高三數(shù)學培優(yōu)版-矩陣、行列式-教師版講義

教師姓名學生姓名年級高三上課時間

學科數(shù)學課題名稱矩陣與行列式

矩陣、行列式

A的列數(shù)與B的行數(shù)相等，AB有意義

不滿足交換律

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

三點共線的充要條件

知識分析@

一、知識梳理

1、矩陣

(1)矩陣、零矩陣、方陣，單位矩陣、系數(shù)矩陣和增廣矩陣

(2)掌握矩陣的加法、減法及數(shù)乘、乘法運算

【注意】兩個矩陣的乘積：

注意:①只有當?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)與第二個矩陣的行數(shù)相同時，這兩個矩陣乘積才有意義,

才可以相乘.

②一般地，交換律不成立AB^BA.

2、行列式

(1)掌握二階行列式的有關概念及求二元一次方程組的解法:

設二元-次方程組(*)卜/+仇尸仇

a2x-vh2y=c2

2

①則當々=4以_4仇片0時，方程組（*）有唯一解，可用二階行列式表示為

?2b2

一

D.Dx=JA,Q=%c,

Dcbac,

y=—222

['D

②當。=0時,Dx=Dy=0方程組有無窮組解；

③當0=0時,Dx聲0或DyH0方程組無解。

系數(shù)行列式。="b'也為二元一次方程組解的判別式。

a2b2

（2）三階行列式計算方法

①對角線方式展開

為4%

C

a2b2c2=（21Z>23+a2b3cl+a3b^2一《也c?一agq-

a3%c3

②按某一行（或列）展開法

I+,

記均=%%3,A1|=（-1）M11；

。32。33

%=如知,%=（-1嚴限2,

a3\。33

%=%%,/AT）"3M3。

々31々32

稱M|j為元素/的余子式，即將元素與所在的第一行、第j列劃去后剩下的元素按原來順序組成

的二階行列式（類似可以定義其它元素的余子式）；稱A,為元素%的代數(shù)余子式，

4=（-1）"'必/（/=1,2,3）。

a\\a\2%3

則三階行列式就可以寫成。=出1022"23=4|4]+4242+。13Al3，

a3\。32。33

這就是說，一個三階行列式可以表示為它的第一行的元素分別與它們的代數(shù)余子式乘積的和。上式

稱為三階行列式按第一行展開的展開式。類似地，若將。按別的行或列的元素整理，同樣可得行列式

按任一行（列）展開式。

（3）用三階行列式求三角形的面積：

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

若A43C三個頂點坐標分別為（X，必）、（*2，8）、（看，》3），則

①若（為，必）、（三，色）、（不，九）三點呈逆時針，則

百y,1

②A、3、。三點共線的充分必要條件為々為1=0

W為1

（4）三元一次方程組的解法

6工+濟丁+C]Z=4

設三元一次方程組（*）｛。2%+與丁+。22=%，其中％，y，z是未知數(shù)，%、“、q（i=l,2,3）是未

a3x^b3y+c3z=d3

知數(shù)的系數(shù)，且不全為零，4（i=1,2,3）是常數(shù)項。

D

X=--￡r.

D

D、

①當0/0時，方程組（*）有唯一解（二

y~D

D

Z=z

~D

②當。=0時，方程組（*）無解，或者有無窮多解，

性質：

（1）線性方程組的系數(shù)行列式OH（）,則它唯一解。

（2）推論：如果線性方程組無解或解不唯一，則它的系數(shù)行列式必為零。

二、典型例題

知識點1：矩陣、系數(shù)矩陣、增廣矩陣

例1（2013理17）在數(shù)列中，an=2"-\,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素

%=%?%+%+%,（i=l,2,…,7"=1,2,…,12）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）

A18828C.48D63

答案：A

知識點2：矩陣相等與矩陣的運算：力口、減和數(shù)乘

“32—1A（2—30、

例2、已知4=,8=,且3A+40=23,求矩陣C。

（4-32）（3-12）

4

解析：由3A+4c=23可得：C=，8—

24

r_5

-3

1(2-3013(32-T-44

2^3-12廠-32,

_37\_

「54-2>

a,x+h,y=G

例3、給出二元一次方程組彳'/'存在唯一解的條件。

a2x-^b2y=c2

方法一：原方程組對應的系數(shù)矩陣為A=為A的兩個列向量,

則原方程組可表示為x4+y4=。

(x,y€7?)(*)

<a2)\C2>

由平面向量的分解定理可知:

(4

當向量1不平行時，存在唯一的實數(shù)X、y使(*)式成立。

q、

對任意x、y，a=x+y都與或平行，因此

b2jb2)

若。=與。,平行時，則原方程組有無窮多解;

若。=與a不平行時，則原方程組無解。

’4

綜上所述,與不平行是方程組存在唯一解的條件。

<a27

方法二：系數(shù)矩陣的角度

方法三：直線的角度

知識點3：矩陣的乘法

(1a\(c2、(20、

例4.已知矩陣乂=,N=,且MN=

[b1J(01-2

(1)求實數(shù)d的值;

(2)求直線y=3x在矩陣W所對應的線性變換下的像的方程.

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

c+0=2a=-l

2+ad=Qb--\

答案：（1）由題設得?,八一，解得

bc+Q=-2c=2

2b+d=0d=2

（2）因為矩陣M所對應的線性變換將直線變成直線（或點），所以可取直線y=3x上的兩（0,0）,

1-1Y0"0、

(1,3),由1Jk得：點（0,0）,（1,3）在矩陣M所對應的

-10>

線性變換下的像是（0,0）,（-2,2）,從而直線y=3x在矩陣M所對應的線性變換下的像的方程為

y=-x.

試一試：

」0、

1、平面上任意一點在矩陣1的作用下（）

0-

I5）

A、橫坐標不變，縱坐標伸長5倍B、橫坐標不變，縱坐標縮短倍

5

C、橫坐標、縱坐標均伸長5倍D、橫坐標、縱坐標均縮短工倍

5

答案：B

2、在平面直角坐標系XOy中，己知點40,0）,8（-2,0）,。（一2,1）,設女為非零實數(shù)，矩陣

(k0)(0

,N點A、B、C在矩陣MN對應的變換下得到點分別為A、BpC1,

△44G的面積是AABC面積的2倍，求女的值.

koVon_ro

解析：由題設得MN=Ju,可知

00尸11

A（o,0）、B|（0,-2）、G（攵2）,計算得AABC面積的面積是1,AA4G的面積是|4|,則由題設

知:|蝴=2x1=2.所以k的值為2或-2.

知識點4：矩陣思想的應用

例5、奧運會足球比賽中國隊所在C組小組賽單循環(huán)比賽結果如下：

中國平新西蘭1：1巴西勝比利時1：0中國負比利時0：2

巴西勝新西蘭5：0中國負巴西0：3比利時勝新西蘭0：1

（1）試用一個4階方陣表示這4個隊之間的凈勝球數(shù)；（以中國、巴西、比利時、新西蘭為順序排列）

（2）寫出行向量、列向量，并指出其實際意義。

（3）若勝一場可得3分，平一場得1分，負一場得0分，試寫出一個4階方陣表示各隊的得分情況;

6

（排列順序與（1）相同）

（4）若最后的名次的排定按如下規(guī)則：先看積分，同積分看凈勝球，試根據(jù)（1）、（2）兩個矩陣確定

各隊名次。

'0-3-20、’0001、

30153033

答案：（1）(3)（4）名次為巴西、比利時、中國、新西蘭。

2-1013003

0-5-10,,1000,

試一試、

1、列舉（％+a2+的+。4）（仿+b2+4）展開式中的項

氏b24

。2

。3

。4

答案:

b24

“她她哂

〃2她a2b2她

%她a也2a3A

牝岫站2a4b3

例6（2014閔行二模理23）設?！?4",求所有可能的乘積a,-a.（l<z<；</?）的和

解析：將所得的積排成如下矩陣：

42+242+3.??42+,i

A=43+3…43+”，設矩陣A的各項和為S.

（4）

42+1

在矩陣的左下方補上相應的數(shù)可得8=43+|

矩陣B中第一行的各數(shù)和習=4?+43+…+4"+i=y（4"一1），

矩陣3中第二行的各數(shù)和$2=43+4"+…+4>2=M（4"_1）,

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

矩陣B中第〃行的各數(shù)和s.=4用+4"+2+…+4""=T(4"-1),.....(15分)

從而矩陣B中的所有數(shù)之和為邑+$2+…+S“=3(4"—1)2.............(16分)

所有可能的乘積4?%(14〃)的和

s=；y(4"-l)2-(42+44+---+42n)+(42+44+---+42,,)=-——......(18分)

例7、(2013理18)在邊長為1的正六邊形ABCDEF中，記以A為起點，其余頂點為終點的向量

分別為或,2,HI；以D為起點，其余頂點為終點的向量分別為若加,M分別為

(7+4+Z>(/+4'+4")的最小值、最大值，其中{iJM}={l,2,3,4,5},{r,s,f}={l,2,3,4,5},則

in,M滿足().

(A)m^O,M>0(B)m<O,M>0(C)m<O,M=0(D)m<0,M<0

答案：D

建系或者使用投影法做出下面表格

%工點

-1_3-10

-22

_3-3-3_30

-2-2

-1-3-4-3-1

0_3-3-3_3

~2~2

2_0-1_3-1

2~2

可知從中任意取出三行三列組成的矩陣的元素之和總小于0,故答案選D

知識點5、二階行列式的計算

8

ab

例8、（2011理10文11）行列式（a,b,c,4e{—1,1,2}）的所有可能值中，最大的

cd

是.

答案：6

試一試：

1、用行列式表示sinacosp+cosasinp=.

一、sina-sinB

答案：

cosacos0

2、若復數(shù)z=x+yi（x,y€R）滿足j；的模等于x,則復數(shù)z對應的點Z（x,y）的軌跡方程為

__________.其圖形為__________.

答案：/=2（x-^）拋物線

知識點6：二元線性方程組解的判定

例9、判斷m取什么值時，下列關于的線性方程組（1）有唯一解？（2）無解？（3）有無窮解？

%_（加2-5）y=-1

（加+1）%一（加+1）'=1

答案：D=("5)=(/+D(%+2)(機—3)

m+\—(/n+1)2

-1-(m2-5)

D='；=2(m-l)(/7i+2)

1一(6+1)2

1-1

。、.==m+2

>m+\1

(1)加工一1,一2,3時，方程組有唯一解；

(2)加=-1或3方程組無解；

(3)加=-2方程組有無窮解.

試一試:

x+2y—3

用行列式解一元二次方程組4

1x-y=\

D?

x=^-v=\

123213D

答案：D==-5，DX=二-5,D==-5所以，

2-11-1y21D、

y=--=1

1D

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

mx+y-m+\,

2、若關于x,y的二元一次方程組，1沖=2〃，無解’則

答案：-1

ynx+V=—1

3、關于x、y的二元一次方程組I-）'的系數(shù)行列式0=0,是該方程組有解的（）

\3nix-my=2m+3,

A.充分非必要條件3.必要非充分條件.

C.充分且必要條件。.既非充分也非必要條件

答案：D

知識點7：三階行列式的計算

例10：按要求計算下列行列式

3-24

（1）直接化簡計算行列式D=10一1的值;

214

（2）按照第一行展開；

（3）按照第一列展開.

0-11-110

答案：（1）0=19+4

42421

0-1-24-24

(3)0=3—1+2

14140-1

試一試:

222

1＞已知是AABC的三邊長，且滿足“bc=0,則A4BC一定是()

bca

A.等腰非等邊三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形

答案：B

ax13

例11、設行列式D=201中第3行第2列的代數(shù)余子式記作y,函數(shù)

24-3

y=f（x）的反函數(shù)圖像經(jīng)過點（2,1）,則a=_

答案：4

bcb

例12、將+2+3用三階行列式表示，可得

d33d

10

1-23

答案：abc

3de

例13

111

(1)證明Xx2%3=(x2-X|)(x3-X2)(x3-X1)；

222

國X2X3

124

(2)方程1Xf=0的解集為

1-39

123

(3)利用(1)的規(guī)律，求函數(shù)y=尤49的最小值.

%2827

222

答案：（1）按第一行展開可得左邊=x2（-r3--v,）+^2（-^1--v3）+（%i-）

%2

=（玉一工）[一々（玉+%3）+2+%&]

=(%-/)(再一%)(毛一%2)

=（Z一再）（電一%）（七一%2）=右邊

⑵{-3,2}

（3））^=6r-30x+36,當了=|?時，乂僦=一二

知識點8：三階行列式的應用——三角形的面積

例14：（1）求證：三角形的面積公式

毛

玉>'i1

1

（2）求證：平行四邊形的面積4y2

七為1

注：三點（X2,y2）,（七,力）逆時針排列否則面積是上述行列式的絕對值。

試一試：

1、在平面直角坐標系xOy中，以向量。=（如生）6=（偽也）為鄰邊的平行四邊形的面積為

高中數(shù)學沖刺培優(yōu)

001

a}a2

解析：不妨說向量。都是以原點為起點，則1=a}b2-a2h],因為不知道