m+\2+VC°S^

2m=14cos42〃=1+—sin0,貝リ-----二塔-----

222〃+2へ6.ハ

3+——sin。

2

n3rd----fsin6=2d----cos6=>——，sin6----cos0=2-31

2222

,へ、12-3^17

sin（。+シ）=2—3/=>;レ<1=>—<t<\

V2f+2

2加+1

"即

2nd-2max

14、已知正三角形ん3C的邊長為け,點"是AABC所在平面內(nèi)的任一動點,若|応|=1,則

|応+初方+敬|的取值范圍為

【答案】[0,6]

【解析】根據(jù)題意,作出示意圖

\MA+MB+MC\=\MA+MA+AB+MA+AC\

-\3MA+AB+AC\^\3MA+AD\,|Mス|=1,\AD\^3

當訴與而反向時,有最小值〇,當加與而同向時,

有最大值6,所以|赤+痂+初で|的取值范圍為[0,6].

15、向量i、j是平面直角坐標系イ軸、y軸的基本單位向量,K|?-/|+|?-2y：|=V5,則

|￡+2:|的取值范圍為

【答案】[?,3]

【解析】根據(jù)題意,；=(1,0),ノ.=(0,1),設￡=(x,y),

根據(jù)I4-i|+|a-2ノ|=お的幾何意義,(x,y)軌

跡是一條線段(圖中AB),|￡+2；|的幾何意義為(x,y)到點(-2,0)的距離,由圖可知,距

離最短為。ハ=鋁,最長為4)=3,范圍為[9￡,3]

16、已知S,為數(shù)列｛q｝的前"項和,4=%=1,平面內(nèi)三個不共線的向量麗、麗、反滿

足反=(4i+?川)礪+(1-%)を,n>2,れeN*，若A、B、C在同一直線上,則

$2018=--------------

【答案】2

【解析】由題意,A、B、C在同一直線上,?'ルI+%+|+1-4=1,即ク〃t+%+i=,

4=W=1，<23=0,〃4=%=-1,tz6=0,%=%=1,％=0，.......,可知周期為6,

且每6項之ホロ為〇,72018=6x336+2,.ゝS刈g=ム+g+336x0=2.

17、在AABC中,ク是BC的中點,點列B（〃eN*）在直線AC上,且滿足

^A=an+lP^B+ai,^D,若q=l,則數(shù)列｛%｝的通項公式％=

【答案】

【解析】P"B；P“C=恥,9=ム+「”2c