高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)-橢圓

第9章解析幾何

9.2橢圓

命題探究

從近三年高考情況來看，橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，直是高考命題的熱點(diǎn)，尤其是離心率問

題是高考考查的重點(diǎn)，多在選擇題、填空題中出現(xiàn)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，常與向量、圓等知識(shí)相

結(jié)合，多以解答題的形式出現(xiàn)，解題時(shí)，以直線與橢圓的位置關(guān)系為主，充分利用數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與

化歸思想.同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)思想在解題中的指導(dǎo)作用，以及注重對(duì)運(yùn)算能力的培養(yǎng).

涓

?不新題速遞

1.(2022?新高考2)己知直線/與橢圓X:"+—V=1在第一象限交于4,8兩點(diǎn)，/與x軸、y軸分別相交于

63

M,N兩點(diǎn)，且|MA|=|NB|,|M*=2g,則1的方程為x+/丫-2/=0.

【解答】解：設(shè)A(xi,yi),B(%2,*),線段AB的中點(diǎn)為E,

22

相減可得：箋與1

x22

y+y_y2-yi=講式_i

kOE*kAB=12=

%1+%22

設(shè)直線/的方程為：y=kx+m,AVO,"2>0,M(―￡，0)，N(0,/%),

E(—koE=-k,

-k9k=—解得k=—苧，

2

J^4-m2=2V3,化為：—W=12.

.\3m2=12,zn>0,解得相=2.

的方程為y=一芋工+2,即x+V2y-272=0,

故答案為：x-^y/2y-2V2=0.

xy

2.（2022?甲卷）橢圓C—+^7=1（?>/?>0）的左頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸，。均在C上，且關(guān)于），軸對(duì)稱.若

1

直線AP,AQ的斜率之積為二，則C的離心率為（）

4

V3V211

A.—B.—C.-D.一

2223

【解答】解：已知A（-。，0）,設(shè)P（xo,yo）,則Q（-xo,州），

_2Q_

kAP=與+屋

kAQ=

2

_2o縝=羽

故kAP9kAQ=

2

%o+aa-x0Q-XQ

..^o,yo即羽二嗎凄2②,

+京T1

b21

②代入①整理得：莪=?

故選：A.

x2y2、]

3.（2022?甲卷）已知橢圓C：—+77=1（a>/?>0）的離心率為一，Ai,42分別為C的左、右頂點(diǎn)，B

a2b23

為。的上頂點(diǎn).若B二1?872=—1，則C的方程為（）

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

181698

x2y2%2

C.一十一D.—+y2=l

32

【解答】解.：由橢圓的離心率可設(shè)橢圓方程為而一6=

則&(一3m,0),4(3m,0),B(0,2V2m),

由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則可得:

222

BA±-BA2=(-3m/-2y/2m)?(3m,-2y/2m)=-9m+8m=-1,/.w=l,

_x2y2

則橢圓方程為U+—=1.

98

故選：B.

真題歸納

題型一?橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)

X2V2

1.（2018?新課標(biāo)I）已知橢圓C：良+亍=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,則。的離心率為（）

11V22V2

A.-B.-C.—

322

x2y2

【解答】解：橢圓C：—+V=1的一個(gè)焦點(diǎn)為（2,0）,

a24

可得〃2一4=4,解得〃=2位,

Vc=2,

.c2x[2

故選：c.

x2y2

2.（2015?新課標(biāo)I）一個(gè)圓經(jīng)過橢圓7+-=1的三個(gè)頂點(diǎn).且圓心在x軸的正半軸上.則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程

164

、/,/3、2225

為（.一々）"+y=4.

2V2

【解答】解：一個(gè)圓經(jīng)過橢圓一X+二=1的三個(gè)頂點(diǎn).且圓心在X軸的正半軸上.

164

可知橢圓的右頂點(diǎn)坐標(biāo)（4,0）,上下頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,±2）,

設(shè)圓的圓心（a,0）,則J（a―0）2+（0—2尸=4—a,解得。=9，

圓的半徑為：|,

所求圓的方程為：（x-|）2+/=

故答案為：（x—,），y2=竽.

3.（2016?新課標(biāo)I）直線/經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)，若橢圓中心到/的距離為其短軸長的士則該

4

橢圓的離心率為（)

112

---3-

A.3B.23D.4

22

【解答】解：設(shè)橢圓的方程為：『X標(biāo)V=1,直線/經(jīng)過橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn),

1

則直線方程為二+江L橢圓中心到/的距離為其短軸長的7

11

（葭+京），

故選：B.

%2y2-y3

4.（2014?大綱版）已知橢圓C：—4--=1（tz>/?>0）的左、右焦點(diǎn)為Fi、Fi,離心率為二-，過尸2的

a23

直線/交。于A、B兩點(diǎn),若△AF18的周長為4次，則C的方程為（）

x2y2X2

A.—+—=1B9

32-”三

x2y2X2y2

C.—+—=1D.—+—=1

128124

【解答】解：?「△ABB的周長為48,

△AF18的周長=|AFi|+|4乃|+|8乃|+|8七|=2a+2a=4af

4tz=45/3,

V3,

_V3

1?離心率為三，

.ck

??一=—,c=l?

a3

b=\/a2—c2=V2

22

?.?橢圓c的方程為不x+三y4

故選：A.

5.（2019?新課標(biāo)I）已知橢圓。的焦點(diǎn)為乃（-1,0）,Fl（1,0）,過點(diǎn)正2的直線與橢圓C交于A,B

兩點(diǎn).若|A/切=2尸2用，|A8|=|8Fi|,則C的方程為（）

A.9+Jx2y2

B.—+—=1

32

x2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

4354

【解答】解：?；HF2|=2|BF2|,；.|4劇=3山&],

又|AB|=|8Fi|,...|BFI|=3|BF2|,

又由Fi|+|BF2|=2a,.*.|BF2|=,

：.\AF2\=af|M|=務(wù)，

V|AFi|+|AF2|=2a,：.\AF\\=a,

.,.|AFI|=|AF2|,??洛在y軸上.

在RtAAF20中，COSZAF2O=

l

在△BF1F2中，由余弦定理可得COSZBFFI=，

2"22y

14-2Q2

根據(jù)COSZAF2(9+COSZBF2FI=0,可得一+------=0,解得J=3,/.a=V3.

a2a

b2=a2-C2=3-1=2.

x2y2

所以橢圓。的方程為：y+y=1.

故選：B.

%2y2

6.（2019?新課標(biāo)HI）設(shè)為，尸2為橢圓C：—+—=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)且在第一象限.若△MF1出

3620

為等腰三角形，則M的坐標(biāo)為（3,小）.

%2y2

【解答】解：設(shè)n）,m,n>0,橢圓C：—+—=1的。=6,b=2岳,c=4,

3620

c2

e=一=3，

a3

由于M為C上一點(diǎn)且在第一象限，可得|MFI|>|MF2|,

△MF1F2為等腰三角形，可能|MA|=2c或|MF2|=2C,

O__

即有6+可團(tuán)=8,即m=3,〃=VI百；

6-耳機(jī)=8,即加=-3V0,舍去.

可得M(3,V15).

故答案為：（3,V15）.

x2y2

7.（2021?甲卷）己知FI,放為橢圓C：—+—=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P,Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，

164

且IPQITF1F2I，則四邊形尸為。尸2的面積為8.

【解答】解：因?yàn)槭?，。為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且|尸。|=尸1尸2|,

所以四邊形PQQF2為矩形，

設(shè)|PFi|=加，\PF2\=n,

由橢圓的定義可得|PQ|+|PF2|=〃I+“=24=8,

所以w2+2wn+n2=64,

因?yàn)閨PFIF+|PF2|2=|FIF2|2=4C2=4（次-序）=48,

即〃P+"2=48,

所以如7=8,

所以四邊形PF\QF2的面積為|PFI||PF2|=，"”=8.

故答案為：8.

%2y2

8.（2013?新課標(biāo)I）已知橢圓E：—+—=l（a>b>0）的右焦點(diǎn)為F（3,0）,過點(diǎn)F的直線交橢圓E

于A、8兩點(diǎn).若A8的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-1）,則E的方程為（）

%2y2%2y2

A.—+—=1B.—4--=1

45363627

x2y2x2y2

C?一+—=1D.—+—=1

2718189

【解答】解：設(shè)A（xi,y\）,B（x2,y2）,

但+城=1

代入橢圓方程得422,

4+4=1

ab2

知）用徂/一送.yl-yl

相減得——十--T—=n0,

a2bz

.小+%2丫1一及y-_

22

,,ax1-x2b

'：X]+X2=2,y]+y2=-2,kAB==J.

化為。2=2廿，又c=3=VQ2一匕2,解得次=]8,序=9.

x2y2

橢圓E的方程為工;+—=1.

189

故選：D.

題型二?橢圓的離心率

1.（2018?新課標(biāo)II）已知尸1,尸2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF\±PF2,且/尸尸2乃=60°,

則C的離心率為()

A.I-尊B(yǎng).2-V3C.D.V3-1

22

【解答】解：F\,F2是橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上的一點(diǎn)，若PF1LPF2,且NPF2F1=6O°,可得橢

圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)F2(c,0),

1V33c213

所以P(-c,—c).可得：—7+~7=1，可得一/+—----=1,可得J-8/+4=0,eE(0,1),

224a24b24

解得e=V3-1.

故選：D.

XV

2.（2013?四川）從橢圓-7++=l（a〉b〉0）上一點(diǎn)尸向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)尸1,A是橢圓與x

軸正半軸的交點(diǎn),B是橢圓與），軸正半軸的交點(diǎn)，且A8〃OP（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則該橢圓的離心率是（）

V21A/2V3

A.—B.-C.—D.—

4222

【解答】解：依題意，設(shè)p（-c,和）（和＞0）,

,b2

??”=￡，

b2

P(-C,一

a

又A(m0),B(0,b),AB//OP,

b比b2

:?kAB=k()P,即--==----,

-a-c-ac

??b—c.

設(shè)該橢圓的離心率為e,則62=烏=-2邑=4烏，

展bz+c22c2

.,?橢圓的離心率e=￥.

故選：c.

3.(2012?新課標(biāo))設(shè)尸|、放是橢圓E：三+各=1(〃>心0)的左、右焦點(diǎn)，P為直線后當(dāng)上一點(diǎn),

a2bzn

△同PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為()

1234

A.-B?一C.-D."

2345

【解答】解：?.?△尸2PF1是底角為30°的等腰三角形，

.?.|PF2|=|F2FI|

???尸為直線x=竽上一點(diǎn)

3

.e.2(^a-c)=2c

.c3

..e=-=-r

a4

故選：C.

xy

4.(2018?新課標(biāo)II)已知Fi,放是橢圓C—+77=1(a>h>0)的左、右焦點(diǎn)，A是C的左頂點(diǎn)，點(diǎn)

M匕2

V3

P在過A且斜率為一的直線上，△尸尸|尸2為等腰三角形，/FiF2P=120°,則C的離心率為()

6

2111

A.一B?一C.一D.-

3234

【解答】解：由題意可知：A(-a,0),Fi(-c,0),Fi(c,0),

直線”的方程為：尸噂(x+a),

由NF1f2P=120°,|PF2|=|F1產(chǎn)2|=2C,則P(2C,V3C),

代入直線AP：V3c=(2c+a),整理得：a=4c,

題意的離心率e=g=

故選：D.

Xv

5.(2017?新課標(biāo)HI)已知橢圓C：—+TT=1(a>b>0)的左、右頂點(diǎn)分別為Ai,A2,且以線段A1A2

a2b2

為直徑的圓與直線。x-ay+2而=0相切，則C的離心率為()

V6V3V21

A.—B.—C.—D.一

3333

【解答】解：以線段A142為直徑的圓與直線法-ay+2H=0相切，

，原點(diǎn)到直線的距離7等虧=4,化為：“2=3序.

y/a2+b2

橢圓C的離心率e=：=廬_而

滔=聲

故選：A.

x2y2

6.(2016?新課標(biāo)IH)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓C—+—=1(a>h>0)的左焦點(diǎn)，A,3分別為C

的左，右頂點(diǎn).P為C上一點(diǎn),且PFLx軸，過點(diǎn)A的直線/與線段PF交于點(diǎn)M,與y軸交于點(diǎn)￡若

直線8M經(jīng)過。石的中點(diǎn)，則C的離心率為()

1123

A.-B?一C.一D.-

3234

【解答】解：由題意可設(shè)F(-C,0),A(-a,0),BCa,0),

設(shè)直線AE的方程為y=A(x+a),

令x=-c,可得M(-c,k(a-c)),令x=0,可得E(0,ka),

ka

設(shè)OF的中點(diǎn)為“，可得"(0,—),

2

由5,H,M三點(diǎn)共線，可得kBH=kBM,

ka

即為工=g

-a-c-a

化簡(jiǎn)可得上=±即為”=3c,

a+c2

可得e=^=l，

另解：由△AMFS^AEO,

a-cMF

可得丁=方'

由△BOHSABFM,

daOHOE

可得---=----=-----，

a+cFM2FM

rrJ(Q-C)a+jh

即有------=----即a—3c

aaf

可得

故選:A.

x2y2

7.（2013?遼寧）已知橢圓C：/+/■=l（a>b>0）的左焦點(diǎn)凡C與過原點(diǎn)的直線相交于A,8兩點(diǎn),

連結(jié)AF,BF,若|A8|=10,|AF|=6,cosZABF=1則C的離心率為()

3546

--u--

A.5B.75D.7

【解答】解：如圖所示，在中，由余弦定理可得忸彳;忸呼+世呼-2|AB||BF|COS/A8凡

.?.62=102+田產(chǎn)產(chǎn)-20|BF|xg,化為（|BF|-8）2=0,解得|Bfl=8.

設(shè)尸為橢圓的右焦點(diǎn)，連接B尸，AF'.根據(jù)對(duì)稱性可得四邊形尸是矩形.

：.\BF'|=6,\FF'|=10.

，2a=8+6,2c=10,解得a=7,c=5.

故選：B.

XvXv

8.(2018?北京)已知橢圓M：—+=1(a>b>0),雙曲線N：若雙曲線N的兩條漸近

a2-t>zmznz

線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，則橢圓M的離心率為_b-

1_;雙曲線N的離心率為2.

x2y2x2y2

【解答】解：橢圓M：—+77=1(?>/;>0),雙曲線M--^=1.若雙曲線N的兩條漸近線與

橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的頂點(diǎn)，

r-\T^r3c213

可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)(，,。)，正六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)(5T),可得:/+方=1,可得/

4弓-1)

1,可得e4-8e2+4=0,e&(0,1),

解得e=遍一1.

同時(shí)，雙曲線的漸近線的斜率為技即卜6

一,口Mm2+n2

可得：--=3,u即------=4,

可得雙曲線的離心率為e=卓亨=2.

故答案為：V3—1；2.

題型三.取值范圍問題

x2y2

1.(2017?新課標(biāo)I)設(shè)A,8是橢圓C：=+￡-=l長軸的兩個(gè)端點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)M滿足/AMB=120°,

3m

則機(jī)的取值范圍是()

A.(0,1]U[9,+8)B.(0,V3]U[9,+°°)C.(0,1]U[4,+°°)D.(0,V3]U[4,+°°)

【解答】解：假設(shè)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，則0V〃?<3時(shí)，

久2y2

設(shè)橢圓的方程為：—+—=1(a>b>0),設(shè)A-a,0),B(a,0),M(x,y),y>0,

a2b2

i22Q2y2

則miCT-f

AMAB=CL,NAMB=Y，tana=-v—,tanp=-

XICLX

tcma+tcm/?2ay2ay2ab2

貝I」tany=tan[Ti-(a+p)]=-tan(a+0)22222

1—tanatanpa—%—yaV_y2y(a—b)

b2y

,2

2nab

c2y'

tanY=-^^~,當(dāng)y最大時(shí)，即y=6時(shí)，NAA/3取最大值,

位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，NAM8取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足/AMB=120°,

和n60。

/AMB2120°,NAMO,60°,tan/AMO==y/3,

解得：0<mWl；

當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，，">3,

當(dāng)M位于短軸的端點(diǎn)時(shí)，取最大值，要使橢圓C上存在點(diǎn)M滿足/AM8=120°,

NAMB2120°,NAM。＞60°,tanZAMO=詈Ntan60?！猇3?解得：機(jī)29,

..."的取值范圍是（0,1]U[9,+8）

故選A.

x2

2.（2021?乙卷）設(shè)B是橢圓C：g+丁=1的上頂點(diǎn)，點(diǎn)p在C上，則『用的最大值為（)

【解答】解：8是橢圓Cg+f=l的上頂點(diǎn)，所以5(0,1),

點(diǎn)尸在C上，設(shè)尸(*cos。，sinO),0G[0,2n),

所以|PB|=J(V5cos0—0)24-(sin0—l)2=V4cos20—2sin04-2

=y/—4sin26—2sin94-6=J—4(sin0+#+竽，

i5

當(dāng)而。=一今時(shí)，仍引取得最大值，最大值為

故選：A.

%2y2

3.(2021?乙卷)設(shè)8是橢圓C：—+T7=1(a>b>0)的上頂點(diǎn)，若C上的任意一點(diǎn)P都滿足|P3|W2九

z

ab乙

則C的離心率的取值范圍是()

y/21V21

A.[y,1)B.[-,1)C.(0,—]D.(0,-]

【解答】解：點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,b),設(shè)尸(xo,yo),

22222

故|P8F=X()2+(,，O_b)=a(1-消)+(yo-b)=--2/?yo+a+/?,yo6[-b,b]t

,3

又對(duì)稱軸yo=—~^2V。，

.3

當(dāng)—西式—b時(shí),即b^c時(shí),

則當(dāng)時(shí)，|P5|2最大,此時(shí)|尸陰=24

故只需要滿足一多三一江即序2c2,則〃2—2丸2,

CL

所以e=5〈孝，

a2

又OVeVl,

-eV2

故e的范圍為(0,

,3

當(dāng)一葭〉一Z?時(shí)，即bVc時(shí)，

則當(dāng)和=-《時(shí)，|PB|2最大，此時(shí)閥|2=+/+序.4戶，

貝ija4-4a2c2+4c4^0,解得a—V2c,

所以b=c,

又b<c,

故不滿足題意，

綜上所述的e的范圍為（0,y|,

方法二：根據(jù)題意，有8（0,b）,設(shè)尸（xo,yo）,貝I」|P8|W26=X（）2+（為-匕）2.4廿，

也即J（1-4）+（），（）-8）2^4層，

不妨設(shè)b=L則VjoW[-1,1],（a2-1）yo2+2jo-a2+3>0,

也即Vyo曰-1,1],（州+1）[1）州-。2+3]20,

也即Vy（）€[-1,1],（a2-1）w-/+320,

從而可得（a?-]）（-1）-。2+320=。€（1,V2],

V2

從而離心率的取值范圍為（0,y],

故選：C.

%2y2

4.（2021?新高考I）已知Fi,正2是橢圓C一+二=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)”在C上，則|MFI|?|M「2|的最大

94

值為（）

A.13B.12C.9D.6

x2y2

【解答】解：Fi,尸2是橢圓C：+=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，|MF1|+|MF2|=6,

94

所以|MFI|?|MF2|W（四書四幺產(chǎn)=9,當(dāng)且僅當(dāng)|MFI|=|MF2|=3時(shí)，取等號(hào)，

所以|MFI|?|MF2|的最大值為9.

故選：C.

模擬預(yù)測(cè)

%2y23

1.已知橢圓我+77=l（a>b>0）的離心率為n直線2x+y+10=0過橢圓的左頂點(diǎn)，則橢圓方程為（）

Dz5

x2y2x2y2

A.—+—=1B.—+—=1

54259

%2y2x2y2

C.—+—=1D.—+—=1

1692516

%2y23

【解答】解：橢圓,+,=1（心心。）的離心率為g,直線2x+y+10=。過橢圓的左頂點(diǎn),

c3-

可得一=一，a=5,所以。=3,則b=4,

a5

x2y2

所以橢圓的方程為：-+

2516

故選：D.

2.設(shè)橢圓C：4+4=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為尸2,點(diǎn)E(0,f)(0<fV6).已知?jiǎng)狱c(diǎn)P

ab

在橢圓上，且點(diǎn)P,E,尸2不共線，若△PEF2的周長的最小值為4b,則橢圓C的離心率為()

V3V21<3

A.—B.—C.-D.—

2223

【解答】解：△PEF2的周長為|「￡]+『尸2|+|￡尸2|=|。用+尸產(chǎn)2|+出尸1|,

當(dāng)P,E,F1共線時(shí)，此時(shí)周長最小,

A|PE|4-|PF2|+|EFI|=\PF2\+\PF\\=2a=4b,

y242

3.設(shè)橢圓—+77=1(〃>匕>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為四(0,1),M(3,3)在橢圓外，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn),

a2b2

若|P例I-|PQ|的最小值為2,則橢圓的離心率為()

【解答】解:由通用的定義可得|PFi|=2a-|PL|,

所以|PMTPFII=|PM+|PF2|-2a,當(dāng)且僅當(dāng)尸，M