高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：第1部分研習(xí)三角恒等變換與解三角形

三角恒等變換與解三角形

考點(diǎn)1三角恒等變換

◎高考串講?找規(guī)律

1.（2021?新高考I卷）若tan。=—2,則吧需任爭(zhēng)=（）'也多解

sin。十cos0

6226

A.—5B.-5C.虧D.5

C[法一：（求值代入法）因?yàn)閠an-2,所以角0的終邊在第二、四象限,

.有2

sin0=—r=

b.Xisin0(1+sin20

所以j小或I,所以-------------

*=4sin0+cos3

sin8(sin0+cos郎.八.八八.422

-----------------=sine(sine+cos0)=sin20+sin8cos0=-^--==^.故選C.

sin0+cos0JJJ

sin9(1+sin29)_sin9(sin0+cos9)2

法二：（弦化切法）因?yàn)閠an”-2,所以

sin0+cos0sinf)+cos0

八sin2。+sinGeos0tan2。+tan04-2?

=sin9(sin0+cos0)=-------------=----------=----=故選C.

sin2。+cos2。1+tan201+4)

法三：(正弦化余弦法)因?yàn)閠an。二-2,

所以sin6=-2cos0.

,sin<9(1+sin20sin0(sin9+cos8)2.

貝(J--------------=-----------------=sin，(sin0+cosff)-

sin0+cos0sin9+cos0

sin2。+sin9cos0_4cos2。-2cos2。_4-2_2

------------------------------------_故選C.]

sin2。+cos2。4cos2。+cos2。1+45

一（兀、cosa

2.（2021?全國(guó)甲卷）若。2j,tan2。=2_§山，則tana=（）

A?噌B.當(dāng)C.卓D.華

1/15

_M（琦r-r-ixic_2sinacosa_cosa、2sina_

A[因?yàn)閍S0,亍，所以tan2a=--------------=-----------a-------------=

l乙）2cos2a-12-sina2cos2a-1

---------02cos2a-1=4sina-2sin2a=2sin2a+2cos2a-1=4sin。=sina=:=tan

2-sina4

a~15~-*1

3.（2020.全國(guó)HI卷）已知sin9+sin（e+g）=1,則sin（0+看）=（）

這

1亞2

-c-D

2332

Bn.

4卦3

61兀

娟

-s=s夕+-

26

近

兀

故選B

6-3

4.（2018?全國(guó)II卷）已知sina+cos4=1,cosa+sin5=0,則sin（a+Q）=

1

-

2[sina+cos4=1,cosa+sin4=0,

:.sin2a+cos2s+2sinacos，=1①,cos2a+sin2s+2cosasin/3=0②,①②兩

式相加可得sin2a+cos2a+sin2s+cos2尸+2(sinacos§+cosasin￡)=1,

.??sin(a+4)二一g.]

IS號(hào)解讀?

命題規(guī)律：高考常以選擇題、填空題的形式考查，分值5分，難度中等.命

題突出一個(gè)“變”字，即“變角、變名、變形”.從“角”入手，活用三角恒等

變換公式是破解此類問題的關(guān)鍵.

通性通法：三角恒等變換的技巧

(1)“化異為同”：即“化異名為同名”“化異次為同次”“化異角為同

角”，其中涉及S嗚，COS2◎寸，常逆用二倍角的余弦公式降幕.

2/15

（2）常見的“變角”技巧：a=（a+￡）-￡=4-0-a）,a=+0+（a-夕）］,

大號(hào)-g-a）,a7-仔-a）等，使用“變角”技巧時(shí)，應(yīng)根據(jù)已知條件中

的角，選擇恰當(dāng)變角技巧.

e考題變遷?提素養(yǎng)

1.［與三角函數(shù)的定義交匯1（2021.肇慶二模）已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0

重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊與以。為圓心的單位圓相交于A

點(diǎn).若A的橫坐標(biāo)為平，則（）

2

sina邛-

A.B.cos2a=3

C.sin2a=一半D.tan2a=一坐

B[由三角函數(shù)的定義，可知cosa=個(gè)，sina=±^L-,貝[|cos2a=2cos2a

-1=-|,sin2a,tan2a均有兩解，故選B.]

［給值求值］已知

2.sinfa—=—3cos^?-g則sin2a的值是（）

A.B.7

C.D.7

[Vsinfa-3cos|

Da~W1

a=?4ina

整理得2sina--J3cosa,

.?而a=-#.

3/15

2sinacosa

因止匕,sin2a=2sinacosa=-----------------

sin2a+cos2a

=-羋古嬤D.]

3.[給值求角]已知aG(0,舒,蚱(0,9,tana=ji渭夕則()

?7171

A.a~\~/]=2B.a一夕=[

?八兀?八兀

C.a+夕=4D.。+24=]

cosIB_COS2夕-sin2夕

B[tana=―

1-sin2。cos2s+sin2或-2sinQcos[i

(cos§+sin/?)(cos0-sin￡)

(cosp-sin02

夕+夕

cossin41+tan=tan(5

cos夕-sin尸1-tanyS14

因?yàn)閍《0,野，同o3),

所以a口,

即a-p=*]

4.［給角求值］(tan10°一/)?麗莎=

八lcos100%cos10°

-2[(tan10°-小).高而=領(lǐng)i1n0o°tan60°)-

sin50°

sin10°_sin60°)cos10°_sin(-50°)Cos10°_1

cos10°-cos60°J,sin50°-cos10°cos60°,sin50°--cos60°

考點(diǎn)2利用正、余弦定理解三角形

4/15

。高考串講?找規(guī)律

1.（2019?全國(guó)I卷）ZVIBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin

1人

A—bsmB=4csinC,-貝-

4?c

A.6B.5C.4D.3

A[VasinA-Z?sinB=4csinC,

，由正弦定理得G-岳=4C2,

即a2=4c2+b2.

1I

+C2-。2b2+C2-(4C2+&2)-3c2-n

由余弦定理得cosA=-c-

2bc2bc2bc4

6.故選A.]

2.（2021?全國(guó)甲卷）2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰

最新高程為8848.86（單位：m）,三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如

圖是三角高程測(cè)量法的一個(gè)示意圖，現(xiàn)有A，B,C三點(diǎn)，且A,B,C在同一水

平面上的投影4,B',C滿足N4C⑶=45。，ZA'B'C'=（^°.由C點(diǎn)測(cè)得8點(diǎn)的

仰角為15。，89與CC的差為100；由8點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，則A,C兩

點(diǎn)到水平面的高度差A(yù)4—CC約為（十七1.732）（）

B［如圖所示，根據(jù)題意過。作CE〃CB',交BB'于E,過B作BD//A'B',

交A4于。，則BE=100,C'B'=CE=.100.

tan15

5/15

在△A'C?中，ZC'A'B'=75°,則8r>=A'8'=C'B'Xsin45°

sin75

又在B點(diǎn)處測(cè)得A點(diǎn)的仰角為45。，所以AD=BD=。-><企45。,所以高

sin75

-^-Xsin45。

度差ZCC'=AD+BE=

A4-45：+1Q()=tan15。：--+wo=

sin75°sin75°

inn?4V。100X半

"in40+=------_勺_+io。=ioo(乃i)100^373.］

2100乎性；)W++

271

3.(2021?北京高考)已知在△ABC中，c=2bcosB,C=".

(1)求8的大小；

(2)在下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△ABC存在且唯一確定，并求

出8C邊上的中線的長(zhǎng)度.

①②周長(zhǎng)為4+2/；③面積為，

［解］(l)Vc=2&cosB,則由正弦定理可得sinC=2sinBcosB,

2兀_

sin25=sin-y一方-,

???C彎,???呵0局,2呵0,勤

.*.25=5，解得8=].

3o

^

v

-

2

⑵若選擇①：由正弦定理結(jié)合⑴可得￡=需=1

2-

與c=ypb矛盾，故這樣的△ABC不存在.

6/15

若選擇②：由(1)可得A=2,

o

設(shè)△ABC的外接圓半徑為R,

則由正弦定理可得a=b=2/?sin^=R,

6

2兀rr^“

c-2Hsin3=/R，

貝峭長(zhǎng)a+b+c=2R+爐區(qū)=4+2yp,

解得R=2,貝！Ja=2,c=H,

由余弦定理可得BC邊上的中線的長(zhǎng)度為:

?。┝x義

q（22+12-22ypx1S=S

若選擇③：由(1)可得A=1,即4=匕，

O

11近

貝HS

J=-a力??-=

6C2S1In22

解得ci=,

則由余弦定理可得8c邊上的中線的長(zhǎng)度為：

［拉+圖12Xfxc°s等=13+1+戶乎=號(hào).

4.(2021?新高考II卷)在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求△ABC的面積；

(2)是否存在正整數(shù)a,使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出。的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由.

［解］(1)V2sinC=3sinA=>2c=3a,

a=4

又?「c=a+2,J<=5,

c=6

7/15

16+25-36

AcosC=2X4X5

=jX4X5X

⑵顯然c>b>a,要使AABC為鈍角三角形，則只需C為鈍角，

G+(。+1)2-(a+2)2

cosC=-------------------<0=42-2a-3<0,

2a(a+1)

0<a<3且a+ci+1>a+>1,

1<a<3,aGZ,a=2,存在正整數(shù)a=2滿足題意.

腐號(hào)解所

命題規(guī)律：高考常以1個(gè)選擇題和1個(gè)解答題的形式考查，占17分，基礎(chǔ)

題為主；命題重在考查幾何圖形的邊、角、面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是正弦定理、

余弦定理和三角形面積公式的靈活運(yùn)用.

通性通法：等價(jià)轉(zhuǎn)化思想在解三角形中的應(yīng)用

(1)利用正、余弦定理解三角形關(guān)鍵是利用定理進(jìn)行邊角互化.①當(dāng)出現(xiàn)邊

角混合時(shí)，常利用正弦定理：②當(dāng)出現(xiàn)三邊的平方時(shí)，常利用余弦定理.

⑵若想“邊”往“角”化，常利用“a=2RsinA,b=2/?sinB,c=2AsinC”；

若想“角”往“邊”化，常利用sinA=<sinB=—,sinC=—,cosC-

2R2R

a2+歷-ci

等.

2ab

◎考題變遷?提素養(yǎng)

1.［以平面圖形為載體］在平面四邊形A8CO中，ZZ)=90o,ZBAD=\20°,

AD=l,AC=2,AB=3,則BC=()

A.J5B.#C.JlD.2J2

8/15

C［如圖，在△AC。中，N￡>=90。，AO=1,AC=2,所1〃

以NC4。=60°.又NBA。=120°，所以NBAC=/BAD-ACAD「'

=60°.在△ABC中，由余弦定理得BC2=AB.+AC2-乙一一1~0

2ABACcosNBAC=7,所以BC=/.故選C.］

2.［與恒等變換交匯］ZVIBC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若sin

A=坐，a=gc>a,則角C的大小為（）

71712713兀

A.0B.2C.丁D.彳

D［VsinA=^,a=ypb,c>a,

由正弦定理可得sinA=娘sinB,

sinA=￥=迎

可得sinB-

飛—1。

,:c>a>b,

cosA

cosB=yll

cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB

=也?_建皿=一也

5105102'

3兀

V0<C<7T,.，.C=-7.］

3.［以空間圖形為載體］如圖I,為了估測(cè)某塔的高度，在同一水平面的A,B

兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，在點(diǎn)A處測(cè)得塔頂C在西偏北20。的方向上，仰角為60。；在

點(diǎn)B處測(cè)得塔頂C在東偏北40。的方向上，仰角為30°.若A,8兩點(diǎn)相距130m,

則塔的高度CD=m.

9/15

h

10739[設(shè)CD=力，貝!JAD=1，

在△A05中,ZADB=180°-20°-40°=120°,

則由余弦定理AB2=802+A02-2BDAD-COS120°,

可得1302=3妨+4-20.*.(

解得h=10^39,故塔的高度為10^39m.］

4.［綜合應(yīng)用］在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且gm匚

71COSA

=\pc.

(1)求角A的大小；

(2)若匕+c=10,AABC的面積SABC=4^，求。的值?

［解］(1)由正弦定理及《上~二/。，

1-cosA

zssinAsinC_6

得--------二J3smC,

1-cosAv

*/sinCWO，:.sinA=艱(1-cosA),

.，?sinA+/cosA=2sin(A+g)二/，

?入期+翡孚，

又0<4<兀，.?.？4+鬻，

兀2兀?ATC

,,A333，

=][3

(2)?「SABC"csinA=晉/"=4^3,J.be=16.

10/15

由余弦定理，得。2=歷+。2-2feccosg=S+c)2-2bc-be-(b+c)2-3bc,

又。+c=10,，。2=102-3X16=52,???Q=2yU.

考點(diǎn)3與解三角形有關(guān)的最值、范圍問題

◎高考串講?找規(guī)律

1.(2020?全國(guó)II卷)△A8C中，sin24—sin23—sin2C=sinBsinC.

⑴求4

(2)若BC=3,求△ABC周長(zhǎng)的最大值.電多加’3

［解］(1)Vsin2A-sin2fi-sin2c=sinBsinC,

由正弦定理，得3c2--AB2=ACAB,

.\AC2+A&-8c2=-AC-AB,

A(72+A&-BC2

AcosA=-2ACAB—

_2兀

VAG(O,71),AA=—.

(2)法一：(基本不等式)由余弦定理，得BC2=AC2+AB2~2ACABcosA=AC.

+AB2+ACAB=9,

即(AC+AB)2-ACAB=9.

AC+ARV

???ACABW_(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào))，

\27

：.9=(AC+AB)2-ACAB

AC+ARY3

2(AC+AB)2-=*C+A8)2,

I2J4

.,.AC+ABW2/(當(dāng)且僅當(dāng)AC=AB時(shí)取等號(hào)),

^ABC的周長(zhǎng)L=AC+AB+BC&3+2艱,

,XABC周長(zhǎng)的最大值為3+2J3.

11/15

—數(shù)有界性而正弦定理,雄崎崎:高2

.\AB=2/sinC,AC=2/sinB.

VA=y，：.C=^-B.

售刊+

J.AB+AC=24sin|2#in8

=2"\P(^cosB-gsin§)+

2^/3sinB

=3cosB+/sinB=2^3sin(6+；).

當(dāng)8=患寸，48+4。取得最大值2yp,

AABC周長(zhǎng)的最大值為3+2&

2.(2019?全國(guó)III卷)△ABC的內(nèi)角A,B,2的對(duì)邊分別為a,b,c,已知asin

r

-=bsinA.

⑴求8;

⑵若△ABC為銳角三角形，且c=l,求aABC面積的取值范圍.

A+C..

［解］(1)由題設(shè)及正弦定理得sinAsin—=sin8sinA.

4+C

因?yàn)閟in4W0,所以sin---=sinB.

由A+8+C=180°,可得sind；9=cos?,

故cos4=2sin3cos%.

因?yàn)閏os4WO,故sing=g'因此B=60°.

⑵由題設(shè)及⑴知AABC的面積SABC=^.

12/15

由正弦定理得a==an"）二0

sinCsinC

由于△ABC為銳角三角形,故0。＜4＜90。，0°＜C＜90°.由（1）知A+C=120。，

所以30。＜。＜90。，故;＜。＜2,

從成9M小

因此，△A5C面積的取值范圍是

府號(hào)解讀?

命題規(guī)律：與三角形有關(guān)的最值（范圍）問題主要涉及三角形的內(nèi)角、邊長(zhǎng)、

周長(zhǎng)、面積等的最大、最小值問題，常以解答題的形式出現(xiàn)，分值12分，難度

中等；借助三角函數(shù)的有界性及基本不等式，建立不等關(guān)系是解答此類問題的關(guān)

鍵所在.

通性通法：三角形面積的最值問題的兩種解決方法

一是將面積表示為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；

二是將面積用三角形某一個(gè)角的三角函數(shù)表示，結(jié)合角的范圍確定三角形面

積的最值.

提醒：⑴要重視在余弦定理中用基本不等式，實(shí)現(xiàn)役+岳，H，a+b三者

的互化.

⑵注意在銳角三角形中隱含著：①4+8＞g；②若A*,則寺＜8,C＜3

?考題變遷?提素養(yǎng)

1.［求角的范圍］設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且a,b,

c成等比數(shù)列，則角8的取值范圍是（）

（兀］「兀、（兀］「兀一

A.l0,GB.G，兀JC.10,D.1，兀

13/15

C「.?a",c