高考數(shù)學導數(shù)大招秒殺

板塊三、導數(shù)

大招一導數(shù)的定義和運算

通關(guān)一、導數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y=/(x),當自變量X從X。變到X時，函數(shù)值從/(X。)變到/(占)，函數(shù)值關(guān)于X的平均變化率為

包=/&)-,(*)=/(%+At)二/('。).當不趨于X。,即Ax趨于0時，如果平均變化率趨于一個固定的值,

AxXj-xoAx

那么這個值就是函數(shù)y=/(x)在/點的導數(shù)，通常用符號/'(%)表示，記作

/,(x0)=lim"=lim位竺上“

—Ax內(nèi)―刃Ax

要點詮釋：

1.導數(shù)的本質(zhì)就是函數(shù)的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率.如瞬時速度即是位移在某一時刻的

瞬間變化率.

2.對于不同的實際問題，平均變化率有不同的實際意義.如位移運動中，位移s從時間。到a的平均變化率

即為。到％這段時間的平均速度

3.增量Ar可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，但是不可以等于O.-fO的意義：Ar與0之間距離要多近有多

近，即2-O|可以小于給定的任意小的正數(shù).

4.Axf()時，勺在變化中都趨于0,但它們的比值卻趨于一個確定的常數(shù)，即存在一個常數(shù)與

"⑺無限接近.

AxAx

5.函數(shù)y=/(x)在/處的導數(shù)還可以用符號表示.

通關(guān)二、基本初等函數(shù)的導數(shù)

基本初等函數(shù)導數(shù)特別地

常數(shù)函數(shù)y=c(c為常數(shù))y=o7rf=0,e'=0

鬲函數(shù)

(?)'=5

y=x"(〃為有理數(shù))y，=〃■xn~l

指數(shù)函數(shù)了=優(yōu)yf=ax?Ina(,)'=/

y,T

對數(shù)函數(shù)y=bg“x(Inx,=—

x9lna

正弦函數(shù)歹=sinxyf=cosx

/y/sin%、1

(tanx)--9

余弦函數(shù)y=cosxy'=-sinxVCOSX)COS-X

要點詮釋：

1.常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0,即c'=o(C為常數(shù))，其幾何意義是曲線/(x)=c(C為常數(shù))在任意點處

的切線平行于x軸.

2.有理數(shù)事函數(shù)的導數(shù)等于塞指數(shù)〃與自變量的("-1)次毒的乘積，即(x")'=Nx"T("e。).

3.在數(shù)學中，“In”表示以e(e=2.71828-)為底數(shù)的對數(shù)3g”表示以10為底數(shù)的常用對數(shù).

通關(guān)三、和、差、積、商的導數(shù)

導數(shù)的加法法則[/(x)+g(x)]'=/"(x)+g，(x)

導數(shù)的減法法則[〃x)-g(x)]'=尸(x)-g[x)

導數(shù)的乘法法則[/(辦g(x)]'=尸(x)g(x)+/(x)g，(x)

導數(shù)的除法法則

第二小筆件①(小。)

通關(guān)四、復合函數(shù)的導數(shù)

1.復合函數(shù)的概念

對于函數(shù)y=/(3(x)),令〃=e(x),則y=/(")是中間變量"的函數(shù)，〃=夕(》)是自變量X的函數(shù)，則函

數(shù)y=/(s(x))是自變量X的復合函數(shù).例如，函數(shù)N=In(sinx)是由y=In"和〃=sinx復合而成的.

2.復合函數(shù)的導數(shù)

設(shè)函數(shù)w=e(x)在點X處可導，u'x=(p\x),函數(shù)y=/(")在點X處的對應點〃處也可導，工=/"(〃)，則

復合函數(shù)V=/(9(力)在點x處可導，并且工=乂*,或?qū)懽鳌?/(⑼=/乂。/。)

3.復合函數(shù)求導一般步驟

(1)分層：將復合函數(shù)夕=/(9(力)分出內(nèi)層、外層.

(2)各層求導：對內(nèi)層M=e(x),外層y=/(〃)分別求導，得到e'(X),/'(〃).

(3)求積并回代：求出兩導數(shù)的積/'(")?d(x),然后將〃用*(x)替換，即可得到y(tǒng)=/(*(x))的導數(shù).

結(jié)論一、平均變化率和瞬時變化率

1.函數(shù)的增量:8=/(玉)+Ar)-/(x(,);

2.平均變化率：包…)-小。)；

ArAx

+

3.瞬時變化率：f(x0)=lim^=lim/(^oAx)-/(xo)

例1：函數(shù)〃力=2工2+1在閉區(qū)間［1,1+Ar］內(nèi)的平均變化率為()

A.1+2AxB.2+AxC.3+2AxD.4+2Ar

【答案】D

【解析】一+y/⑴2Ax.故選D.

AxAx

2

變式：若函數(shù)/(x)=：,則當x=-l時，函數(shù)的瞬時變化率為()

A.lB-IC.2D.-2

【答案】D

［解析］/(-I+Ax)-/(-l)=2-(-2)=-2Mlirrr""2)""=1淅八2］=-2.故選口.

-14-AxAr-1&f8Ax-Ax-

結(jié)論二、導數(shù)的定義

lim=〃-)-八…人山僅)

AiAx'(w+〃'0/

例2：設(shè)〃x)在與處可導，則lim〃玉>+、)：/(?%-3盤)等于()

AX-?8At

A.2r伉)B/(x0)C.3/'(x0)D.4f(x0)

【答案】D

【解析】

Hm/(』+?)-/(%-3Ar)=Kg/(/+?)-/(%)+/K)-/(%一如;)=斫/(x。+?)-/(二)?

AXTOOAYAX->8AXAYTSAX

,im3./(-Vo)-/(xo-3Ar)=Jim以生旦2g1+3.lim〃…>/(*=/，?)+3h%)=

AXTS3AXA'_+1?Ax&J8-3Ax

4尸(x0).故選D.

變式：已知函數(shù)/(X)在x=x0處可導，則出1〃與+義-m=()

c[r(x。)了

AJ'K)Bj(xo)D.2.f(x0)/(x0)

【答案】D

【解析】,R里口°°+&2[,(/)]='吧，您+R-/(/)?[//0+.)+/&)]=2/(%)/(%).故

選D.

結(jié)論三、復合函數(shù)求導

設(shè)函數(shù)〃=9(x)在點x處有導數(shù)="(力,函數(shù)》=/(〃)在點x處對應點〃處有導數(shù)立二/'(〃)，則復合

函數(shù)歹二/(9(耳)在點x處有導數(shù)，且工=立?〃；，或些寫作￡'(0(X))=/'(〃)?8'(X).

]

①[("+b)"]=a^a(<ax+by;②—)”?二+，

③[ln(ax+b)]=—；④[sin(or+b)]=〃cos(or+b)；

⑤[cos(〃x+b)]=-〃sin(or+b).

例3:已知y=sin2(2x+。)，貝IJy'=

【答案】2sin(4x+引

【解析】解法一：設(shè)J3/,w=sinv,v=2x+y則乂=乂?〃；??=2w*cosv<2=2sin2x+—?

tI3；

cos(2x+g]?2=2sin14x+2萬

解法二：

sin2(2x+y兀=2sinI2x+—兀[?cosl2x+—j?I2x+—兀

yf=2sin|2x+—!?sinI2x+—

33333

2sinI2x+—Kcos2x+—71?2=2sin4x+21

33

變式：已知歹=/,貝ijy'=

【答案】xx(l+lnx)

【解析】y=V=/nx(xlnx)'=e”nxlnx+—=xr(1+Inx).

x

結(jié)論四、導數(shù)的運算

/(x)_/，(x卜g(x)-/(x)g,(x)

1.(g(x)xO),

_g(x)_/(X)

2島卜喑產(chǎn)二陽但(加。),

3.=[/(x)+/,(x)]et.

,i.—..sinx-xcosx,

例7r4：已知y=----------；-,貝nIiJIy'=_______________.

cosx+xsinx

[答案]7—

(cosx+xsinx)

【解析】

,(sinx-xcosx)(cosx+xsinx)—(sinx-xcosx)(cosx+xsinx)_(cosx-cosx+xsinx)(cosx+xsinx)

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)2

(sinx-xcosx)(-sinx+sinx+xcosx)—Xsinxcosx+Msit?x-xsinxcosx+x2cos之x_x2

(cosx+xsinx)2(cosx+xsinx)~(cosx+xsinx)2

變式：已知歹=(2--5工+1)/,貝IJj/=.

【答案】(2x7-4)，

【解析】y-(2x2-5x+l+4x-5)/=(2x-x-4)ex

結(jié)論五、/'(〃)實際是一個數(shù)

/'(〃)代表函數(shù)/(“在x=a處的導數(shù)值；[/(〃)]'是函數(shù)值的導數(shù)，且[/(〃)]'=().

例5：已知函數(shù)./"(月=/”圖cosx+sinx,則/閨的值為----------------

【答案】1

【解析】/'(X)=/,W(-sinx)+cosx,尸圖=r^Y-sin^+cos^,解得/。=應-1.所以

變式：(2020全國m卷文⑸設(shè)函數(shù)〃x)=￡,若廣⑴=(,貝股=.

【答案】1

【解析】由函數(shù)的解析式可得/'(x)=’'(：+")「「f+；：i)則廣(1)=號產(chǎn)據(jù)

(x+a)(X+Q)(1+a)(Q+1)

此可得丁J=J/-2a+l=0,整理可得，解得。=1.

(4+1)-4

結(jié)論六、多用乘法求導運算

連乘積形式先展開化為多項式的形式，再求導

公式形式觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，先化為整式函數(shù)或

較為簡單的分式函數(shù)，再求導

對數(shù)形式先化為和、差的形式，再求導

根式形式先化為分數(shù)指數(shù)幕的形式，再求導

三南形式先利用三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為和或差的形

式，再求導

含待定系數(shù)如含/(a),a,b等的形式,先將待定系

數(shù)看成常數(shù)，再求導

例6：等比數(shù)列中，4=2,%=4,函數(shù)/(X)=x(x-“J(x-出>"(X-。8)，則/'(°)=()

A.26B.29C.212D.215

【答案】C

【解析】令g(x)=(x-q)(x-4)…(x-4)，則/(X)=Xg(x),/〈X)=g(x)+xg，(x),且g<0)有

,4

意義，于是//(0)=g(0)=ala2"as=(4％)"=8=2".故選C.

變式：設(shè)函數(shù)/(x)=(X—a)(x-b)(X-c)(a,6,c是兩兩不等的常數(shù))，則

ab+___c__=

f'M__『(b)___f(c)----------'

【答案】0

【解析】因為廣(x)=(x-b)(x-c)-(x-a)[(x-b)(x-C)T,所以f'(a)=(a-b)(a-c),

同理：/⑹=。-a)(b-c),/G)=(c-a)(c-b),所以原式=-一?——-+-一之一-

(a—h)[a-c)(h-a)\b-c)

c_a(b-c)—b(a-c)+c(〃-b)_0

(c—a)(c—h)(a—b)(a—c)(b—c)

結(jié)論七、特殊函數(shù)的導函數(shù)

l.(sinx)f=cosx,(cosx),=-sinx,(-sinx)r=-cosx,(-cosx)'=sinx.

2.(1xI)，=]=3.

r

例7：設(shè)/o(x)=sinx,工(x)=fQ\x),f2(x)=/；G),???，/〃+1(x)=fQ(x),n￡N,則/2020(功等于()

A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx

【答案】A

【解析】因為/o(x)=sinx,所以￡(x)=fQ\x)=cosx,f2(x)=/G)=-sinx,

r

f3(x)=f2(x)=-cosX,f4(x)=f3\x)=sinX,所以人020G)=A)5x4(x)=-G)=sinX,故選A.

變式：設(shè)a,b￡R,則“〃>b”是“〃a|>b|b|”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】C

【解析】設(shè)函數(shù)/(X)=XXI.當XN0時，/'(X)=1X+X?H=2XI;又/-(0)=

X

lim-/“)二△())=lim-"-0=1加|*|=0,所以/-(x)=2IxI20(xeR)(當且僅當

Ar->0x—0Ax-0%—0Ax->0

x=0時.r(x)=0),所以/(x)是R上的增函數(shù).故選C.

大招二導數(shù)的幾何意義

知C只通關(guān)

通關(guān)一、導數(shù)的幾何意義

/'(/)表示曲線y=/(x)在X=X。處的切線的斜率，即/'(%)=tana(a為切線的傾斜角).

已知點尸(40,%))是曲線y=/(X)上一定點，點。(%+Ax-。+?)是曲線y=/(x)上的動點，我

們知道平均變化率型表示割線PQ的斜率，如圖所示.當點0無限接近于點P,即Ax-0時，割線PQ

Ar

的極限位置直線尸7■叫作曲線在點尸處的切線.也就是當Arf0時，割線尸0斜率的極限，就是切線

的斜率，即：

,,.Ay/(/+Ax)-/(x)

k=lim—=lim--------------------------=f().

A.v->0AxArf0Ax'

通關(guān)二、曲線在點P處的切線

點P在曲線上，在點P處作曲線的切線（P是切點），此時數(shù)量唯一，如圖所示.

通關(guān)三、曲線經(jīng)過點P處的切線

點P位置不確定（在曲線上或曲線外），過點尸作曲線上任意位置的切線（只要切線經(jīng)過點尸可）,

數(shù)量不唯一.如圖（a）和圖（b）所示，無論點尸在曲線上還是曲線外，過點尸都可以作兩條直線4/2,

與曲線相切.

結(jié)論一、求曲線y=/（x）在x=xo處切線的步驟

1.先求/'（刈），即曲線y=f（x）在尸（xo,/（xo））處切線的斜率.

2.再求/（M＞）,因為切線過點（xo,f（xo））：

3.最后由點斜式寫出直線方程:"（xo）=f（xo）（x-xo）.

特別地，如果月G）在點（XO,/（X0））處的切線平行于y軸（此時導數(shù)不存在）時，由切線定

義切線方程為:x=xo.

例1：（2020全國I卷理6）函數(shù)［（x）=x4-2x3的圖像在點（1,/（I））處的切線方程為（）.

A.y="2x-lB.尸-2x+lC.y=2x?3D.y=2x+1

【答案】B

【解析】因為/(x)=x4-2x3,所以r(x)=4x3-6x2,所以/(I)=-1,AD=-2.因

此，所求切線的方程為夕+1=-2(x-1),即y=-2x+1.故選B.

變式：設(shè)曲線y=x?+,(HeN*)在點(1,1)處的切線與x軸的交點的橫坐標為x“，則

西,…X“等于()

A.lB,1C.nD.1

nn4-1n+1

【答案】B

【解析】對y=求導得_/=(〃+l)x",令x=1得在點(1,1)處的切線的斜率k=〃+1,在

點(1,1)處的切線方程為y-\=(7?+1)(X-1),令y=0,得工=----,則X,X…X

n+12

123n1鉆、比D

234勿+1n+1

結(jié)論二、求曲線/G)經(jīng)過點尸G。，外)切線方程的步驟

1.求導函數(shù)/(x);

2.驗證點P是否在曲線上：計算f(xo),觀察/'(xo)=泗是否成立；

3.求切點，設(shè)切點坐標為(a,/(a)),則切線方程"f(a)=f(a)(x-a),代入點P(祀，州)坐

標，求出。的值(注意存出)，可得切線方程.

例2：過曲線y=1x3+g的點P(2,4)的切線方程為.

【答案】4x-y-4=0或x-y+2=0

【解析】設(shè)曲線y=；/+：與過點尸(2,4)的切線相切于點力卜0，；片+則切線的斜率

k=兒，=君，所以切線方程為y-(累+胃=X：(x—x0),即y=X；-x-找+g.因為點

尸(2,4)在切線上，所以4=2x；-+；即片—3年+4=0,所以片+-4xj+4=0,

所以片(x04-1)-4(x04-1)(x0-1)=0,所以(%+1)_2)“=0,解得X。=-1或%=2,

代入y-/(x0)=f(x0)(x-%).故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0.

變式：(2020全國I卷文15)曲線y=Inx+x+1的一條切線的斜率為2,則該切線的方程為

【答案】y=2x.

【解析】設(shè)切線的切點坐標為(x°,,y=Inx+x+\,y'=—+=—+1=2,x0

=1,%)=2,所以切點坐標為(1，2),所求的切線方程為y-2=2(x-1),即y=2x.

大招三導數(shù)的應用

知識通關(guān)

通關(guān)一、導數(shù)的符號與丞數(shù)的單調(diào)性

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間內(nèi)有導數(shù)，則在這個區(qū)間上，

(1)若/(x)>0,則/(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)；

(2)若/(x)<0,則/(x)在這個區(qū)間上為減函數(shù)；

(3)若恒有/(x)=0,則/(x)在這一區(qū)間上為常函數(shù).

反之，若/(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有/(x)20恒成立(但不恒等于0)；若/

G)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有/(x)W0恒成立(但不恒等于0).

要點詮釋：

(1)因為導數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率，故當在某區(qū)間上/(?>0,即切線斜率為正時，

函數(shù)/(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)；當在某區(qū)間上/(x)<0,即切線斜率為負時，函數(shù)/(x)在這個區(qū)

間上為減函數(shù)：即導函數(shù)的正負決定了原函數(shù)的增減.

(2)若在某區(qū)間上有有限個點使/(X)=0,在其余點恒有廣金)>0,則/(x)仍為增函數(shù)(減

函數(shù)的情形完全類似)，即在某區(qū)間上，/'(X)>0=>/(x)在這個區(qū)間上為增函數(shù)：f'(x)<0n/(x)

在這個區(qū)間上為減函數(shù)，但反之不成立.

(3)/(x)在某區(qū)間上為增函數(shù)n在該區(qū)間r(x)》0；/(x)在某區(qū)間上為減函數(shù)n在該區(qū)間

/&運0.在區(qū)間36)內(nèi)，/'(6>0(或/(X)<0是/(x)在區(qū)間(a,6)內(nèi)單調(diào)遞增(或減)的充分不

必要條件.

(4)只有在某區(qū)間內(nèi)恒有：(x)=0,這個函數(shù)y=/(x)在這個區(qū)間上才為常數(shù)函數(shù).

通關(guān)二、函數(shù)的極值

一般地，設(shè)函數(shù)/(X)在點X=%及其附近有定義.

(1)若對X。附近的所有點，都有/(X)</卜0),則稱函數(shù)/(X)在/處取極大值，

記作y就產(chǎn)/卜。)，并把/稱為函數(shù)/(x)的一個極大值點.

(2)若對/附近的所有點，都有/(%)>/(X。)，則稱函數(shù)/(x)在X。處取極小值，記作y如小=/(x0),

并把X。稱為函數(shù)/(X)的一個極小值點.

要點詮釋：

在函數(shù)的極值定義中，一定要明確函數(shù)夕=/(x)在x=/及其附近有定義，否則無從比較.

函數(shù)的極值是就函數(shù)在某一點附近的小區(qū)間而言的，是一個局部概念；在函數(shù)的整個定義域內(nèi)可

能有多個極值，也可能無極值.由定義知道，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大

或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個的定義域內(nèi)最大或最小.

極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系.一個函數(shù)的極大值未必大于極小值，極小值不一定是整個

定義區(qū)間上的最小值.

函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點.而使函數(shù)取得最大值、最小值

的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點.

通關(guān)三函數(shù)的最值

若函數(shù)y=/(X)在閉區(qū)間［a,6］上連續(xù)，則/(x)在［a,6］上必有最大值和最小值；在開區(qū)間(a,6)內(nèi)

連續(xù)的函數(shù)/(x)不一定有最大值與最小值.

要點詮釋：

函數(shù)的最值點必在函數(shù)的極值點或者區(qū)間的端點處取得；

函數(shù)的極值可以有多個，但最值只有一個.

轉(zhuǎn)加大招

結(jié)論一、求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法

第一步:確定函數(shù)/(x)的定義域：

第二步:求/《X),令/〈X)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；

第三步:把函數(shù)/(x)在間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順

序排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(X)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間；

第四步:確定//(X)在各個小區(qū)間的符號，根據(jù).廣(X)的符號判斷函數(shù)/(X)在每個相應小區(qū)間

的增減性.

要點詮釋：

函數(shù)的單調(diào)區(qū)間不能用不等式表示，必須寫成區(qū)間形式；

當一個函數(shù)具有相同單調(diào)性的單調(diào)區(qū)間不止一個時，這些單調(diào)區(qū)間不能用連接，可用“，”

或“和”連接.

例1：已知函數(shù)fix)=ln(l+x)-x+?》2(人》0).

(1)當k=2時，求曲線y=，(x)在點(1,/⑴)處的切線方程：

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間.

【解析】(1)當*=2時，/(x)=In(1+x)-x+x2,f'(.x)------1+2x,由于

/⑴=皿2,01)=申3所以曲線了=/(x)在點(1,/⑴)處的切線方程為y-In2-13(x-1),即

3x-2y+21n2-3=0.

(2)/，(x)=x("D,xe(_i*).

當左=0時，/(x)=---,所以，在區(qū)間(一1,0)上，r(x)>0；在區(qū)間(0,+00)上,

r(x)<0.故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0),單調(diào)遞減區(qū)間是S,+oo).

當0〈左<1時，由/'(x)=二。<0及—>0知，在區(qū)間(一1,0)和(一，+8)上,

/,(x)>0;在區(qū)間。，1［上，/(X)<0,故/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,0)和］一(

單調(diào)遞減區(qū)間是

當k=1時，f'(x)=—J,故/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-1,”).

當人>1時，由/'(x)=，叱1-D=0,得玉=與幺e(-1,0),X2=0.所以，在區(qū)間

1-1,1］和(0,+8)上，f'(x)>0;在區(qū)間11,o］上，/-(%)<0.

綜上，/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是)和(0,+oo),單調(diào)遞減區(qū)間是11，0.

變式：設(shè)函數(shù)/(x)=xekx(k*0).

(1)求曲線y=/(x)在點(0,7(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增，求人的取值范圍.

【解析】(1)f'(x)=(1+丘)*,廣(0)=1,/(0)=0,曲線y=/(x)在點(0,/(0))處的

切線方程為y=X.

(2)由f'(x)=(1+kx)e"=0得x=——(A:豐0).

k

若k>0,則當x￡(一°°，一時，f'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞減；

若左<0,則當xt1-00,1寸，f\x)>0,函數(shù)/(x)單調(diào)遞增；

當X￡(-，，+X)>寸，/'(X)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減.

(3)由(2)知，若％>0,則當且僅當-1,即％4時，函數(shù)/G)在內(nèi)單調(diào)遞增；若左<0,

k

則當且僅當即女》-1時，函數(shù)/(x)在內(nèi)單調(diào)遞增.

k

綜上，函數(shù)/(X)在區(qū)間(-1,1)內(nèi)單調(diào)遞增時，%的取值范圍是[-1,0)。(0,1].

結(jié)論二、求函數(shù)極值的一般步驟和方法

第一步:確定函數(shù)/(x)定義域；

第二步:求/(X),令r(x)=0,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；

第三步:把函數(shù)/(x)在間斷點(即/(x)的無定義點)的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序

排列起來，然后用這些點把函數(shù)/(%)的定義區(qū)間分成若干個小區(qū)間：

第四步:檢查/Q)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么/(x)在這個根處取得極大值;

如果左負右正，那么/(X)在這個根處取得極小值.

要點詮釋：

使_r(x)無意義的點也要討論.可先求出/-(%)=o的根和使/《X)無意義的點，這些點都稱為可疑

點，再用定義去判斷.

極大值點可以看成是函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間與遞減區(qū)間的分界點.極大值是極大值點附近曲線由

上升到下降的過渡點的函數(shù)值；極小值則是極小值點附近曲線由下降到上升的過渡點的函數(shù)值.

例2：已知函數(shù)/(x)=e"〃+—+Inx，其中4Z€R.

(1)若曲線y/(X)在x=1處的切線與直線y垂直，求的值;

(2)當ae(0,In2)時，證明:/(x)存在極小值.

【解析】(1)/(X)的導函數(shù)為/Q)=ev

a+———+Inx].依題意，有/,(l)=e-(a+1)=e,解得a=0.

x/；

21

(2)證明由/z(x)=e"?a+-----+Inx及e*〉0知，/<x)與a+--------+Inx與同

kx2)xx2

號.令g(x)=a+2-4+InX,則g'(x)='=2=仁D'l.所以對任意xe(0,

XX2x3x3

內(nèi))，有g(shù)G)>0,故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增.因為?！?0,In2),所以

g(l)=a+1>0,g=a+In；<0,故存在/e,1j,使得g(x0)=0./(x)與/"(x)在區(qū)間

f1,l]上的情況如下：

X&，1)

1"X。

——0+

/(X)極小值/

所以/(x)在區(qū)間;，為上單調(diào)遞減，在區(qū)間(%,1)上單調(diào)遞增.所以/(x)存在極小值了(%).

變式：設(shè)函數(shù)/(x)=浮+底+ex+d{a>0),且方程/((x)-9%=0的兩個根分別為1,4.

(1)當a=3且曲線y=/(x)過原點時，求/(x)的解析式；

(2)若/(x)在(-8,*?)內(nèi)無極值點，求a的取值范圍.

【解析】由/(x)=￡+bx2+ex+d得f'(x)=ax2+2bx+c.因為f'[x)-9x=ax2+

2bx+c-9x=0的兩個根分別為1,4,所以+2"+c-9=°

[16a+86+c-36=0

(1)當a=3時，由式得+°-6=0,解得b=7,c=口.又因為曲線y=/(x)過原點，所

[%+c+12=0

3

以4=0.故/(x)=x-3x2+12x

(2)由于a>0,所以"/(x)=-|x3+bx2+ex+d在(-oo,+oo)內(nèi)無極值點”等價于

"/'(x)=ax2+2hx+c20在(一co,-KO)內(nèi)恒成立”.由式得2b=9-5a,c=4。.又

△=(26)2-4*=9(〃-1)(.-9).解[">°得ae[1,9],即a的取值范圍是

[△=9(a-DU-9)@

[1,9].

結(jié)論三、求函數(shù)在[a,b]上量值的一般步驟和方法

第一步:確定函數(shù)/(X)定義域；

第二步:求廣(X),令/，(x)=o,解此方程，求出它在定義域內(nèi)的一切實根；

第三步:判定函數(shù)v=/(X)在(a,6)內(nèi)的單調(diào)性；

第四步:將函數(shù)y=/(x)的各極值與端點處的函數(shù)值/(a),/彷)比較